高中数学：第 3章函数的概念与性质（单元测试）

第3章函数的概念与性质(单元测试)

选择题(共8小题)

1.下列各选项给出的各组函数中，表示相同函数的有()

@f(X)=x+l与g(x)=x+x°；

@f②=|L1|与g(x)=\x-1|；

③f(x)=Vx,与g(x)=Vx^；

®f(x)=Vx・丁75与g(x)Wx2+x-

A.①②B.②③C.②④D.③④

【分析】根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，判断它们是同一函数即可.

【解答】解：(Ey(x)=x+l(xGR)与g(x)=x+x°(xWO)的定义域不同，不是同一函数；

=|L"与g(x)=|x-l|定义域都为凡对应关系相同，是同一函数，符合题意；

③f(x)3(声°)与g(x)4?(x­°)定义域相同，对应关系相同，是同一函数,

@f(x)=Vxx+1(x20)与g(x)MX?+x(x20或xW-1)的定义域不同，不是同一函数•

故选：B.

【点评】本题考查了判断两个函数是否为同一函数的问题，是基础题目.

Y2+xx0

2.若函数f(x)='QER)为偶函数，则下列结论正确的是()

x2-ax,x<0

A.f(a)>f(2«)>f(0)B.f(6?)>f(0)>f(2a)

C.于(2a)>f(a)>f(0)D.f(2a)>f(0)>f(a)

【分析】先根据偶函数的定义求出。的值，然后根据单调性比较大小.

【解答】解：因为f(x)是偶函数，所以/(-1)=/(1),即l+a=2,所以。=1,

易知当x20时，f(x)是增函数，

又知2a>“>0,所以f(2a)>f(a)>/(0),

故选：C.

【点评】本题考查分段函数的奇偶性与单调性，属于基础题.

3.已知定义域为R的函数y=/(x)在(0,4)上是减函数，又y=f(x+4)是偶函数,则()

A.f(5)<f(2)<f(7)B.f(2)<f(5)<f(7)

C.f(7)<f(2)<f(5)D.f(7)</(5)<f(2)

【分析】根据函数奇偶性的性质得到函数关于x=4对称，结合函数的对称性以及单调性进行判断即可.

【解答】解：•••5=/•(x+4)是偶函数，

-A+4)=f(x+4),即函数图象关于直线x=4对称，

则/(5)=/(3),/(7)=/(1),

*.,y=/(x)在(0,4)上是减函数，

：.f(3)<f(2)</(1),

即F(5)</(2)</(7),

故选:A.

【点评】本题主要考查函数值的大小比较，结合条件判断函数图象关于直线x=4对称，以及利用函数对称

性和单调性进行转化是解决本题的关键.

4.函数在(-8,+8)单调递减，且为奇函数.若f(1)=7,则满足-iWf(x-2)W1的x

的取值范围是()

A.[-2,2]B.[-1,11C.[0,4]D.[1,3]

【分析】由已知中函数的单调性及奇偶性，可将不等式-lW/(x-2)化为-1WX-2W1,解得答案.

【解答】解：•••函数f(x)为奇函数.

若/(1)="1,贝丫(-1)=1,

又•.•函数/(x)在(-8,+8)单调递减，-1W/(x-2)W1,

：.f(1)(x-2)W/(-1),

二-IWx-2W1,

解得:xG[L3],

故选：D.

【点评】本题考查的知识点是抽象函数及其应用，函数的单调性，函数的奇偶性，难度中档.

5.若定义在实数集R上的/(x)满足：x6(-3,-1)时，/(x+l)=",对任意x€R,都有f(x+2)='、

fix)

成立./(2019)等于()

A.e2B.e2C.eD.1

【分析】根据题意，分析可得f(x+4)=—/--=f(x),据此可得/(2019)=/(-1+2020)=/(-1)，

f(x+2)

结合函数的解析式求出/(-1)的值，即可得答案.

【解答】解：根据题意，对任意xWR,都有f(x+2)=!、成立，则有f(x+4)=」、可(X)，

''f(x)f(x+2)

即函数/(x)是周期为4的周期函数,

则/(2019)=f(-1+2020)=/(-1),

xG(-3,-1)时，f(x+1)=d,当x=-2时，有/(-1)=e

则f(2019)=e'2,

故选：B.

【点评】本题考查函数的周期性，注意正确求出函数的周期，属于基础题.

6.若f+1)=xMH，则/(x)的解析式为()

A.f(x)=/-xB.f(x)=--x(x20)

C.f(x)=x2-x(x21)D.f(x)=/+x

【分析】根据题意设4+l=f，则rel，求出f(r),即可得出/(x)的解析式.

【解答】解：函数f(4+l)=xsG，

设4+i=f,则

：.f(r)=(r-1)2+(z-1)=»-/,

(x)—X1-X,(x》l).

故选：C.

【点评】本题考查了利用换元法求函数解析式的应用问题，是基础题.

a.x^lf(X)-f(v)

7.若函数/(x)=\且满足对任意的实数xiWx2都有-----1-------二>0成立，则

(42)x+2,x<1xt-x2

实数〃的取值范围是()

A.(L+8)B.(1,8)C.(4,8)D.[4,8)

【分析】若对任意的实数XIWX2都有，一」二>0成立，则函数F(x)=.在

xrX2(4号)x+2,x<1

R上单调递增，进而可得答案.

f(X)-f(X)

【解答】解：；对任意的实数XI都有——i------^->0成立,

x「X2

ax.x>l

.•.函数y(x)=|a在R上单调递增,

(4受)x+2,X<1

a>1

4q>0,

a>4-1-+2

解得：”e[4,8),

故选：D.

【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，正确理解分段函数的单调性，是解答的关键.

8.对于定义域为。的函数/(x),若存在区间阿，n］QD,同时满足下列条件：

@fCx)在阿，用上是单调的；

②当定义域是由，〃］时,/(%)的值域也是［阳,n］,则称［〃?，用为该函数的“和谐区间”.

下列函数：

@f(x)=3x；

②f(X)q；

③f(x)=32

X

@f(x)=/-2x.

存在“和谐区间”的是()

A.①②B.②③C.③④D.①④

【分析】根据题意，依次分析选项中函数是否存在“和谐区间”，综合可得答案.

【解答】解：根据题意，依次分析选项：

对于①，/(x)=3x,函数为正比例函数，单调递增，若定义域为［“，则值域为［3m,3nJ,故/(x)=

3x不存在“和谐区间”：

对于②，f(x)」在(°，+8)和(-8,0)上是减函数，若存在区间［孙川，

X

1n

则(f(m)=n,即,严，得“〃尸］,则〃同号，当机=』时，〃=2,此时满足条件.

If(n)=m2

-ID

n

对于③，f(x)=3工，在(°，+8)上为增函数，假设/(X)在.re(0,+8)上存在“和谐区间”，使

得当定义域为［/〃，〃］时，值域为［〃?，川,

2

f(m)=3—=in

m

m=l

则4故函数存在“和谐区间”；

n=2

m<n

对于④，f(x)=7-2r,为二次函数，其图象的对称轴为直线x=l,

2

当xe(-8,1)时，函数为减函数，若定义域为的，n],值域为[m,n],则.f(m)=m-2m=n,解得机

f(n)=n2-2n=m

=〃=0,不满足题意；

同理当xe(1,+8)时，应满足，'(m)=m_2m=m,解得^="=3,不满足题意,

f(n)=n2_2n=n

所以/(x)=7-2x不存在“和谐区间”.

故选：B.

【点评】本题考查函数与方程的关系，涉及函数的单调性的判断，属于中档题.

二.多选题(共4小题)

9.下列各组函数不能表示同一个函数的是()

A.f(x)=1-2x3与g(x)=W-2x

2

B.f(x)=工与8(x)=———

x

22

C.f(JC)=x-2x-1与g(f)=t-2/-1

D.f(x)=4x-lTx+1与g(x)=5/(x+1)(x-1)

【分析】根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，可判断这两个函数是同一个函数，否则不是同一

个函数.

【解答】解：对于A,f(x)=>/-2x3="vV-2x(xWO),g(x)=%V-2x(xWO)；两函数的对应关

系不同，不是同一个函数；

2

对于3,7(X)=x(xGR),g(x)—^——x(xWO)；两函数的定义域不同，不是同一个函数；

X

2

对于C,/(x)=?-2r-I(A-GR),g⑺=t-2/-1(/GR)；两函数的定义域相同，对应关系也相同，

是同一个函数；

2

对于D,/(x)=4x-lTx+l=4x2_i(xNi),g(%)=V(x+l)(x-1)=7x-l(XW-1或x2l)；

两函数的定义域不同，不是同一个函数;

故选：ABD.

【点评】本题考查了判断两个函数是否为同一个函数的应用问题，是基础题.

10.已知函数f(x)是定义在(-8,0)U(0,+OO)上的奇函数，当x>o时，/(%)=/-2x+3,则下

列结论正确的是()

A.\f(x)|22

B.当x<0时，f(x)=-x2-2x-3

C.x=l是八x)图象的一条对称轴

D.f(x)在(-8,-1)上单调递增

【分析】当x<0时，-x>0,代入/(x)的解析式中，并利用/(x)为奇函数，可求出xVO时，f(x)的

解析式，再画出函数/(x)的简图即可得解.

【解答】解：当x<0时，-x>0,：.f(-x)=(-x)2-2(-JV)+3=?+2x+3,

V/(x)为奇函数，

(x)=-/(-x)=-(/+2x+3)=-7-2x-3,即8正确：

函数/(x)的简图如下，

由图可知，

/x)|22,即A正确;

X=1不是/(x)图象的对称轴，即C错误；

/(X)在(-8,-1)上单调递增，即。正确.

故选：ABD.

【点评】本题主要考查利用奇偶性求函数的解析式，还涉及分段函数、二次函数的图象与性质，考查学生

的数形结合思想、逻辑推理能力和运算能力，属于基础题.

11.下列关于函数f(x)上目的说法中正确的是()

A./(x)为奇函数

B.f(x)在(0,+8)上单调递减

C.不等式f(x)<0的解集为(-8,-])u(1,+8)

D.不等式f(x)<0的解集为(-1,0)U(0,1)

【分析】根据题意，先分析函数的定义域，判断出奇偶性，再分离常数，得到单调性，求出小于0对应的

不等式的解集，根据奇偶性即可判断CD.

【解答】解：由题意函数的定义域为R，

且f(-x)J-L!Jr=f(x)，仆)为偶函数，选项A错误.

1+I-xI1+x

当x>0时，f(x)口■t-l+N—为单调递减函数，选项3正确.

1+x1+x

当x>0时，f(x)的解集为(1.+8),

1+x

由偶函数的对称性可知不等式/(x)<0的解集为(-8,-|)U(I,+8),选项C正确，选项。错误.

故选：BC.

【点评】本题考查函数单调性以及奇偶性的判断，涉及到不等式的求解，注意分析函数定义域，属于基础

题

12.对于定义域为。的函数y=/(x),若同时满足下列条件：①f(x)在。内单调递增或单调递减；②存

在区间⑷b]UD,使/(x)在⑷切上的值域为⑷h],那么把y=/(x)Cx&D)称为闭函数.下列结论正

确的是()

A.函数y=x是闭函数

B.函数y=/+l是闭函数

C.函数y=-/(xWO)是闭函数

D.函数/(x)=",(x>-l)是闭函数

【分析】对于A,函数是在R上单调递增的一次函数，对于B,函数在R上不单调，所以错误，对于C,

函数是在(-8,0]上单调递增的函数，再根据新定义求区间，对于。，函数是单调递减函数，再根据新定

义求区间是否存在即可.

【解答】解：选项A：因为y=x是R上的单调递增的一次函数，且在R上任意子区间都满足新定义，所以

A正确；

’2

选项8：若函数是闭函数，则可设xem，b],yE\a,b],假设函数递增，则，a=a+1,显然无解，

b=a2+l

若递减，则,a=b+1,解得显然不成立，所以8错误；

,b=a2+l

选项C：函数是开口向下的二次函数，且在区间(-8,0］上是单调递增的函数，令f(x)=-/,

若是闭函数，则一定有卜(a)=a,即1-a2=a,解得满足新定义的闭区间是1_］,01，此时〃=-1,6=0,

2

If(b)=b-b=b

所以C正确；

选项O：函数在(-1,+8)上单调递增，若满足新定义则有［f=a,即—一—L=b，解得a=b

If(b)=ba+1&b+i

=0,又a<b,所以不存在区间满足新定义，所以。错误，

故选：AC.

【点评】本题考查了函数的单调性以及闭区间求值域问题，考查了学生对新定义的理解能力，属于基础题.

三.填空题(共4小题)

0,x<0

13.已知/(x)=«1,x=0，则/(/(/(-1)))的值是2.

x+1,x>0

【分析】推导出f(-1)=0,从而/'(/(-1))=1,进而/"(/(-1)))=/(1),由此能求出结果.

‘0,x<0

【解答】解：V/(x)=，1,x=0,

x+1,x>0

：.f(-1)=0,

/(/<-1))=1，

f(/(/,(-1)))=/(1)=1+1=2.

故答案为：2.

【点评】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

14.若函数/(x)满足£声支)=x，贝酎Yx)的解析式为f(x)=',xWl.

XX-1

【分析】直接利用换元法求函数的解析式即可求出.

【解答】解：令三包=f,则x=。，fWl,

Xt-1

(r)=——,样1,

t-1

.*./(x)=——,xWl,

x-1

故答案为：,f(x)=」_,xWL

X-1

【点评】本题考查了利用换元法求函数的解析式，属于基础题.

15.已知函数f(x)是R上的奇函数，函数f(x)在(0,+8)上是减函数，/(-5)=0,则不等式(x

-3)f(x)>0的解集(-5,0)U(3,5)•

【分析】根据题意，由函数的奇偶性与单调性分析可得区间(0,5)和(-8,-5)上，f(x)>0,在区

间(5,+8)和(-5,0)上，/(x)<0,又由(x-3)f(x)>0制或，，综合可

,f(x)>0If(x)<0

得答案.

【解答】解：根据题意，函数/(x)是R上的奇函数，且/(-5)=0,则/(5)=-/<-5)=0,

又由函数/(x)在(0,+8)上是减函数，

则在区间(0,5)上，f(x)>0,在区间(5,+8)上，/(x)<0,

又由函数为奇函数，则在区间(-5,0)上，f(x)<0,在区间(-8,-5)上，/(%)>0,

f-3>0fv-3<0

不等式(x-3)/(x)>()=，x*-u或,

f(x)>01f(x)<0

则-5cx<0或3<x<5,

即不等式的解集为(-5,0)U(3,5)；

故答案为：(-5,0)U(3,5).

【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及不等式的解法，关键是分析/(x)的取值范围，

属于综合题.

16.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，/(x)=?-ax+a,其中a€R.

0/(-1)=-I；

②若/(x)的值域是R,则。的取值范围是(-8,0](j[4,+8).

【分析】①运用奇函数的定义，计算即可得到所求值；

②由的图象关于原点对称，以及二次函数的图象与x轴有交点，由判别式不小于0,解不等式即可得

到所求范围.

【解答】解：①函数f(x)是定义在R上的奇函数，

当x>0时，f(x)—x1-ax+a,其中a€R,

/(-1)=-/(1)=-(1-«+a)=-1；

②若f(x)的值域是R，

由/(X)的图象关于原点对称，可得

当x>0时，f(x)—x2-ax+a,

图象与x轴有交点，

可得A=a2-4aN0,

解得a24或“WO,

即。的取值范围是(-8,o］U［4,+8).

故答案为：①-1②(-8,0］U［4,+8).

【点评】本题考查函数的奇偶性的运用，考查函数的值域的应用，注意运用二次函数的性质和对称性，考

查运算能力，属于中档题.

四.解答题(共6小题)

17.已知函数fx@2,9J.

(1)判断函数的单调性并证明；

(2)求函数/(x)的最大值和最小值.

【分析】(1)根据题意，设2Wxi<rW9,由作差法分析可得结论，

(2)根据题意，由(1)的结论，函数,f(x)在［2,9］上为减函数，据此分析可得结论.

【解答】解：(1)根据题意，函数f(x)h”在区间12,9］上为减函数，

X-1

设2WXIVX2W9,则/'(XI)-(X2)=(2+—2—)-(2+—?—)=2X-————-

xt-lx2-l(X1-l)(x2-l)

又由2WxiV：V2W9,则(xi-1)>0,(%2-1)>0,(X2~xi)>0.

则f(xi)-f(%2)>0,

则函数f(x)在［2,9］上为减函数,

(2)有(1)的结论，函数/(x)在［2,9］上为减函数，

则广(X)在⑵9］上最大值为/(2)=4,最小值为/(9)=9.

4

【点评】本题考查函数的单调性的性质以及应用，涉及函数的最值，属于基础题.

18.已知函数/'(x)=-：+；：,xG(2,+°°).

(1)若a=4,判断函数/(x)在定义域上的单调性，并利用单调性定义证明你的结论.

(2)若函数/(x)在区间(2,+8)上单调递减，写出〃的取值范围(无需证明).

【分析】(1)根据题意，将函数的解析式变形为/(x)=l+_g_,设由作差法分析可得结论,

x-2

(2)根据题意，由反比例函数的性质以及函数平移的性质可得结论.

【解答】解：(1)根据题意，若4=4,则/(X)=三畦=玄2@=1+上，在定义域上为减函数,

x-2x-2x~2

设2VxiV%2,

（1_6_）=.曳匚]

则/（巾）-f（X2）=（1+--—）+

x]-2、2-2（xj-2）（x2-2）

又由2Vxi〈X2，则（XI-2）>0,（X2-2）>0,（X2-XI）＞0,

则f(XI)-f(X2)>0,

f(X)在定义域上为减函数，

(2)f(x)=三旦=x-2+a+2=]+史2,

x-2x-2x-2

若函数/(x)在区间(2,+8)上单调递减，必有。+2>0,即。>-2,

。的取值范围是(-2,+8).

【点评】本题考查函数的单调性的判断以及性质的应用，注意将函数的解析式进行变形，属于基础题.

19.已知募函数f(x)ux"xm'("?ez)的图像关于y轴对称，且/(2)</(3).

(1)求〃?的值及函数/'(X)的解析式；

(2)若/(a+2)</(1-2a),求实数。的取值范围.

【分析】(1)根据事函数的图像关于y轴对称，且/(2)</(3)知/(x)在区间(0,+8)为增函数,

且是偶函数，由此求出川的值和/(x)的解析式：

(2)根据函数的性质把不等式f(“+2)</(1-2a)化为|a+2|<|l-2昨两边平方求出a的取值范围.

【解答】解：(1)幕函数f但)=*4^血2的图像关于y轴对称，且/(2)</(3)；

所以/(x)在区间(0,+8)为增函数，

所以即%2y力<0,解得0VmV4；

又因为，〃ez,/(x)是偶函数，

所以4/n-m2为偶数,所以m=2；

函数/(X)的解析式为：/(x)=/.

(2)不等式f(a+2)</(1-2a),函数/(x)是偶函数，在区间(0,)为增函数，

所以|a+21Vli-2a|,

化筒得3a2-8a-3>0,

解得a<-』■或a>3,

3

所以实数”的取值范围是(-8,-A)U(3,+8).

3

【点评】本题考查了事函数的性质与应用问题，也考查了不等式的解法与应用问题，是基础题.

20.己知函数f(x)*+L.

x

(1)判断/(x)的奇偶性并证明；

(2)当xe(1,+8)时，判断了(X)的单调性并证明；

(3)在(2)的条件下，若实数相满足/(3%)>/(5-2w),求巾的取值范围.

【分析】(1)检验f(-x)与/(x)的关系即可判断，

(2)先设然后利用作差法比较/(的)与/(%2)的大小即可判断，

(3)结合函数的单调性及奇偶性即可求解.

【解答】证明：(1)f(x)工5工为奇函数，利用如下：

X

/(-x)=Qx)2+1=_l+x2=一F(X),

-xX

故/(X)为奇函数，

(2)xe(1,+8)时，f(x)的单调性递增，利用如下：

设f(X)=X+2,

则f（XI）-/（X2）=—=（XI-JC2）+—~—

x2

1X]X2x/2

=（xi-X2）（1----）<0,

xlx2

所以/（XI）<f（X2）,

所以/（X）在（1,+8）上单调递增，

（3）解：由/（3加>/（5-2m）可得3m>5-2加>1,

解得，

故，〃的范围(1,2)

【点评】本题主要考查了函数单调性及奇偶性的判断及利用单调性及奇偶性求解不等式，属于中档试题.

21.已知函数f(x)三也是奇函数，且

“X，3x+bm3

(1)求实数a,匕的值；

(2)判断函数在(-8,-1]上的单调性，并加以证明.

【分析】(1)运用奇函数的定义，可得6=0；再由代入法，解方程可得比

2

(2)函数/(x)=2x+2在(-8,-1］上单调递增；运用定义法证明，注意取值、作差和变形、定符号

3x

和下结论.

2

【解答】解：(1)函数f(x)JX+2是奇函数，且f仁)弟,

3x+b3

可得/(-%)=-/(x),

99

即为ax+2=_ax+2

-3x+b3x+b

可得-3x+h=-3x-bf

解得b=0；

又4a+2=§,

6T

解得67=2；

2

(2)