专题09 幂函数与二次函数-2025年高考数学一轮复习讲义（知识梳理+真题自测+考点突破+分层检测）（新高考专用）原卷版

2/2专题09幂函数与二次函数（新高考专用）目录目录【知识梳理】 2【真题自测】 3【考点突破】 4【考点1】幂函数的图象和性质 4【考点2】求二次函数的解析式 5【考点3】二次函数的图象与性质 6【分层检测】 8【基础篇】 8【能力篇】 9【培优篇】 10考试要求：1.了解幂函数的概念；结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝xeq\f(1,2)，y＝eq\f(1,x)的图象，了解它们的变化情况；2.理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题.知识梳理知识梳理1.幂函数(1)幂函数的定义一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数.(2)常见的五种幂函数的图象(3)幂函数的性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减.2.二次函数(1)二次函数解析式的三种形式一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n).零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点.(2)二次函数的图象和性质函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)y＝ax2＋bx＋c(a<0)图象(抛物线)定义域R值域eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4ac－b2,4a)，＋∞))eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(4ac－b2,4a)))对称轴x＝－eq\f(b,2a)顶点坐标eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，\f(4ac－b2,4a)))奇偶性当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数单调性在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))上是减函数；在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞))上是增函数在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))上是增函数；在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞))上是减函数1.二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关.2.若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则当eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ<0))时，恒有f(x)>0；当eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a<0，,Δ<0))时，恒有f(x)<0.3.(1)幂函数y＝xα中，α的取值影响幂函数的定义域、图象及性质；(2)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限.真题自测真题自测1．（2023·全国·高考真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（

）A． B．C． D．2．（2021·全国·高考真题）设是椭圆的上顶点，若上的任意一点都满足，则的离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．3．（2023·天津·高考真题）设，则的大小关系为（

）A． B．C． D．4．（2022·天津·高考真题）已知，，，则（

）A． B． C． D．二、填空题5．（2020·江苏·高考真题）已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时，，则f(-8)的值是.三、解答题6．（23-24高一下·上海·期中）已知幂函数为奇函数，且在区间上是严格减函数.(1)求函数的表达式；(2)对任意实数，不等式恒成立，求实数t的取值范围.考点突破考点突破【考点1】幂函数的图象和性质一、单选题1．（2024·四川成都·模拟预测）设命题，使是幂函数，且在上单调递减；命题，则下列命题为真的是（

）A． B． C． D．2．（2022·上海黄浦·模拟预测）下列函数定义域为的是（

）A． B． C． D．二、多选题3．（20-21高三上·辽宁辽阳·期末）下列函数中是奇函数，且值域为的有（

）A． B．C． D．4．（23-24高一上·贵州·阶段练习）现有4个幂函数的部分图象如图所示，则下列选项可能成立的是（

）A．，，，B．，，，C．，，，D．，，，三、填空题5．（2024·北京延庆·一模）已知函数在区间上单调递减，则的一个取值为．6．（2022·全国·模拟预测）若幂函数的图像关于y轴对称，则实数．反思提升：(1)幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式.(2)在区间(0，1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴.(3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键.【考点2】求二次函数的解析式一、单选题1．（2024·陕西·模拟预测）设函数的定义域为，且，当时，，则（

）A． B． C．1 D．2．（2024·全国·模拟预测）已知二次函数满足对于任意的，，且.若，则的最大值与最小值之和是（

）A． B． C．4 D．二、多选题3．（2023·河北沧州·三模）已知二次函数满足，；当时，.函数的定义域为，是奇函数，是偶函数，为自然对数的底数，则（

）A．函数的最小值为B．C．D．函数的导函数的最小值为4．（2023·全国·模拟预测）已知二次函数满足对于任意的且．若，则下列说法正确的是（

）A． B．C． D．三、填空题5．（21-22高二下·重庆沙坪坝·期末）已知函数（）的图象关于轴对称，且与直线相切，写出满足上述条件的一个函数．反思提升：求二次函数解析式的方法【考点3】二次函数的图象与性质一、单选题1．（2024·全国·模拟预测）已知函数在区间上有最大值或最小值，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．2．（2023·广东韶关·模拟预测）已知方程和的解分别是和，则函数的单调递减区间是（

）A． B． C． D．二、多选题3．（2023·湖南株洲·一模）已知是函数的零点，则下列说法正确的是（

）A． B．C． D．4．（2024·河南信阳·模拟预测）若函数在上单调，则实数的值可以为（

）A． B． C． D．3三、填空题5．（23-24高三下·福建·开学考试）已知函数的值域为，则实数a的取值范围为．6．（23-24高三下·青海西宁·开学考试）已知函数在区间上单调递减，则a的取值范围为．反思提升：1.研究二次函数图象应从“三点一线一开口”进行分析，“三点”中有一个点是顶点，另两个点是图象上关于对称轴对称的两个点，常取与x轴的交点；“一线”是指对称轴这条直线；“一开口”是指抛物线的开口方向.2.求解与二次函数有关的不等式问题，可借助二次函数的图象特征，分析不等关系成立的条件.3.闭区间上二次函数最值问题的解法：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合图象，根据函数的单调性及分类讨论的思想求解.4不等式恒成立求参数范围，一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数，直接借助于函数图象求最值.这两个思路，最后都是转化为求函数的最值问题.分层检测分层检测【基础篇】一、单选题1．（2011·辽宁沈阳·一模）已知函数，若且，则它的图象可能是（）A．B． C． D．2．（2023高三上·江苏徐州·学业考试）已知幂函数在上单调递减，则实数的值为（

）A． B． C．3 D．13．（2024·全国·模拟预测）若函数在上单调，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．4．（2023·全国·模拟预测）已知集合，，则的子集的个数为（

）A．1 B．2 C．4 D．8二、多选题5．（2021·辽宁·模拟预测）已知函数(即，)则（

）A．当时，是偶函数 B．在区间上是增函数C．设最小值为，则 D．方程可能有2个解6．（23-24高一上·浙江·期中）若实数，，满足，则下列不等关系可能成立的是（

）A． B． C． D．7．（2024·全国·模拟预测）下列函数中既是奇函数，又是定义域上的减函数的是（

）A． B．C． D．三、填空题8．（2023·上海闵行·一模）已知二次函数的值域为，则函数的值域为．9．（2023·广东珠海·模拟预测）已知函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是.10．（2020·安徽蚌埠·三模）已知命题，使得，若命题p是假命题，则实数m的取值范围是.四、解答题11．（2023·山东·一模）已知二次函数满足，顶点为.(1)求函数的解析式；(2)若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围.12．（21-22高一上·辽宁·阶段练习）已知幂函数（）的定义域为，且在上单调递增．(1)求m的值；(2)，不等式恒成立，求实数a的取值范围．【能力篇】一、单选题1．（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）早在西元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项，几何中项的定义与今天大致相同．若，则的最小值为（

）A． B． C． D．二、多选题2．（2023·河南·模拟预测）已知，则（

）A． B．C． D．三、填空题3．（2023·辽宁葫芦岛·二模）已知函数，则关于x的不等式的解集为．四、解答题4．（2022·黑龙江鸡西·二模）已知幂函数在上为减函数.(1)试求函数解析式；(2)判断函数的奇偶性并写出其单调区间.【培优篇】一、单选题1．（2023·陕西商洛·模拟预测）已知函数，，记函数，若函数恰有三个不同的零点，且，则的最大