山东省青岛市开发区八中学2022-2023学年数学九上期末监测模拟试题含解析

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题(每小题3分,共30分)1．在同一直角坐标系中，函数y=和y=kx﹣3的图象大致是（）A． B． C． D．2．如图，在中，，，垂足为点，如果，，那么的长是（）A．4 B．6 C． D．3．如图，将图形用放大镜放大，这种图形的变化属于（）A．平移 B．相似 C．旋转 D．对称4．在平面直角坐标系中，已知点A（﹣4，2），B（﹣6，﹣4），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（）A．（﹣2，1） B．（﹣8，4）C．（﹣8，4）或（8，﹣4） D．（﹣2，1）或（2，﹣1）5．在平面直角坐标系中，点（-2，6）关于原点对称的点的坐标是（）A．(2，-6) B．(-2，6) C．(-6，2) D．(-6，2)6．一元二次方程的根为（）A． B． C． D．7．一元二次方程的根的情况是（）A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根C．只有一个实数根 D．没有实数根8．如图是一斜坡的横截面，某人沿斜坡上的点出发，走了13米到达处，此时他在铅直方向升高了5米．则该斜坡的坡度为（）A． B． C． D．9．如图，正六边形内接于，正六边形的周长是12，则的半径是（）A．3 B．2 C． D．10．若将抛物线y=-x2先向左平移3个单位，再向下平移2个单位，得到新的抛物线，则新抛物线的表达式是(

)A． B．C． D．二、填空题(每小题3分,共24分)11．如果，那么_____．12．如图，在中，，点是边的中点，，则的值为___________．13．如图，分别以正五边形ABCDE的顶点A，D为圆心，以AB长为半径画，若，则阴影部分图形的周长为______结果保留．14．2sin30°+tan60°×tan30°＝_____．15．一个小组新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，则这个小组共______人.16．在平面坐标系中，正方形的位置如图所示，点的坐标为，点的坐标为，延长交轴于点，作正方形，正方形的面积为______，延长交轴于点，作正方形，……按这样的规律进行下去，正方形的面积为______.17．如图，在边长为的等边三角形ABC中，以点A为圆心的圆与边BC相切，与边AB、AC相交于点D、E，则图中阴影部分的面积为_______．18．已知x=－1是一元二次方程x2＋mx＋1=0的一个根，那么m的值是_________．三、解答题(共66分)19．（10分）如图，△ABC在坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，4），B（2，2），C（4，6）（正方形网格中，每个小正方形的边长为1）（1）画出△ABC向下平移5个单位得到的△A1B1C1，并写出点B1的坐标；（2）以点O为位似中心，在第三象限画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为1：2，直接写出点C2的坐标和△A2B2C2的面积．20．（6分）如图所示，已知二次函数y=-x2+bx+c的图像与x轴的交点为点A(3，0)和点B，与y轴交于点C(0，3)，连接AC．（1）求这个二次函数的解析式；（2）在(1)中位于第一象限内的抛物线上是否存在点D，使得△ACD的面积最大?若存在，求出点D的坐标及△ACD面积的最大值，若不存在，请说明理由.（3）在抛物线上是否存在点E，使得△ACE是以AC为直角边的直角三角形如果存在，请直接写出点E的坐标即可；如果不存在，请说明理由.21．（6分）四川是闻名天下的“熊猫之乡”，每年到大熊猫基地游玩的游客络绎不绝，大学生小张加入创业项目，项目帮助她在基地附近租店卖创意熊猫纪念品．已知某款熊猫纪念物成本为30元/件，当售价为45元/件时，每天销售250件，售价每上涨1元，销量下降10件．（1）求每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（2）若每天该熊猫纪念物的销售量不低于240件的情况下，当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大？最大利润是多少？（3）小张决定从这款纪念品每天的销售利润中捐出150元给希望工程，为了保证捐款后这款纪念品每天剩余利润不低于3600元，试确定该熊猫纪念物销售单价的范围．22．（8分）如图，某科技物展览大厅有A、B两个入口，C、D、E三个出口.小昀任选一个入口进入展览大厅，参观结束后任选一个出口离开.(1)若小昀已进入展览大厅，求他选择从出口C离开的概率.(2)求小昀选择从入口A进入，从出口E离开的概率.(请用列表或画树状图求解)23．（8分）某校八年级学生在一起射击训练中，随机抽取10名学生的成绩如下表，回答问题：环数6789人数152（1）填空：_______；（2）10名学生的射击成绩的众数是_______环，中位数是_______环；（3）若9环（含9环）以上评为优秀射手，试估计全年级500名学生中有_______名是优秀射手.24．（8分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A（﹣1，0）B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式；（2）请在y轴上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标；（3）试探究：在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．25．（10分）（1）解方程：（2）已知关于的方程无解，方程的一个根是．①求和的值；②求方程的另一个根．26．（10分）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点分别是A（﹣3，2），B（0，4），C（0，2）．（1）将△ABC以点C为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A1B1C1，平移△ABC，若点A的对应点A2的坐标为（0，﹣4），画出平移后对应的△A2B2C2；（2）若将△A1B1C1绕某一点旋转可以得到△A2B2C2，请直接写出旋转中心的坐标．

参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、B【分析】根据一次函数和反比例函数的特点，k≠0，所以分k＞0和k＜0两种情况讨论；当两函数系数k取相同符号值，两函数图象共存于同一坐标系内的即为正确答案．【详解】解：分两种情况讨论：①当k＞0时，y=kx﹣3与y轴的交点在负半轴，过一、三、四象限，反比例函数的图象在第一、三象限；②当k＜0时，y=kx﹣3与y轴的交点在负半轴，过二、三、四象限，反比例函数的图象在第二、四象限，观察只有B选项符合，故选B．【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，熟练掌握它们的性质才能灵活解题．2、C【分析】证明△ADC∽△CDB，根据相似三角形的性质求出CD、BD，根据勾股定理求出BC．【详解】∵∠ACB=90°，

∴∠ACD+∠BCD=90°，

∵CD⊥AB，

∴∠A+∠ACD=90°，

∴∠A=∠BCD，又∠ADC=∠CDB，

∴△ADC∽△CDB，

∴，，

∴，即，

解得，CD=6，

∴，

解得，BD=4，

∴BC=，

故选：C．【点睛】此题考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．3、B【分析】根据放大镜成像的特点，结合各变换的特点即可得出答案．【详解】解：根据相似图形的定义知，用放大镜将图形放大，属于图形的形状相同，大小不相同，所以属于相似变换．故选：B．【点睛】本题考查相似形的识别，联系图形根据相似图形的定义得出是解题的关键．4、D【解析】根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k，即可求得答案．【详解】∵点A（-4，2），B（-6，-4），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，∴点A的对应点A′的坐标是：（-2，1）或（2，-1）．故选D．【点睛】此题考查了位似图形与坐标的关系．此题比较简单，注意在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标比等于±k．5、A【分析】根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得答案．【详解】解：点A（-2，6）关于原点对称的点的坐标是（2，-6），

故选：A．【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，利用关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数是解题关键．6、A【解析】提公因式，用因式分解法解方程即可．【详解】一元二次方程，提公因式得：，∴或，解得：．故选：A．【点睛】本题考查了解一元二次方程－因式分解法，熟练掌握因式分解法是解题的关键．7、D【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．【详解】∵△=62-4×（-1）×（-10）=36-40=-4＜0，

∴方程没有实数根．

故选D．【点睛】此题考查一元二次方程的根的判别式，解题关键在于掌握方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．8、A【分析】如图，过点M做水平线，过点N做直线垂直于水平线垂足为点A，则△MAN为直角三角形，先根据勾股定理，求出水平距离，然后根据坡度定义解答即可．【详解】解：如图，过点M做水平线，过点N做垂直于水平线交于点A．在Rt△MNA中，，∴坡度5:12=1:2.1．故选：A【点睛】本题考查的知识点为：坡度=垂直距离：水平距离，通常写成1：n的形式，属于基础题．9、B【分析】根据题意画出图形，求出正六边形的边长，再求出∠AOB=60°即可求出的半径．【详解】解：如图，连结OA,OB,∵ABCDEF为正六边形，

∴∠AOB=360°×=60°，

∴△AOB是等边三角形，∵正六边形的周长是12，∴AB=12×=2,∴AO=BO=AB=2，故选B．【点睛】本题考查了正多边形和圆，以及正六边形的性质，根据题意画出图形，作出辅助线求出∠AOB=60°是解答此题的关键.10、A【分析】按“左加右减括号内，上加下减括号外”的规律平移即可得出所求函数的解析式.【详解】∵将抛物线先向左平移3个单位，再向下平移2个单位，∴y=-（x+3）2-2.故答案为A.【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，其规律是是：将二次函数解析式转化成顶点式y=a(x-h)2+k

（a，b，c为常数，a≠0），确定其顶点坐标(h，k)，在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”．二、填空题(每小题3分,共24分)11、2【解析】∵,∴x=,∴=.12、【分析】作高线DE，利用勾股定理求出AD，AB的值，然后证明，求DE的长，再利用三角函数定义求解即可．【详解】过点D作于E∵点是边的中点，∴，在中，由∴∴由勾股定理得∵∴∵∴∴∴∴∴故答案为：．【点睛】本题考查了三角函数的问题，掌握勾股定理和锐角三角函数的定义是解题的关键．13、+1．【详解】解：∵五边形ABCDE为正五边形，AB=1，∴AB=BC=CD=DE=EA=1，∠A=∠D=108°，∴==•πAB=，∴C阴影=++BC=+1．故答案为+1．14、2【分析】特殊值：sin30°=，tan60°=，tan30°=,本题是特殊角，将特殊角的三角函数值代入求解．【详解】解：2sin30°+tan60°×tan30°=2×+×=1+1=2【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．15、1【解析】每个人都要送给他自己以外的其余人，等量关系为：人数×（人数﹣1）=72，把相关数值代入计算即可．【详解】设这小组有x人．由题意得：x（x﹣1）=72解得：x1=1，x2=﹣8（不合题意，舍去）．即这个小组有1人．故答案为：1．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，得到互送贺卡总张数的等量关系是解决本题的关键，注意理解答本题中互送的含义，这不同于直线上点与线段的数量关系．16、11.25【分析】推出AD=AB，∠DAB=∠ABC=∠ABA1=90°=∠DOA，求出∠ADO=∠BAA1，证△DOA∽△ABA1，再求出AB，BA1，面积即可求出；求出第2个正方形的边长；再求出第3个正方形边长；依此类推得出第2019个正方形的边长，求出面积即可．【详解】∵四边形ABCD是正方形，

∴AD=AB，∠DAB=∠ABC=∠ABA1=90°=∠DOA，

∴∠ADO+∠DAO=90°，∠DAO+∠BAA1=90°，

∴∠ADO=∠BAA1，

∵∠DOA=∠ABA1，

∴△DOA∽△ABA1，

∴，

∵AB=AD=，

∴BA1=，

∴第2个正方形A1B1C1C的边长A1C=A1B+BC=，第2个正方形A1B1C1C的面积()2=11.25

同理第3个正方形的边长是=（）2，

第4个正方形的边长是（）3，，

第2019个正方形的边长是（）2018，面积是[（）2018]2=5×（）2018×2=故答案为：(1)11.25；(2)【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，依次求出正方形的边长是解题的关键．17、【分析】首先求得圆的半径，根据阴影部分的面积＝△ABC的面积−扇形ADE的面积即可求解．【详解】解：设以点A为圆心的圆与边BC相切于点F，连接AF，如图所示：

则AF⊥BC，

∵△ABC是等边三角形，

∴∠B＝60°，BC＝AB＝，

∴AF＝AB•sin60°＝×＝3，

∴阴影部分的面积＝△ABC的面积−扇形ADE的面积＝××3−＝．

故答案为：．【点睛】本题主要考查了扇形的面积的计算、三角函数、切线的性质、等边三角形的性质；熟练掌握切线的性质，由三角函数求出AF是解决问题的关键．18、1【解析】试题分析：将x=－1代入方程可得：1－m+1=0，解得：m=1．考点：一元二次方程三、解答题(共66分)19、（1）见解析，（2，﹣3）；（2）见解析，1.1.【分析】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；（2）直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而结合三角形面积求法得出答案．【详解】解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；点B1的坐标为：（2，﹣3）；（2）如图所示：△A2B2C2，即为所求；点C2的坐标为：（﹣2，﹣3）；△A2B2C2的面积为：4﹣×1×1﹣×1×2﹣×1×2＝1.1．.【点睛】此题主要考查了平移变换以及位似变换，正确得出对应点位置是解题关键．20、（1）y=-x2+2x+1；（2）抛物线上存在点D，使得△ACD的面积最大，此时点D的坐标为(，)且△ACD面积的最大值；（1）在抛物线上存在点E，使得△ACE是以AC为直角边的直角三角形点E的坐标是(1，4)或(-2，-5).【分析】(1)因为点A(1，0)，点C(0,1)在抛物线y=−x2+bx+c上，可代入确定b、c的值；(2)过点D作DH⊥x轴，设D(t，-t2+2t+1)，先利用图象上点的特征表示出S△ACD=S梯形OCDH+S△AHD-S△AOC=，再利用顶点坐标求最值即可；(1)分两种情况讨论：①过点A作AE1⊥AC，交抛物线于点E1，交y轴于点F，连接E1C，求出点F的坐标，再求直线AE的解析式为y＝x−1，再与二次函数的解析式联立方程组求解即可；②过点C作CE⊥CA，交抛物线于点E2、交x轴于点M，连接AE2，求出直线CM的解析式为y＝x＋1，再与二次函数的解析式联立方程组求解即可.【详解】（1）解：∵二次函数y=-x2+bx+c与x轴的交点为点A(1，0)与y轴交于点C(0，1)∴解之得∴这个二次函数的解析式为y=-x2+2x+1（2）解：如图，设D(t，-t2+2t+1)，过点D作DH⊥x轴，垂足为H，则S△ACD=S梯形OCDH+S△AHD-S△AOC=(-t2+2t+1+1)+(1-t)(-t2+2t+1)-×1×1==∵<0∴当t=时，△ACD的面积有最大值此时-t2+2t+1=∴抛物线上存在点D，使得△ACD的面积最大，此时点D的坐标为(，)且△ACD面积的最大值（1）在抛物线上存在点E，使得△ACE是以AC为直角边的直角三角形点E的坐标是(1，4)或(-2，-5).理由如下：有两种情况：①如图，过点A作AE1⊥AC，交抛物线于点E1、交y轴于点F，连接E1C．∵CO＝AO＝1，∴∠CAO＝45°，∴∠FAO＝45°，AO＝OF＝1．∴点F的坐标为（0，−1）．设直线AE的解析式为y＝kx＋b，将（0，−1），（1，0）代入y＝kx＋b得：解得∴直线AE的解析式为y＝x−1，由解得或∴点E1的坐标为（−2，−5）．②如图，过点C作CE⊥CA，交抛物线于点E2、交x轴于点M，连接AE2．∵∠CAO＝45°，∴∠CMA＝45°，OM＝OC＝1．∴点M的坐标为（−1，0）,设直线CM的解析式为y＝kx＋b，将（0，1），（-1，0）代入y＝kx＋b得：解得∴直线CM的解析式为y＝x＋1．由解得：或∴点E2的坐标为（1，4）．综上，在抛物线上存在点E1（−2，−5）、E2（1，4），使△ACE1、△ACE2是以AC为直角边的直角三角形．【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数解析式、二次函数的最值问题，二次函数中的直角三角形问题.观察图象、求出特殊点坐标是解题的关键．21、（1）为y＝﹣10x+2；（2）3元时每天获取的利润最大利润是4元；（3）45≤x≤1．【分析】（1）根据每上涨1元，销量下降10件即可求解；（2）根据每天获得利润等于单件利润乘以销售量列出二次函数，再根据二次函数的性质即可求解；（3）根据每天剩余利润不低于3600元和二次函数图象即可求解．【详解】解：（1）根据题意，得y＝250﹣10（x﹣45）＝﹣10x+2．答：每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式为y＝﹣10x+2．（2）销售量不低于240件，得﹣10x+2≥240解得x≤3，∴30＜x≤3．设销售单价为x元时，每天获取的利润是w元，根据题意，得w＝（x﹣30）（﹣10x+2）＝﹣10x2+1000x﹣21000＝﹣10（x﹣50）2+4000∵﹣10＜0，所以x＜50时，w随x的增大而增大，所以当x＝3时，w有最大值，w的最大值为﹣10（3﹣50）2+4000＝4．答：销售单价为3元时，每天获取的利润最大，最大利润是4元．（3）根据题意，得w﹣150＝﹣10x2+1000x﹣21000﹣150＝3600即﹣10（x﹣50）2＝﹣250解得x1＝1，x2＝45，根据图象得，当45≤x≤1时，捐款后每天剩余利润不低于3600元．【点睛】本题考查了二次函数的应用，利用二次函数的性质求最大值，正确求出二次函数关系式，理解二次函数的性质是解题的关键.22、(1);(2)【分析】（1）用列举法即可求得；（2）画树状图（见解析）得出所有可能的结果，再分析求解即可.【详解】（1）小昀选择出口离开时的所有可能有3种：C、D、E，每一种可能出现的可能性都相等，因此他选择从出口C离开的概率为：；（2）根据题意画树状图如下：由树状图可以看出，所有可能出现的结果共有6种，即（AC）、（AD）、（AE）、（BC）、（BD）、（BE），这些结果出现的可能性相等所以小昀选择从入口A进入，出口E离开（即AE）的概率为.【点睛】本题考查了用列举法求概率，列出事件所有可能的结果是解题关键.23、（1）1；（1）2，2；（3）3【分析】（1）利用总人数减去其它环的人数即可；（1）根据众数的定义和中位数的定义即可得出结论；（3）先计算出9环（含9环）的人数占总人数的百分率，然后乘500即可．【详解】解：（1）（名）故答案为：1．（1）由表格可知：10名学生的射击成绩的众数是2环；这10名学生的射击成绩的中位数应是从小到大排列后，第5名和第6名成绩的平均数，∴这10名学生的射击成绩的中位数为（2+2）÷1=2环．故答案为：2；2．（3）9环（含9环）的人数占总人数的1÷10×3%=10%∴优秀射手的人数为：500×10%=3（名）故答案为：3．【点睛】此题考查的是众数、中位数和数据统计问题，掌握众数和中位数的定义和百分率的求法是解决此题的关键．24、（1）抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；直线AC的解析式为y=3x+3；（2）点M的坐标为（0，3）；（3）符合条件的点P的坐标为（，）或（，﹣），【解析】分析：（1）设交点式y=a（x+1）（x-3），展开得到-2a=2，然后求出a即可得到抛物线解析式；再确定C（0，3），然后利用待定系数法求直线AC的解析式；（2）利用二次函数的性质确定D的坐标为（1，4），作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于M，如图1，则B′（-3，0），利用两点之间线段最短可判断此时MB+MD的值最小，则此时△BDM的周长最小，然后求出直线DB′的解析式即可得到点M的坐标；（3）过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，利用两直线垂直一次项系数互为负倒数设直线PC的解析式为y=-x+b，把C点坐标代入求出b得到直线PC的解析式为y=-x+3，再解方程组得此时P点坐标；当过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P时，利用同样的方法可求出此时P点坐标．详解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3），即y=ax2﹣2ax﹣3a，∴﹣2a=2，解得a=﹣1，∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；当x=0时，y=﹣x2+2x+3=3，则C（0，3），设直线AC的解析式为y=px+q，把A（﹣1，0），C（0，3）代入得，解得，∴直线AC的解析式为y=3x+3；（2）∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴顶点D的坐标为（1，4），作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于M，如图1，则B′（﹣3，0），∵MB=MB′，∴MB+