高中数学-基本不等式教学设计学情分析教材分析课后反思

高三第一轮复习《基本不等式》教学设计

一、考情分析

全国考试大纲对基本不等式的要求是

1、了解基本不等式的证明过程；

2、会用基本不等式求简单的最值问题；

由于考纲对证明要求较低，主要是把基本不等式作为工具，用于求最值，所以本节课主要是

复习用基本不等式求最值问题、

二、学情分析

本班是由高三基础较好的学生组成的，学生撑握了一定的基本知识，、基本技能，也具备了

基本数学思想，但学生对基本知识撑握不全面，书定不规范，易漏掉一些细节（如等号成立

的条件），因此本节课在全面梳理知识，规范书写的同时也意在提高学生的综合解题能力，

培养消元、化归等的数学思想。因此所选题目兼具基础性;又有较强的综合性，难度较大。

三、教学方法

数学教学不是简单的数学知识的传递而是数学思维活动的教学指在训练学生的思维技能,

提高学生的数学素养。因此本节课我以知识为载体、以学生为主体尽量留时间给学生思考、

训练、总结，其中渗透类比、化归等数学思想方法，应用PPT课件+学案+学生投影展示成果

的教学模式，让学生体味学习的快乐和成功的喜悦。

四、学生学法

本节课的教学过程中，本人引导学生积极训练、模仿练习、认真纠错总结，主要的时间都让

给学生，使学生由被动学习转化为主动的学习。

五、教学目标：

1、掌握基本不等式及会应用基本不等式求最值;

2、理解基本不等式应用的条件；

3、体会应用基本不等式求最值问题的解题策略的构建过程。

六、教学重点：利用基本不等式求最值

七、教学难点：

1、掌握基本不等式求最值成立的条件；

2、"拆、拼、凑”等变形能力的提高；

3、在利用基本不等式失效(等号取不到)的情况下学会采用函数的单调性求解最值。

八、教学过程

知识梳理

,—a+b

i.基本不等式：一厂

(1)基本不等式成立的条件：,b20.

⑵等号成立的条件：当且仅当—时取等号.

⑶其中—称为正数a,b的算术平均数称为正数a,b的几何平均数.

2.几个重要的不等式

(1)«2+序》(“，R),当且仅当a=b时取等号.

(2)产的W亍-^―(«>0,比>0),当且仅当a=b时取等号.

a+b

(3弓+注2(。，"同号)，当且仅当a=h时取等号.

(4)x+K22y[p(x,p>0),当且仅当x=y[p时取等号.

X

3.利用基本不等式求最值

已知40,y20,则

⑴如果积X)：是定值p,那么当且仅当___时，x+y有最—值是2g(简记：积定

和最小）.

52

⑵如果和x+y是定值s,那么当且仅当一时，xy有最—值是余简记：和定积

最大）.

注：用基本不等式求最值的条件J.

基础自测

4

1.（新教材必修第一册P48Tl改编）已知x>2,则x+——的最小值是（）

x-2

A.2B.4C.2^2D.6

2.（新教材必修第一册P45例1改编）若x<0,则x+；（）

A.有最小值，且最小值为2

B.有最大值，且最大值为2

C.有最小值，且最小值为-2

D.有最大值，且最大值为-2

3.（多选题）下列结论中错误的是（）

a+b.-

A.两个不等式/+h2^2ah与〒》标成立的条件是相同的

B.函数y=x+q的最小值是2

4

C.函数於）=sinX+/n的最小值为4

D.x>0且y>0是*+，2的充要条件

yx

4.（多填题）（旧教材必修5P100A2改编）一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙

的矩形菜园，墙长18m,则这个矩形的长为m,宽为m时菜园

面积最大.

I考点聚焦突破I分类讲练，以例求法

考点一配凑法求最值

3

【例1-1】设04<2,则函数y=4x(3-2%)的最大值为.

Q

【例1-2】若。>0,则。的最小值为.

2a+1

【例1-3】函数了=二^(%>0)的最小值为.

X

变式1.函数y=告(x>0)的最大值为.

x-+4

变式2.函数y=士(x>0)的最小值为.

规律方法

考点二常数代换法求最值

【例2】已知。>0,b>0,且2a+8=l,贝让+：的最小值为.

ab

i2

变式1.已知a>T,b>0,2a+h=l,则——：的最小值为.

a+1b

变式2.若正数。,。满足2a+0=3aZ?,则a+»的最小值为.

规律方法

考点三消元法求最值

【例3-1]若正数.V,)，满足X2+6孙-1=0,则x+2y的最小值是()

zv.3D.33•3

【例3-2](多填题)已知a,beR，且a>b>0,a+/?=1,则4+2肥的最小值为

二4匚+1表的最小值为.

a-b

规律方法

小结:

1.配凑法、常数代换法及消元法实质是通过变形、代换、消元等手段，使得变量

或式子的积、和、平方和为常数，从而构造基本不等式模型进行求解证明.

2.注意运算、建模、逻辑思维、创新等能力的提高.

九、预期效果

本节课预期让学生能正确理解基本不等式的应用条件，书写规范（一正二定三相等），会合

理变形求简单的最值问题，并能进一和步体会消元、化归等数学方法与思想。

学情分析

在认知上，学生已经掌握了不等式的基本性质，并能够根据不等

式的性质进行数、式的大小比较，也具备了一定的平面几何的基本知

识.如何让学生再认识"基本"二字，是本节学习的前提.事实上,

该不等式反映了实数的两种基本运算（即加法和乘法）所引出的大小

变化，这一本质不仅反映在其代数结构上，而且也有几何意义，由此

而生发出的问题在训练学生的代数推理能力和几何直观能力上都发

挥了良好的作用.因此，必须从基本不等式的代数结构和几何意义两

方面入手，才能让学生深刻理解它的本质.另外，在用基本不等式解

决最值时，学生往往容易忽视基本不等式使用的前提条件和等号成立

的条件，因此，在教学过程中，应借助辨误的方式让学生充分领会基

本不等式成立的三个限制条件（一正二定三相等）在解决最值问题中

的作用.

我们的学生属于普通高中，学生的学习能力和基础不太好，接受

新知识较慢。所以讲解的过程需要放慢速度。

效果分析

练习第一题：本题主要考察基本不等式的三要点：一正，二定,

三相等。学生错误率较高，主要忽视“三相等"，还有部分学生的三

角知识掌握不牢或已遗忘导致错误。

基础自测：(1)难度较低，学生正确率很高，基本做对。

(2)对于能正确对数运算的同学，基本能做对。做

错或不会做的同学，主要是因为忘记对数运算。

(3)(4)正确率很高

《基本不等式》是必修5的重点内容，在课本封面上就体现出来

了(展示课本和参考书封面％它是在学完"不等式的性质"、"不等

式的解法”的基础上对不等式的进一步研究.在不等式的证明和求最

值过程中有着广泛的应用。求最值又是高考的热点。同时本节知识又

渗透了数形结合、化归等重要数学思想，有利于培养学生良好的思维

品质。

本节课的主要教学内容是对基本不等式的证明及应用基本不等

式解决简单的最值问题。通过aW>2ab中a,b的替换得到基本不等

式，并进行详细的证明分析，让学生经历基本不等式的产生过程；通

过对简单最值问题的处理，让学生熟悉公式的应用条件，整个过程,

学生经历知识从产生、理解到应用的过程，学生会感到自然，好接受。

根据新课标的要求，本节的重点是应用数形结合的思想理解基本

不等式,并从不同角度探索基本不等式的证明过程，难点是用基本不

等式求最值。

《基本不等式》教材分析

人教版高中数学必修5第三章第4节《基本不等式:而W等》，

本节课重点探究了基本不等式的证明，并且将之应用于具体实际问题,

是理论数学与应用数学结合的良好典范。下面我们来分析一下本节教

材。

一、内容结构

(1)通过课题揭示重点。从课题可以很清楚的知道我们将要学

习的内容以及重点，所有内容都是围绕这个基本不等式展开。

(2)实践出真知。以一个实际问题来探究其中所蕴涵的相等或

不等关系，充分体现了新课标所要求的培养学生创新精神及数学应用

的意识。通过探究，学生很容易得到结论：一般地，对于任意实数。，

b,我们有/+b222M,当且仅当。时，等号成立。

(3)代换与证明。通过代换思想，得到基本不等式而《等，

接着用分析法及数形结合法来证明基本不等式，体现了一题多解及证

明不等式的基本方法。这部分内容简单，学生基本可独立完成，对于

培养学生的自学能力有积极作用。

(4)课本提示概念。在正文旁边有一个框图，说明了算术平均

数与几何平均数的概念，由此可以总结出一条定理：一列正数的算术

平均数不小于它的几何平均数。这部分虽非重点，但对于拓展对基本

不等式的认识是非常重要的，在教学中有必要提示一下。

(5)实例揭示应用价值。通过两个实例，体现了基本不等式在

求最值时的价值，更进一步体现了"当且仅当。=匕时，等号成立"这

一条件的重要性。学生可以从中体会到"积定和最小"及”和定积最

大"这两条基本的解题思路。这两个例题使数学与生活不再那么遥远。

对于培养学生的数学应用意识功不可没。

(6)习题进一步巩固所学。共有四道习题，第一道强调了"当

且仅当“=4寸，等号成立"这一重要条件，是基本不等式的直接应用，

难度较小；后面三道是基本不等式在实际生活中的应用，强调了数学

与生活有着密切联系这一基本数学观。

二、地位与作用

《课标》对于这一节的要求：一是探索并了解基本不等式的证明

过程；二是会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题。该教材内

容很好的落实了这两点要求。

在前面的学习中，同学们已经基本掌握了一些常见不等式及不等

式证明方法，本节内容一定程度上是前面学习的运用，也是后面系统

学习不等式证明的基础。基本不等式在证明不等式的过程中是一个很

重要的桥梁，放缩法证明不等式会经常用到基本不等式。另一方面,

基本不等式作为求极值的的一种方法，经常运用于实际问题，而且是

高考常考的知识点，通过基本不等式，常常可以将一些较为复杂的求

极值的问题化为简单问题，在化归方法中起着重要的惩承接作用。

通过对这一节内容的学习，学生可以较为真切的体会到数形结合

法的神奇之处,也加强了数学联系生活这一重要的数学观。在学习过

程中，要用心体会数学思想方法，为以后抽象数学思想方法做好铺垫

作用。

三、教学目标

(1)知识与技能目标：掌握基本不等式及证明方法，会用基本

不等式求最值。

(2)过程与方法目标：体会基本不等式应用的条件(一正二定

三相等)；体会基本不等式求最值问题解题策略的建构过程；体会数

形结合法的实际应用。

(3)情感态度与价值观目标：通过对基本不等式证明过程的探

索，强化学生的探索精神，加强学习数学的兴趣，并且让学生能够体

会到一定的成就感，形成数学联系生活这一积极正确的数学观。

四、教学重、难点

(1)教学重点：基本不等式的证明方法以及基本不等式应用的

条件。

(2)教学难点：基本不等式求最值问题解题策略的建构；数形

结合思想方法的实际运用。

五、教学方式

本节课程难度不大，但地位却很重要，鉴于这种情况，运用探究

式教学方法较为合理。通过教师适当的引导，让学生逐步体会到数形

结合法的神奇，并能正确的证明基本不等式，解决实际问题，总结出

"一正二定三相等"这一基本条件。最后教师总结运用基本不等式解

决问题策略的建构。

学生在教师正确的指导下，能够对课程内容进行总结和梳理，将

知识形成一个网络体系，并且能够运用基本不等式解决一些简单的实

际问题。

六、教学建议

(1)突出数形结合的思想方法

数学结合思想方法在高中数学学习中是一个非常重要的内容，

教师应该经常提醒同学们意识到正在使用或即将使用的数学思想方

法，在另一个高度去看待数学问题和解题过程。

(2)注重学生探索发现的过程

运用探究式教学，要信任学生有自己发现结论的能力，教师不

能急于揭示结果，要给学生足够的发现时间和讨论时间，让学生体会

到发现知识的成就感，进一步激发学生的学习兴趣。在探索发现过程

中学生出现的问题，教师应给予高度重视，要有针对性的提出犯错的

原因及解决办法。

(3)前后联系，变式练习

在教学过程中，要联系前后知识，运用建构主义认识论指导教

学。要多多的进行变式练习，让学生体会到万变不离其宗的那个"宗"，

最后能够总结出运用不等式解决问题的基本方法。

评测练习：

4

1.（新教材必修第一册P48T1改编）已知尤>2,则x+---的最小值是（）

x-2

A.2B.4C.2啦D.6

2.（新教材必修第一册P45例1改编）若x<0,则x+%）

A.有最小值，且最小值为2

B.有最大值，且最大值为2

C.有最小值，且最小值为-2

D.有最大值，且最大值为-2

3.（多选题）下列结论中错误的是（）

a+b.-

A.两个不等式/+口沁此与丁2版成立的条件是相同的

B.函数y=x+《的最小值是2

4

C.函数八x）=sinx+而^的最小值为4

D.x>0且），>0是*+的充要条件

4.修填题）（旧教材必修5P100A2改编）一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙

的矩形菜园，墙长18m,则这个矩形的长为m,宽为m时菜园

面积最大.

5.（2020•卷）（11题多选题）已知a>0,b>0^.a+b=l,则（）

\.a2+b2>-B.2a-b>-

22

C.log2«+log2b>-2D.y[a+4b<V2

6.（2020•卷）（20题节选）cos6=、.Ji+2”吗.,m>0,求cos。的最大值为

3Vw+1

7.（2020.卷）（21题节选）x0>0,求/（/）=l+与+1!1。+1的最小值为.

X。

11Q

8.（2020・天津卷）已知〃>0,〃>0且a/?=1,则--1---1----的最小值为______-

2a2ba+b

9.（2020・江苏卷）已知5%2y2+y4=1（x,ywR）,贝ljF+y?的最小值为.

（x+1）（2y+1）

10.（2019•天津卷）设x>0,y>0,%+2y=4,则-------------的最小值为

孙

11.（2018•天津卷）已知a*eR，且a-3匕+6=0，则2。+$的最小值为.

12.（2018•江苏卷）在AABC中角A,8，。所对的边分别为a,b,c,ZABC=120°,

ZA3C的平分线交AC于点。，且30=1,则4a+c的最小值为.

课后反思

高三复习课，特别是学生程度不高，基础比较弱，上完这堂课后反思如下：

1、关爱学生，激起学习激情。我知道热爱学生，走近学生，哪怕是一句简单的

鼓励的话，都能激起学生学习数学的兴趣，进而激活学习数学的思维。

2、强化基础知识的记忆，掌握基本不等式，并熟悉用法及限制条件。

3、提高课堂45分钟效率。课前认真备课，把可能遇见的情况逐一解决，并时常

练一些题同时归纳近几年高考的主要题型和所有的知识点。在课堂上我尽量把一

些解题的主要思想方法和基本技巧，比如配凑法求最值、常数代换法求最值、消

元法求最值、数形结合思想、函数方程的思想、化归与转化思想，选择题中的直

接法，排除法，特殊值法，极