江苏专版2024-2025学年新教材高中数学第6章空间向量与立体几何6.3空间向量的应用6.3.3空间角的计算分层作业苏教版选择性必修第二册

6.3.3空间角的计算基础达标练1.已知向量m,n分别是直线l的方向向量和平面α的法向量,若cos<m,n>=-,则l与α所成的角为()A.30° B.60° C.120° D.150°2.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,BC=2,DD1=,则AC与BD1所成角的余弦值是()A.0 B. C. D.3.如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,BB1=4,则BB1与平面ACD1所成角的正弦值为()A. B.C. D.4.在一个锐二面角的两个半平面内,与二面角的棱垂直的两个向量分别为(0,-1,3),(2,2,4),则这个锐二面角的平面角的余弦值为()A. B. C. D.5.(多选题)已知二面角α-l-β的两个半平面α与β的法向量分别为a,b,若<a,b>=,则二面角α-l-β的大小可能为()A. B. C. D.6.如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1,求直线A1B与平面A1B1CD所成角的大小.实力提升练7.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CC1=2CB,则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为()A. B.C. D.8.在三棱锥P-ABC中,△ABC和△PBC均为等边三角形,且二面角P-BC-A的大小为120°,则异面直线PB和AC所成角的余弦值为()A. B. C. D.9.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,EF⊥AC,EF⊥A1D,则EF与BD1所成的角是()A.90° B.60° C.30° D.0°10.(多选题)将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角,下列结论正确的是()A.AC⊥BDB.AB,CD所成角为C.△ADC为等边三角形D.AB与平面BCD所成角为60°11.(多选题)(2024南京月考)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,∠DAB=,AB=2AD=2PD,PD⊥底面ABCD,则()A.PA⊥BDB.PB与平面ABCD所成角为C.异面直线AB与PC所成角的余弦值为D.二面角A-PB-C的正弦值为12.在空间中,已知平面α过点A(3,0,0)和B(0,4,0)及z轴上一点P(0,0,a)(a>0),假如平面α与平面xOy的夹角为45°,则a=.

13.如图,已知AB是圆柱底面圆的一条直径,OP是圆柱的一条母线,C为底面圆上一点,且AC∥OB,OP=AB=OA,则直线PC与平面PAB所成角的正弦值为.

14.如图,已知在长方形ABCD中,AB=2,AD=,M为DC的中点.将△ADM沿AM折起,使得平面ADM⊥平面ABCM.(1)求证:AD⊥BM;(2)若E是线段DB上的一动点,则当点E在何位置时,二面角E-AM-D的余弦值为?拓展探究练15.如图所示,在菱形ABCD中,∠ABC=,线段AD,BD的中点分别为E,F.现将△ABD沿对角线BD翻折,当二面角A-BD-C的余弦值为时,异面直线BE与CF所成角的正弦值是.

16.(2024新高考Ⅱ)如图,在三棱锥A-BCD中,DA=DB=DC,BD⊥CD,∠ADB=∠ADC=60°,E为BC的中点.(1)证明:BC⊥DA;(2)点F满意=,求二面角D-AB-F的正弦值.6.3.3空间角的计算1.A设l与α所成的角为θ,且0°≤θ≤90°,则sinθ=|cos<m,n>|=,∴θ=30°.2.A建立如图所示的空间直角坐标系,则D10,0,,B(2,2,0),A(2,0,0),C(0,2,0),所以=-2,-2,,=(-2,2,0),所以|cos<,>|==0,即AC与BD1所成角的余弦值为0.3.A如图所示,建立空间直角坐标系,则A(2,0,0),C(0,2,0),D1(0,0,4),B(2,2,0),B1(2,2,4),则=(-2,2,0),=(-2,0,4),=(0,0,4).设平面ACD1的法向量为n=(x,y,z),则即不妨取n=(2,2,1).设BB1与平面ACD1所成的角为θ,则sinθ=|cos<n,>|===.4.A由==,知这个锐二面角的平面角的余弦值为.5.AB由于二面角的范围是[0,π],而二面角的两个半平面α与β的法向量都有两个方向,因此二面角α-l-β的大小为或,故选AB.6.解(方法一)如图,连接BC1,与B1C交于点O,连接A1O.∵BC1⊥B1C,A1B1⊥BC1,A1B1∩B1C=B1,∴BC1⊥平面A1B1CD,∴A1B在平面A1B1CD内的投影为A1O.∴∠OA1B就是直线A1B与平面A1B1CD所成的角.设正方体的棱长为1.在Rt△A1OB中,A1B=,BO=,∴sin∠OA1B===,∴∠OA1B=30°,即直线A1B与平面A1B1CD所成的角为30°.(方法二)设正方体的棱长为1,以{,,}为单位正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系,则D(0,0,0),A1(1,0,1),C(0,1,0),B(1,1,0),∴=(1,0,1),=(0,1,0),=(0,1,-1).设平面A1B1CD的法向量为n=(x,y,z),则∴令z=-1,得x=1,∴n=(1,0,-1).∴cos<n,>===,∴<n,>=60°,∴直线A1B与平面A1B1CD所成的角为30°.7.A不妨设CA=CC1=2CB=2,则=(-2,2,1),=(0,-2,1),所以cos<,>===-.因为直线BC1与直线AB1的夹角为锐角,所以所求角的余弦值为.8.A(方法一)如图,取BC的中点O,连接OP,OA.因为△ABC和△PBC均为等边三角形,所以AO⊥BC,PO⊥BC,所以BC⊥平面PAO,从而平面PAO⊥平面ABC,且∠POA就是二面角P-BC-A的平面角,即∠POA=120°.建立空间直角坐标系如图所示.设AB=2,则A(,0,0),C(0,-1,0),B(0,1,0),P-,0,,所以=(-,-1,0),=,1,-,cos<,>==-,所以异面直线PB与AC所成角的余弦值为.(方法二)如图所示,取BC的中点O,连接OP,OA.因为△ABC和△PBC均为等边三角形,所以AO⊥BC,PO⊥BC,所以∠POA就是二面角P-BC-A的平面角.设AB=2,则=-,=-,故·=(-)·(-)=·-·-·+·=-1-0-0+××-=-,所以cos<,>==-,即异面直线PB与AC所成角的余弦值为.(方法三)如图,取BC的中点O,连接OP,OA.因为△ABC和△PBC均为等边三角形,所以AO⊥BC,PO⊥BC,所以∠POA就是二面角P-BC-A的平面角,即∠POA=120°.过点B作AC的平行线交AO的延长线于点D,连接PD,则∠PBD或其补角就是异面直线PB和AC所成的角.设AB=a,则PB=BD=a,PO=OD=PD=a,所以cos∠PBD==,即异面直线PB与AC所成角的余弦值为.9.D如图,以D为原点建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为a,则A1(a,0,a),D(0,0,0),A(a,0,0),C(0,a,0),B(a,a,0),D1(0,0,a),∴=(a,0,a),=(-a,a,0),=(-a,-a,a).∵EF⊥AC,EF⊥A1D,设=(x,y,z),∴·=(x,y,z)·(a,0,a)=ax+az=0,·=(x,y,z)·(-a,a,0)=-ax+ay=0.∵a≠0,∴x=y=-z(x≠0),∴=(x,x,-x),∴=-,∴∥,即BD1∥EF.故EF与BD1所成的角是0°.10.ABC如图,取BD的中点O,连接AO,CO,连接AC,易知BD⊥平面AOC,故BD⊥AC.如图,建立空间直角坐标系,设正方形的边长为a,则Aa,0,0,B0,-a,0,C0,0,a,D0,a,0,故=-a,-a,0,=0,a,-a.由两向量夹角公式得cos<,>=-,故两异面直线所成的角为.在Rt△AOC中,由AO=CO=a,AO⊥CO,知AC=AO=a,故△ADC为等边三角形.易知∠ABO即为直线AB与平面BCD所成的角,可求得∠ABO=45°,故D错.11.ABD设AB=2AD=2PD=2a,由余弦定理得BD2=AD2+AB2-2AD·AB·cos∠BAD=a2+4a2-4a2·=3a2,则BD=a,则BD2+AD2=AB2,即BD⊥AD,又PD⊥底面ABCD,AD,BD⊂底面ABCD,所以PD⊥AD,PD⊥BD.如图,以D为原点,DA,DB,DP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则D(0,0,0),A(a,0,0),B(0,a,0),C(-a,a,0),P(0,0,a).对于A,=(a,0,-a),=(0,-a,0),则·=0+0+0=0,所以PA⊥BD,故A正确;对于B,因为PD⊥底面ABCD,所以=(0,0,a)是平面ABCD的一个法向量,又=(0,a,-a),所以cos<,>===-,则PB与平面ABCD所成角的正弦值为,即PB与平面ABCD所成角为,故B正确;对于C,=(-a,a,0),=(-a,a,-a),则cos<,>===,则异面直线AB与PC所成角的余弦值为,故C错误;对于D,设平面PAB的法向量为n=(x1,y1,z1),则⇒⇒令y1=1,则n=(,1,),设平面PBC的法向量为m=(x2,y2,z2),则⇒⇒令y2=1,则m=(0,1,),所以cos<n,m>===,令二面角A-PB-C所成角为θ(0≤θ≤π),则|cosθ|=,则平面PAB与平面PBC的夹角的余弦值为,所以sinθ==,故D正确.故选ABD.12.平面xOy的一个法向量为n=(0,0,1).设平面α的法向量为u=(x,y,z),又=(-3,4,0),=(-3,0,a),则即即3x=4y=az,取z=1,则u=,,1.而cos<n,u>==,又a>0,所以a=.13.AB是底面圆的直径,则AO⊥BO.又OP是圆柱的母线,则OP⊥平面OABC,所以OA,OB,OP两两垂直.以{,,}为正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系,设OA=1,则AB=OP=,所以OB==1.因为AC∥OB,所以∠OAC=90°,而∠ACB=90°,所以四边形OACB是正方形,所以P(0,0,),A(1,0,0),B(0,1,0),C(1,1,0),=(1,1,-),=(-1,1,0),=(-1,0,).设平面PAB的法向量为n=(x,y,z),则取z=1,则x=y=,所以n=(,,1).设直线PC与平面PAB所成角为θ,所以sinθ=|cos<n,>|==.14.(1)证明因为在长方形ABCD中,AB=2,AD=,M为DC的中点,所以AM=BM=2,所以BM⊥AM.因为平面ADM⊥平面ABCM,平面ADM∩平面ABCM=AM,BM⊂平面ABCM,所以BM⊥平面ADM.因为AD⊂平面ADM,所以AD⊥BM.(2)解取AM的中点O,连接OD,则OD⊥AM,过点O作ON⊥AM,交AB于点N.又平面ADM⊥平面ABCM,所以OD⊥平面ABCM.以O为原点,OA,ON,OD所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(1,0,0),M(-1,0,0),D(0,0,1),B(-1,2,0),所以=(1,0,1),=(-1,2,-1),=(-2,0,0).设=λ(0≤λ≤1),则=+λ=(1-λ,2λ,1-λ).设平面AME的法向量为m=(x,y,z),则即取y=1,得x=0,y=1,z=,所以m=0,1,.明显平面AMD的一个法向量为n=(0,1,0).因为cos<m,n>==,解得λ=,所以E为BD的中点.15.如图所示,过点E作EH⊥BD,交BD于H点,设异面直线BE与CF所成的角为θ,则θ∈.记二面角A-BD-C的大小为α,·=·(+)=·,即·=||·||cos(π-α),即||·||cos<,>=||·||·-,∴cos<,>=-,∴cosθ=,∴sinθ=.16.(1)证明如图,连接AE,DE,∵E为BC的中点,DB=DC,∴DE⊥BC①.∵DA=DB=DC,∠ADB=∠ADC=60°,∴△ACD与△ABD均为等边三角形,∴AC=AB,∴AE⊥BC②.由①②得,AE∩DE=E,AE,DE⊂平面ADE,∴BC⊥平面ADE.又AD⊂平面ADE,∴BC⊥DA.(2)解设DA=DB=DC=2,∵BD⊥CD,∴BC=2,DE=AE=.∴AE2+DE2=4=AD2,∴AE⊥DE.又∵AE⊥BC,DE∩BC=E,DE,BC⊂