专题03 不等关系与不等式性质-2025年高考数学一轮复习讲义（知识梳理+真题自测+考点突破+分层检测）（新高考专用）解析版

2/2专题03不等关系与不等式性质（新高考专用）目录目录【知识梳理】 2【真题自测】 2【考点突破】 5【考点1】比较数(式)的大小 5【考点2】不等式的基本性质 11【考点3】不等式性质的综合应用 16【分层检测】 19【基础篇】 19【能力篇】 25【培优篇】 27考试要求：1.理解用作差法比较两个实数大小的理论依据.2.理解不等式的概念.3.理解不等式的性质，掌握不等式性质的简单应用.知识梳理知识梳理1.两个实数比较大小的方法(1)作差法eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－b>0⇔a>b，,a－b＝0⇔a＝b，,a－b<0⇔a<b.))(2)作商法eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)>1（a∈R，b>0）⇔a>b（a∈R，b>0），,\f(a,b)＝1⇔a＝b（a，b≠0），,\f(a,b)<1（a∈R，b>0）⇔a<b（a∈R，b>0）.))2.不等式的性质(1)对称性：a＞b⇔b＜a；(2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c；(3)同向可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c；a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d；(4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc；a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd；(5)可乘方性：a＞b＞0⇒an＞bn(n∈N，n≥1)；(6)可开方性：a＞b＞0⇒eq\r(n,a)＞eq\r(n,b)(n∈N，n≥2).1.证明不等式的常用方法有：作差法、作商法、综合法、分析法、反证法、放缩法.2.有关分式的性质(1)若a>b>0，m>0，则eq\f(b,a)<eq\f(b＋m,a＋m)；eq\f(b,a)>eq\f(b－m,a－m)(b－m>0).(2)若ab>0，且a>b⇔eq\f(1,a)<eq\f(1,b).真题自测真题自测一、单选题1．（2019·全国·高考真题）若a>b，则A．ln(a−b)>0 B．3a<3bC．a3−b3>0 D．│a│>│b│2．（2018·全国·高考真题）设，，则A． B．C． D．3．（2024·上海杨浦·二模）已知实数，，，满足：，则下列不等式一定正确的是（

）A． B． C． D．二、多选题4．（2022·全国·高考真题）若x，y满足，则（

）A． B．C． D．5．（2024·辽宁·模拟预测）已知，下列不等式正确的是（

）A． B．C． D．三、填空题6．（2024·河北石家庄·二模）若实数，且，则的取值范围是.参考答案：1．C【分析】本题也可用直接法，因为，所以，当时，，知A错，因为是增函数，所以，故B错；因为幂函数是增函数，，所以，知C正确；取，满足，，知D错．【详解】取，满足，，知A错，排除A；因为，知B错，排除B；取，满足，，知D错，排除D，因为幂函数是增函数，，所以，故选C．【点睛】本题主要考查对数函数性质、指数函数性质、幂函数性质及绝对值意义，渗透了逻辑推理和运算能力素养，利用特殊值排除即可判断．2．B【详解】分析：求出，得到的范围，进而可得结果．详解：.,即又即故选B.点睛：本题主要考查对数的运算和不等式，属于中档题．3．C【分析】举例说明判断ABD；利用不等式的性质推理判断C.【详解】对于ABD，取，满足，显然，，，ABD错误；对于C，，则，C正确.故选：C4．BC【分析】根据基本不等式或者取特值即可判断各选项的真假．【详解】因为（R），由可变形为，，解得，当且仅当时，，当且仅当时，，所以A错误，B正确；由可变形为，解得，当且仅当时取等号，所以C正确；因为变形可得，设，所以，因此，所以当时满足等式，但是不成立，所以D错误．故选：BC．5．AC【分析】对于A：根据不等式的性质分析判断；对于BD：举反例说明即可；对于C：结合指数函数单调性分析判断.【详解】对于选项A：因为，可得，故A正确；对于选项B：例如满足，但，故B错误；对于选项C：因为在上单调递增，且，所以，故C正确；对于选项D：例如满足，但，即，故D错误；故选：AC.6．【分析】先得到，并根据得到，从而求出.【详解】因为，故，由得，解得，故.故答案为：考点突破考点突破【考点1】比较数(式)的大小一、单选题1．（21-22高二下·江西九江·期末）已知，，，则，，的大小关系为（

）A． B． C． D．2．（2022·广东广州·一模）若正实数a，b满足，且，则下列不等式一定成立的是（

）A． B． C． D．二、多选题3．（2023·全国·模拟预测）已知,,则（

）A． B．C． D．4．（2023·广东肇庆·二模）已知正数满足等式，则下列不等式中可能成立的有（

）A． B．C． D．三、填空题5．（2023·内蒙古赤峰·一模）已知，，，则的大小关系是.6．（2024·吉林·模拟预测）请写出一个幂函数满足以下条件：①定义域为；②为增函数；③对任意的，，都有，则．参考答案：1．B【分析】通过作差法，，确定符号，排除D选项；通过作差法，，确定符号，排除C选项；通过作差法，，确定符号，排除A选项；【详解】由，且，故；由且，故；且，故.所以，故选：B.2．D【分析】根据函数单调性及得到或，分别讨论两种情况下四个选项是否正确，A选项可以用对数函数单调性得到，B选项可以用作差法，C选项用作差法及指数函数单调性进行求解，D选项，需要构造函数进行求解.【详解】因为，为单调递增函数，故，由于，故，或，当时，，此时；，故；，；当时，，此时，，故；，；故ABC均错误；D选项，，两边取自然对数，，因为不管，还是，均有，所以，故只需证即可，设（且），则，令（且），则，当时，，当时，，所以，所以在且上恒成立，故（且）单调递减，因为，所以，结论得证，D正确故选：D3．BC【分析】两式平方再作差,利用基本不等式即可得大小关系,进而得选项A,B正误,两式相除,由于,将分子分母同时除以,再利用基本不等式即可求出其范围.【详解】解:由题知,所以,当且仅当时取等,因为,所以,即,故,即选项A错误,选项B正确;因为,所以,当且仅当,即时取等,所以可得,故选项C正确,选项D错误.故选:BC4．AC【分析】将已知转化为，通过构造函数法，结合导数判断当时，，进而构造函数，根据单调性即可判断选项CD；同理利用构造函数和求导即可判断AB.【详解】因为，，，所以，所以，构造，所以，当，即时，分析即可，所以在上单调递减，所以，所以，所以，所以，由，所以，构造，，则，所以在上单调递增，所以由得，所以，故此时，D选项错误；当时，，此时，所以可能成立，故C选项可能正确，由，即，构造，所以，设，当时，，所以在单调递减，在上单调递增，且，所以当时，即，所以，构造，则，所以在上单调递增，所以，故A可能正确，B项错误；故选：AC【点睛】关键点点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查函数思想与逻辑推理能力，属于难题.注意事项：利用构造法，关键在于构造函数以及，利用导数以及参数的范围进行判断.5．【分析】构造函数，利用函数的单调性比较出与的大小，再用作差比较出与的大小，即可得出结果.【详解】根据题意，设，则其导数.令，故在区间上，恒成立，则有，即恒成立在上恒成立，函数在上单调递减，则有，即又，而，，即故答案为：【点睛】方法点睛：构造适当的函数，利用函数的单调性来比较大小是一种常用的方法.6．（答案不唯一）【分析】根据幂函数的性质可写出一个符合①②的幂函数，利用作差法说明其也满足③，即可得答案.【详解】由题意可知的定义域为，且在上为增函数；下面证明该函数满足③：取任意的，，，则，当且仅当时取等号，即，即满足③，故答案为：反思提升：1.作差法一般步骤：(1)作差；(2)变形；(3)定号；(4)结论.其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式.当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差.2.作商法一般步骤：(1)作商；(2)变形；(3)判断商与1的大小；(4)结论.3.函数的单调性法：将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数单调性得出大小关系.4.特殊值法：对于选择、填空题，可以选取符合条件的特殊值比较大小.【考点2】不等式的基本性质一、单选题1．（22-23高一下·云南玉溪·期中）若，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．（2024·辽宁·一模）设则（

）A． B．C． D．二、多选题3．（2021·江苏扬州·模拟预测）已知两个不为零的实数，满足，则下列说法中正确的有（

）A． B． C． D．4．（2023·湖北襄阳·模拟预测）我们可以利用曲线和直线写出很多不等关系，如由在点处的切线写出不等式，进而用替换得到一系列不等式，叠加后有这些不等式体现了数学之美.运用类似方法推导，下面的不等式正确的有（

）A．B．C．D．三、填空题5．（2023·山西大同·模拟预测）已知，，，，则的最小值为．6．（2024·河北承德·二模）已知等差数列（公差不为0）和等差数列的前项和分别为，如果关于的实系数方程有实数解，则以下1003个方程中，有实数解的方程至少有个.参考答案：1．A【分析】根据不等式的性质，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.【详解】由不等式，可得，可得，即充分性成立；反之：由，可得，又因为，所以，所以必要性不成立，所以是的充分不必要条件.故选：A.2．B【分析】利用导数证明不等式，可得；根据不等式的性质可证得，则，即可求解.【详解】对于函数，，令，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以，则，即.所以，.由，得，所以，则，所以，即.所以.故选：B【点睛】方法点睛：对于比较实数大小方法：（1）利用基本函数的单调性，根据函数的单调性判断，（2）利用中间值“1”或“0”进行比较，（3）构造函数利用函数导数及函数单调性进行判断.3．AC【分析】对四个选项一一验证：对于A：利用为增函数直接证明；对于B：取特殊值判断；对于C：若时，利用同向不等式相乘判断；若时，有，直接判断；若时，利用不等式的乘法性质进行判断对于D：取特殊值判断；【详解】对于A：因为两个不为零的实数，满足，所以，而为增函数，所以，即；故A正确；对于B：可以取，则有，所以；故B不正确；对于C：若时，则有根据同向不等式相乘得：，即成立；若时，有，故成立；若时，则有，，因为，所以，即成立；故C正确；对于D：可以取，则有，所以；故D不正确；故选：AC【点睛】（1）判断不等式是否成立：①利用不等式的性质或定理直接证明；②取特殊值进行否定，用排除法；（2）多项选择题是2020年高考新题型，需要要对选项一一验证．（3）要证明一个命题是真命题，需要严格的证明；要判断一个命题是假命题，只需要举一个反例否定就看可以了.4．BC【分析】通过取特殊值确定AD错误，通过证明当时，，由此证明B，通过证明时，，由此证明C.【详解】选项：，当时不成立，A错误B选项：等价于，故要证明只需证明，且，只需证明，只需证明，故考虑构造函数，则，当时，，函数在上单调递减，当时，，函数在上单调递增，所以当时，，即，当且仅当时取等号，当时，，将中的替换为，可得，即，所以，，，，所以，B选项正确选项，设，则，当时，，函数在上单调递增，当时，，函数在上单调递减，所以当时，，即，当且仅当时取等号，将中的替换为，因为，所以所以，又，所以，当时，，故，C正确；选项：因为，D错误，故选：BC.【点睛】在进行类比推理时，要尽量从本质上去类比，不要被表面现象所迷惑；否则只抓住一点表面现象甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误．5．【分析】由已知可得，结合基本不等式求的最小值，再求的最小值.【详解】因为，，所以，又，，所以，当且仅当时取等号．所以，当且仅当时取等号．所以的最小值为.故答案为：.6．【分析】依题意，由等差数列的性质及求和公式得到，想要有实根，则，结合根的判别式与基本不等式得，中至少一个成立，同理得到，中至少一个成立，，，中至少一个成立，且，即可解决问题.【详解】由题意得，，又因为，，代入得，要使方程有实数解，则，显然第个方程有解，设方程与方程的判别式分别为，则即，等号成立的条件，所以，中至少一个成立，同理可得，中至少一个成立，，，中至少一个成立，且，综上，在所给的1003个方程中，有实根的方程最少个，故答案为：.反思提升：解决此类题目常用的三种方法：(1)直接利用不等式的性质逐个验证，利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件；(2)利用特殊值法排除错误答案；(3)利用函数的单调性，当直接利用不等式的性质不能比较大小时，可以利用指数、对数、幂函数等函数的单调性进行判断.【考点3】不等式性质的综合应用一、单选题1．（2023·江苏南通·模拟预测）已知，则的取值范围是（

）A． B． C． D．2．（2022·浙江杭州·模拟预测）已知且，则的取值范围是（

）A． B． C． D．二、多选题3．（20-21高三上·江苏·阶段练习）已知实数x，y满足则（

）A．的取值范围为 B．的取值范围为C．的取值范围为 D．的取值范围为4．（2023·河南洛阳·模拟预测）设实数满足，则（

）A． B． C． D．三、填空题5．（21-22高三·云南昆明·阶段练习）已知实数，，满足则的取值范围是．（用区间表示）6．（2022·上海普陀·一模）设二次函数，若函数的值域为，且，则的取值范围为.参考答案：1．B【分析】利用方程组以及不等式的性质计算求解.【详解】设，所以，解得，所以，又，所以，故A，C，D错误.故选：B.2．C【分析】首先求得及的取值范围，再把转化为关于的代数式，利用函数的单调性去求的取值范围即可解决【详解】由，可得，则，则，令，则，又在单调递增，在单调递减，，则，即故选：C3．ABD【解析】利用不等式的性质直接求解.【详解】因为，所以.因为，所以，则，故A正确；因为，所以.因为，所以，所以，所以，故B正确；因为，所以，则，故C错误；因为，所以，则，故D正确.故选：ABD.4．AC【分析】根据不等式的性质，变形求解.【详解】，两式相乘得，所以，A正确；由题得，又，两式相乘得，所以，B错误；因为，所以两式相乘得，C正确；因为，所以两式相乘得，D错误．故选：AC5．【分析】直接用表示出，然后由不等式性质得出结论．【详解】,则解得，则，又，∴，即，故答案为：．6．[1,13]【分析】根据二次函数的性质和已知条件得到m与n的关系，化简后利用不等式即可求出其范围.【详解】二次函数f(x)对称轴为，∵f(x)值域为，∴且，n＞0.，∵====∴，，∴∈[1,13].故答案为：[1,13].反思提升：利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围，但应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围.解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等关系的运算求解范围.分层检测分层检测【基础篇】一、单选题1．（2023·上海金山·二模）若实数、满足，则下列不等式中成立的是（

）A． B．C． D．2．（2022·湖南长沙·模拟预测）小李从甲地到乙地的平均速度为，从乙地到甲地的平均速度为，他往返甲乙两地的平均速度为，则（

）A． B．C． D．3．（2024·云南贵州·二模）已知，则的大关系为（

）A． B．C． D．4．（2024·陕西西安·模拟预测）若，则有（

）A． B．C． D．二、多选题5．（21-22高三上·湖北·阶段练习）下列命题成立的是（

）A．若，，则B．若不等式的解集是，则C．若，，则D．若a，b满足，则的取值范围是6．（2023·山东·二模）已知实数满足，且，则下列说法正确的是（

）A． B． C． D．7．（2023·湖南长沙·二模）已知实数满足，则下列说法正确的是（

）A． B．C． D．三、填空题8．（20-21高一上·湖北武汉·期中）购买同一种物品可以用两种不同的策略，不考虑物品价格的升降，甲策略是每次购买这种物品的数量一定，乙策略是每次购买这种物品所花的钱数一定，则种购物策略比较经济.9．（2022·全国·模拟预测）已知实数、满足，，则的取值范围为．10．（2022·四川泸州·三模）已知x，，满足，给出下列四个结论：①；②；③；④．其中一定成立的结论是（写出所有成立结论的编号）．四、解答题11．（23-24高一上·江苏连云港·阶段练习）（1）已知，求的取值范围.（2）比较与的大小，其中.12．（21-22高三·贵州贵阳·阶段练习）已知实数，，满足．(1)若，求证：；(2)若，，求的最小值．参考答案：1．D【分析】对于D，结合对数函数的单调性即可判断；对于ABC，取，即可判断.【详解】由题意，，所以，故D正确；当，时，，但，，，故A，B，C错误.故选：D.2．D【分析】平均速度等于总路程除以总时间【详解】设从甲地到乙地的的路程为s，从甲地到乙地的时间为t1，从乙地到甲地的时间为t2，则，，，∴，，故选:D.3．B【分析】根据的特点，构造函数，判断其单调性，得到，故有，再运用作差法比较即得.【详解】设，则，当时，，在上递增；当时，，在上递减,故.则，即；由可知，故.故选：B.4．B【分析】由题意首先得，进一步，从而我们只需要比较的大小关系即可求解，两式作商结合基本不等式、换底公式即可比较.【详解】，所以，，又因为，所以，即.故选：B.5．BC【分析】根据不等式的性质、一元二次不等式的解法、基本不等式等知识对选项进行分析，由此确定正确选项.【详解】对于A，取，，，，则，则A错误；对于B，方程的两根分别为1和2，则，，解得，，所以，则B正确；因为，，所以，则C正确；由，，得，又，所以，即的取值范围是，则D错误.故选：BC6．BC【分析】根据已知等式可确定，结合不等式性质和作差法依次判断各个选项即可.【详解】对于A，，，，A错误；对于B，，，，，，，，即，B正确；对于C，，，，即，C正确；对于D，，D错误.故选：BC.7．BCD【分析】根据不等式的性质对各个选项验证.【详解】因为，所以有，故A错误；，故B正确；，故C正确；，故D正确．故选：BCD．8．乙【分析】设第一次和第二次购物时价格分别为，每次购n，根据条件，求得按甲策略购买的平均价格x，若按第二种策略，设每次花钱m元钱，则可求得按乙策略购买的平均价格y，利用作差法，即可比较x，y的大小，进而可求得答案.【详解】设第一次和第二次购物时价格分别为，按甲策略，每次购n，按这种策略购物时，两次的平均价格，按乙策略，第一次花m元钱，能购物物品，第二次仍花m元钱，能购物物品，两次购物的平均价格，比较两次购物的平均价格，因为甲策略的平均价格不小于第乙种策略的平均价格，所以用第二种购物方式比较经济，故答案为：乙.9．【分析】设，利用待定系数法求出的值，然后根据不等式的性质即可求解.【详解】解：设，则，解得，所以，因为，，所以，，所以，故答案为：.10．①④【分析】根据基本不等式，结合特殊值法逐一判断即可.【详解】①：因为，所以有，故本结论一定成立；②：当时，显然成立，但是不成立，故本结论不一定成立；③：当时，显然成立，但是不成立，故本结论不一定成立；④：因为，所以，由①可知：，所以，因此本结论一定成立，故答案为：①④11．（1）；（2）.【分析】根据不等式的基本性质，逐个运算，即可求解.【详解】（1）解：由不等式，可得，因为，所以，即的取值范围为.（2）解：由，，因为，所以，故.12．(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据不等性质变形证明不等式；（2）由已知得，且，利用基本不等式可求的最值，进而得解.【详解】（1）证明：由，且，得，，故，所以，所以，即；（2）解：由且，得，且，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为．【能力篇】一、单选题1．（2023·江西·模拟预测）已知，，，则（

）A． B．C． D．二、多选题2．（21-22高一上·重庆·期末）下列说法正确的是（

）A．若，则 B．若，，则C．，则 D．若，则三、填空题3．（2024·湖南邵阳·二模）已知，若恒成立，则实数的取值范围是.四、解答题4．（2023·陕西宝鸡·一模）已知，求证：(1)；(2).参考答案：1．A【分析】利用不等式的基本性质可得出、的大小关系，利用函数在上的单调性可得出、的大小关系，综合可得出、、的大小关系.【详解】因为，，则，所以，，构造函数，其中，则，所以，函数在上为增函数，所以，，即，所以，，故.故选：A.2．ABC【分析】根据不等式的性质判断AD，结合作差法比较大小判断BC.【详解】解：对于A选项，因为，故，故，正确；对于B选项，由于，，故，，故，即，正确；对于C选项，由于，故，故，即，正确；对于D选项，当时，，故错误.故选：ABC3．【分析】根据题意，将原不等式分离参数，然后换元，由函数的单调性可得最值，即可得到结果.【详解】原不等式等价于，令.令，且，则在上单调递减，.故的范围是.故答案为：4．(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）构造基本不等式即可证明；（2）利用作商法证明.【详解】（1）又因为c>0，所以，=，（当且仅当时，“=”成立）.即证.（2）因为.因为0，，（>1.同理>1，>1，故.【培优篇】一、单选题1．（2023·吉林·二模）已知a，b，c满足，，则（

）A．， B．，C．， D．，二、多选题2．（2023·江苏南通·二模）已知，则（

）A．