固体物理学 课件 第4章 晶格振动理论4.4节

固体物理学主讲教师：胡建民哈尔滨师范大学物理与电子工程学院12024/7/23知识回顾第四章晶格振动理论2经典的晶格振动理论量子的晶格振动理论晶格振动的热容理论一维原子链周期性边界条件(q,ω)

振动模式数=格波数三维晶格色散关系第四章晶格振动理论3热容热容：晶格振动在晶体宏观性质上的直接体现第四节晶格热容理论定义

定容热容

固体内能=晶格振动能+电子动能+相互作用势能

简谐近似下相互作用势能近似为常数。

第四章晶格振动理论4热容在温度不太低的情况下第四节晶格热容理论晶格热容第五章讨论电子热容本章讨论第四章晶格振动理论5热容对于晶体第四节晶格热容理论定容热容实验热容定压热容理论热容实验结果验证理论结果第四章晶格振动理论6经典的热容理论1杜隆-珀替（Dulong-Petit）定律：第四节晶格热容理论1819年，室温下晶体热容为24.9JK-1mol-11875年，Weber发现随温度升高晶体的热容趋于定值，室温下随温度的降低而减小。第四章晶格振动理论7经典的热容理论2经典的玻尔兹曼统计理论：第四节晶格热容理论根据能量均分定理：能量按照自由度平均分配。线性谐振子在每个自由度上的平均能量为则由N个原子组成的晶体内能为摩尔热容：Cm=

3NAkB=3R=24.9JK-1mol-1kBT3NkBT第四章晶格振动理论8经典的热容理论第四节晶格热容理论摩尔热容：Cm=

3NAkB=3R=24.9JK-1mol-1可见：室温下与实验一致，低温下与实验结果不符。玻耳兹曼常数：kB阿弗加德罗常数：NA普适气体常数：R第四章晶格振动理论9经典的热容理论3经典热容理论失败的原因：第四节晶格热容理论经典的玻尔兹曼统计不能正确描述线性谐振子体系的统计规律。需要引入量子的观点，建立量子的热容理论。第四章晶格振动理论10量子的热容理论第四节晶格热容理论为简单起见，取由N个原子构成的晶体内能量子数ni=0,1,2,…i=1,2,3,…,3N频率为ωi的声子数声子是玻色子，遵从Bose-Einstein统计规律1晶体内能第四章晶格振动理论11量子的热容理论第四节晶格热容理论2Bose-Einstein统计规律只考虑对热容有贡献的部分第四章晶格振动理论12量子的热容理论第四节晶格热容理论3晶格热容波矢和频率取分立值，色散关系看作准连续变化qω第四章晶格振动理论13量子的热容理论第四节晶格热容理论3晶格热容ρ(ω)

：在ω~ω+

dω的格波数，称为振动模式密度可以确定ωm第四章晶格振动理论14量子的热容理论第四节晶格热容理论3晶格热容可见，求解热容的关键是确定

ρ(ω)和ωm第四章晶格振动理论15爱因斯坦模型第四节晶格热容理论1独立谐振子模型1907年，Einstein提出晶体中各原子的振动模式都是独立的所有原子做频率相等的简谐振动原子的振动能量是量子化的，能量子为声子第四章晶格振动理论16爱因斯坦模型第四节晶格热容理论2热容fE称为Einstein热容函数称为Einstein温度第四章晶格振动理论17爱因斯坦模型第四节晶格热容理论2热容高温情况下第四章晶格振动理论18爱因斯坦模型第四节晶格热容理论2热容高温情况下1872年，Weber测得金刚石热容量6CalK-1mol-1

第四章晶格振动理论19爱因斯坦模型第四节晶格热容理论2热容低温情况下1910年能斯特发现在液氢温度(20.3K)下热容量变化更缓慢第四章晶格振动理论20爱因斯坦模型第四节晶格热容理论3Einstein模型的成功与不足解决了经典理论的困难，证实量子理论的成功；模型过于简单，忽略了低频长声学波的贡献。小结第四章晶格振动理论21经典的热容理论量子的热容理论

Einstein模型

Debye模型第四章晶格振动理论22爱因斯坦模型第四节晶格热容理论高温情况下低温情况下独立谐振子模型模型过于简单，忽略了低频长声学波的贡献。第四章晶格振动理论23德拜模型第四节晶格热容理论1弹性的连续介质模型1912年，Debye提出对于长声学波，晶格看作连续的弹性介质；格波为弹性介质波，ω=qc，υp=υg=c

；

声学波3支：1支纵波和2支横波，且波速相等。υL=υT=c

第四章晶格振动理论24德拜模型第四节晶格热容理论2振动模式密度ρ(ω)和频率极限ωD=ωm一维单原子链一维双原子链三维晶格(q,ω)

(q,±ω)

第四章晶格振动理论25德拜模型第四节晶格热容理论一个倒格点的体积格点密度：单位体积内的格点数可见，在波矢空间中倒格点均匀分布。第四章晶格振动理论26德拜模型第四节晶格热容理论等频率面：半径为q的球面半径为q厚度为dq的球壳内振动模式数第四章晶格振动理论27德拜模型第四节晶格热容理论振动模式密度频率极限ωm也称为Debye频率ωm=ωD格波总数等于晶体中原子的总自由度数第四章晶格振动理论28德拜模型第四节晶格热容理论第四章晶格振动理论29德拜模型第四节晶格热容理论3热容量第四章晶格振动理论30德拜模型第四节晶格热容理论Debye温度第四章晶格振动理论31德拜模型第四节晶格热容理论第四章晶格振动理论32德拜模型第四节晶格热容理论第四章晶格振动理论33德拜模型第四节晶格热容理论3热容量fD：Debye热容函数第四章晶格振动理论34德拜模型第四节晶格热容理论高温情况下完全符合实验结果第四章晶格振动理论35德拜模型第四节晶格热容理论低温情况下完全符合实验结果第四章晶格振动理论36德拜模型第四节晶格热容理论4Debye模型的理论成就与不足考虑长声学波的贡献，成功解释低温热容；格波的振动是多样的，仅考虑长声学波不够合理，导致德拜温度与温度无关，与实验不符；章小结第四章晶格振动理论37经典的晶格振动理论量子的晶格振动理论晶格热容理论晶格振动理论章小结第四章晶格振动理论38经典的晶格振动理论一维原子链问题动力学方程格波简谐近似色散关系振动模式(q,ω)光学波与声学波章小结第四章晶格振动理论39量子的晶格振动理论周期性边界条件格波与声子晶格振动能振动模式(q,ω)q和

ω取分立值环状原子链块状晶体堆砌模型章小结第四章晶格振动理论40晶格热容理论经典的热容理论量子的热容理论杜隆-珀替定律玻尔兹曼统计能量均分定理Eindte