2025版新教材高中数学同步练习10平面向量数量积的坐标表示新人教A版必修第二册

同步练习10平面对量数量积的坐标表示必备学问基础练一、选择题(每小题5分，共45分)1．已知向量a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，4))，a－b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，2))，则a·b＝()A．5B．14C．－6D．2eq\r(2)2．[2024·湖北黄冈高一期中]已知Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，－2))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－5))，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，2))，则cos∠BAC＝()A．eq\f(2\r(5),25)B．－eq\f(2\r(5),25)C．eq\f(\r(5),25)D．－eq\f(\r(5),25)3．已知a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，1))，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，5))，c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，x))，若eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(8a－b))·c＝30，则x＝()A．6B．5C．4D．34．[2024·广东深圳高一期中]已知两点A(4，2)，B(1，6)，则与向量eq\o(AB,\s\up6(→))同向的单位向量是()A．(eq\f(4,5)，－eq\f(3,5))B．(－3，4)C．(eq\f(3,5)，－eq\f(4,5))D．(－eq\f(3,5)，eq\f(4,5))5．已知向量a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m，1))，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，m))，若a与b方向相反，则eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a＋b))＝()A．eq\r(2m2＋10m＋17)B．eq\r(5)C．2eq\r(5)D．56．已知向量a＝(1，3)，b＝(n，1)，若|a＋b|＝a·b，则n的值为()A．－3B．－2C．1D．27．[2024·河南郑州高一期中]已知平面对量a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－1))，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3，4))，则5a在b上的投影向量为()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，2))B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－2))C．(－eq\f(3,5)，eq\f(4,5))D．(eq\f(3,5)，－eq\f(4,5))8．(多选)已知平面对量a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，2))，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，m))，且eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(2a－b\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(＝))a＋b))，则()A．a·b＝4B．a∥bC．m＝－1D．eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b))＝eq\r(2)9．(多选)[2024·河南焦作高一期中]已知向量a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，1))，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，2))，c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－2))，则()A．a∥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－b))B．eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a＋c))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－b))⊥aD．a－b与c的夹角为eq\f(π,4)二、填空题(每小题5分，共15分)10．[2024·河北邯郸高一期中]已知a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3，2))，b＝(eq\f(1,2)，1)，则a·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3a－2b))＝________．11．已知向量a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－1))，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b))＝4，a·b＝2eq\r(2)，则a与b的夹角为________．12．[2024·辽宁沈阳高一期末]已知向量a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，3))，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x，4))，若a⊥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－b))，则x＝________．三、解答题(共20分)13．(10分)已知平面对量a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，4))，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(9，x))，c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，y))，且a∥b，a⊥c.(1)求b和c；(2)若m＝2a－b，n＝a＋c，求m·n的值．14．(10分)[2024·江苏南京高一期中]已知向量a＝(2t，t)，b＝(－3，2)，c＝(3，－1)，t∈R.(1)若t＝1，求eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a＋2b))的值；(2)若b－a与c共线，求a，c夹角．关键实力提升练15.(5分)已知平面对量a＝(－1，eq\f(1,2))，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，λ))，a与b的夹角为钝角，则λ的取值范围是()A．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，2))B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，＋∞))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，2))D．(－∞，－eq\f(1,2))∪(－eq\f(1,2)，2)16.(5分)如图放置的边长为2的正方形ABCD顶点A，D分别在x轴，y轴正半轴(含原点)上滑动，则eq\o(OB,\s\up6(→))·eq\o(OC,\s\up6(→))的最大值是________．17．(10分)[2024·江苏连云港高一期末]已知向量a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\r(3)))，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，0)).(1)求a－b的坐标以及a－b与a之间的夹角；(2)当t∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，1))时，求eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a－tb))的取值范围．同步练习10平面对量数量积的坐标表示必备学问基础练1．答案：B解析：因为a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，4))，a－b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，2))，所以b＝a－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，2))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，2))，所以a·b＝3×2＋4×2＝14.故选B.2．答案：B解析：Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，－2))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－5))，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，2))，则＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4，－3))，＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，4))，cos∠BAC＝＝eq\f(8－12,5×2\r(5))＝－eq\f(2\r(5),25).故选B.3．答案：C解析：由于8a－b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6，3))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(8a－b))·c＝30，所以6×3＋3x＝30，x＝4.故选C.4．答案：D解析：由A(4，2)，B(1，6)，得＝(－3，4)，则＝eq\r(（－3）2＋42)＝5，所以与向量同向的单位向量为＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)，\f(4,5))).故选D.5．答案：B解析：由题意向量a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m，1))，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，m))，a与b方向相反，则m2－4＝0且m<0，故m＝－2，所以a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，1))，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，－2))，所以a＋b＝(2，－1)，∴eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a＋b))＝eq\r(22＋（－1）2)＝eq\r(5).故选B.6．答案：D解析：因为向量a＝(1，3)，b＝(n，1)，所以a＋b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋n，4))，a·b＝1×n＋3×1＝3＋n，又eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a＋b))＝a·b,所以eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋n))2＋16)＝3＋n，所以4n＝8，即n＝2.故选D.7．答案：D解析：5a在b上的投影向量的数量为eq\f(5a·b,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b)))＝eq\f(－5×（－3）＋（－5）×4,\r(（－3）2＋42))＝－1，所以5a在b上的投影向量为－1×eq\f(b,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b)))＝－(－eq\f(3,5)，eq\f(4,5))＝(eq\f(3,5)，－eq\f(4,5)).故选D.8．答案：ABD解析：2a－b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，4))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，m))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，4－m))，a＋b＝(3，2＋m)，所以32＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4－m))2＝32＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋m))2，解得m＝1，C错误；所以b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，1))，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b))＝eq\r(1＋1)＝eq\r(2)，D正确；则a·b＝2＋2＝4，A正确；因为a＝2b，所以a∥b，B正确．故选ABD.9．答案：BD解析：A选项，a－b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－1))，因为1×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1))≠eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2))，则a与a－b不共线，故A错误；B选项，a＋c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，－1))⇒eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a＋c))＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1))2)＝eq\r(5)，又eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b))＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1))2＋22)＝eq\r(5)，则eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a＋c))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b))，故B正确；C选项，因为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－b))·a＝2－1≠0，则a与a－b不垂直，故C错误；D选项，cos〈a－b，c〉＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－b))·c,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a－b))\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(c)))＝eq\f(2,\r(2)×2)＝eq\f(\r(2),2)，又〈a－b，c〉∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，π))，则〈a－b，c〉＝eq\f(π,4)，即a－b与c的夹角为eq\f(π,4)，故D正确．故选BD.10．答案：38解析：a·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3a－2b))＝3a2－2a·b＝3(9＋4)－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)＋2))＝38.11．答案：eq\f(π,4)解析：由a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－1))，得eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))＝eq\r(02＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1))2)＝1，所以cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b)))＝eq\f(2\r(2),1×4)＝eq\f(\r(2),2)，又〈a，b〉∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，π))，即〈a，b〉＝eq\f(π,4).12．答案：eq\f(1,2)解析：因为a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，3))，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x，4))，所以a－b＝(2－x，－1)，因为a⊥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－b))，所以2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－x))＋3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1))＝0，解得x＝eq\f(1,2).13．解析：(1)因为a∥b，则3x－36＝0，所以x＝12.因为a⊥c，则3×4＋4y＝0，所以y＝－3.所以b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(9，12))，c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，－3)).(2)因为m＝2a－b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6，8))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(9，12))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3，－4))，n＝a＋c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，4))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，－3))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(7，1))，所以m·n＝－3×7＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4))×1＝－25.14．解析：(1)∵a＝(2t，t)，b＝(－3，2)，c＝(3，－1)，当t＝1时，a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，1))，∴a＋2b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，1))＋2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3，2))＝(－4，5)，∴|a＋2b|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4))2＋52)＝eq\r(41).(2)b－a＝(－3－2t，2－t)，且与c共线，∴(－3－2t)×(－1)＝3×(2－t)，解得t＝eq\f(3,5)，a＝(eq\f(6,5)，eq\f(3,5))，所以cos〈a，c〉＝eq\f(a·c,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(c)))＝eq\f(\f(6,5)×3－\f(3,5),\r(（\f(6,5)）2＋（\f(3,5)）2)×\r(32＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1))2))＝eq\f(\r(2),2)，∵〈a，c〉∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，π))，所以a，c夹角为eq\f(π,4).关键实力提升练15．答案：D解析：因为a与b的夹角为钝角，所以〈a，b〉∈(eq\f(π,2)，π).所以cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b)))<0，即eq\f(a·b,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b)))＝eq\f(－1＋\f(1,2)λ,\r(1＋\f(1,4))×\r(1＋λ2))<0，解得λ<2.而a与b反向时，〈a，b〉＝π，此时a＝kbeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(k<0))，即(－1，e