重难点突破-高二数学上册常考题（人教A版2019选修一）15 圆锥曲线常考题型03-定点问题含答案

重难点突破-高二数学上册常考题专练（人教A版2019选

修一）专题15圆锥曲线常考题型03—定点问题

圆锥曲线中的定点问题是高考命题的一个热点，也是圆锥曲线问题中的一个难

点.解决这个难点没有常规的方法，但解决这个难点的基本思想是明确的，定点

问题必然是在变化中所表现出来的不变的量，那么就可以用变量表示问题中的直

线方程、数量积、比例关系等，而这些直线方程、数量积、比例关系中不受变量

影响的某个点，就是要求的定点.求解这类难点问题的关键就是引进变化的参数

表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式恒成立、数式变换等寻找不受参

数影响的量.

1.如图，已知抛物线y2=2px（p>0）上一点M（2,㈤到焦点尸的距离为3,直线/与抛物线

交于A（X1,乂），B（X2,必）两点，且y>0，必<0,。408=12（0为坐标原点）.

（1）求抛物线的方程；

（2）求证：直线/过定点.

2.己知抛物线C：V=4x.

(1)若C与圆G:(x-4)2+y2=13在第一象限内交于M,N两点，求直线MN的方程；

(2)直线/过点£>(-1,0)交C于4,B两点，点8关于x轴的对称点为E,直线他交x轴

于点P,求证：P为定点、.

3.设A(x「y)和以占，丫?)是抛物线C：V=x上的两点，且为+%=10.

(I)若乂=1,求直线钻的方程；

(II)证明：当点A,B在C上运动时，线段他的垂直平分线过定点.

4.已知曲线C上的任意一点到点尸(0,1)的距离比到直线y+2=0的距离小1.

(I)求曲线C的方程；

(H)若不经过坐标原点O的直线/与曲线。交于A,B两点,以线段为直径的圆过点

O,求证：直线/过定点.

5.如图，过顶点在原点、对称轴为y轴的抛物线E上的点A(2,l)作斜率分别为匕，心的直

线，分别交抛物线E于8,C两点.

(1)求抛物线E的标准方程和准线方程；

(2)若勺+的=用&，证明：直线8c恒过定点.

6.己知动圆过定点44,0),且在y轴上截得的弦MN的长为8.

(I)求动圆圆心的轨迹。的方程；

(II)己知点8(-1,0),设不垂直于x轴的直线与轨迹C交于不同的两点P,Q,若x轴是

NPBQ的角平分线，证明直线过定点.

7.已知抛物线C:d=2p.y(p>0)的焦点为尸，且点尸与圆M:(x+4)2+_/=1上点的距离

的最大值为如+1.

(1)求〃；

(2)已知直线/:丫=去+4与C相交于4,8两点，过点8作平行于y轴的直线3D交直线

/：丫=-4于点。.问：直线4)是否过)，轴上的一定点？若过定点，求出该定点的坐标；

若不过定点，试说明理由.

8.己知直线y=x-2与抛物线丁=2px相交于A,B两点，满足。4_LO8.定点C(4,2),

£>(T,0),M是抛物线上一动点，设直线CM,与抛物线的另一个交点分别是E,F.

(1)求抛物线的方程；

(2)求证：当M点在抛物线上变动时(只要点E、尸存在且不重合)，直线所恒过一个

定点；并求出这个定点的坐标.

9.在平面直角坐标系中，已知动点A到点8(1,0)的距离为4,到直线x=-2距离为且

4=4+1，记动点A的轨迹为曲线Q.

(1)求曲线C的方程；

(2)已知斜率之和为-1的两条直线垃，”相交于点8,直线胆，〃与曲线Q分别相交于C,

D,E,尸四点，且线段CD、线段所的中点分别为G,H,问：直线GH是否过定点？

若过定点，请求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由.

3

10.在平面直角坐标系xOy中，己知动点尸到点尸(2,0)的距离与它到直线x的距离之比

为巫.记点P的轨迹为曲线C.

3

(1)求曲线C的方程；

(2)过点尸作两条互相垂直的直线4,44交曲线C于A,8两点，4交曲线C于S，T

两点，线段45的中点为“，线段ST的中点为N.证明：直线过定点，并求出该定点

坐标.

11.已知曲线C上的任意一点到点F(0,l)的距离与到直线y+1=0的距离相等.

(I)求曲线C的方程；

(0)若不经过坐标原点O的直线/与曲线C交于A,B两点,且。求证：直线/

过定点.

12.已知双曲线C:£-y=l（a>0力>0）的离心率为如，且该双曲线经过点P（G也）.

ab~22

（1）求双曲线。的方程；

（2）设斜率分别为匕，心的两条直线4均经过点。（2,1），且直线4，%与双曲线C分

别交于4,3两点（A,B异于点、Q）,若匕+心=1,试判断直线A?是否经过定点，若存

在定点，求出该定点坐标；若不存在，说明理由.

22

13.设P是椭圆C:=+5=l（a>b>0）上异于长轴顶点4,4的任意一点，过P作C的

矿b

切线与分别过A1,4的切线交于用，两点.已知|A&I=4,椭圆C的离心率为3.

（1）求椭圆。的方程；

（2）以用与为直径的圆是否过x轴上的定点？如果过定点，请予以证明，并求出定点；如

果不过定点，说明理由.

14.设O为坐标原点，椭圆C:=+工=1（。>%>0）的焦距为46，离心率为述,直线

ab~5

/:y=Ax+，M”>0）与C交于A,B两点.

（1）求椭圆C的方程；

（2）设点尸（0,1）,PAPB=4求证：直线/过定点，并求出定点的坐标.

15.已知椭圆C:3•+[=1（4>6>0）的左、右焦点分别为£,居，设点A（0,6）,在△Af；居

a~b~

中，ZFtAF2=^-,周长为4+26.

（1）求椭圆C的方程；

（2）设不经过点A的直线/与椭圆C相交于M,N两点，若直线AM与AN的斜率之和为

-1,求证：直线/过定点，并求出该定点的坐标.

16.已知斜率为A的直线经过点(-1,0)与抛物线C：V=2px(p>0,p为常数)交于不同的

两点M,N,当&=，时，弦的长为4疥.

2

(1)求抛物线C的标准方程；

(2)过点M的直线交抛物线于另一点Q,且直线MQ经过点8(1,-1),判断直线NQ是否

过定点？若过定点，求出该点坐标；若不过定点，请说明理由.

17.过点尸(Y,0)的动直线/与抛物线Ud=2〃)，(〃>0)相交于£)、E两点，己知当/的斜

率为』时，PE=4PD.

2

(1)求抛物线C的方程；

(2)设圆M:(x-l)2+(y-2)2=/,已知4,8是抛物线C上的两动点，且直线。4,OB

都与圆M相切(。是坐标原点)，求证：直线AB经过一定点，并求出该定点坐标.

18.从抛物线＞2=36X上任意一点P向X轴作垂线段，垂足为。，点”是线段P。上的一

点，且满足PM=2MQ.

(1)求点M的轨迹C的方程；

(2)设直线x=+1(meR)与轨迹C交于A,3两点，T为C上异于A,3的任意一点，

直线AT,分别与直线x=-l交于。，E两点，以上为直径的圆是否过x轴上的定点？

若过定点，求出符合条件的所有定点坐标；若不过定点，请说明理由.

22

19.已知椭圆C:[+2=l的右焦点为(1,0),且经过点A(0,l).

arb

(I)求椭圆C的方程；

(II)设O为原点，直线/:y=h+/(，w±l)与椭圆C交于两个不同点P、Q,直线AP与x

轴交于点M,直线AQ与工轴交于点N.若|OMHON|=2,求证：直线/经过定点.

20.已知椭圆C言+左=l(a>b>0),四点［(I/)，3(0,1)，£(-1苧,4(1,争中恰

有三点在椭圆C上.

(1)求。的方程；

(2)设直线/不经过鸟点且与C相交于A,3两点.若直线与直线£8的斜率的和为

一1,证明：/过定点.

221

21.已知椭圆C:=+2=l(«>b>0)的离心率为白，外为椭圆C的左，右焦点，过百

a"b2

斜率不为零的直线4交椭圆于p,Q两点，△gPQ的周长为8.

(1)求椭圆C的方程；

(2)设A为椭圆C的右顶点，直线AP,AQ分别交直线4：x=-4于例，N两点，试判断

以MV为直径的圆是否恒过椭圆长轴上一个定点，并说明理由.

22.已知平面内的两点A(0,2>/2),B(0,-2夜)，过点A的直线人与过点8的直线4相交

于点c,若直线(与直线4的斜率乘积为-■!■，设点c的轨迹为E.

2

(I)求E的方程.

(2)设P是E与x轴正半轴的交点，过P点作两条直线分别与E交于点M,N,若直线PM,

HV斜率之积为Y,求证：直线用N恒过一个定点，并求出这个定点的坐标.

23.已知的两个顶点A,8的坐标分别是A(O,G),8(0,-6)，且直线力,的

斜率之积是-3.

2

5

(1)是否存在定点耳，F2,使得|刊"+|/G|为定值？

(2)设点P的轨迹为了，点C,D,E是z■上互异的三点，且AC,4)关于y轴对称，

ACYAE.求证：直线DE恒过定点.

专题15圆锥曲线常考题型03—定点问题

圆锥曲线中的定点问题是高考命题的一个热点，也是圆锥曲线问题中的一个难

点.解决这个难点没有常规的方法，但解决这个难点的基本思想是明确的，定点

问题必然是在变化中所表现出来的不变的量，那么就可以用变量表示问题中的直

线方程、数量积、比例关系等，而这些直线方程、数量积、比例关系中不受变量

影响的某个点，就是要求的定点.求解这类难点问题的关键就是引进变化的参数

表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式恒成立、数式变换等寻找不受参

数影响的量.

1.如图，已知抛物线V=2px(p>0)上一点M(2,⑼到焦点户的距离为3,直线/与抛物线

交于A(x-y),8(々，%)两点，且y>0，y2<0,。4・。8=12(0为坐标原点).

(1)求抛物线的方程；

(2)求证：直线/过定点.

【解答】解：(1)由抛物线的方程可得准线的方程为：x=_E,

2

再由抛物线的性质：抛物线上的点到焦点的距离等于到直线的距离，

所以由题意可得2+勺3,解得p=2,

所以抛物线的方程为：/=4%;

(2)证明：设直线/的方程为x=+E,/>0,

联立['2整理可得：y2-4my-4r=0,

[y=4x

22

4txx==t2

可得：yiy2=-'t2^r~,

16

OA-OB=x[x2+y%=/-4/=12,r>0,

解得Z=6,

所以直线/的方程为：x=my+6,

所以直线恒过定点(6,0).

2.已知抛物线C:y2=4x.

(1)若。与圆G:(x-4)2+V=13在第一象限内交于M,N两点，求直线MN的方程；

(2)直线/过点。(-1,0)交C于A,3两点，点5关于x轴的对称点为E,直线AE交x轴

于点P,求证：P为定点.

y=4x

x=lT[X=3

【解答】解：(1)联立(x—4>+尸=13,解得J=2或1y=26

y>0

故%V=6T，可得直线"N的方程为y-2=(6-l)(x-l)，即(G-l)x-y-G+3=0,

(2)证明：由题意，可设直线/方程为x="y-l,A(x,y),B(x2,%)，凤々，，

联立直线/与抛物线方程厂;“啖，化简整理可得，/-4my+4=0,

[y=4x

由韦达定理可得，y%=4，

由题意，可设直线他方程为x=〃y+b,

化简整理可得，/-4»y-46=0,

[y=4x

yy?=T0=-4,解得4=1,

AE方程为x=+1,

直线AE必过点(1,0),

；.P为定点(1,0),即得证.

3.设4(占，%)和8(乙，〉2)是抛物线C：V=x上的两点，且与+七=1°.

(I)若X=1,求直线"的方程；

(H)证明：当点A,B在C上运动时，线段43的垂直平分线过定点.

【解答】解：(I)4(X[,y)和8(七，为)是抛物线C：y2=x上的两点，且玉+毛=10,

由X=1,可得再=1,x2=9,y2=±3,

典」4(1,1),8(9,3)或3(9,-3),

可得直线钻的方程为y-l=1(x-l),

即为x-4y+3=0；

或y-l=」(x-l),即为x+2y-3=0；

(n)证明：由题意可得y-=x,,货=%，

相减可得(%-%)(乂+%)=%-马，

可得旗的斜率幺=比』=--一，

%一占y+必

X+W=10,可得45中点的横坐标为5,

可得AB的垂直平分线方程为y-上产=-(y+y2)(x-5),

即为y=(y+%)(日一幻，

可得x=U,y=0,

则线段AB的垂直平分线过定点(以，0).

2

4.已知曲线C上的任意一点到点尸(0,1)的距离比到直线y+2=0的距离小1.

(I)求曲线C的方程；

(H)若不经过坐标原点。的直线/与曲线C交于A,8两点，以线段/W为直径的圆过点O,

求证：直线/过定点.

【解答】解：(I)因为曲线C上的任意一点到点尸(0,1)的距离比到直线y+2=0的距离小

1,

所以曲线C上的任意一点到点E(0,l)的距离与到直线y+l=0的距离相等,

所以曲线C为以尸为焦点，直线y=-l为准线的抛物线，即/?=2,

所以曲线C的方程为V=4y.

(H)证明：根据题意当I的斜率部位0时，设直线AB方程为x=my+b(b*0),,y),

B(xiy2),

联立可得，"2y2+(2w/>-4)y+〃=0,

[x-=4y

4—2mbb2

所以y+%=

m2

.，,、，22tr,,4-2mb、,4b

x,x,=(my+b)(my+b)=m2y,y+mb{y+y)+b=mx--+mb(---——)+b2=—>

l22}2m~nrm

因为以线段4?为直径的圆过点O，

所以AO_L80,

4bh1

所以BO=(-X]，-，-%)=中2+乂必=一+F=。，即b=0(舍去)或6=Ym,

mm

所以直线/的方程为x，BPx=m(y-4),

所以直线/经过定点(0,4).

当/的斜率为0时，由对称性知4(4,4),5(-4,4),此时/也过(0,4),

所以直线/经过定点(0,4).

综上直线/经过定点(0,4).

5.如图，过顶点在原点、对称轴为y轴的抛物线E上的点A(2,l)作斜率分别为％?的直

线，分别交抛物线E于B,C两点.

(1)求抛物线E的标准方程和准线方程；

(2)若k\+h=k、h，证明：直线3c恒过定点.

【解答】(1)解：设抛物线的方程为/=。)，，则

代入A(2,l),可得a=4,

抛物线E的标准方程为f=4y,准线方程为y=-1；

(2)证明：设8(%，%),C(x2,y2),则直线AB方程y=4(x-2)+l,

AC方程y=&(x-2)+l,

联立直线钻方程与抛物线方程，消去y,得/-4女尸+8K-4=0,

大=%-2①

同理W=%-2②

而3c直线方程为>-1玉2=号受。-±),③

履+内=桃2，

由①②③，整理得&/2(x-2)-x—y—l=0.

由x-2=0且-x-y-l=O,得x=2,y=-3,故直线3c经过定点(2,-3).

6.己知动圆过定点A(4,0),且在y轴上截得的弦MN的长为8.

(I)求动圆圆心的轨迹C的方程；

(II)已知点8(-1,0),设不垂直于无轴的直线与轨迹C交于不同的两点P,Q,若x轴是

NP8Q的角平分线，证明直线过定点.

【解答】解：(I)设圆心C(x,y)(xw0),过点C作轴，垂足为E,则|,

.-.|CA|2=|CM\2=\ME^+|EC|2,

(x-4)2+y2=42+x2,化为丁=8尤.

当x=0时，也满足上式.

.•・动圆圆心的轨迹C的方程为V=8x.

(II)设尸(内，％),Q(X2,y2)

由题意可知X+丫2/0，X必<°J；=胱，货=8占.

x轴是NPBQ的角平分线，，勺”=-kQB,

y二％—-=二12-，化为8+乂%=0.

Xy+1X2+1工+1&+1

88

直线尸Q的方程为y—y=五』。一占），

工2一%

•••yf=XT。-芭），化为y_y=」—人

A_A%+y

88

化为y（%+X）-%（X+M）=8x-y；,

y（y+%）+8=8x,令y=0,则x=l,

直线P。过定点（1,0）

7.已知抛物线<7:/=2。了5>0）的焦点为尸，且点F1与圆加：。+4尸+丫2=1上点的距离

的最大值为J万+1.

（1）求p；

（2）已知直线/:y=6+4与C相交于A,8两点，过点B作平行于y轴的直线比>交直线

/，：y=T于点。.问：直线AQ是否过y轴上的一定点？若过定点，求出该定点的坐标；若

不过定点，试说明理由.

【解答】解：（1）由抛物线的方程可得焦点尸（0,4），

2

圆M:（x+4>+y2=i可得圆心河《0）,半径「=1,

产到圆M的最大距离为：|FM|+r=/（Ty+gr+i,

由题意可得，-4）2+夕+1=而+1,p>0,

解得：〃=2；

（2）由（1）得抛物线的方程为：x2=4y,

设A（X，y｝）,B（X2,y2）,

y=履+4

联立整理可得：幺-4h-16=0,

x2=4y

工1+12=4%,玉/=-16,

由题意可得。（％，V），

所以直线AO的方程为：尸4=之上（＞々）="旦_3"2+8〉，

玉-x2玉一x2X,-x2

令x=0,可得"_、布+4（占+占）=_八（一16）+原=0,

王一士x,-x2

所以直线AO恒过y轴上的一定点（0,0）.

8.已知直线y=x-2与抛物线y?=2px相交于A,8两点，满足。4_LO3.定点C（4,2）,

£）（-4,0）,M是抛物线上一动点，设直线CM,ZW与抛物线的另一个交点分别是E,F.

（1）求抛物线的方程；

（2）求证：当M点在抛物线上变动时（只要点E、尸存在且不重合），直线班'恒过一个

定点；并求出这个定点的坐标.

【解答】解：（1）设A（X[,y）,B（X2,y2）,

联立,整理可得：y2-2py-4p=0,

[y=2px

所以可得X+%=2p，X%=-4p,

进而可得用々=乂必+2（%+y2）+4=-4p+2x2p+4=4,

由。4_LO3,可得：OAOB=0,

即4-4p=0,可得p=l,

所以抛物线的方程为：/=2x；

（2）证明：设"（色，%）,E（菅，％）,"券，％），

由C,M,E三点共线可得，2口■=2二，即一j—=2（*-2）,

21__y£V_4%+%%-8

222

整理可得：为乂=2（%+乂）-8,

所以y产生彳，

%-2

Q

同理可得O,M,尸三点共线，y2=—,

%

所以直线所的方程：丫-％=）「,（%-%,）=―2一（x-西），

当+必

22

整理可得：y^2=y(yi+y2)-2x,

将弘，%的值代入直线方程可得：(2x-2y)y；+4(4-x)+8(2y-8)=0,

x-y=0

所以<4-x=0解得：x=y=4,

2y-8=0

所以直线历过定点(4,4).

9.在平面直角坐标系中，已知动点A到点B(l,0)的距离为4,到直线x=-2距离为为，且

4=4+1，记动点A的轨迹为曲线。.

(1)求曲线c的方程；

(2)已知斜率之和为-1的两条直线，〃，〃相交于点8,直线山，”与曲线Q分别相交于C,

D,E,尸四点，且线段8、线段所的中点分别为G,H,问：直线GH是否过定点？

若过定点，请求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由.

【解答】解：(1)因为动点A到点8(1,0)的距离为&,到直线x=-2距离为“2，且《=4+1，

则动点A到点3(1,0)的距离等于到直线x=-1的距离，

所以点A的轨迹为抛物线，其焦点坐标为以1,0),

故曲线C的方程为y2=4x；

(2)设山，”的方程分别为y=K(x-l),y=&(x-l),

联立方程组[>,=K*-D,可得女一Q婷+4)X+婷=0,

[y-=4x

所以占+赴=矢+匕4，

2

则k同-i-2理9可得“(1/+宁2,2分,

k：&k2

所以《"=2与—=-^-

GHY+2&2+2k、+k,

巧一狼

由匕+占=-1'

所以％GH=%(1+■)，

?1+2

则直线GH的方程为y-4(1+K)(x-军W)，

整理可得y+2="l+K)(x_l),

故直线GH恒过定点(1,-2).

10.在平面直角坐标系xOy中，已知动点P到点厂(2,0)的距离与它到直线x=|的距离之比

为巫.记点P的轨迹为曲线C.

3

(1)求曲线C的方程；

(2)过点尸作两条互相垂直的直线4,44交曲线C于A,B两点，4交曲线C于s,7两

点，线段45的中点为M,线段ST的中点为N.证明：直线仞V过定点，并求出该定点坐

标.

【解答】解：(1)设尸(x,y),根据题意可得=羊,

Ix-||3

化简得曲线C的方程为£-V=l.

3

(2)证明：设2(%,y),3*2，%)，

①若直线小4都存且不为零，

设直线乙的方程为y=Z(x-2),则直线4的方程为y=」(x-2),

k

y=k{x-2)

由，V2]，MOk2-l)x2-12k2x+12k2+3=0,

1-3--y=1

当女2-1=0时，这个方程变为Yx+7=0只有一解，

直线4与曲线C只有一个交点，不合题意，

当弘2_1#o时，△=1443-4(3/-1)(12公+3)=12供2+1)>0,

直线人与曲线C恒有两个交点,

12公

由韦达定理，%+占=

3k2

6k?2k

故线段M的中点为)，

3氏2-13*2-1

6-2k

同理，线段PQ的中点为N()，

3-k23-k2

2k2k

3?-，+]孑2k

若％w±l,则%.=

1b6p3(1--)'

3k2-13-k2

直线MN的方程为y+等=-金),

即y=-2卜丁.（x-3）,

-3（1-A:2）

此时，直线MN恒过点(3,0).

若氏=±1,则N(3,-l)或M(3,-l),N(3,l),直线MN的方程为x=3,

此时直线MN过点(3,0),

②若直线4中其中一条的斜率为0,另一条的斜率不存在，

不妨设《的斜率为0,则直线4：y=0,l2:x=2,

此时，直线MN的方程为y=0,

此时，直线也过点(3,0),

综上，直线也过点(3,0).

11.已知曲线C上的任意一点到点尸(0,1)的距离与到直线y+1=0的距离相等.

(I)求曲线C的方程；

(U)若不经过坐标原点。的直线/与曲线C交于A,B两点,且。4_LO3.求证：直线/过

定点.

【解答】(I)解：因为曲线C上的任意一点到点尸(0,1)的距离与到直线y+l=0的距离相

等，

根据抛物线的定义可知，曲线C的轨迹是以尸(0,1)为焦点，直线y+l=0为准线的抛物线，

故曲线C的方程为x?=4y；

(II)证明：设直线=+A(X1,y),B(x2,y2),

联立方程组卜「近+”,可得幺一4"-46=0,

所以％+电=4攵，x}x2=-4b,

所以AB=小（内一々）2+（乂一%产，OA=收+y：,OB=收+y；,

因为线段他为直线的圆过点O,

所以为直角三角形，

故有AB2=OA2+OB',

2

所以（％-x?）2+（%-=X：+y；+v+y2，

化简可得与赴+yty2=0,

又因为汽=kX[+b,y2=kx2+h,

22

所以,%=（依+b）（kx2+Z?）=kx{x2+（玉4-x2）kb+b，

22

所以西工2+y，2=G+^）X1X2+kb（3+x2）+/?,

因为玉+%=4Z,%w=-Ab,

所以西9+yy?=（1+/）.（-4力+kb-4k+b2=b2-4b,

所以62—4%=0,解得。=0或b=4,

因为直线/不过原点O,所以〃/0,

故人=4,

所以直线/:y=Ax+4,

令x=0,则y=4,

所以直线/恒过定点（0,4）.

12.已知双曲线C:二-¥=1（。>0,6>0）的离心率为理，且该双曲线经过点P（G,立）.

a2b222

（1）求双曲线C的方程：

（2）设斜率分别为匕，的的两条直线4，均经过点Q（2,l）,且直线4与双曲线。分

别交于A,8两点（4,8异于点Q）,若左+e=1,试判断直线45是否经过定点，若存在

定点，求出该定点坐标；若不存在，说明理由.

【解答】解：（1）由离心率为£=亚，且。2="+",得c?=36，a2=2b2,

a2

22

即双曲线方程为ax-方v=1.

又点P（6，¥）在双曲线c上，.•.3-靠=1,

22

解得Z?=1>a=2f

.••双曲线C的方程为:一炉=1；

（2）当直线45的斜率不存在时，点A,8关于x轴对称，

设A（x0,%）,B（x0,-%）,

则由匕+&=1,得四二1+$二1=1,

/―2%-2

即上一=1,解得x0=0,不符合题意，故直线他的斜率存在.

%一2

不妨设直线/W的方程为y="+r,代入5-丁=1,

整理得(2公-1)炉+4%优+2/+2=0(2公一1/0),A>o.

4kt2/2+2

设y),B(X2,y2),则<+)=一厂,x,x2=2_

乙K1乙K1

,,,.V.-1Vo-1,n依+，-1kx-,+t~l.

由匕+幺=1,/得P1以一十心一=1,即n」-----+-......=1,

玉一2%-2Xj—2X)-2

整理得(2%-1)%/+(t-2k+l)(x,+x2)-4?=0,

2尸+24k

(2D5—+(t-2k+l)-(——；—)一4=0,

2k272k2

整理得：产+(24-2"-1+24=0,即«—1)(7+2%—1)=0,

f=1或r=1—24.

当/=1时，直线43的方程为丫=&+1,经过定点(0,1)；

当"1-2%时，直线AB的方程为y=A:(x-2)+l,经过定点。(2,1),不符合题意.

综上，直线钻过定点(0,1).

13.设P是椭圆C：W+W=l(a>6>0)上异于长轴顶点A，4的任意一点，过尸作C的切

线与分别过A,A?的切线交于与，两点.已知1441=4,椭圆C的离心率为g.

(1)求椭圆C的方程；

(2)以4为直径的圆是否过x轴上的定点？如果过定点，请予以证明，并求出定点；如

果不过定点，说明理由.

|44|=2a=4

【解答】解：(1)由题可知c1，

e=­=—

a2

解得a=2,c=1,

所以/=Z?2+/=3,

所以c的方程为£+£=i.

43

(2)设%),由于P是异于长轴顶点A，&的任意一点，故切线斜率存在.

y=kx+b

设过P的椭圆的切线为y=fcc+8,联立方程f2,

——+—=1

143

2

得(3+4公)*2+8khx+4从-12=0,△=(8助2_纵3+4k)(4/-12)=0,

y0=kx0+b

结合％2y；,解得过p点的切线方程为>=-任+上-

一+*=1-4%%

I43

由于分别过A,4的切线分别为x=—2,x=2,

解得B,的坐标为用(一2,包兰竺)，8,(2,93),

2%2%

在x轴上取点M(r,0),则MB,=(一2-r,"风),MB,=(-2+，，”也

).

2%2%

2369

所以=f-4+~^°~=?-l,

-4城

当1=±1时,MB「MB2=O,

所以，以用约为直径的圆过x轴上的定点为耳(-1,0),心(1,0).

14.设O为坐标原点，椭圆C:[+£=l(4>b>0)的焦距为4石，离心率为拽，直线

crb-5

I:y=kx+m(m>0)与。交于A,B两点.

(1)求椭圆C的方程；

(2)设点P(0,l),PAPB=-4,求证：直线/过定点，并求出定点的坐标.

【解答】解：⑴••椭圆C：W+马=1(。>6>0)的焦距为4石，离心率为茹,

ab-5

;.2c=4后,即c=2氐

又椭圆离心率为竽，

c2石

I.€——=,

a5

「.。=5,

b=4a。-c2="2-Q府=后,

故椭圆C的方程为：《+±=1.

255

(2)设AO[，y),B(X2,y2),

y=kx+m

联立(炉y2,消去丁整理得：(1+5公)f+i()m戊+5m2-25=0,

---1---=1

10km5m2-25

所以△>(),X]+X>=—,1+5r"也-i+5公

2m

所以X+y=攵(玉+/)+2机=

21+5/2

_5k2nr-25k2-1Ok2m2+nr+5k2nr-25k2+nr

yy=(fcr,+m)(kx+m)=k2xx+fon(x,+x)+m2

22t121+5公1+5公

因为P(0,l),PA-P8=-4,

所以(Xi，y(-l)-(x2,>>2-1)=x,x2+y,y2-(y,+y2)+1=-4.

5加2—25-25炉+〃2m

所以+5=0,

1+5/1+5公1+5公

整理得：3m2一机一10=0,

解得：帆=2或m=-*(舍去)，

3

所以直线/过定点(0,2)・

22

15.已知椭圆C:=+、=l(a>/?>0)的左、右焦点分别为耳，F2,设点40,。)，在耳玛

ab

中，ZFtAF2=^-,周长为4+2后.

(I)求椭圆C的方程；

(2)设不经过点A的直线/与椭圆C相交于M,N两点,若直线40与4V的斜率之和为

-1,求证：直线/过定点，并求出该定点的坐标.

【解答】(1)解：由==

:.a=2b=c,①

3

又△A耳心的周长为4+2&,

2a+2c=4+2括，②

联立①②，解得',,

[b=1

椭圆方程为《+>2=1；

4

(2)证明：当直线/的斜率不存在时，设加但，%),N(X2,%),

由k+k_--1必+(必-1)&-1x—__

Kvv

出AM十。N--1»xy-x2,yx-y2,

中2

得玉=2,此时M,N重合，不符合题意；

当直线/的斜率存在时，设直线/方程：y=kx+mf

交点MO[，y),N(X2,y2),

由Jn(1+4公)x2+Skmx+4(ni2-1)=0.

[x~+4y=4

8km4(/n2—1)

司+赴=一='中2=77^’

依题：念“+怎~=21二1+三二1=一1，

y[=kx1+tn,y2=kx2+tn,

kx.+m-\kx.+m-\.

—!------+—=-------=-1,

不毛

/.2k+(tn-1)-"士』=-1n"2=-2k-1.

军工2

.,.直线/方程为：y=kx+m=kx-2k-\=k(x-2)-\,

则过定点(2,—1).

16.已知斜率为左的直线经过点(-1,0)与抛物线C:y2=2px(〃>0,p为常数)交于不同的

两点M,N,当&=’时，弦MN的长为4后.

2

(1)求抛物线C的标准方程；

(2)过点M的直线交抛物线于另一点Q,且直线MQ经过点判断直线NQ是否

过定点？若过定点，求出该点坐标；若不过定点，请说明理由.

【解答】解：(1)••斜率为％=’的直线经过点(-1,0),

2

直线方程为x-2y+l=0,

联立卜2=2px,得y2-4py+2p=(),

+1=0

△=16p2-8p>0,即p<0(舍)或p>；.

设例(％,yj,N(X2,y2),则用+w=4p,x1x2=2p,

弦MN的长为4厉，

4岳=J(l+2>[(4p)2-4x2p],

整理，得2P2_p_6=0,

-2

解得p=2或p=-：(舍)，

抛物线c的标准方程为/=4%.

(2)设MN的方程为y=Z(x+l),代入抛物线的方程，可得62-4)，+44=0

设M(X1,y),N(X2,%)，OH，%)，则乂%=4，

由心=e=公-总

44

直线MB的方程为y+l=」一

(x-1)，

%+丫3

4

■■■弘+1=------(&-1)>

X+%

可得一造

44+%

%1+为

•••必力+4(必+必)+4=°

直线QN的方程为y-y2=--—(x-x2)

■必+%

可得力为-+%)+4x=0，

/.x=l,y=—4,

直线QN过定点(1,-4).

17.过点P(~4,0)的动直线/与抛物线。:/=20)，5>0)相交于。、E两点，己知当/的斜

率为1时，PE=4PD.

2

(1)求抛物线C的方程:

(2)设圆M:(x-l)2+(y-2)2=/,已知A,8是抛物线C上的两动点，且直线。4,OB

都与圆M相切(O是坐标原点)，求证：直线居经过一定点，并求出该定点坐标.

【解答】解：(1)由题意可得直线/的方程为y=g(x+4),

设£)(X],yj,£(X2,y2),

.V=2(X+4),整理可得/_pip=0