江苏省无锡市2024-2025学年高一数学上学期期中试题含解析

Page142024～2024学年度第一学期期中考试高一数学一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．1.设集合，集合，则等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由交集定义进行运算即可【详解】由交集定义，.故选：B2.下列各对函数表示同一函数的是（）A.与 B.与C.， D.与【答案】D【解析】【分析】推断两函数是否为同一函数，只须要推断两者的定义域与对应法则是否相同即可.【详解】对于A，因为定义域为，的定义域为，故两函数不是同一函数，故A错误；对于B，因为，所以与不是同一函数，故B错误；对于C，因为的定义域为，的定义域为，故两函数不是同一函数，故C错误；对于D，对于，当时，；当时，；即，明显与是同一函数，故D正确.故选：D.3.若，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】依据充分不必要条件的定义即可推断.【详解】因为，，所以“”是“”充分不必要条件.故选：A4.已知，则取得最大值时的值为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由，则，结合基本不等式，即可求解.【详解】因为，则，由，当且仅当时，即时等号成立．故选：B.【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用，其中解答中熟记基本不等式的“一正、二定、三相等”的条件，合理推算是解答的关键，着重考查推理与运算实力，属于基础题.5.已知函数的定义域为R，则实数a的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】依据题意得在R上恒成立，考虑，与两种状况，结合根的判别式进行求解．【详解】因为函数定义域为R，所以在R上恒成立，当时，满意要求，当时，要满意，解得：，综上：故选：B6.定义在上的偶函数在上的图象如下图，下列说法正确的是（）A.仅有一个单调增区间 B.有两个单调减区间C.在其定义域内的最大值是5 D.在其定义域内的最小值是－5【答案】C【解析】【分析】依据函数的单调性、奇偶性和最值状况即可作出推断.【详解】因为是上的偶函数，所以在上的图像如下图所示：由图可知：在内存在单调递减区间和，递增区间，所以在上有递增区间和，递减区间，即在上有3个单调增区间，A错误；,在上有3个单调减区间，B错误；在处取得最大值5，故在处也取得最大值5，C正确；由图可知，无法知晓在其定义域内的最小值，D错误.故选：C7.已知为奇函数，则等于（）A.－16 B.－14 C.14 D.16【答案】A【解析】【分析】要求的值，须要先求出，利用函数奇偶性得到即可解决.【详解】是奇函数，，又，则.,.故选：A8.定义在上的偶函数满意，且对随意的有，则不等式的解集是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意与函数单调性的定义可的单调性，再结合偶函数与，可得在定义域上的正负状况，列表探讨与的正负状况即可求得所求.【详解】因为对随意的有，所以在上单调递增，因为是偶函数，所以在上单调递减，又，所以，结合的单调性，可得与的正负状况如下：因为，所以由得，即与异号，所以由上表可得.故选：B.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．9.已知集合，，若，则满意条件的实数x可以是（）A.－2 B.0 C.1 D.2【答案】ABD【解析】【分析】依据包含关系的定义，列式求，并验证是否满意互异性.【详解】由得，，满意互异性；由得，，而不满意互异性，所以舍去；满意的条件的值有：故选：ABD.10.对随意实数a，b，c，下列命题为真命题的是（）A.“”是“”的充要条件 B.“”是“”的充分不必要条件C.“”是“”的必要不充分条件 D.“”是“”的充分不必要条件【答案】CD【解析】【分析】依据等式或不等式的性质结合，结合充分必要条件的定义即可求解.【详解】对于A,依据等式的性质，由可以推出，当时，推不出，所以“”是“”的充分不必要条件，故A错误;对于B，如，但，所以推不出，如，但，所以推不出，所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故B错误;因为若则肯定成立，但若则不肯定成立，所以“”是“”的必要不充分条件，故C正确;由得，，由可推出，不能推出，所以是的充分不必要条件，即”是“”的充分不必要条件，故D正确;故选:CD.11.下列命题中，为真命题的是（）A.若，则 B.若，，则C若，，则 D.若，则【答案】BD【解析】【分析】利用不等式的性质逐个推断各个选项即可.【详解】对于A，若，则，故A错误.对于B，若，则，，即，故B正确.对于C，取，故C错误.对于D，若，则=，因为，所以，所以，即，故D正确.故选：BD12.已知且对于一切恒成立，在上的值域为，则（）A. B.C.的最大值为 D.的最小值为4【答案】BC【解析】【分析】依据奇函数可求解推断A，依据自变量即可代入求值推断B，结合函数的图象即可推断CD.【详解】由对于一切恒成立得，代入得，故A错误；，所以，故B正确；由奇函数知，所以当时，，当时，，画出图象，如图，令，解得或，令时，解得或，由图象可知，要使值域为，，，故C正确，D错误.故选：BC三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.命题“”的否定形式是________.【答案】，【解析】【分析】依据全称量词命题的否定为特称命题即可得解；【详解】解：命题“”为全称量词命题，其否定为：，；故答案为：，14.若一个奇函数的定义域为，则的值为______________．【答案】【解析】【分析】依据奇函数的定义域关于原点对称可得的值，即可得的值.【详解】解：若奇函数的定义域为，则，必有故或；若，则，必有，则，所以；若，则，必有，则，所以；综上：.故答案为：.15.定义：闭区间的长度为．则不等式的解集区间长度为______________；若不等式的解集区间长度为6，则实数m的值是______________．【答案】①.6②.【解析】【分析】解一元二次不等式即可求出不等式的解集区间长度；解肯定值不等式即可求出实数m的值.【详解】不等式等价于，解得：，所以不等式的解集区间长度为：.由不等式可得：，解得：，因为不等式的解集区间长度为6，所以，解得：.故答案为：；16.若对随意，不等式恒成立，则实数的取值范围是______________．【答案】【解析】【分析】依据基本不等式可求得的最小值为，则，解不等式即可.【详解】由，得，则，当且仅当，即时等号成立，所以，即，解得，故答案为：.四、解答题：本大题共6小题，共70分．17.试比较下列各组中两个代数式的大小（1）与;（2）当时,与4．【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)对两式进行做差化简推断与零的大小关系,即可推断出大小;(2)对两式进行做差通分化简合并推断与零的大小关系,即可推断出大小.【小问1详解】解:由题知,,故;【小问2详解】,,,即.18.已知集合，集合（1）当时，求；（2）记：，：，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）首先解一元二次不等式求出集合，再依据补集、交集的定义计算可得；（2）依题意可得，即可得到不等式组，解得即可.【小问1详解】解：由，解得，所以，当时，所以或，又，所以；【小问2详解】解：因为是的必要不充分条件，所以，所以，解得，所以实数的取值范围为.19.已知集合，（1）若，求实数的值；（2）若，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）因为，则说明集合，然后求解即可；（2）依据元素的个数分集合为空集，集合有一个元素，集合有两个元素探讨，最终不同状况求出的取值取并集即可.【小问1详解】化简，得，因为，则，所以有，解得或，，解得或，综上，.【小问2详解】化简，得，因为，则，当时，有，解得或；当集合只有一个元素时，有，得或，当时，集合明显不满意，当时，集合明显不满意；当集合有两个元素时，则，所以，所以有，解得或，，解得或，故；综上所述20已知函数，（1）推断函数在上的单调性并证明；（2）若集合，对于都有，求实数的取值范围．【答案】（1）单调递减，证明见解析（2）【解析】【分析】（1）依题意可得，依据反比例函数的性质推断函数的单调性，再利用单调性的定义证明即可；（2）由（1）中函数的单调性求出集合，依题意都有，参变分别可得，对恒成立，依据函数的单调性求出，即可求出参数的取值范围.【小问1详解】解：在上单调递减，证明：设，则，又由，则，，，则，故函数在上单调递减；【小问2详解】解：由（1）可得在上单调递减，又、，所以，因为都有，即都有，所以，对恒成立，令，，因为在上单调递减，所以，所以.21.如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．（1）现有可围48m长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？最大面积为多少？（2）若使每间虎笼面积为36，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间笼的钢筋网总长最小？最小值为多少？【答案】（1）长为6m,宽为4m时，面积最大值为；（2）长为、宽为时，钢筋网总长最小为.【解析】【分析】（1）求得每间虎笼面积的表达式，结合基本不等式求得最大值.（2）求得钢筋网总长的表达式，结合基本不等式求得最小值.【小问1详解】解：设长为，宽为，都为正数，每间虎笼面积为，则，所以，即，所以，当，即时等号成立.所以每间虎笼的长为6m,宽为4m时，面积的最大值为；【小问2详解】解：设长为，宽为，都为正数，每间虎笼面积为，则钢筋网总长为，所以钢筋网总长最小为，当且仅当，即时，等号成立.所以当每间虎笼的长为、宽为时，可使围成四间笼的钢筋网总长最小为.22.已知二次函数，，对随意，，且恒成立．（1）求二次函数的解析式；（2）若函数的最小值为5，求实数的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依据得到，依据恒成立得到，结合，求出，，求出二次函数解析式；（2）结合第一问，将写出分段函数，分，与三种状况，结合函数单调性，最小值为5，列出方程