新教材2025版高中数学课时作业23余弦定理北师大版必修第二册

课时作业23余弦定理[练基础]1．在△ABC中，若AB＝eq\r(13)，BC＝3，C＝120°，则AC＝()A．1B．2C．3D．42．在△ABC中，若b＝8，c＝8eq\r(3)，S△ABC＝16eq\r(3)，则A等于()A．30°B．60°C．30°或150°D．60°或120°3．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若B＝60°，b2＝ac，则△ABC肯定是()A．锐角三角形B．钝角三角形C．等腰三角形D．等边三角形4．已知在△ABC中，a比b大2，b比c大2，最大角的正弦值是eq\f(\r(3),2)，则△ABC的面积是()A.eq\f(15\r(3),4)B.eq\f(15,4)C.eq\f(21\r(3),4)D.eq\f(35\r(3),4)5．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝eq\r(5)，c＝2，cosA＝eq\f(2,3)，则b＝________.6．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cosA＝eq\f(1,4).若a＝4，b＋c＝6，且b<c，求b，c.[提实力]7．[多选题]已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满意B＝eq\f(π,3)，a＋c＝eq\r(3)b，则eq\f(a,c)＝()A．2B．3C.eq\f(1,2)D.eq\f(1,3)8．已知△ABC各角的对边分别为a，b，c，满意eq\f(b,a＋c)＋eq\f(c,a＋b)≥1，则角A的范围是________．9．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且eq\f(cosB,cosC)＝－eq\f(b,2a＋c).(1)求角B的大小；(2)若b＝eq\r(13)，a＋c＝4，求△ABC的面积．[战疑难]10．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A＝eq\f(π,3)，已知D是BC边上一点，且CD＝2DB，若AD＝eq\f(\r(21),3)b，则eq\f(b,c)＝________.

课时作业23余弦定理1．解析：由余弦定理得AB2＝BC2＋AC2－2BC·AC·cosC即13＝9＋AC2－2×3×AC×cos120°∴AC2＋3AC－4＝0解得AC＝1或AC＝－4(舍去)．答案：A2．解析：由三角形面积公式得eq\f(1,2)×8×8eq\r(3)·sinA＝16eq\r(3)，于是sinA＝eq\f(1,2)，所以A＝30°或A＝150°.故选C.答案：C3．解析：∵△ABC中，B＝60°，b2＝ac，∴cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(1,2)，∴a2＋c2－2ac＝0⇒(a－c)2＝0，∴a＝c，A＝C，∴△ABC为等边三角形．故选D.答案：D4．解析：因为a＝b＋2，b＝c＋2，所以a＝c＋4，A为最大角，所以sinA＝eq\f(\r(3),2).又A>B>C，所以A＝120°，所以cosA＝－eq\f(1,2)，即eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝－eq\f(1,2)，所以(c＋2)2＋c2－(c＋4)2＝－c(c＋2)，解得c＝3.所以a＝7，b＝5，c＝3，A＝120°.S△ABC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)×5×3×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(15\r(3),4).故选A.答案：A5．解析：由余弦定理，得c2＋b2－2bccosA＝a2，即4＋b2－2×2bcosA＝5.整理，得3b2－8b－3＝0，解得b＝3或b＝－eq\f(1,3)(舍去)．答案：36．解析：由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，即a2＝(b＋c)2－2bc－2bccosA，∵a＝4，b＋c＝6，cosA＝eq\f(1,4)，∴16＝36－eq\f(5,2)bc，∴bc＝8.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＋c＝6，,bc＝8，,b<c，))可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝2，,c＝4.))7．解析：∵B＝eq\f(π,3)，a＋c＝eq\r(3)b∴(a＋c)2＝a2＋c2＋2ac＝3b2①由余弦定理得a2＋c2－2accoseq\f(π,3)＝b2②由①②得2a2－5ac＋2c2＝0，即2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,c)))2－5eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,c)))＋2＝0解得eq\f(a,c)＝2或eq\f(a,c)＝eq\f(1,2)，故选AC.答案：AC8．解析：将不等式eq\f(b,a＋c)＋eq\f(c,a＋b)≥1两边同乘以(a＋c)(a＋b)整理得，b2＋c2－a2≥bc，所以cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)≥eq\f(bc,2bc)＝eq\f(1,2)，所以0<A≤eq\f(π,3).答案：eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))9．解析：(1)由余弦定理知，cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)，cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab).将上式代入eq\f(cosB,cosC)＝－eq\f(b,2a＋c)，得eq\f(a2＋c2－b2,2ac)·eq\f(2ab,a2＋b2－c2)＝－eq\f(b,2a＋c)，整理得a2＋c2－b2＝－ac.所以cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝－eq\f(ac,2ac)＝－eq\f(1,2).因为B为三角形的内角，所以B＝eq\f(2π,3).(2)将b＝eq\r(13)，a＋c＝4，B＝eq\f(2π,3)代入b2＝a2＋c2－2accosB，即b2＝(a＋c)2－2ac－2accosB得，13＝16－2aceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))，所以ac＝3.所以S△ABC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(3\r(3),4).10．解析：在△ADB中，由余弦定理的推论得cos∠ADB＝eq\f(AD2＋BD2－AB2,2·AD·BD)＝eq\f(\f(7,3)b2＋\f(1,9)a2－c2,2·\f(\r(21),3)b·\f(1,3)a)，在△ADC中，由余弦定理的推论得cos∠ADC＝eq\f(AD2＋CD2－AC2,2·AD·CD)＝eq\f(\f(7,3)b2＋\f(4,9)a2－b2,2·\f(\r(21),3)b·\f(2,3)a)由于∠ADB和∠ADC互补，因此eq\f(\f(7,3)b2＋\f(1,9)a2－c2,2·\f(\r(21),3)b·\f(1,3)a)＋eq\f(\f(7,3)b2＋\f(4,9