2024中考数学全国真题分类卷 模型八 利用两点之间线段最短求最值 强化训练(含答案)

2024中考数学全国真题分类卷模型八利用两点之间线段最短求最值强化训练类型一“一线两点”型(一动点＋两定点)1.(2022永州)如图，A，B两点的坐标分别为A(4，3)，B(0，－3)，在x轴上找一点P，使线段PA＋PB的值最小，则点P的坐标是________．第1题图2.(2023眉山)如图，点P为矩形ABCD的对角线AC上一动点，点E为BC的中点，连接PE，PB，若AB＝4，BC＝4eq\r(3)，则PE＋PB的最小值为________．第2题图3.(2018铜仁)已知在平面直角坐标系中有两点A(0，1)，B(－1，0)，动点P在反比例函数y＝eq\f(2,x)的图象上运动，当线段PA与线段PB之差的绝对值最大时，点P的坐标为________．4.(2023遵义)如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，点M，N分别为BC，AC上的动点，且AN＝CM，AB＝eq\r(2).当AM＋BN的值最小时，CM的长为________.第4题图5.(挑战题)(2023成都)如图，在菱形ABCD中，过点D作DE⊥CD交对角线AC于点E，连接BE，点P是线段BE上一动点，作P关于直线DE的对称点P′，点Q是AC上一动点，连接P′Q，DQ.若AE＝14，CE＝18，则DQ－P′Q的最大值为________．第5题图类型二“—点两线”型(两动点＋一定点)6.如图，在△ABC中，∠ABC＝50°，点P为△ABC内一定点，点M，N分别在AB，BC上，当△PMN周长最小时，∠MPN的度数是()A.120°B.90°C.80°D.60°第6题图7.(2023聊城)如图，一次函数y＝x＋4的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，点C(－2，0)是x轴上一点，点E，F分别为直线y＝x＋4和y轴上的两个动点，当△CEF周长最小时，点E，F的坐标分别为()A.E(－eq\f(5,2)，eq\f(3,2))，F(0，2)B.E(－2，2)，F(0，2)C.E(－eq\f(5,2)，eq\f(3,2))，F(0，eq\f(2,3))D.E(－2，2)，F(0，eq\f(2,3))第7题图类型三“两点两线”型(两动点＋两定点)8.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝3，AB＝2eq\r(10)，点D，E在BC边上，BD＝CE＝1，点G，F分别是边AB，AC上的两个动点，则四边形DEFG周长的最小值为________．第8题图9.(2023滨州)如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝10.若点E是边AD上的一个动点，过点E作EF⊥AC且分别交对角线AC，直线BC于点O，F，则在点E移动的过程中，AF＋FE＋EC的最小值为______________________．第9题图类型四“定长＋定点”型10.(2023鄂州)如图，定直线MN∥PQ，点B，C分别为MN，PQ上的动点，且BC＝12，BC在两直线间运动过程中始终有∠BCQ＝60°.点A是MN上方一定点，点D是PQ下方一定点，且AE∥BC∥DF，AE＝4，DF＝8，AD＝24eq\r(3)，当线段BC在平移过程中，AB＋CD的最小值为()A.24eq\r(13)B.24eq\r(15)C.12eq\r(13)D.12eq\r(15)第10题图11.(2022聊城)如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A，C分别在x轴，y轴上，B，D两点坐标分别为B(－4，6)，D(0，4)，线段EF在边OA上移动，保持EF＝3，当四边形BDEF的周长最小时，点E的坐标为________．第11题图12.(2023自贡)如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，G是AD的中点，线段EF在边AB上左右滑动，若EF＝1，则GE＋CF的最小值为________．第12题图参考答案与解析1.(2，0)【解析】由题意可知，当点P为AB与x轴的交点时，PA＋PB的值最小，最小为AB的长．设直线AB的解析式为y＝kx＋b，∵点A(4，3)，B(0，－3)在直线上，∴直线AB的解析式为y＝eq\f(3,2)x－3，当y＝0时，0＝eq\f(3,2)x－3，解得x＝2，∴P(2，0).2.6【解析】如解图，作点B关于AC的对称点B′，交AC于点F，连接B′E交AC于点P，则PE＋PB的最小值为B′E的长度，∵四边形ABCD为矩形，∴AB＝CD＝4，∠ABC＝90°，在Rt△ABC中，AB＝4，BC＝4eq\r(3)，∴tan∠ACB＝eq\f(AB,BC)＝eq\f(\r(3),3)，∴∠ACB＝30°，由对称的性质可知，BB′＝2BF，BB′⊥AC，∴BF＝eq\f(1,2)BC＝2eq\r(3)，∠CBF＝60°，∴BB′＝2BF＝4eq\r(3)，∵E是BC的中点，∴BE＝BF，∴△BEF是等边三角形，∴EF＝B′F，设∠FB′E＝α，则∠FEB′＝α，∴2α＝60°，∴∠FB′E＝30°，∴∠B′EB＝90°，∴B′E＝eq\r(B′B2－BE2)＝eq\r(（4\r(3)）2－（2\r(3)）2)＝6，∴PE＋PB的最小值为6.第2题解图3.(1，2)或(－2，－1)【解析】如解图，设直线AB的解析式为y＝kx＋b，将A(0，1)，B(－1，0)代入，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝1,－k＋b＝0))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝1,b＝1))，∴直线AB的解析式为y＝x＋1，直线AB与反比例函数y＝eq\f(2,x)图象的交点即为所求点P，此时|PA－PB|＝AB，即线段PA与线段PB之差的绝对值取得最大值，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝x＋1,y＝\f(2,x)))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1,y＝2))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－2,y＝－1))，∴点P的坐标为(1，2)或(－2，－1).第3题解图4.2－eq\r(2)【解析】如解图①，过点A作AH⊥BC于点H.设AN＝CM＝x.∵AB＝AC＝eq\r(2)，∠BAC＝90°，∴BC＝eq\r(（\r(2)）2＋（\r(2)）2)＝2.∵AH⊥BC，∴BH＝AH＝1，∴AH＝BH＝CH＝1，∴AM＋BN＝eq\r(12＋（1－x）2)＋eq\r(（\r(2)）2＋x2)，要求AM＋BN的最小值，相当于在x轴上寻找一点P(x，0)，到E(1，1)，F(0，eq\r(2))的距离和的最小值，如解图②，作点F关于x轴的对称点F′，当E，P，F′三点共线时，PE＋PF的值最小，此时直线EF′的解析式为y＝(eq\r(2)＋1)x－eq\r(2)，当y＝0时，x＝2－eq\r(2)，∴AM＋BN的值最小时，CM的值为2－eq\r(2).第4题解图【一题多解】2－eq\r(2)【解析】如解图③，过点A作AD∥BC，且AD＝AC，连接DN，BD，∴∠DAN＝∠ACM，又∵AN＝CM，∴△AND≌△CMA，∴DN＝AM，∴AM＋BN＝DN＋BN≥BD，当B，N，D三点共线时，AM＋BN取得最小值，此时如解图④所示，∵在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝eq\r(2)，∴BC＝eq\r(2)AB＝2，∵△AND≌△CMA，∴∠ADN＝∠CAM，∵AD＝AC＝AB，∴∠ADN＝∠ABN，∵AD∥BC，∴∠ADN＝∠MBN，∴∠ABN＝∠MBN，设∠CAM＝α，∴∠BAM＝∠BAC－α＝90°－α，∴∠ABM＝∠ABN＋∠MBN＝2α＝45°，∴α＝22.5°，∴∠AMB＝∠BAM＝67.5°，∴AB＝BM＝eq\r(2)，∴CM＝BC－BM＝2－eq\r(2)，即BN＋AM取得最小值时CM的长为2－eq\r(2).第4题解图5.eq\f(16\r(2),3)【解析】如解图，连接BD交AC于点O，过点D作DK⊥BC于点K，延长DE交AB于点R，连接EP′并延长交AB于点J，连接BQ，BP′，∵四边形ABCD是菱形，∴点B、D关于AC对称，∴DQ＝BQ，当点P是定点时，DQ－QP′＝BQ－QP′，当B，P′，Q三点共线时，DQ－QP′的值最大，最大值是线段BP′的长，当点P与B重合时，点P′与J重合，当点Q与A重合时，此时BQ－QP′的值最大，最大值是线段BJ的长．∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO＝OC，∵AE＝14，EC＝18，∴AC＝32，AO＝OC＝16，∴OE＝AO－AE＝16－14＝2，∵DE⊥CD，∴∠DOE＝∠EDC＝90°，∵∠DEO＝∠DEC，∴△EDO∽△ECD，∴eq\f(ED,EC)＝eq\f(EO,ED)，即DE2＝EO·EC＝36，∴DE＝EB＝EJ＝6(负值已舍去)，∴BC＝CD＝eq\r(EC2－DE2)＝eq\r(182－62)＝12eq\r(2)，OD＝eq\r(DE2－OE2)＝eq\r(62－22)＝4eq\r(2)，∴BD＝8eq\r(2)，∵S△DCB＝eq\f(1,2)OC·BD＝eq\f(1,2)BC·DK，∴DK＝eq\f(16×8\r(2),12\r(2))＝eq\f(32,3).∵∠DEB＋∠DCK＝180°，∠DEB＋∠BER＝180°，∴∠BER＝∠DCK，∴sin∠BER＝eq\f(BR,BE)＝sin∠DCK＝eq\f(DK,CD)＝eq\f(\f(32,3),12\r(2))＝eq\f(4\r(2),9)，∴RB＝BE×eq\f(4\r(2),9)＝eq\f(8\r(2),3)，∵EJ＝EB，ER⊥BJ，∴JR＝BR＝eq\f(8\r(2),3)，∴JB＝eq\f(16\r(2),3)，∴DQ－P′Q的最大值为eq\f(16\r(2),3).第5题解图6.C【解析】如解图，分别作点P关于BA，BC的对称点P1，P2，连接P1，P2，交BA于点M，交BC于点N，连接BP1，BP，BP2，∴BP1＝BP＝BP2，∠BP1M＝∠MPB，∠NPB＝∠NP2B，根据轴对称的性质可得MP＝P1M，PN＝P2N，∴△PMN周长的最小值为P1P2的长，由轴对称的性质可得∠P1BP2＝2∠ABC，∴∠BP1P2＋∠BP2P1＝180°－2∠ABC＝80°，∴∠MPN＝∠BPM＋∠BPN＝∠BP1M＋∠BP2M＝∠BP1P2＋∠BP2P1＝80°.第6题解图7.C【解析】如解图，作C(－2，0)关于y轴的对称点G(2，0)，作C(2，0)关于直线y＝x＋4的对称点D，连接AD，连接DG交AB于E，交y轴于F，∴DE＝CE，CF＝GF，∴CE＋CF＋EF＝DE＋GF＋EF＝DG，此时△CEF周长最小，由y＝x＋4得A(－4，0)，B(0，4)，∴OA＝OB，△AOB是等腰直角三角形，∴∠BAC＝45°.∵C，D关于直线AB对称，∴∠DAB＝∠BAC＝45°，∴∠DAC＝90°.∵C(－2，0)，∴AC＝OA－OC＝2＝AD，∴D(－4，2)，∴直线DG解析式为y＝－eq\f(1,3)x＋eq\f(2,3)，在y＝－eq\f(1,3)x＋eq\f(2,3)中，令x＝0得y＝eq\f(2,3)，∴F(0，eq\f(2,3))，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝x＋4,y＝－\f(1,3)x＋\f(2,3)))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(5,2),y＝\f(3,2)))，∴E(－eq\f(5,2)，eq\f(3,2)).第7题解图8.12【解析】如解图，作点D关于AB的对称点M，点E关于AC的对称点N，连接MN交AB于G，交AC于F，得到四边形DEFG的周长最小，延长MD交NE的延长线于T，设DM交AB于点J，EN交AC于点K.在Rt△ABC中，根据勾股定理得出，BC＝7，∵BD＝CE＝1，∴DE＝5，∵点D，M关于AB对称，∴DJ＝JM，DJ∥AC，∴△BJD∽△BAC，∴eq\f(DJ,AC)＝eq\f(BD,BC)，∴eq\f(DJ,3)＝eq\f(1,7)，∴DJ＝eq\f(3,7)，∵∠A＝∠AJT＝∠AKE＝90°，∴四边形AJTK是矩形，∴∠T＝90°，ET∥BJ，∴△BDJ∽△EDT，∴eq\f(DB,DE)＝eq\f(DJ,DT)，∴eq\f(1,5)＝eq\f(\f(3,7),DT)，∴DT＝eq\f(15,7)，∴MT＝DT＋2DJ＝3，同理EK＝eq\f(2\r(10),7)，在Rt△DTE中，根据勾股定理得，ET＝eq\f(10\r(10),7)，∴TN＝ET＋2EK＝2eq\r(10)，∴MN＝eq\r(TM2＋NT2)＝7，∴四边形DEFG的周长的最小值为DE＋EF＋FG＋DG＝DE＋FN＋FG＋GM＝DE＋MN＝5＋7＝12.第8题解图9.eq\f(25＋5\r(5),2)【解析】如解图，过点E作EM⊥BC于点M，过点A作AN∥EF使得AN＝EF，连接NE，∴四边形ANEF是平行四边形，∴AF＝NE，∴AF＋CE＝NE＋CE.∴当N，E，C三点共线时，NE＋CE最小，最小值为CN的长．∵EF⊥AC，E，F分别在边AD，直线BC上，∴EF始终保持不变，∴AF＋FE＋EC的最小值为CN＋FE.∵四边形ABCD是矩形，AB＝5，AD＝10，∴CD＝AB＝5，∠D＝90°，∴AC＝eq\r(AD2＋CD2)＝5eq\r(5).∵EM⊥BC，∴∠EMF＝∠AEM＝90°，EM＝CD＝5.又∵EF⊥AC，∴∠AOE＝90°，∴∠AEO＋∠FEM＝∠AEO＋∠OAE，∴∠FEM＝∠OAE，∴tan∠FEM＝tan∠DAC，∴eq\f(FM,EM)＝eq\f(CD,AD)，即eq\f(FM,5)＝eq\f(5,10)，解得FM＝eq\f(5,2).在Rt△EFM中，由勾股定理得EF＝eq\r(FM2＋EM2)＝eq\f(5\r(5),2)，∴AN＝eq\f(5\r(5),2).又∵EF⊥AC，AN∥EF，∴NA⊥AC，∴∠CAN＝90°，∴在Rt△ACN中，由勾股定理得CN＝eq\r(AC2＋AN2)＝eq\f(25,2)，∴AF＋FE＋EC的最小值为CN＋EF＝eq\f(25＋5\r(5),2).第9题解图10.C【解析】如解图，过点B作BG⊥PQ于点G，过点D作DL⊥PQ于点L，过点A作PQ的垂线AR，交PQ的平行线DR于点R，AR，MN交于点K，延长DF至T，使DT＝BC＝12，连接AT交MN于点B′，作B′C′∥BC，交PQ于点C′，则当BC在B′C′时，AB＋CD最小，最小值为AT的长，可得AK＝AE·sin60°＝eq\f(\r(3),2)AE＝2eq\r(3)，DL＝eq\f(\r(3),2)DF＝4eq\r(3)，BG＝eq\f(\r(3),2)BC＝6eq\r(3)，∴AR＝2eq\r(3)＋6eq\r(3)＋4eq\r(3)＝12eq\r(3)，∵AD＝24eq\r(3)，∴sin∠ADR＝eq\f(AR,AD)＝eq\f(1,2)，∴∠ADR＝30°，∵∠PFD＝∠BCQ＝60°，∴∠