高中数学人教A版2019必修 第二册-习题1：高中数学人教A版2019必修 第二册 向量的实际背景与概念 公开课教学设计课件资料

向量的概念与几何表示练习

一、选择题

1.在下列说法中正确的有（）

①在物理学中，作用力与反作用力是一对共线向量

②温度有零上温度和零下温度，因此温度也是向量

③方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量是共线向量

④平面上的数轴都是向量

A.1个B.2个C.3个D.4个

2.下列结论中正确的为（）

A.两个有共同起点的单位向量，其终点必相同

B.向量存与向量瓦?的长度相等

C.对任意向量正白是一个单位向量

D.零向量没有方向

3.有关向量力和向量3,下列四个说法中：

d^\a\=0,则,=0；

a|=|Z?|»则五=b或五=—b；

（3^a//b，则同=|b|;

（4^a=0>则一五=6.

其中的正确有（）

A.1B.2C.3D.4

4.下列结论一定正确的是（）

A.a—b=a+(―/?)

B.\a+b\>\a-b\

C.若正//b>则存在实数A使得另=Aa

D.\a-b\=|a|-\b\

5.设窗B为非零向量，且满足|五—B|=|R|+|另I，则五与方的关系是（）

A.既不共线也不垂直B.垂直

C.同向D.反向

6.下列关于空间向量的命题中，正确命题的个数是（）

①长度相等、方向相同的两个向量是相等向量；

②平行且模相等的两个向量是相等向量；

鳏,不9，则国\b\;

④两个向量相等，则它们的起点与终点相同.

A.0B.1C.2D.3

7.设。是等边三角形/a'的中心，则向量而，0B.玩是（）

A.有相同起点的向量B.模相等的向量

C.平行向量D.相等向量

8.下列说法正确的是（）

A.若到历，b//c，则W/芸

B.在△ABC中，必有荏+近+石？=6

C.若荏++=则4B,C一定为一个三角形的三个顶点

D.若五,3均为非零向量，则||+加|=|丘|+|石|

9.设之,力为单位向量，且忖一.=1,则3+2b=()

A.V3B.y/7C.3D.7

10.已知向量2=(t,l),1=(2,1),若豆J.E，则|R|的值为()

A.V5B.V2C.立D.坦

22

II.已知向量出与弓的夹角为点且|砧=1,|2a+石|=V7,则|同等于

()

A.V3B.V2C.1D.⑨

2

12.已知线段上4B,C三点满足瓦=2荏，则这三点在线段上的位置关系

是()

A।-------1-------1-------11-------1-------1-------1

ABCBABC

C匚

B

二、填空题

13.已知非零向量落b满足|五|=|b|=|五—b卜则

18+司_

l^i----------------------,

14.已知向量苍不满足|不=3,\b\=1，若存在不同的实数;11，%。/？H0),

使得备=a萍+341，且C—①•G—石)=o(i=1,2)»则C-4|的

取值范围是.

15.已知1=6,另与3的方向相反，旦|加|=3，五=m石,则实数加=

16.已知两点4(3,-4)和8(-9,2),在直线四上存在一点尸，使|而|=不荏I，

那么点尸的坐标为.

17.在△4BC中，cosC=BC=1,AC=5,若〃是Z5的中点，则

CD=・

三、解答题

18.某人从/点出发向东走了5米到达8点，然后改变方向沿东北方向走了

10夜米到达。点，到达。点后又改变方向向西走了10米到达〃点.

(1)作出向量用，BC，CD;(2)求同的模.

19.如图所示的方格纸是由若干个边长为1的小正方形拼在一起组成的，方

格纸中有两个定点4B,点C为小正方形的顶点，且|芯|=再.

(1)画出所有满足条件的向量正;

(2)求|前|的最大值与最小值.

20.已知Erd，另#6，当|丘+口|(te尉取最小值时,

⑴求t的值；

(2)若苍、方共线且同向,求证:b1(a+tb).

21.如图，在三角形46。中，丽=2反，£是/〃的中点，设血=落前=及

(1)试用2弓表示而

(2)若|弓|=1,|弓|=1，且之与石的夹角为60。，求|布|。

答案和解析:

1.【答案】B

【解答】

解：既有大小，又有方向的量统称为向量，

结合向量的定义可知仅有②④错误，

结合向量的概念以及共线向量的定义可知①③正确，

2.【答案】B

【解答】解：4选项，单位向量的方向任意，所以当起点相同时，终点在以

起点为圆心的单位圆上，终点不一定相同，故4不正确；

6选项，向量荏与向量瓦5是相反向量，方向相反，长度相等，故6正确；

C选项，当时，言无意义，故，不正确；

|«|

〃选项，零向量的方向是任意的，而不是没有方向，故。不正确.

3.【答案】B

【解答】

解：端他|=0,则1=6,故①正确；

(2^\a|=|h|,则五=石或五=—方是错误的，因为向量方向可任意，故②I昔

误；

(3^a//b，则向量的长度不一定相等，故③错误；

竭a=6,则一日=丁故④正确.

故正确的有①④，共2个.

4.【答案】A

【解答】

解：A,由向量的运算法则可知，正确；

B,当乙弓反向时，|五+3|4|云—方|，错误；

C,当五是零向量，另是非零向量时，不存在实数入使得另=4日，错误；

D,当乙弓不共线时，\a-b\>|a|-\b\，错误.

5.【答案】D

【解答】解：设落石的起点为。，终点分别为儿B,

则万-b=BA-

由同一刈=|a|+|b|.

得。，A,6三点共线，且。在46之间.

所以嬴与而反向.

6.【答案】B

【解答】

解：根据向量的定义，知长度相等、方向相同的两个向量是相等向量，①正

确；

平行且模相等的两个向量可能是相等向量，也可能是相反向量，②不正确；

当乞=—b时，也有|N|=|b|，③不正确；

只要模相等、方向相同，两个向量就是相等向量，与向量的起点与终点无关，

@）不正确.

综上可知只有①正确，

7.【答案】B

【解答】

解：因为。是等边三角形的中心，

所以。是等边三角形/a'外接圆的圆心，

所以|而|=\OB\=\OC\=R（R为△ABC外接圆的半径），

所以向量而，砺，方是模相等的向量，

8.【答案】B

【解答】

解：对于人当a、b、c均为非零向量，若，〃■b//c，则日〃乙故力错

误；

对于8,△ABC中，AB+~BC+CA=AC+CA=0,故8正确;

对于C,当AB+8C+C71=0时，儿B,C不一定是一个三角形的三个顶点,

如力、B、。三点共线时，故。错误；

对于〃若五，石均为非零向量，贝!)|a+b|<|a|+|bI，故

〃错误.

9.【答案】B

【解答】

解：方是为单位向量，且|五一月|=1，

可得出2—28不+看=1，可得37=也

\a+2b\=^a2+4a-b+4b2="+2+4=犷

10.【答案】C

【解析】解：向量五=(t,l)，b=(2,1)»

若H1石,则为不=0.

即2t+1=0,解得t=-1；

所以五=(一”)，

所以|方|=J(-1)2+I2=y-

11.【答案】C

【解答】

解：因为向量不与3的夹角为:，|有1=1,\2a+b\=V7，

所以(21+K)2=7，

即4五之+4五・：+12=7,

所以4+4X1-p|x|+&2=7，即+2|b|-3=0-

解得同=-3(舍去)或闷=1，

12.【答案】A

【解答】

解：由题意可知的和南共线同向，且BC=24B.

13.【答案】V3

【解答】

解：如图，设编=五，OS=b，

则反=OA+OB=a+b>~BA=07-06=a-b.

,■1|a|=|K|=\a-b\<

••BA=OA=OB.

・•.△tMB为正三角形，设其边长为1,

则—==|日+b|=2x苧=国.

...驳=立=b.

|a-Z||1

14.【答案】[2,2企)U[2①，2V3).

【解答】

解：(c-a)-(c-K)=[3一1)方+3高卜[(3；1—1)石+71司

=9犯-1)+32(32-1)+[(A-1)(32-1)+3A2]•3cos0

=(18A2-12A)+(18A2-12A+3)cos0=0,

%H0u>cos。W0.•・4>0=cosOW-1,

ii12+12cos02ii3cos0cosO

4-i人———,人人—

1218+18COS031218+18COS06+6COS0

I久一石|2=(乙-.)20+33)2=(%-.)2(18+18COS0)

42cos。

=(q-Q.GC-)(18+18COS0)=(8-4COS0)G[4,8)U(8,12)

zfJ十oCOScz

|同一£Ie[2,2V2)u[2V2,2V3).

故答案为[2,2a)U[2V2,2V3).

15.【答案】-2

【解答】

解：谭=3=2，•••|划=2|旬，

又E与日的方向相反，

:•a=—2b，=-2.

故答案为：-2.

16.【答案】(一1,一2)或(7,-6)

【解答】

设点0的坐标为Q,y),由题知|万|=[|荏分情况计算，

①方=^AB,

。-3/+4)=家-12,6),

所以，x—3=-4,y+4=2,解得％=—1,y=-2,此时p(—1,-2).

❷珂=号|阿，

(%-3,y+4)=一家-12,6),

所以，x—3=4,y+4=-2,解得％=—1,y=-2,此时p(7,—6).

综上所述，点0为(—1,—2)或(7,—6)

17.【答案】2V2

【解答】

解：在△ABC中，〃是力6的中点，

所以而=*石5+谓)，

故|而产=l(c^+CF)2=i(CA+2CA-CB+CB2)

13

=7x(52+2x5xlx-+l2)

45

=*x32=8,

4

所以CD=2V2.

故答案为2V2.

18.【答案】解：(1)作出向量而，BC，CD,

(2)由题意得，ABCO是直角三角形，

其中NBDC=90。，BC=10鱼米，CD=10米，

所以8。=10米.

△48。是直角三角形，其中48。=90。，48=5米，8。=10米，

所以4。=V52+102=5y(米).

所以|而|=5①米.

19.【答案】解：(1)画出所有的向量正，即福(i=1,2,...,8)，如图所示.如

图所示.

(2)由(1)所画的图知，

当点。位于点G或。2时，|比|取得最小值“2+22=V5;

当点C位于点C5或。6时，IBC|取得最大值5/42+52=V41.

二|瓦的最大值为"I，最小值为

20.【答案】解：（1）令记=|N+t星，。为胃与石的夹角，则