安徽省皖豫名校联盟2024-2025学年高一数学下学期阶段性测试二试题含解析

Page17皖豫名校联盟2024-2025学年高一数学下学期阶段性测试（二）试题考生留意：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数z满意，则z=（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依据复数的四则混合运算即可得答案.【详解】解：.故选：B.2.某中学三个年级一共1400人，现按年级人数比例用分层随机抽样的方法抽出56人组建国旗班.其中高二年级抽取了18人，则高二年级的学生人数为（）A.430 B.450 C.470 D.480【答案】B【解析】【分析】设高二年级共有学生x人，利用分层抽样的比例关系求解即可.【详解】设高二年级共有学生x人，由题意可知抽样比例为，∴解得.故选：B.3.已知四棱锥P-ABCD的高为4，其底面ABCD水平放置时的斜二测画法直观图如图所示，已知，，则四棱锥P-ABCD的体积为（）A.16 B.18 C.20 D.24【答案】A【解析】【分析】由直观图可得究竟面ABCD为矩形，同时可求矩形面积，然后利用锥体体积公式计算可得答案.【详解】由题意可知，四边形ABCD为矩形，因为直观图中，，所以，，所以矩形ABCD的面积为，所以四棱锥P-ABCD的体积为.故选：A4.已知a，b，c分别为的内角A，B，C所对的边，，则C=（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依据正弦定理可得，再依据余弦定理化简求解即可【详解】∵，∴由余弦定理知，整理得，故.故选：D5.如图所示，点E为的边AC的中点，F为线段BE上靠近点B的四等分点，则=（）A B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依据平面对量的线性运算结合图像将用表示，即可得出答案.【详解】解：.故选：C6.某小区抽取了200个用户的月平均用电量（单位：千瓦时），绘制了频率分布直方图如图所示（每组区间包含左端点，不包含右端点），则样本中月平均用电量在[220，260)的用户数为（）A.80 B.60 C.50 D.30【答案】A【解析】【分析】依据直方图可求，从而可求在上的用户数.【详解】由，得，∴月平均用电量在的用户数为.故选：A.7.已知三棱锥中，，底面，，，则该三棱锥的外接球的体积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】将三棱锥放在长、宽、高分别为，，的长方体中，则三棱锥的外接球即为该长方本的外接球，长方体的外接球的直径即为长方体的体对角线，利用勾股定理求出外接球的直径，最终由球的体积公式计算可得；【详解】解：如图所示，将三棱锥放在长、宽、高分别为，，的长方体中，则三棱锥的外接球即为该长方本的外接球，所以外接球的直径，∴该球的体积为.故选：B8.科研人员在某试验中采集了10个样本数据，这10个数据的平均数为6，方差为3.后来又增加了一个数据6，则这11个数据组成的新样本的方差为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用平均数和方差公式干脆计算即可.【详解】设，则，于是新样本的平均数，新样本的方差.故选：D二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知复数z满意，则（）A.z虚部为-3 B.z在复平面内对应的点位于其次象限C. D.【答案】BC【解析】【分析】利用复数的乘除运算求解复数，依据复数的性质推断各项正误.【详解】解：由可得，故z的虚部为3，A错误；z在复平面内对应的点为，位于其次象限，B正确；，C正确；，故D错误.故选：BC.10.已知a，b是两条不相同的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列命题为真命题的是（）A.若，，则a与β相交 B.若，，，则C.若，，，则 D.若，，，则【答案】BD【解析】【分析】依据空间线线、线面、面面关系逐一推断可得选项.【详解】解：对于A，若，则a与可能相交，也可能平行，所以A是假命题；对于B，由定理“垂直于同始终线的两个平面平行”得知，再结合，推出，故B是真命题；对于C，若，，，则b与还可能相交或，不肯定是，故C是假命题；对于D，由于，，所以，而，则，故D是真命题.故选：BD.11.已知，，为同一平面内的单位向量，，，且与的夹角为锐角，则（）A.与的夹角 B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】设，由可求出，由，所以，对其两边同时平方可求出的值，可推断B；因为与的夹角为,为锐角，由，求出可推断A；对平方代入可推断C；对平方代入可推断D.【详解】因为，所以，设，因为由与的夹角为锐角，所以所以，所以，因为，，为同一平面内的单位向量，所以，又，所以，所以，又，所以，即，解得：，所以，所以，因为与的夹角为,为锐角，则，所以，故A正确；由A知，，故B错误；，∴，故C错误；，∴，故D正确.故选：AD.12.已知正四棱锥的体积为，底面边长为2，则（）A.该四棱锥的侧面积为 B.棱与垂直C.平面与平面垂直 D.二面角的余弦值为【答案】ABD【解析】【分析】由题意，求侧棱长并由易知与垂直，且侧面为等边三角形，即可求侧面积，可推断A、B的正误；依据二面角的定义，找到面与面、二面角的平面角，进而推断C、D的正误.【详解】由题意，，即，可得，而且是中点，∴，故，即，1、侧面为等边三角形，故侧面积为，A正确；2、棱与垂直，B正确；3、若是的中点，易知面，面，所以面面，面面，则为平面与平面所成二面角的平面角，而，，即不是直角，C错误；4、若是的中点，连接，由上易知：，而，所以面，即二面角的平面角为且，故，D正确.故选：ABD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.在教室里与小明坐同一列的8名同学的体重（单位：kg）分别为54，67，56，62，59，61，65，52，则这组数据的中位数为______.【答案】60【解析】【分析】将所给的数据按从小到大的依次排列，利用中位数计算公式求解即可得出结果.【详解】将所给的数据按从小到大的依次排列是52，54，56，59，61，62，65，67，所以这一组数据的中位数为.故答案为：60.14.已知向量与的夹角为，且，，______.【答案】【解析】【分析】依据向量数量积的定义及数量积的运算性质求解.【详解】∵，∴.故答案为：15.在正方体中，M，N分别为棱，的中点，则异面直线BN与AM所成角的余弦值为______.【答案】##【解析】【分析】依据异面直线夹角得概念结合图形分析可得或其补角为异面直线BN与AM所成的角，利用勾股定理可得，，结合余弦定理运算求解．【详解】设正方体的棱长为a，如图，连接，，易知，所以或其补角为异面直线BN与AM所成的角.则，，，所以.故答案为：．16.已知a，b，c分别为的内角A，B，C所对的边，，，，则______.【答案】【解析】【分析】化简计算，可求解，再由余弦定理列式求解答案.【详解】∵，∴，∴，即，∵，∴，即.∵，∴，又，，∴，整理可得，∴.故答案为：四、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.在某班的互帮互助学习活动中，数学课代表利用假期给班里5名数学成果不太好的同学补课.他们在补课前和补课后的考试中的数学成果统计如下表：补课前6365727476补课后6872768084将补课前和补课后这两次考试中这5名同学的数学成果的平均数分别记为和，极差分别记为各.（1）求，，，；（2）推断数学课代表给他们补课是否有显著效果（假如：，则认为补课有显著效果，否则不认为有显著效果）.【答案】（1），，，（2）有显著效果【解析】【分析】（1）依据统计表计算可得答案；（2）计算出、，比较大小可得答案.【小问1详解】，，，.【小问2详解】，，∵，∴，所以数学课代表给他们补课有显著效果.18.某圆台的侧面绽开图为如图所示的扇环（实线部分），已知该扇环的面积为π，两段圆弧所在圆的半径分别为1和2.

（1）求扇环的圆心角的大小；（2）求圆台的体积.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依据扇环面积等于大扇形的面积减去小扇形的面积，结合扇形的面积公式，即可得出答案；（2）分别求出圆台的上底面半径r和下底面半径R，及高h，再依据圆台的体积公式即可得出答案.【小问1详解】解：由题意知扇环的面积，得；【小问2详解】解：设圆台的上底面半径为r，下底面半径为R，高为h，由，可得，由，得，又∵圆台的母线长为1，∴，∴圆台的体积为.19.“无故障里程”是指汽车从出厂到首次出现故障时共行驶的里程，某市场探讨机构从某品牌出现过故障的汽车中随机抽取了100辆，调查这些汽车的无故障里程（单位：百公里），将调查数据依据［85，95），［95，105），...，［135，145]分成6组，得到下面的频率分布直方图.

（1）将频率分布直方图补充完整；（2）求该品牌汽车无故障里程的平均数的估计值；（每组数据以该组数据所在区间的中点值为代表）（3）该品牌汽车的广告宣称：该品牌汽车无故障里程不低于100百公里的汽车至少占全部汽车的85%.请你依据样本数据推断：该广告内容是否属实？【答案】（1）直方图见解析（2）（3）不属实【解析】【分析】（1）由频率和为1列式求解第三组的小长方形的高，补充完整直方图；（2）由频率分布直方图平均数的计算公式计算；（3）先求解无故障里程低于100百公里的频率，从而可得无故障里程不低于100百公里的频率，即可推断.【小问1详解】设第三组的小长方形的高为a，则，得.频率分布直方图补充完整如下：【小问2详解】该品牌汽车无故障里程的平均数的估计值为.【小问3详解】样本中无故障里程低于100百公里的频率约为，所以无故障里程不低于100百公里的频率约为，所以该广告内容不属实.20.已知a，b，c分别为的内角A，B，C所对的边，且.（1）求角C；（2）若，且AB边上的高为3，求边c.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理可得，结合利用两角和的正弦公式化简整理；（2）依据题意利用等面积可得，再结合余弦定理运算求解．【小问1详解】由可得，由正弦定理得，∵，则，∵，∴，而，∴.【小问2详解】∵AB边上的高为3，∴的面积，∴，由余弦定理可得，∴，即，∴.21.如图，在直三棱柱中，，且，，D是棱的中点，E是棱上靠近的四等分点.

（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）由已知和勾股定理可得、，再由线面垂直的推断定理可得答案；（2）取的中点M，由勾股定理得，再由面面垂直的判定定理和性质定理得平面，可得即为直线AE与平面所成的角，在计算可得答案.【小问1详解】∵，，∴，∴，，∴，同理，∵，∴，∵，，∴，，∴，∴，又，∴平面【小问2详解】如图，取的中点M，连接AM，EM，∵，∴，由（1）知平面，∴平面平面，交线为，∴平面，∴即为直线AE与平面所成角，∵，，∴，即直线AE与平面所成角的正弦值为.22.如图所示，在四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，点E，F，G分别在线段CD，BD，PC上，且满.（1）证明：平面PAD；（2）若平面ABCD，，且，，，求四棱锥G-BCEF的体积.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）依据线面平行的判定证明平面平面PAD即可；（2）