新教材人教b版必修第二册 统计与概率的应用

统计与概率的应用

【学习目标】1.能用随机模拟的方法进行估计2了解游戏的公平性和遗传性问题中的概率.3.

能借助概率对实际问题进行决策.

知识梳理梳理教材夯实基础

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知识点概率的应用

概率是描述随机事件发生可能性大小的度量,它已经渗透到人们的日常生活中，成为一个常

用的词汇，任何事件的概率是0〜1（包含0,1）之间的一个数，它度量该事件发生的可能性.小

概率事件（概率接近0）很少发生，而大概率事件（概率接近1）则经常发生.

■思考辨析判断正误

1.事件A发生的概率很小时，该事件为不可能事件.（X）

2.某医院治愈某种病的概率为，则10个人去治疗，一定有8人能治愈.（X）

3.平时的多次比赛中，小明获胜的次数比小华的高，所以这次比赛应选小明参加.（V）

4.已知某人在投篮时投中的概率为50%,若他投100次，一定有50次投中.（X）

题型探究探究重点提升素养

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------V------------------------------

一、统计在实际问题中的应用

例1某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据（单位：m3）和使用了节水龙头50

天的日用水量数据，得到频数分布表如下：

未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表

日用水量[0,)[,)[,)[,)[,)[,)[,)

频数13249265

使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表

日用水量[0,)[,)[-)[,)[,)[,)

频数151310165

（1）在下图中作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图;

(2)估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于nP的概率;

(3)估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？(一年按365天计算，同一组中的数据以

这组数据所在区间中点的值作代表)

解(1)如图所示.

(2)根据以上数据，该家庭使用节水龙头后50天中日用水量小于面的频率为X+1X+X+

2X=,

因此该家庭使用节水龙头后，日用水量小于n?的概率的估计值为0.48.

(3)该家庭未使用节水龙头50天日用水量的平均数为

一1

xi=^jX(Xl+X3+X2+X4+X9+X26+X5)=0.48.

该家庭使用了节水龙头50天日用水量的平均数为

一1

x2=5QX(X1+X5+X13+X10+X16+X5)=0.35.

估计使用节水龙头后，一年可节省水(一)X365=(m3).

反思感悟频率分布直方图是考查数据收集和整理的常用依据，掌握频率分布直方图中常见

数据的提取方法是解决此类问题的关键.

跟踪训练1某销售公司为了解员工的月工资水平,从1000位员工中随机抽取100位员工进

行调查，得到如下的频率分布直方图：

频率

组距

0.0003--------------------------------------------

0.0002-----------------------------------------------------

0.0001-----------1------1--------------------------------1

1A—I——I------------------------------1----------

01500250035004500550065007500月工资/元

(1)试由此图估计该公司员工的月平均工资;

(2)该公司的工资发放是以员工的营销水平为重要依据确定的，一般认为，工资低于4500元

的员工属于学徒阶段，没有营销经验，若进行营销将会失败；高于4500元的员工属于成熟

员工，进行营销将会成功.现将该样本按照“学徒阶段工资”“成熟员工工资”分成两层，

进行分层抽样，从中抽出5人，在这5人中任选2人进行营销活动.活动中，每位员工若营

销成功，将为公司赚得3万元，否则公司将损失1万元.在此次活动中公司收入多少万元的

可能性最大？

解(1)估计该公司员工的月平均工资为1X1000X2000+1X1000X3000+2X1000X4

000+3X1000X5000+2X1000X6000+1X1000X7000=4700(%).

⑵抽取比为］00=而'

从工资在［1500,4500)内的员工中抽出100X(++)X*=2(人),设这两位员工分别为1,2；从

工资在［4500,7500］内的员工中抽出100乂(++)义+=3人，设这三位员工分别为A,B,C.

从中任选2人,共有以下10个样本点：(1,2),(1,A),(1,B),(1,Q,(2,A),(2,B),(2,

。，(A,B),(A,。，(B,C).

3

两人营销都成功，公司收入6万元，有以下3个样本点：(A,B),(A,Q,(B,Q,概率为元;

其中一人营销成功，一人营销失败，公司收入为2万元，有以下6个样本点：(1,A),(1,

Aa

B),(1,0,(2,A),(2,B),(2,O,概率为元=.

两人营销都失败，公司损失2万元，有1个样本点：(1,2),概率为由.

133

:正，公司收入2万元的可能性最大.

二、概率在整体估计中的应用

例2为了调查某野生动物保护区内某种野生动物的数量,调查人员某天逮到1200只这种动

物并做好标记后放回，经过一星期后，又逮到这种动物1000只，其中做过标记的有100只，

按概率的方法估算，保护区内约有多少只该种动物.

解设保护区内这种野生动物有x只，假定每只动物被逮到的可能性是相同的，那么从这种

野生动物中任逮一只，设事件A=｛带有记号的动物｝,则由古典概型可知，P(A)=号.第二

次被逮到的1000只中，有100只带有记号，即事件A发生的频数根=100,由概率的统计定

义可知P(A)-白，故W2七小，解得炉~12000.

1UUU11

所以保护区内约有12000只该种动物.

(学生留)反思感悟利用频率与概率的关系求未知量的步骤

(1)抽出机个样本进行标记，设总体为未知量〃，则标记概率为

(2)随机抽取〃1个个体，出现其中如个被标记，则标记频率为

(3)用频率近似等于概率，建立等式蓝心篝.

(4)求得〃七"包.

v7mi

跟踪训练2若10个鸡蛋能孵化出8只小鸡，根据此情况，估计某小鸡孵化厂20000个鸡蛋

大约能孵化出多少只小鸡？

解假定每个鸡蛋能孵化出小鸡的可能性是相等的，从中任选一个，记事件A=｛鸡蛋能孵化

4

出小鸡｝,此试验为古典概型，则P(A)=5.①

设20000个鸡蛋能孵化出小鸡机只，

则P(A产20000'②

vyi4

由①②得20000g5,解得216000.

所以20000个鸡蛋大约能孵化出16000只小鸡.

三、概率在决策中的应用

例3A地到火车站共有两条路径Li和L2,现随机抽取100位从A地到火车站的人进行调查,

调查结果如下：

所用时间(分钟)10〜2020〜3030〜4040〜5050〜60

选择Li的人数612181212

选择L2的人数0416164

(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率；

(2)分别求通过路径Li和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率；

(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时

间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径.

解(1)共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有12+12+16+4=44(人)，

44

用频率估计概率，可得所求概率为同=0.44.

⑵选择心的有60人，选择立的有40人，故由调查结果得所求各频率为

所用时间(分钟)10〜2020〜3030〜4040〜5050〜60

£1的频率

心2的频率0

(3)记事件4,4分别表示甲选择Li和七时，在40分钟内赶到火车站；

记事件民分别表示乙选择八和乙2时，在50分钟内赶到火车站.

由(2)知P(Ai)=++=,

P(A2)=+=,P(AI)>P(A2),

甲应选择L;

尸(3)=+++=,

尸(&)=++=,

P(B2)>尸(3),

...乙应选择乙2.

反思感悟概率在决策问题中的应用

(1)由于概率反映了随机事件发生的可能性的大小，概率是频率的近似值与稳定值，所以可以

用样本出现的频率近似地估计总体中该结果出现的概率.

(2)实际生活与生产中常常用随机事件发生的概率来做出更有利的决策.

跟踪训练3某地政府准备对当地的农村产业结构进行调整，为此政府进行了一次民意调

查.100个人接受了调查，要求他们在赞成调整、反对调整、对这次调整不发表看法中任选一

项.调查结果如下表所示：

男女总计

赞成18927

反对122537

不发表看法201636

总计5050100

随机选取一个被调查者，他对这次调整表示反对或不发表看法的概率是多少？

解用A表示事件“对这次调整表示反对”，8表示“对这次调整不发表看法”，

由互斥事件的概率加法公式，

得产(4+8)=2(4)+尸(8)=血+血=血=,

因此随机选取一个被调查者，他对这次调整表示反对或不发表看法的概率是0.73.

随堂演练基础巩固学以致用

1.从某批零件中随机抽出40个检查，发现合格产品有36个，则该批产品的合格率为()

A.36%B.72%C.90%D.25%

答案C

解析用样本的合格率近似代替总体的合格率为而x100%=90%.

2.从甲、乙、丙、丁4名选手中选取2人组队参加奥林匹克竞赛,其中甲被选中的概率为（）

,1n1c2r3

A-3B-2C3D5

答案B

解析这个试验的样本空间Q=｛（甲，乙），（甲，丙），（甲，丁），（乙，丙），（乙，丁），（丙，

T）｝,

其中甲被选中包含3个样本点，

故甲被选中的概率为去

3.为了了解我国机动车的所有人缴纳车船使用税的情况，调查部门在某大型停车场对机动车

的所有人进行了如下的随机调查：向被调查者提出三个问题：（1）你的车牌号码的最后一位是

奇数吗？（2）你缴纳了本年度的车船使用税吗？（3）你的家庭电话号码的倒数第二位是偶数

吗？调查人员给被调查者准备了一枚质地均匀的骰子，让被调查者背对调查人员掷一次骰

子.如果出现一点或二点则回答第一个问题；如果出现三点或四点则回答第二个问题；如果

出现五点或六点则回答第三个问题（被调查者不必告诉调查人员自己回答的是哪一个问题，只

需回答“是"或“否”，所有人都如实做了回答）.结果被调查的3000人中1200人回答了

“否”，由此估计这3000人中没有缴纳车船使用税的人数为（）

A.600B.200C.400D.300

答案A

解析因为骰子出现一点或二点、三点或四点、五点或六点的概率相等，都等于看所以应有

1000人回答了第一个问题.因为车牌号码的最后一位数是奇数还是偶数的概率也是相等的，

所以在这1000人中应有500人的车牌号码是偶数，这500人都回答了“否”；同理也有1000

人回答了第三个问题，在这1000人中有500人回答了“否”.因此在回答“否”的1200

人中约有200人是对第二个问题回答了“否”，根据用样本特征估计总体特征知识可知，在

这3000人中约有600人没有缴纳车船使用税.

4.乘客在某电车站等候26路或16路电车，在该站停靠的有16,22,26,31四路电车，若各路

电车先停靠的概率相等，则乘客等候的电车首先停靠的概率等于（）

1123

A，2BqC.2D.]

答案A

解析因为各路电车先停靠的概率都等于"，

所以乘客等候的电车首先停靠的概率为

5.在所有的两位数10〜99中，任取一个数，则这个数能被2或3整除的概率为（）

A-6B-5C-3D2

答案C

解析10〜99中有90个两位数，这些两位数中，偶数有45个，10〜99中有30个能被3整

除的数，其中奇数有30+2=15（个），所以所求的概率为普丝=|.

■课堂小结

1.知识清单：

（1）概率在决策问题中的作用.

（2）概率在游戏公平中的作用.

（3）概率在科学试验和日常生活中的应用.

2.方法归纳：数学建模.

3.常见误区：不能将实际问题转化为统计与概率问题求解致误.

课时对点练注重双基强化落实

----------------------------------------------------------N--------------------

X基础巩固

I.从一批准备出厂的电视机中随机抽取10台进行质量检查，其中有1台是次品，若用c表

示抽到次品这一事件，则对C的说法正确的是（）

A.概率为日

B.频率为日

C.概率接近七

D.每抽10台电视机必有1台次品

答案B

解析事件C发生的频率为强，由于只做了一次试验，故不能得出概率接近强的结论.

2.某中学要在高一年级的二、三、四班中任选一个班参加社区服务活动，有人提议用如下方

法选班：掷两枚硬币，正面向上记作2点，反面向上记作1点，两枚硬币的点数和是几，就

选几班.按照这个规则，当选概率最大的是（）

A.二班B.三班

C.四班D.三个班机会均等

答案B

解析掷两枚硬币，共有4种结果：（2,2）,（2,1）,（1,2）,（1,1）,故选四班的概率是？选三班

21I

的概率为选二班的概率为不故选B.

3.（多选）甲、乙两人做游戏，下列游戏中公平的是（）

A.抛一枚骰子，向上的点数为奇数则甲胜，向上的点数为偶数则乙胜

B.同时抛两枚相同的骰子，向上的点数之和大于7则甲胜，否则乙胜

C.从一副不含大、小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色则甲胜，是黑色则乙胜

D.甲，乙两人各写一个整数，若是同奇或同偶则甲胜，否则乙胜

答案ACD

解析对于A,C,D,甲胜，乙胜的概率都是看游戏是公平的；对于B,甲胜的概率小，

游戏不公平.

4.蜜蜂包括小蜜蜂和黑小蜜蜂等很多种类.在我国的云南及周边各省都有分布.春暖花开的

时候是放蜂的大好季节.养蜂人甲在某地区放养了100箱小蜜蜂和1箱黑小蜜蜂，养蜂人乙

在同一地区放养了1箱小蜜蜂和100箱黑小蜜蜂.某中学生物小组在上述地区捕获了1只黑

小蜜蜂.那么，生物小组的同学认为这只黑小蜜蜂是哪位养蜂人放养的比较合理（）

A.甲B.乙

C.甲和乙D.以上都对

答案B

解析养蜂人甲放的黑小蜜蜂占本地区所有黑小蜜蜂的土，而养蜂人乙放的黑小蜜蜂占本地

区所有黑小蜜蜂的帮，所以，现在捕获的这只黑小蜜蜂是养蜂人乙放养的可能性较大.

5.假定某运动员每次投掷飞镖正中靶心的概率为40%,现采用随机模拟的方法估计该运动

员两次投掷飞镖恰有一次命中靶心的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，

指定123,4表示命中靶心，5,6,7,8,9,0表示未命中靶心；再以每两个随机数为一组，代表两

次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：

9328124585696834312573930275564887301135

据此估计，该运动员两次掷镖恰有一次正中靶心的概率为（）

A.B.C.D.

答案A

解析两次掷镖恰有一次正中靶心表示随机数中有且只有一个数为123,4中的之一，它们分

别是93,28,45,25,73,93,02,48,30,35,共10个，因此所求的概率为品=0.50.

6.某家具厂为足球比赛场馆生产观众座椅.质检人员对该厂所生产的2500套座椅进行抽检,

共抽检了100套，发现有2套次品，试问该厂所生产的2500套座椅中大约有套次

品.

答案50

n2

解析设有〃套次品，由概率的统计定义，知君前心念，解得〃Q50,所以该厂所生产的2

500套座椅中大约有50套次品.

7.某人在江边码头上乘船摆渡过江，码头仅可供一艘船靠岸上客，若在半小时内大船靠岸的

概率为，汽艇靠岸的概率为，那么此人在半小时内能乘船过江的概率是.

答案

解析P=+=0.8.

8.如图所示，从参加环保知识竞赛的学生中抽出40名，将其成绩(均为整数)整理后画出的

频率分布直方图如图，从成绩是80分以上(包括80分)的学生中选2人，则他们在同一分数

段的概率是.

答案V

解析记”选出的2人在同一分数段”为事件及80〜90分之间有40X=4(人)，设为a,b,

c,d；90〜100分之间有40X=2(人)，设为A,8从这6人中选出2人，有(a,b),(a,c),

(a,d),(a,A),(a,B),(b,c),(b,d),(b,A),(b,B),(c,d),(c,A),(c,B),(d,A),

(d,B),(A,B),共15个样本点，且这15个基本事件发生的可能性是相等的，其中事件E

7

包括(a,b),(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d),(A,B),共7个样本点，则P(E)=记.

9.已知某音响设备由A电视机，8影碟机，C线路，。左声道和E右声道五个部件组成，其

中每个部件工作的概率如图所示，当A与B中有一个工作，C工作，。与E中有一个工作时

能听到声音；且若。和E同时工作则有立体声效果.

(1)求能听到立体声效果的概率；

(2)求听不到声音的概率.

解⑴能听到立体声效果的概率Pi=[1-(1-0.9)x(l-0.95)]xxx=0.8352229.

2

(2)能听到声音的概率P2=[1-(1-0.9)x(l-0.95)]xx[l-(1-0.94)]=0.9418471,

从而所求概率为1-P2=1-0.9418471=0.0581529.

10.为了解学生身高情况，某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行分层抽样调查,

测得身高情况的统计图如下：

(2)估计该校学生身高在170〜185cm之间的概率；

⑶从样本中身高在180〜190cm之间的男生中任选2人，求至少有1人身高在185〜190cm

之间的概率.

解(1)样本中男生人数为2+5+14+13+4+2=40,由分层抽样比例为10%知全校男生人数

40

为丽=4°。

(2)由统计图知，样本中身高在170〜185cm之间的学生有14+13+4+3+1=35(人)，样本

容量为70,

35

所以样本中学生身高在170〜185cm之间的频率尸元=05

故由了估计该校学生身高在170〜185cm之间的概率是05

(3)样本中身高在180〜185cm之间的男生有4人，设其编号为①②③④;样本中身高在185〜

190cm之间的男生有2人，设其编号为⑤⑥.

从上述6人中任选2人的树形图如图所示.

②③

/

③④

/

①④⑤

⑤/

⑥

⑥③二窗④<3⑤一⑥

故从样本中身高在180〜190cm之间的男生中任选2人的所有可能结果数为15,且每种可能

03

性相等，至少有1人身高在185〜190cm之间的可能结果数为9,因此所求的概率是卷

X综合运用

11.根据医疗所的调查，某地区居民血型分布为：。型50%,A型15%,型5%,8型30%.

现有一血型为。型的病人需要输血,若在该地区任选1人,那么能为病人输血的概率为()

A.50%B.15%C.45%D.65%

答案A

解析仅有。型血的人能为。型血的人输血.故选A.

12.某比赛为两运动员制定下列发球规则.

规则一：投掷一枚硬币，出现正面向上，甲发球，反面向上，乙发球；

规则二：从装有2个红球与2个黑球的布袋中随机地取出2个球，如果同色，甲发球，否则

乙发球；

规则三：从装有3个红球与1个黑球的布袋中随机地取出2个球，如果同色，甲发球，否则

乙发球.

则对甲、乙公平的规则是（)

A.规则一和规则二B.规则一和规则三

C.规则二和规则三D.规则二

答案B

解析规则一每人发球的概率都是相等的，公平.规则二所有情况有（红1,红2）,（红1,黑

1）,（红1,黑2）,（红2,黑1）,（红2,黑2）,（黑1,黑2）,共6种，同色的有2种，所以甲

发球的可能性为:，不公平.规则三所有情况有（红1,红2）,（红1,红3）,（红2,红3）,（红

1,黑），（红2,黑），（红3,黑），同色球有3种，所以两人发球的可能性都是相等的，公平.

13.一篇关于“键盘侠”的时评引发了大家对“键盘侠”的热议（“键盘侠”一词描述了部分

网民在现实生活中胆小怕事、自私自利，却习惯在网络上大放厥词的一种现象）.某地新闻栏

目对该地区群众对“键盘侠”的认可程度进行调查：在随机抽取的50人中，有14人持认可

态度，其余持反对态度，若该地区有9600人，则可估计该地区对“键盘侠”持反对态度的

大约有人.

答案6912

解析在随机抽取的50人中，持反对态度的频率为1—舄=昔,.•.可估计该地区对“键盘侠”

持反对态度的大约有9600X行=6912（人）.

14.设集合A={1,2},8={1,2,3},分别从集合A和8中随机取一个数a和b,确定平面上

的一个点P（a,b）,记“点尸（a,6）落在直线x+y=〃上”为事件C“（2WwW5,〃GN）,若事

件G的概率最大，则n的所有可能值为.

答案3或4

解析点尸的所有可能值为（1,1）,（1,2）,（1,3）,（2,1）,（2,2）,（2,3）,

点尸（。,加落在直线x+y=〃上5,n£N）,

且事件C的概率最大，

当n=2时，P点是（1,1）,

当〃=3时，P点可能是（1,2）,（2,1）.

当w=4时，P点可能为（1,3）,（2,2）,

当n=5时，「点是（2,3）,

即事件C3,C4的概率最大，故"=3或4.

X拓广探究

15.如果消息/发生的概率为尸(M),那么消息M所含的消息量为/(M)=log2P(/)+焉］,

若小明在一个有4排8列座位的小型报告厅听报告，则发布的以下4条消息中，信息量最大

的是()

A.小明在第4排B.小明在第5歹U

C.小明在第4排第5列D.小明在某一排

答案C

解析小明在4排