初中数学同角三角函数关系强化练习

初中数学同角三角函数关系强化练习

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一、单选题

1.如图，P为NXOY上一点，作PH_LOy于H,对于si/NXOy+cosZNXOy的大

A.与点P的位置有关B.与P4的长度有关C.与NXOV的大小有关D.与点尸的

位置和ZXOY的大小都无关

2.如图，在正方形A8C。中，E,F分别是BC,CD的中点，AE交BF于点H,

CG〃AE交BF于点G,下列结论，（DsinZHBE=cosAHEB；②CGBF=BCCF；

③BH=FG：④纥=处其中正确的是（）

CF2GF

A.①②③B.②③④C.①③④D.①②④

3.如果a是锐角，则下列成立的是（）

A.sina+cosa=lB.sina+cosa>lC.sina+cosa<lD.sina+cosa<l

7

4.在R3ABC中，/C=90。，若sinA=(,则cosA=()

巫

A.cD.

亍-T2

5.如图，在△ABC中，ZC=90°,ZA=30°.以点3为圆心画弧,分别交3C、AB于点

M、N,再分别以点M、N为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点尸，画射线3P

交AC于点D若点。到"的距离为1,则AC的长是（）

A.2B.3c.GD.V3+1

6.如图，在放△ABC中，NACB=90。，AC=3,。是边AB上一点，连结C£）,将

△AC£）沿CO翻折得到△&?£）,连结BE.若四边形8CDE是平行四边形，则8c的长

为（）

A.73B.3C.26D.3近

7.若a是锐角,tana*tan50°=l,则a的值为()

A.20°B.30°C.40°D.50°

8.4ABC中，ZC=90°,CDLAB于D,下列比值中不等于tanA的是()

CD厂BD、AC

A吐B.-----C.-----D.

,ACADCD~AB

二、填空题

4

9.如图，在矩形ABC。中，BC=6,cosNCAB=-,P为对角线AC上一动点，过

线段BP上的点“作EFJLBP,交AB边于点E,交BC边于点、凡点N为线段EF的

中点，若四边形BEP尸的面积为18,则线段8N的最大值为

10.如图，在RtAABC中，ZA=90°,AD1BC,垂足为D.给出下列四个结论:

①sina=sinB；②sinp=sinC；③sinB=cosC；④sina=cos。,其中正确的结论有.

――..tan~6—f1+5/2\tan34-y/o..sin0

"•已知一马——=0＞r则l即而两的值为一.

12.如图，射线。河、ON互相垂直，。4=8,点8位于射线。用的上方，且在线段

04的垂直平分线/上，连接AB,AB=5.将线段AB绕点。按逆时针方向旋转得到对

应线段A'B',若点B'恰好落在射线ON上，则点A到射线ON的距离d*.

4

13.如图，在RhABC中，NACB=90O,COSA=M，C£>为AB边上的中线，8=5,以

点B为圆心，，为半径作。B.如果08与中线C。有且只有一个公共点，那么0B的半

15.如果a是锐角，且sin2a十COS235°=1,那么a=度.

16.已知:sinl5cost5"=—sin30,sin20-cos20'=—sin40,

22

sin30.cos30=lsin60,请你根据上式写出你发现的规律.

三、解答题

17.如图，在△ABC中，ZC=90°,a,b,c分别NA,ZB,NC的对边.

B

a

A

h

(1)求sin?A+sin28的值;

(2)填空：当a为锐角时，sin2«+sin2(90°-«)=

(3)利用上述规律,求下列式子的值：sin21°+sin22°+sin23°+•••+sin289°.

18.(1)已知3tana-2cos30。=0,求锐角a；

(2)已知2sina-3tan3O0=O,求锐角a.

19.在RrA4cB中，ZACB=90,AC=23C=4,点2为A8中点，点。为AC边上不

与端点重合的一动点，将43。沿尸。折叠得A£P£>,点A的对应点为点E,若

DE1AB,则的长为.

20.如图，AC是。。的直径，BC,是。。的弦，M为BC的中点，OM与BO交于

点F,过点。作。Ed.BC,交BC的延长线于点E,且CO平分NACE.

(1)求证：DE是。。的切线；

2

(2)若DE=12,tanZCDE=-,求8M的长.

21.求值：

(1)cav60+sin245-ran34-tan56;

2sinA-cosA

(2)已知=求的值.

4sinA+5cosA

22.如图，在RJABC中，/ABC=90。，直角顶点8位于x轴的负半轴，点A(0,-

2),斜边AC交x轴于点。，且。(1,0),BC与y轴交于点E,y轴平分NBAC,反

比例函数y="(x>0)的图象经过点C.

X

(1)直接写出点8的坐标；

(2)求)，=七(x>0)的函数表达式.

X

参考答案：

1.D

【解析】

【分析】

根据同角三角函数的关系可得答案.

【详解】

Pfj-OH~

Vsin2zxor+cos2ZXC)y=—+—-=1,

PO-7PO-

sin2ZXOr+cos2ZXC>y的大小与角的大小无关，与P点的位置都无关.

故选D.

【点睛】

本题主要了考查同角的三角函数关系：siMa+cos2a=1.

2.D

【解析】

【分析】

①根据正方形的性质求证是直角三角形即可得到结果：

②由①求证aa声〜/XBCF,利用其对应边成比例即可得到结论；

③由①求证△8%=即可得出结论；

④利用相似三角形对应边成比例即可得出结论；

【详解】

•在正方形ABCD中，E、F分别是边BC,CD的中点，

/\ABE=/^BCF,

：.NBEA=NCFB,

：CG〃AE,

AGCB=ZABE,

/./CFG=Z.GCB,

，ZCFG+ZGCF=90°,即^CGF为直角三角形，

•；CG〃AE,

•••△BHE也是直角三角形，

sinZHBE=cosZWEB.

故①正确；

答案第1页，共19页

由①得~4BCF、

.CGCF

••­=",

BCBF

/.CG.BF=BC£F,

故②正确；

由①得△笈%m4CGF、

ABH=CG,而不是BH=FG,

故③错误；

:4BCG〜4BFC,

.BCBG

••二~，

BFBC

即BC2=BG.BF，

同理可得：4BCF〜4CGF,

可得=BF6F，

.BF2BG

••--Z-=----,

CF1GF

...④正确；

综上所述，正确的有①②④.

故答案选D.

【点睛】

本题主要考查了锐角三角函数的定义判断，准确结合相似三角形性质和全等三角形性质是

解题的关键.

3.B

【解析】

【分析】

根据正弦函数是对边比斜边，余弦函数是邻边比斜边，三角形的两边之和大于第三边，可

得答案.

【详解】

解：Ta、b是直角边，c是斜边,

..aba+b

..sinct+cosa=—+—=------

Va+b>c,

答案第2页，共19页

c

sina+cosa>l.

故选B.

【点睛】

本题考查了同角三角函数关系，利用正弦函数是对边比斜边，余弦函数是邻边比斜边是解

题关键.

4.C

【解析】

【分析】

根据sin2A+cos24=l,进行计算即可解答.

【详解】

解：由题意得：sin2A+cos2A=l,

.45

..cos-A=1—=—,

99

•••cosA.——，

3

故选C.

【点睛】

本题考查了同角三角函数值的关系.解题的关键在于熟练掌握sin2A+cos24=l.

5.B

【解析】

【分析】

过点D作DELAB于E,则DE=1,先计算出NABD=30。，在Rrz!M)BE中，由直角三角形

的性质求出BE,利用等腰三角形的性质求出AB,最后在R/AABC中求出AC的长.

【详解】

解：如图，

过点D作DE1AB于E,则DE=1,

答案第3页，共19页

•・•ZC=90°,ZA=30°,

.\ZABC=60°

由尺规作图，知PB是NA8C的平分线，

ZABD=-ZABC=30°

2f

:.ZA=ZABD,

AD=DB,

:.AB=2EB,

EB=-^^=、=也

在RfZXDBE中，tan30°3

T

AB=26，

在R/AABC中，AC=A8.cos3()o=2百X—=3,

2

故选：B

【点睛】

本题考查了尺规作图，直角三角形的性质，锐角三角函数及等腰三角形的性质.灵活的应

用锐角三角函数的定义求直角三角形的边和角是解本题的关键.

6.A

【解析】

【分析】

设B2EC相交于点尸，由翻折及题目信息可以推出NAFC=90。，继而求出NA,运用三角

函数值解决问题.

【详解】

如图：设82EC相交于点尸

答案第4页，共19页

A

由翻折可知：ZA=ZDEC,CE=CA

•・•ZACB=90°

ZA+ZABC=90°

・・•四边形BCDE是平行四边形

CF=EF,DE/!BC

/EDB=ZABC

/.ZDEC+ZEDB=NA+ZABC=90°

ZAFC=90°

在Rf~4C/中

•/AC=CE,CF=-CE

2

CF1

・..——=sinZA=-=sin30°

AC2

・,.ZA=30°

•/—=tanNA=tan30°=—

AC3

vAC=3

BC=G

故选A.

【点睛】

本题考查了图形的翻折，平行四边形的性质，特殊角的锐角三角函数值，求出4的度数

是解题的关键.

7.C

答案第5页，共19页

【解析】

【分析】

互为余角的两个角的正切值互为倒数.

【详解】

解：Vtana«tan50°=l

.,.a+50°=90°

/.a=40°.

故选C.

【点睛】

掌握互为余角的两个角的正切值的关系：互为余角的两个角的正切值互为倒数.

8.D

【解析】

【分析】

根据题意，画出图形，根据正切的定义和同角的正切值相同即可得出结论.

【详解】

解：如下图所示

在RIAMC中，tanA嘿，故A不符合题意;

CD

在RtAACD中，ta"=而，故B不符合题意;

VZA+ZACD=90°,ZBCD+ZACD=90°

NA=/BCD

tanA=tanZBCD=^^,故C不符合题意;

AC

3“用故D符合题意.

故选D.

【点睛】

此题考查的是正切，掌握正切的定义和同角的正切值相同是解决此题的关键.

答案第6页，共19页

4

【解析】

【分析】

4

在AABC中，BC=6,COSNC4B=M求出AC与AB的长，点P在AC上则6WBPW8,由

点N为线段EF的中点，ZABC=90°,则EF=2BN,根据四边形BEPF的面积为18,

上广，8P利用对角线乘积的一半求面积得，PB.BN=18,BN与PB成反比例，PB最小

时，BN最大，当PB_LAC时，PB最小，求出最小值即可.

【详解】

4

在ZkABC中，BC=6,cosZC4B=-,

Vsin2ZCAB+cos2ZC4B=1,

工sinZCAB=\I\-cos2ZCAB=11

由正弦函数定义sinNCA8=后,

AL

BC60

-------------=—=1()

AAC=sinZCAB3

5

由勾股定理得AB=VAC2-fiC2=A/102-62=8，

点P在AC上则6<BP<8,

:点N为线段Er的中点，由/ABC=90。,

/.EF=2BN,

•.•四边形尸的面积为18,EFVBP,

/.S四边形EBFP=gPB・EF=；PBx2BN=PB・BN=18,

：.PB.BN=18,

，BN嗡

当PB最小时，BN最大,

当PBJ_AC时，PB最小，即SAABC=-AB.BC=-AC.BP

22

AB.BC8x624

BP圾小:

AC105

答案第7页，共19页

BN最大=更"1

T

故答案沏*

【点睛】

本题考查锐角三角函数解直角三角形与点到直线距离最短问题，掌握锐角三角函数及其之

间的关系，会用锐角三角函数解直角三角形，掌握垂线段最短，会利用面积或勾股定理求

BP的最小值，解题时要理解BP最小，BN最大是解题关键.

10.①@③④

【解析】

【分析】

根据NA=90。，AD±BC,可得/a=/B,Zp=ZC,再利用锐角三角函数的定义可列式进

行逐项判断.

【详解】

VZA=90°,AD±BC,

AZa+Zp=90°,ZB+Zp=90°,ZB+ZC=90°,

/.Za=ZB,Zp=ZC,

sina=sinB,故①正确；

sinp=sinC,故②正确；

二•在RtAABC中sinB=-^-,cosC=-^-，

BCBC

AsinB=cosC,故③正确；

Vsina=sinB,cosZp=cosC,

/.sina=cosZp,故④正确；

故答案为①②③④.

答案第8页，共19页

【点睛】

本题主要考查锐角的三角函数，解题的关键是熟练掌握互余两角的三角函数间的关系.

11.1

【解析】

【分析】

由分式为。的条件，推导出S"2e-(l+")tane+应=0且tanO-lHO,求得tan®=血.对

肃龄花进行化简，得用。+&二将tan*也代入其中,得

tan6/

初七可进而求出孟黑/L

【详解】

解...taRO-(1+扬lan0+夜_0

tan-1

tarrO-(1+^2)tan04-41=0FltanO-lwO.

••tarrO-tan^-\/2tan^+\/2=0-S.tan^^l.

/.tan6(tan0-V)-V2(tan8-1)=0且tanOwl.

/.(tan0-l)(tan0->/2)=0且tan。H1.

，tan，=夜.

,/sin?。+cos29=1，

sin。

sii?0+\[2coss0

__________1_________

sirrO+\/2cos2—二

tan。

__________1________

siirO+y/lcos20'-\=

1

sirrO+cos2G

-T

=1.

故答案为：L

【点睛】

答案第9页，共19页

本题主要考查分式为0的条件、三角函数的定义以及以及三角函数的关系，熟练掌握分式

为0的条件、三角函数的定义以及以及三角函数的关系是解决本题的关键.

12.—

5

【解析】

【分析】

添加辅助线，连接。4'、OB,过4点作APLON交ON与点P.根据旋转的性质，得到

^A'B'O^ABO,在R/AA'PO和中，NB，OA=NBOA,根据三角函数和已知线段的长度求

出点A'到射线ON的距离d=A!P.

【详解】

如图所示，连接04、OB,过H点作4PL0N交ON与点P.

V线段AB绕点。按逆时针方向旋转得到对应线段A'B'

，。4'=。4=8,ZB'OB=ZA'OA

：.ZB'OB-ZBOA'=ZA'OA-ZBOA'

•••点B在线段0A的垂直平分线I上

/.OC=-OA=-x8=4,OB=AB=5

22

BC=^OB2-OC2=452-42=3

,/ZB'OA'=ZBOA

A'pRC

：.sin/B'OA'=——=sinZBOA=——

A,OOB

.A'P3

••一

85

答案第10页，共19页

【点睛】

本题主要考查旋转的性质和三角函数.对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心

所连的线段的夹角等于旋转角，旋转前、后的图形全等.

2424

13.5＜厂46或「=彳##厂=手或5＜r＜6

【解析】

【分析】

根据直线与圆的位置关系，判断出符合题意的。8的半径「的取值范围的临界值并求解即

可；

【详解】

解：在RhABC中，ZACB=90°,CD为AB边上的中线，8=5,

AAB=W,CD=BD=5,

...AC4

.cosA=--=—,

AB5

AC=8,

BC=y/AB2-AC2=V102-82=6，

24

CO边的高=6x8+2+2x2+5=g,

•；与中线CD有且只有一个公共点，

•••。8的半径厂的取值范围为5＜厂46或「=弓24.

24

故答案为：5＜厂46或r=了.

【点睛】

本题考查了直线与圆的位置关系、三角形的面积、直角三角形斜边上的中线、解直角三角

形等知识；熟练掌握直线与圆的位置关系，由三角函数求出BC是解决问题的关键.

14.1-5/3

【解析】

【分析】

先根据一般角三角函数的性质化简，然后再计算即可.

【详解】

答案第11页，共19页

解：sin225°+cos225—tanGO

—1—y/3

故答案为：1-6.

【点睛】

本题考查了一般角的三角函数值的运算和实数的运算，掌握一般角三角函数的性质的解答

本题的关键.

15.35°

【解析】

【分析】

根据锐角三角函数正、余弦的关系si^A+cos2A=1即可解题.

【详解】

根据sin2a十cos2a=1,因为sin2a十8$235。=1,所以a=35。.

【点睛】

本题考查锐角三角函数正、余弦的关系.

16.sinacosa=—sin2a

2

【解析】

【分析】

从角度的倍数关系方面考虑并总结写出结论.

【详解】

根据题意发现：同一个角正弦与余弦的积等于这个角的2倍的正弦的一半，

规律为：sina-cosa=—sin2a.

故答案为sina-cosa=gsin2a.

【点睛】

本题考点：同角三角函数的关系.

17.(1)1

(2)1

(3)44.5

【解析】

答案第12页，共19页

【分析】

(1)由三角函数的定义及勾股定理即可证明；

(2)由(1)得出的结论解答即可；

(3)由(1)得出的结论进行化简并求值即可；

(1)

证明：,在心AABC中，ZC=90°,

•*.«2+fe2=c2.

又sinA=q,sinB=2,

cc

：.sin2A+sin2B=^+(幺)="二〃=八

(2)

当a为锐角时，sin2a+sin2(90°-a)=l,

故答案为1：

(3)

sin2l°+sin22°+sin23°+---+sin289°

=(sin2l0++sin289°)+(sin220+sin288°)+---+(sin244°+sin246°)+sin2450

=l+l+l+...+l+g(44个1相加)

=44.5

【点睛】

本题考查了锐角三角函数的定义及同角三角函数的关系，熟记定义是解题的关键.

18.(1)a=30°；(2)a=60°.

【解析】

【分析】

(1)先求出tana的值，然后求出角的度数；

(2)先求出sina的值，然后求出角的度数.

【详解】

解：(1)解得：tana=且，

3

则a=30°；

答案第13页，共19页

(2)解得：sina=—,

2

则a=60°.

【点睛】

本题考查了特殊角的三角函数值，解题的关键是掌握儿个特殊角的三角函数值.

J95-亚或蓬+5

2-2,

【解析】

【分析】

分两种情况讨论，延长EZ)交A8于尸，由勾股定理可求A8的长，由折叠的性质可得

AP=PE=小,ZA=ZE,由锐角三角函数可求整=黑，可求PF的长，可得"■的长,

ABPE

再由锐角三角函数可求解.

【详解】

解：如图，延长皮)交AB于F,

vZACB=90°,AC=2BC=4,

：.BC=2,AB=yjAC2+BC2=J16+4=2yli,

•••点产为AB中点，

AP=后,

♦.,将AAPZ）沿尸。折叠得AEPD,DELAB

\AP=PE=亚,ZA=Z£,

、」

\sinA=-B--C-=--P-F-,

ABPE

2_PF

,・丽=不

:.PF=\,

\AF=y/5-1,

答案第14页，共19页

AF_AC

\cosA=

~AD~~AB

.45-l_4

"AD2^

如图，设OE与A8交于F,

•.■将MPD沿尸£＞折叠得XEPD,

r.NA=N£,AD—DE>AP=PE=小，

\sinA=sin£=—=—

ABPE

1PF

.,宰=1T

:.PF=\,

\AF=石+1,

QtanA=tanE,

.BC_DF_PF_2

一~AC~~AF~~EF~2f

:.EF=2,DF=^^-,

2

故答案为：匕叵或或上1.

22

【点睛】

本题考查了翻折变换，锐角三角函数等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键.

20.(1)见解析

(2)5

【解析】

【分析】

答案第15页，共19页

(1)连接O。，AD,根据直径所对的圆周角为直角得出/ADC=90。，再综合角平分线的定

义以及圆的基本性质，推出NCDE=NA。。，从而推出N4OC=N。0E,即可得证；

(2)在(1)的基础之上，结合同弧所对的圆周角相等，可证/CAO=/QBE；由

7

tanZCDE=j,求出CE=8,BE=18,可得BC=10,由M为BC的中点，可得OMLBC,

BM=—；

2

(1)

解：如图，连接0。AD,

'：OD,OC为半径，

:.OD=OC

：.ZODC=ZOCD

平分/ACE,

，ZOCD=ZECD,

'：DE±BC,

：.ZDEC=90°,

二Z£»C£+ZC£>E=90°

，NODC+NCDE=90。,

即：ZODE=90°,

•••0。为半径，

.••。£是。0的切线；

⑵

解：如(1)图，连接4。可得/CZ)E=/C4O,

根据同弧所对的圆周角相等，可得/C4O=/OBE,

ZCDE=ZDBE；

答案第16页，共19页

,2

RtaCQE中，DE=12,tanZCDE=-,

.CE2

・・———，

123

，CE=8,

2

由NCDE=NDBE,RsBDE中，DE=12,tanZ£)BE=-,

.12_2

；.BE=18,

.".BC=B£-C£=10,

•••M为BC的中点，

：.OMLBC,BM=18c=5.