2025版高考数学一轮总复习10年高考真题分类题组9.1直线与圆

.1直线与圆考点一直线的方程1.(2024课标Ⅲ文,8,5分)点(0,-1)到直线y=k(x+1)距离的最大值为()A.1B.2C.3D.2答案B解法一:点(0,-1)到直线y=k(x+1)的距离为d=|k·0-(-1)+k|k2+1=|k+1|k2+1,留意到k即|k+1|≤k2+1·2,所以d=|k+1|k2+1≤2,故点解法二:由题意知,直线l:y=k(x+1)是过点P(-1,0)且斜率存在的直线,点Q(0,-1)到直线l的最大距离在直线l与直线PQ垂直时取得,此时k=1,最大距离为|PQ|=2,故选B.2.(2024北京,7,5分)在平面直角坐标系中,记d为点P(cosθ,sinθ)到直线x-my-2=0的距离.当θ,m改变时,d的最大值为()A.1B.2C.3D.4答案C本题主要考查点到直线的距离.解法一:由点到直线的距离公式得d=|coscosθ-msinθ=1+m令sinα=11+m2∴cosθ-msinθ=1+m2sin(α-θ),∴d≤|-1+m2-2|1+m2=1+解法二:∵cos2θ+sin2θ=1,∴P点的轨迹是以原点为圆心的单位圆,又x-my-2=0表示过点(2,0)且斜率不为0的直线,如图,可得点(-1,0)到直线x=2的距离即为d的最大值.故选C.导师点睛解法一:利用点到直线的距离公式求最值.解法二:首先得出P点的轨迹是单位圆,x-my-2=0表示过点(2,0)且斜率不为0的直线,然后利用数形结合思想轻松得到答案.3.(2014四川文,9,5分)设m∈R,过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx-y-m+3=0交于点P(x,y),则|PA|+|PB|的取值范围是()A.[5,25]B.[10,25]C.[10,45]D.[25,45]答案B直线x+my=0过定点A(0,0),直线mx-y-m+3=0过定点B(1,3).①当m=0时,过定点A的直线方程为x=0,过定点B的直线方程为y=3,两条直线相互垂直,此时P(0,3),∴|PA|+|PB|=4.②当m≠0时,直线x+my=0的斜率为-1m,直线mx-y-m+3=0的斜率为m.∵-1m×m=-1,∴两条直线相互垂直,即点P可视为以AB为直径的圆上的点.当点P与点A或点B重合时,|PA|+|PB|有最小值10.当点P不与点A,点B重合时,△PAB为直角三角形,且|PA|2+|PB|2=|AB|2=10.由不等式性质知|PA|+|PB|≤2|PA|2+|PB|综合①②得|PA|+|PB|∈[10,25].评析本题考查直线的方程、两直线垂直及不等式的性质,解答本题的关键是找到点P的轨迹.属中档题.4.(2013湖南理,8,5分)在等腰直角三角形ABC中,AB=AC=4,点P是边AB上异于A,B的一点.光线从点P动身,经BC,CA反射后又回到点P(如图).若光线QR经过△ABC的重心,则AP等于()A.2B.1C.83D.答案D以AB为x轴,AC为y轴建立如图所示的坐标系,由题可知B(4,0),C(0,4),A(0,0),则直线BC的方程为x+y-4=0.设P(t,0)(0<t<4),由对称学问可得点P关于直线BC的对称点P1的坐标为(4,4-t),点P关于y轴的对称点P2的坐标为(-t,0),依据反射定理可知P1P2就是光线RQ所在直线.由P1、P2两点坐标可得直线P1P2的方程为y=4-t4+t(x+t),设△ABC的重心为G,易知G43,43.因为重心G43,43在光线所以t=0或t=43,因为0<t<4,所以t=43,即AP=43考点二圆的方程1.(2024课标Ⅲ文,6,5分)在平面内,A,B是两个定点,C是动点.若AC·BC=1,则点C的轨迹为()A.圆B.椭圆C.抛物线D.直线答案A不妨以AB所在直线为x轴,AB的中点为原点,建立平面直角坐标系,设C(x,y),A(-c,0),B(c,0),c>0,则AC=(x+c,y),BC=(x-c,y),由AC·BC=1,得(x+c)(x-c)+y·y=1,即x2+y2=c2+1>0,∴点C的轨迹为圆.故选A.2.(2015课标Ⅱ理,7,5分)过三点A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的圆交y轴于M,N两点,则|MN|=()A.26B.8C.46D.10答案C设圆心为P(a,b),由点A(1,3),C(1,-7)在圆上,知b=3-72=-2.再由|PA|=|PB|,得a=1.则P(1,-2),|PA|=(1-1)2+(3+2)2=5,于是圆P的方程为(x-1)2+(y+2)2=25.令3.(2015课标Ⅱ文,7,5分)已知三点A(1,0),B(0,3),C(2,3),则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为()A.53B.21C.253答案B在平面直角坐标系xOy中画出△ABC,易知△ABC是边长为2的正三角形,其外接圆的圆心为D1,233.因此|OD|=12+24.(2015北京文,2,5分)圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是()A.(x-1)2+(y-1)2=1B.(x+1)2+(y+1)2=1C.(x+1)2+(y+1)2=2D.(x-1)2+(y-1)2=2答案D由题意得圆的半径为2,故该圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=2,故选D.5.(2024天津文,12,5分)在平面直角坐标系中,经过三点(0,0),(1,1),(2,0)的圆的方程为.

答案x2+y2-2x=0解析本题主要考查圆的方程.解法一:易知以(0,0),(1,1),(2,0)为顶点的三角形为等腰直角三角形,其外接圆的圆心为(1,0),半径为1,所以所求圆的方程为(x-1)2+y2=1,即x2+y2-2x=0.解法二:设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,由已知条件可得F解得D所以所求圆的方程为x2+y2-2x=0.方法总结常见的求圆的方程的方法:(1)利用圆的几何特征,求出圆心坐标和半径长,从而写出圆的标准方程.(2)利用待定系数法.若利用所给条件易求圆心的坐标和半径长,则常用标准方程求解;若所给条件与圆心、半径关系不亲密或涉及圆上多点,则常用一般方程求解.6.(2016浙江文,10,6分)已知a∈R,方程a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0表示圆,则圆心坐标是,半径是.

答案(-2,-4);5解析方程a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0表示圆,则a2=a+2,故a=-1或2.当a=2时,方程为4x2+4y2+4x+8y+10=0,即x2+y2+x+2y+52=0,亦即x+122+(y+1)2=-54,不成立,故舍去;当a=-1时,方程为x2+y2+4x+8y-5=0,即(x+2)2+(y+4)评析本题重点考查了圆的一般方程.圆的一般方程除了要求x2,y2的系数相等以外,还要留意求出的圆的半径的平方必需为正.(对于x2+y2+Dx+Ey+F=0,要求D2+E2-4F>0)7.(2016天津文,12,5分)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上,点M(0,5)在圆C上,且圆心到直线2x-y=0的距离为455,则圆C的方程为答案(x-2)2+y2=9解析设圆C的方程为(x-a)2+y2=r2(a>0),由题意可得|2a|5=455,(-方法总结待定系数法是求解圆方程的常用方法,一般步骤为①设出圆的方程;②列出关于系数的方程组,并求出各系数的值;③检验各值是否符合题意,并写出满意题意的圆的方程.有时也可利用圆的几何性质进行求解.评析本题主要考查点与圆的位置关系,点到直线的距离公式以及圆的方程的求法,考查方程思想方法的应用,留意圆心的横坐标的取值范围是解决本题的关键.8.(2015课标Ⅰ理,14,5分)一个圆经过椭圆x216+y24=1的三个顶点,且圆心在x轴的正半轴上答案x-322解析由已知得该圆经过椭圆的三个顶点A(4,0)、B(0,2)、C(0,-2).易知线段AB的垂直平分线的方程为2x-y-3=0.令y=0,得x=32,所以圆心坐标为32,0,则半径r=4-32=52.故该圆的标准方程为评析本题考查圆和椭圆的方程,求出圆心坐标是解题关键.9.(2014陕西理,12,5分)若圆C的半径为1,其圆心与点(1,0)关于直线y=x对称,则圆C的标准方程为.

答案x2+(y-1)2=1解析依据题意得点(1,0)关于直线y=x对称的点(0,1)为圆心,又半径r=1,所以圆C的标准方程为x2+(y-1)2=1.考点三直线与圆、圆与圆的位置关系1.(2012浙江理,3,5分)设a∈R,则“a=1”是“直线l1:ax+2y-1=0与直线l2:x+(a+1)y+4=0平行”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案A由l1∥l2,得-a2=-1a+1,解得a=1或a=-2,代入检验符合,即“a=1”是“l1∥l2”的充分不必要条件评析本题考查两直线平行和充要条件的推断,考查运算求解实力.2.(2015广东理,5,5分)平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是()A.2x+y+5=0或2x+y-5=0B.2x+y+5=0或2x+y-5=0C.2x-y+5=0或2x-y-5=0D.2x-y+5=0或2x-y-5=0答案A切线平行于直线2x+y+1=0,故可设切线方程为2x+y+c=0(c≠1),结合题意可得|c|5=5,解得3.(2014课标Ⅱ文,12,5分)设点M(x0,1),若在圆O:x2+y2=1上存在点N,使得∠OMN=45°,则x0的取值范围是()A.[-1,1]B.-1C.[-2,2]D.-答案A解法一:过M作圆O的两条切线MA、MB,切点分别为A、B,若在圆O上存在点N,使∠OMN=45°,则∠OMB≥∠OMN=45°,所以∠AMB≥90°,所以-1≤x0≤1,故选A.解法二:过O作OP⊥MN于P,则|OP|=|OM|sin45°≤1,∴|OM|≤2,即x02+1∴x02≤1,即-1≤x0≤1,评析本题考查直线与圆的位置关系,体现了数形结合的思想方法.4.(2014浙江文,5,5分)已知圆x2+y2+2x-2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4,则实数a的值是()A.-2B.-4C.-6D.-8答案B将圆的方程化为标准方程为(x+1)2+(y-1)2=2-a,所以圆心为(-1,1),半径r=2-a,圆心到直线x+y+2=0的距离d=|-1+1+2|2=2,故r2-d2=4,即5.(2014安徽文,6,5分)过点P(-3,-1)的直线l与圆x2+y2=1有公共点,则直线l的倾斜角的取值范围是()A.0,π6B.0,π3答案D过P点作圆的切线PA、PB,连接OP,如图所示.明显,直线PA的倾斜角为0,又OP=(-3)2+(-1)2=2,PA=3,OA=1,因此∠OPA=π6,由对称性知,直线PB的倾斜角为π36.(2013重庆理,7,5分)已知圆C1:(x-2)2+(y-3)2=1,圆C2:(x-3)2+(y-4)2=9,M,N分别是圆C1,C2上的动点,P为x轴上的动点,则|PM|+|PN|的最小值为()A.52-4B.17-1C.6-22D.17答案A圆C1,C2如图所示.设P是x轴上随意一点,则|PM|的最小值为|PC1|-1,同理可得|PN|的最小值为|PC2|-3,则|PM|+|PN|的最小值为|PC1|+|PC2|-4.作C1关于x轴的对称点C'1(2,-3),连接C'1C2,与x轴交于点P,连接PC1,依据三角形两边之和大于第三边可知|PC1|+|PC2|的最小值为|C'1C2|,则|PM|+|PN|的最小值为52-4.选A.评析本题考查了圆的标准方程及圆的几何性质等学问,同时又考查了数形结合思想、转化思想.把折线段长的和转化成两点间的距离是本题的关键.7.(2016课标Ⅱ,4,5分)圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,则a=()A.-43B.-34C.3答案A圆的方程可化为(x-1)2+(y-4)2=4,则圆心坐标为(1,4),圆心到直线ax+y-1=0的距离为|a+4-1|a2+1易错警示(1)圆心坐标错写成(-1,-4);(2)把点到直线的距离公式记错或用错.8.(2011浙江文,12,4分)若直线x-2y+5=0与直线2x+my-6=0相互垂直,则实数m=.

答案1解析依题意m≠0,所以由-2m×12评析本题考查两条直线垂直的充要条件,属简单题.留意与平行的区分.9.(2024江苏,14,5分)在平面直角坐标系xOy中,已知P32,0,A,B是圆C:x2+y-122=36上的两个动点,满意答案105解析∵PA=PB,CA=CB,∴CP⊥AB,∴kAB=-1kCP=设AB:y=3x+m,即3x-y+m=0,∵AB与☉C相交,∴m-122<6,即m-∵圆心C到直线AB的距离d2=m-∴|AB|=236-m-又∵点P到直线AB的距离d1=32∴S△PAB=12|AB|·d1=12·144=14令f(m)=144-则f'(m)=(1-2m)32+m2=3=32+m(289-4m令f'(m)=0,则m=-32或m=-172或m=列表如下:m--17-f'(m)+0-f(m)↗极大值↘m-3-1717f'(m)0+0-f(m)微小值↗极大值↘由表得f-172,f17当m=-172时,S△PAB=21当m=172时,S△PAB=105∴△PAB面积的最大值为105.10.(2024天津理,12,5分)设a∈R,直线ax-y+2=0和圆x=2+2cosθ,y=1+2sinθ(θ为参数)相切答案3解析本题考查了圆的方程和直线与圆的位置关系,通过直线与圆相切的条件考查了数学运算和数形结合的思想方法,体现了直观想象、数学运算的核心素养.解法一:由圆的参数方程知圆心为(2,1),半径r=2,因为直线与圆相切,所以圆心到直线的距离等于半径,即|2a-1+2|解法二:如图,由圆的参数方程消去θ,得一般方程为(x-2)2+(y-1)2=4,设圆心为C,圆与y轴切于点D,易知直线过定点A(0,2),设∠CAD=θ,易求得tanθ=2,则a=1tan(180°-2θ)11.(2024课标Ⅰ文,15,5分)直线y=x+1与圆x2+y2+2y-3=0交于A,B两点,则|AB|=.

答案22解析将圆x2+y2+2y-3=0化为标准方程为x2+(y+1)2=4,则圆心坐标为(0,-1),半径r=2,∴圆心到直线x-y+1=0的距离d=22=2∴|AB|=2r2-d2=2方法归纳求解圆的弦长的常用方法:(1)几何法:l=2r2-d2(其中l为圆的弦长,r(2)代数法:联立直线与圆的方程,结合根与系数的关系及弦长公式|AB|=1+k2|x1-x2|=1+k2·(x1+x2)2-4x1x12.(2024天津理,12,5分)已知圆x2+y2-2x=0的圆心为C,直线x=-1+22t,y=3-22t答案1解析本题考查直线的参数方程和直线与圆的位置关系.圆C的标准方程为(x-1)2+y2=1,消去参数t得直线的一般方程为x+y-2=0.圆心C(1,0)到直线的距离d=|1+0-2|2=2所以△ABC的面积为12|AB|·d=12×2×22方法总结有关直线与圆相交的计算问题,通常利用点到直线的距离和勾股定理求解.13.(2016课标Ⅲ理,16,5分)已知直线l:mx+y+3m-3=0与圆x2+y2=12交于A,B两点,过A,B分别作l的垂线与x轴交于C,D两点.若|AB|=23,则|CD|=.

答案4解析由题意可知直线l过定点(-3,3),该定点在圆x2+y2=12上,不妨设点A(-3,3),由于|AB|=23,r=23,所以圆心到直线AB的距离为d=(23)2-(3)2=3,又由点到直线的距离公式可得d=|3m-3|m2+1=3,解得m=-33,所以直线l的斜率k=-m=33,即直线l的倾斜角为30°.如图,过点C作CH⊥BD,解后反思涉及直线与圆的位置关系的问题要充分利用圆的性质,利用数形结合的思想方法求解.14.(2016课标Ⅰ文,15,5分)设直线y=x+2a与圆C:x2+y2-2ay-2=0相交于A,B两点,若|AB|=23,则圆C的面积为.

答案4π解析把圆C的方程化为x2+(y-a)2=2+a2,则圆心为(0,a),半径r=a2+2.圆心到直线x-y+2a=0的距离d=|a|2.由r2=d2+|AB|22,得a2+2=a22+3,解得评析本题考查了直线与圆的位置关系,考查了圆的方程和点到直线的距离公式,利用弦长的一半,圆心到直线的距离及半径构成的直角三角形求解是关键.15.(2015江苏,10,5分)在平面直角坐标系xOy中,以点(1,0)为圆心且与直线mx-y-2m-1=0(m∈R)相切的全部圆中,半径最大的圆的标准方程为.

答案(x-1)2+y2=2解析由mx-y-2m-1=0可得m(x-2)=y+1,由m∈R知该直线过定点(2,-1),从而点(1,0)与直线mx-y-2m-1=0的距离的最大值为(2-1)2+(-1-16.(2014重庆理,13,5分)已知直线ax+y-2=0与圆心为C的圆(x-1)2+(y-a)2=4相交于A,B两点,且△ABC为等边三角形,则实数a=.

答案4±15解析易知△ABC是边长为2的等边三角形,故圆心C(1,a)到直线AB的距离为3,即|a+a-2|a2+1=3,解得评析本题考查过定点的直线与圆相交的弦长问题,以及数形结合的思想方法,对综合实力要求较高.17.(2015课标Ⅰ文,20,12分)已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C:(x-2)2+(y-3)2=1交于M,N两点.(1)求k的取值范围;(2)若OM·ON=12,其中O为坐标原点,求|MN|.解析(1)由题设,可知直线l的方程为y=kx+1.因为l与C交于两点,所以|2解得4-73所以k的取值范围为4-73(2)设M(x1,y1),N(x2,y2).将y=kx+1代入方程(x-2)2+(y-3)2=1,整理得(1+k2)x2-4(1+k)x+7=0.所以x1+x2=4(1+k)1+k2,x1OM·ON=x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+k(x1+x2)+1=4k由题设可得4k(1+所以l的方程为y=x+1.故圆心C在l上,所以|MN|=2.(12分)18.(2015广东理,20,14分)已知过原点的动直线l与圆C1:x2+y2-6x+5=0相交于不同的两点A,B.(1)求圆C1的圆心坐标;(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程;(3)是否存在实数k,使得直线L:y=k(x-4)与曲线C只有一个交点?若存在,求出k的取值范围;若不存在,说明理由.解析(1)圆C1的方程x2+y2-6x+5=0可化为(x-3)2+y2=4,所以圆心坐标为(3,0).(2)设A(x1,y1),B(x2,y2)(x1≠x2),M(x0,y0),则x0=x1+x22由题意可知直线l的斜率必存在,设直线l的方程为y=tx.将上述方程代入圆C1的方程,化简得(1+t2)x2-6x+5=0.由题意,可得Δ=36-20(1+t2)>0(*),x1+x2=61+所以x0=31+t2,代入直线l的方程,得y0因为x02+y02=9(1+t2)所以x0-322由(*)解得t2<45,又t2≥0,所以53<x0所以线段AB的中点M的轨迹C的方程为x-322+y(3)由(2)知,曲线C是在区间53,如图,D53,253,E5联立直线L的方程与曲线C的方程,消去y整理得(1+k2)x2-(3+8k2)x+16k2=0.令判别式Δ=0,解得:k=±34,由求根公式解得交点的横坐标为xH,I=125∈53,3,由图可知:要使直线L与曲线C只有一个交点,则k∈[kDG,kEG]∪{kGH,kGI},即k19.(2014课标Ⅰ文,20,12分)已知点P(2,2),圆C:x2+y2-8y=0,过点P的动直线l与圆C交于A,B两点,线段AB的中点为M,O为坐标原点.(1)求M的轨迹方程;(2)当|OP|=|OM|时,求l的方程及△POM的面积.解析(1)圆C的方程可化为x2+(y-4)2=16,所以圆心为C(0,4),半径为4.设M(x,y),则CM=(x,y-4),MP=(2-x,2-y).由题设知CM·MP=0,故x(2-x)+(y-4)(2-y)=0,即(x-1)2+(y-3)2=2.由于点P在圆C的内部,所以M的轨迹方程是(x-1)2+(y-3)2=2.(2)由(1)可知M的轨迹是以点N(1,3)为圆心,2为半径的圆.由于|OP|=|OM|,故O在线段PM的垂直平分线上,又P在圆N上,从而ON⊥PM.因为ON的斜率为3,所以l的斜率为-13,故l的方程为y=-13x+又|OM|=|OP|=22,O到l的距离为4105,|PM|=4105,所以△评析本题考查轨迹方程的求法,直线与圆的位置关系,在解决直线与圆的相关问题时,利用图形的几何性质可简化运算.20.(2013江苏,17,14分)如图,在平面直角坐标系xOy中,点A(0,3),直线l:y=2x-4.设圆C的半径为1,圆心在l上.(1)若圆心C也在直线y=x-1上,过点A作圆C的切