一维势能课件

机械能（二）

——一维势能曲线和碰撞再研究

一、一维势能曲线物体一维运动的势能曲线x0A’A’’AB’B’’CBE1E2V(x)x对一维运动,只要力是坐标的单值函数,一定是保守力.（i）保守力指向势能下降的方向，大小正比于势能曲线的斜率x0A’A’’AB’B’’CBE1E2V(x)x（ii）总能量E水平线在各点相距下边势能曲线的高度，代表质点在该处的动能.由于经典动能为正,所以水平线低于势能曲线的区间,是具有该能量的质点不能达到的地段.（iii）势能曲线在局部的最低(极小)点,都是稳定平衡点.总能量略高于它们的质点,只能在它们附近一定范围内活动.势能曲线在局部的最高(极大)点,都是不稳定平衡点.总能量略高于它们的质点,都会远离而去.（iv）在势能曲线任何极小点附近,质点可能围绕着它做小振动.可以如下计算振动周期（v）以A点(x0)为例,计算小振动的振动周期显然势能在这里一阶导数为零,二阶导数大于零.在

x=x-x0不大的范围内,把势能函数展开成泰勒级数:对于小振动,我们忽略三阶及以上的小量.由于坐标原点选择具有任意性,我们设x0=0,

x=x,V(x0)=0,上式简化为:,这代表一根抛物线.将机械能守恒定律改写为由此得方程:或者为了积分方便,换元令从而这样,上述方程化为:两边积分还原到x,有周期T的意思是,当t变化到t+T,

变化到

+2

,x回到原来的数值.所以例1、单摆是由一质量为m的质点用长为l的轻杆悬挂在某点构成的.假定弦不能伸长,且质量可以忽略.(1)以角度

为参数做势能曲线,说明图上哪个

范围是小球能够达到的;(2)对于H=E/mgl

=0.1,1,2,3.5,试做角速度与角位移曲线,并讨论它们各自对应的单摆运动情况;(3)

求小振幅时的周期.lmg

解:

(1)单摆的重力势能为曲线如图所示,它在

=0处有极小值,即这里是稳定平衡点.表示总能量E的水平线与势能曲线之间相差的高度代表动能Ek.因为动能恒正,所以运动只能在势能曲线低于水平线的范围内才能实现,则虚线的位置标示着振幅.

V/mgl当H=0.1时振幅很小,曲线是一个椭圆;H=2对应于振幅为

的情况,曲线仍闭合,但两端凸出略呈尖角状;H=3.5时曲线分裂成上下两支,分别对应于摆锤顺时针和逆时针的旋转;H=2是介于往复摆动与单向旋转之间的临界状态,它在两端交叉成尖角,此处对应于摆锤在正上方的不稳定位置.这条把两种运动形式分开的曲线称为“相分界线”.(2)摆锤的速度,故动能为,从而或者所以分别把给定的H值带入,则由每个

值就可以画出角速度与它的关系.(见上图)(3)线位移x=l

,计算势能在平衡点的二阶导数:周期为:例2、弹簧振子一质量为m的质点连接一个轻质弹簧,弹簧振子的弹性系数为k.(1)做V(x)-x曲线,说明图上哪个范围是振子能够达到的;(2)对于E,2E,3E,试做速度与位移曲线,并讨论其对应的运动情况;(3)

求弹簧振子的周期.x0mxkmf解:(1)振子的势能为:曲线是一条抛物线.在x=x0

=0处有极小值,即这里是稳定平衡点.表示总能量E的水平线与势能曲线之间相差的高度代表动能Ek.因为动能恒正,所以运动只能在势能曲线低于水平线的范围内才能实现,虚线的位置为其振幅.(2)振子的总能量为显然,无论能量(或者振幅)大小,轨迹总是椭圆.(3)计算势能在平衡点的二阶导数:弹簧振子的周期为:例3、如图为一倒摆装置,螺旋弹簧把它支撑在=0的平衡位置上,摆锤在重力和弹性力的共同下运动,试从它的势能曲线讨论其运动的稳定性.解:弹簧服从胡克定律,即其弹性势能为倒摆的重力势能为平衡位置对应于势能的极值上述方程可以用作图法来求解(如图).即找到两条曲线的交点,显然

=0总是解;但是还可能存在解,(1)当k/mgl>1时(弹簧硬,或者摆短)不再有交点;(2)当k/mgl<1时(弹簧软,或者摆长)左右对称的交点;(3)当k/mgl=1时是临界状态.为了分析平衡位置的稳定性,需要考虑势能的二阶导数证明:

在中央平衡点

=0处,当k/mgl>1时二阶导数为正,是稳定点.当k/mgl<1时二阶导数为负,是不稳定平衡点,即中央失稳.可以证明这时另外两个平衡点二阶导数为负,是稳定平衡点.

从相图知:(i)k/mgl>1时,相轨都是围绕中央唯一平衡点的闭合曲线,(ii)k/mgl<1时,中央为极大值,势能V=0.若E>0,相轨是一条闭合曲线,摆锤作大幅度摆动,左右仍是对称的.当E<0时,相轨分裂为两个较小的闭合曲线,它们各自围绕左右两个稳定的平衡点运动.对应于E=0的相轨是分界线,它呈“8”字形，在中央自我交叉.倒摆的势能曲线和相图左(i)k/mgl>1右(ii)k/mgl<1例4、质量为m的小环套在半径为R的光滑大圆环上,后者绕竖直轴以匀角速度

转动.试用势能曲线讨论小环的运动.解:在随大环转动的参照系内只有

一个坐标参量,是一维运动,惯性离心力ABCDRO

mgmr

2它所做的功等于对应的势能的减少同样以

=0处为零点,重力势能为总机械能为:在

<

c时势能在

0=0处有一个极小值;

>

c时势能在

0=0处势能变成了极大值;

而在其两侧各出现一个极小值.显然和上例相似,在

=

c处有因对称性自发破缺而产生的分叉现象.从上式可以画出相应的相图.用mgR约化,得无量纲的能量其中:

<

c时的势能曲线和相图

>

c时的势能曲线和相图天体、宏观物体、分子、原子、原子核以及基本粒子.散射:如果两个物体之间有斥力作用(如电磁力)则两个物体相互作用而不会接触的现象.分析碰撞与散射问题,由于相互作用时间都很短,外力可以忽略,所以都存在动量守恒.同样能量守恒,不仅仅局限在机械能守恒.所以能量守恒写为:Uf中包含了碰撞对象间的势能和各对象的内能二、碰撞再研究定义反应能宏观上是热能,微观上可能是粒子的动能,也可能是其他形式的内能Q=0,相当于弹性碰撞,机械能守恒.Q>0,相应于放热反应,原子核裂变、聚变、爆炸.实际上是其他来源提供了能量而使得动能增加.Q<0,相当于非弹性碰撞,相应于吸热反应,是动能转变为其他能量.一般物理问题研究中,我们关心的不是碰撞或者散射过程的细节,而是Q值.碰撞过程可以看作黑箱.下面仍讨论简单的正碰问题m1v1m2v2m1v1’m2v2’碰撞前碰撞后动量和能量守恒分别为:(1)Q=0时,上式可以化为对于(否则不碰撞),有这导致简单计算得到为了讨论简单,我们取v2=0.于是,(i)反冲如果,则质点2获得动能,但是很小.(ii)转移如果,则速度和能量都发生了转移,这就解释了在反应堆中,单就质量而言氢是最有效的中子减速剂.可是由于质子俘获中子而产生氘.通常采用重水而直接利用其中的氘来做减速剂.(iii)如果,则(2)Q<0时,则非弹性碰撞,定义恢复系数例5、一束能量为1.85MeV的质子轰击氟核,一些质子以反应的形式与氟核作用.在垂直于入射束的方向上观察到有

粒子出现,它们的速度是1.95107m/s.求该过程的反应能.已知:mF=19.0u,mp=1.01u,mO=16.0u,m

=4.00u,u为原子质