【高中数学】空间向量与立体几何（附解析）

考点12空间向量与立体几何

0基础巩固

一、选择题

1.在空间直角坐标系中，已知点P(L2,3),过点尸作平面xOz的垂线PQ,垂足为。，则点。的坐标为

()

A.(0,2,0)B.(0,2,3)C.(1,0,3)D.(1,2,0)

2.已知5=(2,-3,1),5=(4,—6,幻，若MJ.S，则x等于()

A.-26B.-10C.2D.10

3.如图，空间四边形Q4BC中，函=肩砺=瓦祝=",点M是0A的中点，点N在BC上，且

瓯=2而，设丽=x〃+y5+z仁则X，z的值为()

112121121112

--9---B.--9--9--C.----9---9--D.--，---9---

33233233233

4.若向量2=(1,—1,2),1=(2』,一3),则2a+b=()

A.币B.2夜C.3D.3亚

5.已知向量a=(1,-,6=卜3,4-5)满足£〃万，则/?,等于()

2992

A.B.C.D.

3223

二、填空题

6.在空间直角坐标系。一孙z中，设点M是点N(2,—3,5)关于坐标平面的对称点，点尸(1,2,3)关

于％轴对称点Q,则线段MQ的长度等于.

7.设正方体ABCD-A£GR的棱长为2,则点D,到平面AtBD的距离是.

8.如图所示，长方体ABC。-A4GA中，A3=BC=2,C&=4,点E是线段CG的中点，点F是

正方形ABC。的中心，则直线4E与直线8/所成角的余弦值为.

三、解答题

9.己知长方体ABCO—AgCQ中，|A8HBC|=2,点N是A8的中点，点M是4G的

中点.建立如图所示的空间直角坐标系.

y

(1)写出点D,N,M的坐标；

(2)求线段的长度；

(3)判断直线DN与直线MN是否互相垂直，说明理由.

10.如图，在四棱锥P—ABC。中，底面A8C0是矩形，M是抬的中点，平面A8CD,且

PD=CD=4,AD=2.

(1)求AP与平面CMB所成角的正弦.

（2）求二面角M—CB—P的余弦值.

0知能提升

一、选择题

11.在正方体4GA中，点E是棱&G的中点，点F是线段CD上的一个动点.有以下三个

命题:

①异面直线AC,与4万所成的角是定值;

②三棱锥B-A.EF的体积是定值;

③直线4p与平面BCR所成的角是定值.

其中真命题的个数是（）

A.3B.2C.1D.0

12.已知直三棱柱ABC-4与G，NABC=90°,AB=BC=AA,=2,BB1和的中点分别为E、

F,则AE与CF夹角的余弦值为（）

J324V15

A.—B.-C.-D.

5555

二、填空题

13.已知三校锥P-A3C的四个顶点在球。的球面上，平面ABC,AA8C是边长为2的正三角

3

形，D、E、F分别是A3、BC、CP的中点，且cosZDFE=—,则球。的表面积为.

4

14.如图，在四面体O—ABC中，AD=BD=AC=BC=5,48=。。=6.若“为线段43上的动

点(不包含端点)，则二面角。-的余弦值取值范围是

三、解答题

15.如图，三棱柱ABC—A4G中，。是A3的中点.

(1)证明：Bq〃平面AC。；

(2)若AABC是边长为2的正三角形，且3c=84，ZCBB,=60°,平面ABCJ_平面3旦。0.

求平面A,CD与侧面BB©C所成二面角的正弦值.

专题12空间向量与立体几何

0基础巩固

一、选择题

1.在空间直角坐标系中,已知点P(l,2,3),过点p作平面xOz的垂线PQ,垂足为。，则点。的坐标为

()

A.(0,2,0)B.(0,2,3)C.(1,0,3)D.(1,2,0)

【答案】c

【解析】因为过点P作平面xOz的垂线PQ,垂足为。，所以可得p，Q两点的横坐标与竖坐标相

同，只纵坐标不同，且在平面xOz中所有点的纵坐标都是0,因为尸(1,2,3),所以有Q(l,0,3).

故选C

2.已知万=(2,—3,1),5=(4,—6,x),若MJ_b，则x等于()

A.-26B.-10C.2D.10

【答案】A

【解析】根据题意，由于"=(2,-3,1),B=(4,—6,x),且有万，5,则可知

a-b=002x4+(-3)x(-6)+lxx=0<»x=-26,

故选A.

3.如图，空间四边形。48c中，9=£,砺=石,无="，点M是。4的中点，点N在BC上，且

CN=2NB>设丽N=x&+防+z二，则x,y,z的值为()

112121121112

A.—，一，—B.—,—,—C.----,—,—D.—，一，—

233233233233

【答案】C

【解析】依题意丽=丽一丽++

=OB+-[OC-OB^-^OA=--OA+-OB+-OC,所以x=_，,y=2z=L

2332-33

故选C.

rr

4.若向量2=（1,—1,2）,丐=（2,1,-3）,则2a+b=（）

A.近B.2夜C.3D.372

【答案】D

【解析】由于向量2=（1,—1,2）,^=（2,1,-3）,所以21+%=（4,—1,1）.

rri__________

故2a+b=&+（-ly+F=晒=3丘.

故选D.

5.己知向量1=（1,一；弓），5=,3,九-左）满足凉/万，则力等于（）

2

A.-B.-C.—D.

3223

【答案】B

15

11-3/'V,9

【解析】因为W/力，所以丁=—=一看,\vI=彳.故选B

'22

二、填空题

6.在空间直角坐标系。—孙z中，设点M是点N（2,—3,5）关于坐标平面刈丁的对称点，点尸（1,2,3）关

于8轴对称点Q,则线段MQ的长度等于.

【答案】V6

【解析】因为点M是点N（2,-3,5）关于坐标平面双？的对称点，所以加（2,-3,-5）,又因为点

P（1,2,3）关于x轴对称点。，所以0（1,-2,-3）.

因此MQ=7（1-2）2+［（-2）-（-3）］2+［（-3）-（-5）］2=口.

故填瓜

7.设正方体ABCD-A^C^的棱长为2,则点D］到平面AtBD的距离是.

【答案】正

3

【解析】如图建立空间直角坐标系,

则A(0,0,2),4(2,0,2),£>(0,0,0),B(2,2Q),.•.冰=(2,0,0),璃=(2,0,2),

n-DA^-2x+2z-0

丽=(2,2,0),设平面ABD的一个法向量为八=(x,y,z),

nDB=2x-}-2y=Q

\D^-ii\_2_2y/3

令x=l,则万=(1,T,—D,.•.点。到平面A/。的距离d

问飞一飞

故填毡.

3

8.如图所示，长方体ABC。—4与CQ|中，AB=BC=2,CG=4，点E是线段CG的中点，点尸是

正方形A8CD的中心，则直线4E与直线8/所成角的余弦值为,

【答案］巫

9

【解析】作出图形如下所示，以。为原点，DA,DC,。。所在直线分别为x,y,z轴，

故4(2,0,4),£(0,2,2),4(2,2,4),产(1,1,0),则还=(一2,2,-2),率=(-1,-1,-4),

故直线4E与直线B潜所成角的余弦值为cos0=|而8屈1=乎.故填半

三、解答题

9.已知长方体ABC。-44GA中，|ABHBC|=2,|乌。|=3,点N是AB的中点，点M是4G的

中点.建立如图所示的空间直角坐标系.

r

(1)写出点。,N,M的坐标；

(2)求线段的长度；

(3)判断直线ON与直线MN是否互相垂直，说明理由.

【解析】(1)两直线垂直，证明：由于。为坐标原点，所以0(0,0,0),

由|A3H3C|=2,||=3得：

A(2,0,0),8(2,2,0),C(0,2,0),4(2,2,3),C,(0,2,3),

因为点N是A8的中点，点”是4G的中点，

.•.N(2,l,0),M(l,2,3)；

(2)由两点距离公式得:

IMD|=J(l—0)2+(2—0)2+(3-0)2=A,

IMN|=7(2-l)2+(l-2)2+(0-3)2=Vil;

(3)直线ON与直线MN不垂直，

理由：由(1)中各点坐标得：

丽=(2,1,0),W=(l,-l,-3)

:.DNMN=(2,1,0)-(1,-1,-3)=1,

£＞河与砺不垂直，

所以直线DN与直线MN不垂直.

10.如图，在四棱锥产一A3CD中，底面ABCD是矩形，M是抬的中点，平面ABCO,且

PD=CD—4,AD-2.

(1)求AP与平面CM3所成角的正弦.

(2)求二面角M—CB—P的余弦值.

【解析】(I)•••ABC。是矩形，

:.AD1CD,

又♦••夫£)，平面ABCD,

APD±AD，PD工CD,即P。，AD，CO两两垂直，

...以。为原点，DA，DC,0P分别为了轴，y轴，z轴建立如图空间直角坐标系,

由尸D=C£>=4,AD=2,得4（2,0,0）,B（2,4,0）,C（0,4,0）,£>（0,0,0）,尸（0,0,4）,

M（1,0,2）,则丽=（一2,0,4）,BC=（-2,0,0）,M8=（l,4,-2）,

设平面CMB的一个法向量为瓦=（X1,y,zJ,

BC-^=Q—2%=0

,令x=1,得％=0,Z]=2,

MB-ny=QX1+4y-2Z]=0

“=（0,1,2）,

/.cos（APa）-__1

（可一府%|一266一5,

4

故AP与平面CMB所成角的正弦值为y.

（2）由（1）可得定=（0,4,T）,

设平面PBC的一个法向量为%=（工2，%，22），

BCiu=0X0,八

则，二八，即V[/-2A2=八，令%=1，得%2=0，Z2=1,

PCn2=0[4y2-4z2=0

%=（0,1,1）,

./——\_3_3Vio

、/V5.V210

故二面角M—CB—P的余弦值为之叵.

10

0知能提升

一、选择题

11.在正方体ABC。—44GA中，点E是棱4G的中点，点尸是线段CR上的一个动点.有以下三个

命题：

①异面直线AC|与BF所成的角是定值；

②三棱锥AEF的体积是定值；

③直线A/与平面BCA所成的角是定值.

其中真命题的个数是()

A.3B.2C.1D.0

【答案】B

【解析】解:以A点为坐标原点，AB,AD,AA所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设

正方体棱长为1，可得8(1,0,0),C(l,1,O),D(0,1,0),4(0,0,1),B|(l,0,1),C«,

1,1),。(0,1,1),设F«,1,1Y),(0<z<l),可得离=(1,1,1),1,-t),可得

福可户=0,故异面直线AG与耳b所的角是定值，故①正确；

三棱锥AM的底面ABE面积为定值，且CR〃84,点尸是线段CR上的一个动点，可得F

点到底面A0E的距离为定值，故三棱锥3-4所的体积是定值，故②正确；

可得4尸=«,1,-f),BfC=(0,1,-1),BQ=(-1,1,0),可得平面B1C。的一个法向量为3=

(1,1,1),可得cos(4反刀不为定值，故③错误；

故选B.

12.已知直三棱柱ABC-AfG，NABC=90°,AB=BC=AA,=2,BB1和的中点分别为E、

则AE与C/7夹角的余弦值为（）

A百BD/

5555

【答案】B

【解析】如图所示：分别以BABC,84为x,y,z轴建立空间直角坐标系.

故A（0,2,0）,C（2,（）,0）,£（0,0,1）,F（l,0,2）,故径=（0,—2,1）,CF=（-1,0,2）.

2

COS2即AE与CF夹角的余弦值为-.

F册5，

故选B.

二、填空题

13.己知三校锥P—ABC的四个顶点在球。的球面上，平面ABC,AABC是边长为2的正三角

3

形，D、E、口分别是A3、BC、CP的中点，S.cosZDFE=-,则球。的表面积为.

4

28万

【答案】

3

【解析】如图，根据题意，以A为原点，区为X轴方向，恁为y轴方向，而为z轴方向，建立

空间直角坐标系,

设B4=2a,由AB=8C=AC=2,可得

40,0,0),5(1,73,0).C(-l,百,0),尸(0,0,2a),因为£＞、E、尸分别是A3、BC、CP的中

点，得吗,孚0),E((),0,®F(--,—,a).可得

\DE\=\,J叫=J/+I,⑼=J7+i,

3+EF)-DE：24+2-1

cosNDFE=—=解得a=1,

42DFEF2a2+2

解得|B4|=2,根据外接圆垂面模型的应用，可找到如图的球心。和AABC的外接圆圆心〃，且必有

|0"|=；解=1,且“。为ZVU5C的外接圆的半径，因为ZVU5C是边长为2的正三角形，且

|"C|=：,=、=¥，设外接球半径|OC|=R,则在RAO/7C中，根据勾股定理，得

//7*"7CQ

R2=\ocf=\OHf+\HCf=\+~=~,则可求得收=；,则球0的表面积为4万代=三工

.28乃

故填——

3

14.如图，在四面体。一ABC中，AD=BD=AC=BC=5,45=。。=6.若用为线段43上的动

点（不包含端点），则二面角。-MC-B的余弦值取值范围是

D

99

【答案】（一向记）

【解析】以AB的中点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则

D(0,--,晅),C(0,4,0),M(a,0,0)(-3<a<3)，

22

平面MBC的一个法向量为1=（0,0,1）,设平面DMC的一个法向量为区=（x,y,z）,

9V63„

则反=（o,2,—晅），碇=（一。,4,0），则，〃,•DC=0——y------z=0

22

22%•砒=0

一or+4y=0

令z=9,x=生叵,y=病，所以平面。MC的一个法向量为％=（生叵，病,9），

a

99

所以16x63°O116x63…

——5+63+81———+144

a

因为一3＜。＜3,所以/＜9,所以蛆等+144＞如@+144=256,

a29

,____.QQQ

所以卜os点,a〈二，即二面角的余弦值的取值范围是（一