高中数学学案3：高中数学人教A版2019必修 第二册 总体百分位数的估计

9.2.2总体百分位数的估计

9.2.3总体集中趋势的估计

因源图新园曲（教师独具内容）

课程标准：1.结合实例，能用样本估计百分位数,理解百分位数的统计含义.2.

结合实例，能用样本估计总体的集中趋势参数（平均数、中位数、众数）.3.理解集

中趋势参数的统计含义.

教学重点：1.能用样本的百分位数估计总体的百分位数.2.能从样本数据中提

取基本的数字特征，理解总体集中趋势的估计.

教学难点：1.让学生体会用统计方法解决实际问题的全过程.2.学会数据分析

的方法，理解总体集中趋势的估计思路并学会运用.

核心素养：1.通过应用样本的百分位数估计总体百分位数的过程发展数学运

算素养和数据分析素养.2.通过应用样本的平均数、中位数和众数去估计总体的平

均数、中位数和众数发展数学运算素养和数据分析素养.

【新知1

众数、中位数及平均数都是描述一组数据集中趋势的量.其中平均数与每一

个样本数据有关，对数据有“取齐”的作用，代表了一组数据的数值平均水平；

众数反映各数据出现的频率，其大小只与这组数据中的部分数据有关，它是样本

数据的最大集中点；中位数仅与数据的排列位置有关.某些数据的变动对中位数

没有影响，中位数可能出现在所给的数据中（当数据的个数为奇数时，中间的那个

数为中位数），也可能不在所给数据中（当数据的个数为偶数时，中间两个数据的

平均数为中位数）.

±1评价自测氏

1.判一判（正确的打"J"，错误的打“X”）

（1）第25百分位数表示一组数据中至少有25%的数据小于或等于这个数

值.（）

（2）中位数一定是样本数据中的某个数.（）

（3）在一组样本数据中，众数一定是唯一的.（）

（4）样本的平均数是频率分布直方图中最高长方形的中点对应的数据.（）

(5)若改变一组数据中其中的一个数，则这组数据的平均数、中位数、众数都

会发生改变.()

2.做一做

⑴10名工人某天生产同一零件，生产的件数分别是

15,17,14,10,15,17,17,16,14,12,设其平均数为a,中位数为b,众数为c,则

有()

A.a>b>cB.b>c>a

C.c>a>bD.c>b>a

(2)奥运会体操比赛的计分规则为:当评委亮分后,其成绩先去掉一个最高分,

去掉一个最低分，再计算剩下分数的平均值，这是因为()

A.减少计算量B.避免故障

C.剔除异常值D.活跃赛场气氛

(3)一个样本按从小到大的顺序排列为10,12,13,%17,19,21,24,其中中位

数为16,则彳=—.

(4)某次数学测验中，五位同学的分数分别是89,91,105,105,H0,这组数据

的中位数是—,众数是—，第60百分位数是一.

⑸10名工人某天生产同一零件，生产的件数是

15,17,14,10,15,19,17,16,14,12,这一天10名工人生产的零件的中位数是,

第25百分位数是—.

(6)一组数据按从小到大的顺序排列为13,14,19,x,23,27,28,31,其中中位

数是22,则第75百分位数是—.

核心素养,

----------------------------------------------------------------------HEXiNSUYANGXINGCHENG------------------------------------------------------------------------

题型一百分位数的计算

例1某项测试成绩满分为10分，现随机抽取30名学生参加测试，得分如

图所示，假设得分值的中位数为0，第60百分位数为根，众数为例，贝4()

A./Z7i</%</%B.

C.以〈也<0D.冰冰

［跟踪训练1］某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员

工随机收集了100位顾客的相关数据:

一次1至5至9至13至17件

购物量4件8件12件16件及以上

顾客数（人）X3025y10

结算时间

11.522.53

（分钟/人）

已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55%.

请确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的第80百分位数.

题型二利用频率分布直方图估计百分位数

例2某中学举行电脑知识竞赛，现将高一参赛学生的成绩进行整理后分成

五组绘制成如图所示的频率分布直方图，已知图中从左到右的第一、二、三、四、

五小组的频率分别是0.30,0.40,0.15,0.10,0.05.求高一参赛学生成绩的第60百

分位数.

［跟踪训练2］从高三抽出50名学生参加数学竞赛，由成绩得到如图的频

率分布直方图.试利用频率分布直方图求这50名学生成绩的75%分位数.

题型三众数、中位数、平均数的计算

例3某公司的33名职工的月工资(以元为单位)如下表:

职务董事长副董事长董事总经理经理管理员职员

人数11215320

工资5500500035003000250020001500

⑴求该公司职工月工资的平均数、中位数、众数；

(2)假设副董事长的工资从5000元提升到20000元，董事长的工资从5500

元提升到30000元，那么新的平均数、中位数、众数又是多少？(精确到元)

(3)你认为哪个统计量更能反映这个公司员工的工资水平？结合此问题谈一

谈你的看法.

［跟踪训练3］在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的17名运动员

的成绩如表所示:

成绩(单位：m)1.501.601.651.701.751.801.851.90

人数23234111

分别求这些运动员成绩的众数、中位数与平均数.

题型四利用频率分布直方图估计众数、中位数、平均数

例4某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生，其数学成

绩(均为整数)的频率分布直方图如图所示.

0.030

0.025

().02()

0.015

0.005

0

(1)求这次测试数学成绩的众数；

(2)求这次测试数学成绩的中位数；

(3)求这次测试数学成绩的平均数.

［跟踪训练4］随着移动互联网的发展，与餐饮美食相关的手机App软件层

出不穷.现从某市使用A和6两款订餐软件的商家中分别随机抽取100个商家,

对它们的“平均送达时间”进行统计,得到频率分布直方图如下:

使用.4款软件的100个商家“平使用B款软件的100个商家“平

均送达时间”的频率立方图均送达时间”的频率立方图

(1)试估计该市使用/款订餐软件的商家的“平均送达时间”的众数及平均数

(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)；

(2)如果以“平均送达时间”的平均数作为决策依据，从/和8两款订餐软件

中选择一款订餐，你会选择哪款？

题型五众数、中位数、平均数的实际应用

例5个体户李某经营一家快餐店，下面是快餐店所有工作人员8月份的工

资表:

李某大厨二厨采购员杂工服务生会计

30000元4500元3500元4000元3200元3200元4100元

(1)计算所有员工8月份的平均工资；

(2)由(1)计算出的平均工资能否反映打工人员这个月收入的一般水平？为什

么？

(3)去掉李某的工资后，再计算平均工资，这能代表打工人员当月的收入水平

吗？

(4)根据以上计算，以统计的观点，你对⑶的结果有什么看法？

[跟踪训练5](1)16位参加百米半决赛同学的成绩各不相同，按成绩取前

8位进入决赛.如果小刘知道了自己的成绩后，要判断能否进入决赛，其他15位

同学成绩的下列数据中，能使他得出结论的是()

A.平均数B.极差

C.中位数D.众数

(2)某鞋店试销一种新款女鞋，销售情况如下表:

码号3435363738394041

数量/双259169532

如果你是鞋店经理，最关心的是哪种码号的鞋销量最大，那么下列统计量中

对你来说最重要的是（）

平均数众数

中位数极差

达标

SUITANGSHUIPINGDABIAO-

1.已知一组数据按从小到大的顺序排列为14,19,x,23,27,其中位数是22,

则x的值为（）

2.北京市2020年5月份某一周的日最高气温（单位：C）分别为

25,28,30,29,31,32,28,则这周的日最高气温的第75百分位数为（）

B.29℃

D.32℃

3.（多选）下列说法中，正确的是（）

A.数据2,4,6,8的中位数是4,6

B.数据1,2,2,3,4,4的众数是2,4

C.一组数据的平均数、众数、中位数有可能是同一个数

D.8个数据的平均数为5,另3个数据的平均数为7,则这11个数据的平均

4.如图是一次考试结果的统计图（图中每组为左闭右开区间），根据该统计图

可估计，这次考试的平均分数约为.

5.已知7,4,3和加这四个数的平均数是5；18,9,7,m,〃这五个数的平均数

为10,求加，〃的值.

课后课时,精练

KEHOUKESHIJINGLIAN

》学考水平合格练

一、选择题

1.某公园对“十一”黄金周7天假期的游客人数进行了统计，如下表:

10月10月10月10月10月10月10月

日期

1日2日3日4日5日6日7日

旅游人

1.52.22.23.81.52.20.6

数（万）

则该公园“十一”黄金周七天假期游客人数的平均数和第25百分位数分别是

（）

A.2万、1.5万B.2万、2.2万

C.2.2万、2.2万D.2万、1.85万

2.某学习小组在一次数学测验中，得100分的有1人，得95分的有1人，

得90分的有2人，得85分的有4人，得80分和得75分的各有1人，则该小组

成绩的平均数、众数、中位数分别是（）

A.85,85,85B.87,85,86

C.87,85,85D.87,85,90

3.如图是某工厂对一批新产品长度（单位:mm）检测结果的频率分布直方图.估

计这批新产品长度的中位数约为（）

A.20B.25

C.22.5D.22.75

4.如下表是某公司员工月收入的资料.

月收入/元45000180001000080007000500034002000

人数111361111

能够反映该公司全体员工月收入水平的统计量是（）

A.平均数和众数B.平均数和中位数

C.中位数和众数D.平均数

5.（多选）为征求个人所得税法修改建议，某机构调查了10000名当地职工的

月收入情况，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图.

下列说法正确的是（）

A.月收入低于5000元的职工有5500名

B.如果个税起征点调整至5000元，估计有50%的当地职工会被征税

C.月收入高于或等于7000元的职工约为当地职工的5%

D.根据此次调查，为使60%以上的职工不用缴纳个税，起征点应位于

[5000,6000）内

二、填空题

6.某医院急救中心随机抽取20位病人等待急诊的时间记录如下表：

等待时间（分）[0,5)[5,10)[10,15)[15,20)[20,25]

频数48521

用上述分组资料计算出病人平均等待时间的估计值行=—.

7.从甲、乙、丙三个厂家生产的同一种产品中抽取8件产品，对其使用寿命

(单位：年)进行追踪调查的结果如下：

甲：3,4,5,6,8,8,8,10；

乙：4,6,6,6,8,9,12,13；

丙:3,3,4,7,9,10,11,12.

三个厂家广告中都称该产品的使用寿命是8年，请根据结果判断厂家在广告

中分别运用了平均数、众数、中位数中的哪一种集中趋势的特征数.

甲：，乙：,丙：.

8.某校从高一年级中随机抽取部分学生，将他们的期末数学测试成绩分成6

组：[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]加以统计，得到

如图所示的频率分布直方图.据此统计，期末数学测试成绩不少于60%分位数的

分数至少为一.

三、解答题

9.从高三年级抽出50名学生参加数学竞赛，由成绩得到如图所示的频率分

布直方图.

由于一些数据丢失，试利用频率分布直方图估计：

⑴这50名学生成绩的众数与中位数；

(2)这50名学生的平均成绩.

10.根据新修订的《环境空气质量标准》指出空气质量指数在0〜50,各类

人群可正常活动.某市环保局在2019年对该市进行为期一年的空气质量检测，得

到每天的空气质量指数，从中随机抽取50个作为样本进行分析报告，样本数据分

组区间为[0,10),[10,20),[20,30),[30,40),[40,50),由此得到样本的空气

质量指数频率分布直方图，如图.

(1)求a的值;

(2)根据样本数据，试估计这一年度的空气质量指数的第80百分位数.

B级♦?学考水平等级练

1.已知数据用，x2,…，%是某市〃GN*)个普通职工的年收入，设

这〃个数据的中位数为x,平均数为力如果再加上世界首富的年收入居+“则这

(A+1)个数据中，下列说法正确的是()

A.年收入平均数可能不变，中位数可能不变

B.年收入平均数大大增大，中位数可能不变

C.年收入平均数大大增大，中位数一定不变

D.年收入平均数大大增大，中位数一定变大

2.(多选)甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图

如图所示，则()

A.甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数

B.甲的成绩的平均数等于乙的成绩的平均数

C.甲的成绩的第80百分位数等于乙的成绩的第80百分位数

D.甲的成绩的极差等于乙的成绩的极差

3.对某市“四城同创”活动中800名志愿者的年龄抽样调查统计后得到频率

分布直方图(如图)，但是年龄组为［25,30)的数据不慎丢失，则依据此图可得：

频率/组距

0.08

0.07

0.06

0.05

0.04

0.03

0.02

0.01

202530354045年龄

(1)［25,30)年龄组对应小矩形的高度为；

(2)由频率分布直方图估计志愿者年龄的85%分位数为一岁.

4.统计局就某地居民的月收入(元)情况调查了10000人，并根据所得数据画

出了样本频率分布直方图(下图)，每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一

组表示月收入在［2500,3000)内.

频率/组距

2500300()35004000450050005500月收入/元

(1)为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，必须按月收入再从这

10000人中用比例分配的分层随机抽样方法抽出100人作进一步分析，则月收入

在［4000,4500)内的应抽取多少人？

(2)根据频率分布直方图估计样本数据的中位数；

(3)根据频率分布直方图估计样本数据的平均数.

5.某市为了鼓励居民节约用电，实行''阶梯式”电价，将该市每户居民的月

用电量划分为三档，月用电量不超过200千瓦时的部分按0.5元/千瓦时收费，超

过200千瓦时但不超过400千瓦时的部分按0.8元/千瓦时收费，超过400千瓦时

的部分按L0元/千瓦时收费.

（1）求某户居民用电费用y（单位：元）关于月用电量x（单位：千瓦时）的函数

解析式；

（2）为了了解居民的用电情况,通过抽样获得了今年1月份100户居民每户的

用电量，统计分析后得到如图所示的频率分布直方图.若这100户居民中，今年

1月份用电费用低于260元的占80幅求a,，的值；

（3）根据⑵中求得的数据计算用电量的75%分位数.

9.2.2总体百分位数的估计

9.2.3总体集中趋势的估计

因阑国即日国（教师独具内容）

课程标准：1.结合实例，能用样本估计百分位数,理解百分位数的统计含义.2.

结合实例，能用样本估计总体的集中趋势参数（平均数、中位数、众数）.3.理解集

中趋势参数的统计含义.

教学重点：1.能用样本的百分位数估计总体的百分位数.2.能从样本数据中提

取基本的数字特征，理解总体集中趋势的估计.

教学难点：1.让学生体会用统计方法解决实际问题的全过程.2.学会数据分析

的方法，理解总体集中趋势的估计思路并学会运用.

核心素养：1.通过应用样本的百分位数估计总体百分位数的过程发展数学运

算素养和数据分析素养.2.通过应用样本的平均数、中位数和众数去估计总体的平

均数、中位数和众数发展数学运算素养和数据分析素养.

1新知1

众数、中位数及平均数都是描述一组数据集中趋势的量.其中平均数与每一

个样本数据有关，对数据有“取齐”的作用，代表了一组数据的数值平均水平；

众数反映各数据出现的频率，其大小只与这组数据中的部分数据有关，它是样本

数据的最大集中点；中位数仅与数据的排列位置有关.某些数据的变动对中位数

没有影响，中位数可能出现在所给的数据中(当数据的个数为奇数时，中间的那个

数为中位数)，也可能不在所给数据中(当数据的个数为偶数时，中间两个数据的

平均数为中位数).

±1评价自测

1.判一判(正确的打“J”，错误的打“X”)

(1)第25百分位数表示一组数据中至少有25%的数据小于或等于这个数

值.()

(2)中位数一定是样本数据中的某个数.()

(3)在一组样本数据中，众数一定是唯一的.()

(4)样本的平均数是频率分布直方图中最高长方形的中点对应的数据.()

(5)若改变一组数据中其中的一个数，则这组数据的平均数、中位数、众数都

会发生改变.()

答案⑴V(2)X(3)X(4)X(5)X

2.做一做

⑴10名工人某天生产同一零件，生产的件数分别是

15,17,14,10,15,17,17,16,14,12,设其平均数为a,中位数为b,众数为c,则

有()

A.a>b>cB.t)>c>a

C.c>a>bD.c>b>a

(2)奥运会体操比赛的计分规则为：当评委亮分后,其成绩先去掉一个最高分,

去掉一个最低分，再计算剩下分数的平均值，这是因为()

A.减少计算量B.避免故障

C.剔除异常值D.活跃赛场气氛

(3)一个样本按从小到大的顺序排列为10,12,13,%17,19,21,24,其中中位

数为16,则彳=—.

(4)某次数学测验中，五位同学的分数分别是89,91,105,105,110,这组数据

的中位数是，众数是，第60百分位数是.

⑸10名工人某天生产同一零件，生产的件数是

15,17,14,10,15,19,17,16,14,12,这一天10名工人生产的零件的中位数是,

第25百分位数是一.

(6)一组数据按从小到大的顺序排列为13,14,19,%23,27,28,31,其中中位

数是22,则第75百分位数是一.

答案⑴D(2)C(3)15(4)105105105

(5)1514(6)27.5

核心素养,形成

HEXINSUYANGXINGCHENG

题型一百分位数的计算

例1某项测试成绩满分为10分，现随机抽取30名学生参加测试，得分如

图所示，假设得分值的中位数为0,第60百分位数为双，众数为私，则()

A.0〈汲〈根B.0X0〈汲

C.鹏＜叱＜小1D.汲〈汲＜0

［解析］由题图知加=5.由中位数的定义，知第15个数与第16个数的平均

5+6

数为0===5.5；由百分位数的定义，且30X60%=18,则第18个数与第19

r*|/2

个数的平均数为例=-^—=6.故〈阿，选B.

［答案］B

金版点睛

百分位数的计算应注意的问题

计算一组数据的第。百分位数时，一般按第0百分位数计算的三个步骤进行,

但一定要注意首先将该组数据按从小到大的顺序排列.

［跟踪训练1］某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员

工随机收集了100位顾客的相关数据:

一次1至5至9至13至17件

购物量4件8件12件16件及以上

顾客数（人）X3025y10

结算时间

11.522.53

（分钟/人）

已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55%.

请确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的第80百分位数.

解由已知，得25+y+10=55,x+y=35,所以x=15,y=20.

因为第80个数据和第81个数据都是2.5,所以顾客一次购物的结算时间的

第80百分位数为2.5.

题型二利用频率分布直方图估计百分位数

例2某中学举行电脑知识竞赛，现将高一参赛学生的成绩进行整理后分成

五组绘制成如图所示的频率分布直方图，已知图中从左到右的第一、二、三、四、

五小组的频率分别是0.30,0.40,0.15,0.10,0.05.求高一参赛学生成绩的第60百

分位数.

［解］由题图可知，第1个小矩形的面积为0.3,第2个小矩形的面积为0.4,

则第60百分位数一定位于［60,70）内，由6O+1OX°・".3=67.5,可以估计高

一参赛学生成绩的第60百分位数约为67.5.

金版点睛

用频率分布直方图估计百分位数

百分位数表示左侧小矩形的面积之和，首先确定在哪个区间，然后从左到右

所有小矩形计算面积和，百分位数所在区间需按照对应边比例计算面积.

［跟踪训练2］从高三抽出50名学生参加数学竞赛，由成绩得到如图的频率

分布直方图.试利用频率分布直方图求这50名学生成绩的75%分位数.

解由题意可知，前四个小矩形的面积之和为0.6,前五个小矩形的面积之

075—06

和为0.84>0.75,.•.第75百分位数位于第五个小矩形内.由80+/^—X10

=86.25,故75%分位数约为86.25.

题型三众数、中位数、平均数的计算

例3某公司的33名职工的月工资(以元为单位)如下表:

职务董事长副董事长董事总经理经理管理员职员

人数11215320

工资5500500035003000250020001500

(1)求该公司职工月工资的平均数、中位数、众数；

(2)假设副董事长的工资从5000元提升到20000元，董事长的工资从5500

元提升到30000元，那么新的平均数、中位数、众数又是多少？(精确到元)

(3)你认为哪个统计量更能反映这个公司员工的工资水平？结合此问题谈一

谈你的看法.

_1

［解］(1)平均数是x=裒X(5500X1+5000X1+3500X2+3000X1+2500

OO

X5+2000X3+1500X20)心2091(元)，中位数是1500元，众数是1500元.

_1

(2)新的平均数是x'=—X(30000X1+20000X1+3500X2+3000X1+

OO

2500X5+2000X3+1500X20)"3288(元)，新的中位数是1500元，新的众数是

1500元.

(3)在这个问题中，中位数或众数均能反映该公司员工的工资水平，因为公司

中少数人的工资与大多数人的工资差别较大，这样导致平均数与中位数偏差较大,

所以平均数不能反映这个公司员工的工资水平.

金版点睛

众数、中位数、平均数的特点

(1)众数、中位数及平均数都是描述一组数据集中趋势的量.

(2)平均数的大小与一组数据里每个数的大小均有关系,任何一个数据的变动

都会引起平均数的变动.

(3)众数考察各数出现的频率，其大小与这组数据中部分数据有关，当一组数

据中有不少数据重复出现时，其众数往往更能反映问题.

(4)中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的变动对中位数没有影响，中

位数可能出现在所给数据中，也可能不在所给数据中，当一组数据中个别数据较

大时，用中位数描述这组数据的集中趋势.

［跟踪训练3］在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的17名运动员的

成绩如表所示：

成绩(单位：m)1.501.601.651.701.751.801.851.90

人数23234111

分别求这些运动员成绩的众数、中位数与平均数.

解在这17个数据中，1.75出现了4次，出现的次数最多，所以这些运动

员成绩的众数是1.75m.题中表里的17个数据可看成是按从小到大的顺序排列

的，其中第9个数据1.70是最中间的一个数据，所以这些运动员成绩的中位数是

_1

1.70m；这些运动员成绩的平均数是(1.50X2+1.60X3+1.65X2+

,,,,、28.75/、

1.70X3+1.75X4+1.80Xl+1.85Xl+1.90Xl)=-jy-^1.69(m).

答：17名运动员成绩的众数、中位数、平均数依次为1.75m,1.70m,1.69

题型四利用频率分布直方图估计众数、中位数、平均数

例4某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生，其数学成

绩(均为整数)的频率分布直方图如图所示.

(1)求这次测试数学成绩的众数；

(2)求这次测试数学成绩的中位数;

(3)求这次测试数学成绩的平均数.

［解］(1)由题图知众数为70气-4-型SO=75.

(2)设中位数为x,由于前三个矩形面积之和为0.4,第四个矩形面积为

0.3,0.3+0.4>0.5,因此中位数位于第四个矩形内，得0.)=0.03(10),所以

才仁73.3.

(3)由题图知这次数学成绩的平均数为气包X0.005X10+型詈X0.015

,60+70,70+80,80+90,90+100

X10+---X0.02X10+---X0.03X10+---X0.025X10+---X

乙乙乙乙

0.005X10=72.

金版点睛

用频率分布直方图估计众数、中位数、平均数

(1)众数：取最高小长方形底边中点的横坐标作为众数.

(2)中位数：在频率分布直方图中，把频率分布直方图划分为左右两个面积相

等的部分的分界线与x轴交点的横坐标称为中位数.

(3)平均数：平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每

个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和.

［跟踪训练4］随着移动互联网的发展，与餐饮美食相关的手机App软件层

出不穷.现从某市使用4和8两款订餐软件的商家中分别随机抽取100个商家，

对它们的“平均送达时间”进行统计，得到频率分布直方图如下：

使用，1款软件的100个商家“平使用E款软件的100个商家“平

均送达时间”的频率立方图均送达时间”的频率宜方图

(1)试估计该市使用A款订餐软件的商家的“平均送达时间”的众数及平均数

(同一组中的数据用该组区间的中点值代表);

(2)如果以“平均送达时间”的平均数作为决策依据，从/和5两款订餐软件

中选择一款订餐，你会选择哪款？

解(1)依题意，可得使用1款订餐软件的商家中“平均送达时间”的众数为

55,平均数为15X0.06+25X0.34+35X0.12+45X0.04+55X0.4+65X0.04

=40.

(2)使用6款订餐软件的商家中“平均送达时间”的平均数为15X0.04+25

X0.2+35X0.56+45X0.14+55X0.04+65X0.02=35<40,所以选3款订餐软

件.

题型五众数、中位数、平均数的实际应用

例5个体户李某经营一家快餐店，下面是快餐店所有工作人员8月份的工

资表:

李某大厨二厨采购员杂工服务生会计

30000元4500元3500元4000元3200元3200元4100元

(1)计算所有员工8月份的平均工资；

(2)由(1)计算出的平均工资能否反映打工人员这个月收入的一般水平？为什

么？

(3)去掉李某的工资后，再计算平均工资，这能代表打工人员当月的收入水平

吗？

(4)根据以上计算，以统计的观点，你对(3)的结果有什么看法？

_1

［解］(1)所有员工8月份的平均工资是h=7义(300004-4500+3500+4000

+3200+3200+4100)=7500(元).

(2)计算出的平均工资不能反映打工人员当月收入的一般水平，可以看出，打

工人员的工资都低于平均工资，因为这7个值中有一个极端值一一李某的工资特

别高，所以他的工资对平均工资的影响较大，同时他也不是打工人员.

_1

(3)去掉李某工资后的平均工资x=-X(4500+3500+4000+3200+3200+

26

4100)=3750(元)，该平均工资能代表打工人员当月收入的一般水平.

(4)从本题的计算可以看出，个别特殊值对平均数有很大的影响，因此在选择

样本时，样本中尽量不用特殊数据.

金版点睛

众数、中位数、平均数的优缺点

众数、中位数不受少数几个极端值的影响，这在某些情况下是一个优点，但

它对极端值的不敏感有时也会成为缺点，而平均数与每一个样本数据都有关系，

可反映出更多的关于样本数据的全体信息，但受数据中的极端值的影响较大，妨

碍了对总体估计的可靠性，因此用平均数估计总体有时不可靠.

[跟踪训练5](1)16位参加百米半决赛同学的成绩各不相同，按成绩取前8

位进入决赛.如果小刘知道了自己的成绩后，要判断能否进入决赛，其他15位同

学成绩的下列数据中，能使他得出结论的是()

A.平均数B.极差

C.中位数D.众数

(2)某鞋店试销一种新款女鞋，销售情况如下表:

码号3435363738394041

数量/双259169532

如果你是鞋店经理，最关心的是哪种码号的鞋销量最大，那么下列统计量中

对你来说最重要的是()

A.平均数B.众数

C.中位数D.极差

答案(DC(2)B

解析(1)判断是不是能进入决赛，只要判断是不是前8名，所以只要知道其

他15位同学的成绩中是不是有8位高于他，也就是把其他15位同学的成绩排列

后看第8位的成绩即可，其成绩高于这个成绩就能进入决赛，低于这个成绩就不

能进入决赛，这个第8位的成绩就是这15位同学成绩的中位数.

(2)鞋店经理最关心的是哪种码号的鞋销量最大，由题表可知，码号为37的

鞋销量最大，共销售了16双，37是这组数据的众数.故选B.

随堂水平

SUITANGSHUIPINGDABIAO-

1.已知一组数据按从小到大的顺序排列为14,19,x,23,27,其中位数是22,

则x的值为（）

A.24B.23

C.22D.21

答案C

解析一组数据按从小到大的顺序排列为14,19,%23,27,则中位数是x.

因为中位数是22,所以x=22.故选C.

2.北京市2020年5月份某一周的日最高气温（单位：。C）分别为

25,28,30,29,31,32,28,则这周的日最高气温的第75百分位数为（）

A.28℃B.29℃

C.31℃D.32℃

答案C

解析将数据由小到大排列为25,28,28,29,30,31,32,因为7义75%=5.25,

所以这周的日最高气温的第75百分位数为31°C.故选C.

3.（多选）下列说法中，正确的是（）

A.数据2,4,6,8的中位数是4,6

B.数据1,2,2,3,4,4的众数是2,4

C.一组数据的平均数、众数、中位数有可能是同一个数

D.8个数据的平均数为5,另3个数据的平均数为7,则这11个数据的平均

、“，-8X5+7X3

答案BCD

4+6

解析数据2,4,6,8的中位数为亍=5,显然A错误；B,C,D都正确.故

选BCD.

4.如图是一次考试结果的统计图（图中每组为左闭右开区间），根据该统计图

可估计，这次考试的平均分数约为.

答案46

解析根据题中统计图，可知有4人成绩在［0,20）之间，其考试分数之和约

为4X10=40；有8人成绩在［20,40）之间，其考试分数之和约为8X30=240；有

10人成绩在［40,60）之间，其考试分数之和约为10X50=500；有6人成绩在［60,80）

之间，其考试分数之和约为6X70=420；有2人成绩在［80,100）之间，其考试分

数之和约为2X90=180,由此可知，考生总人数为4+8+10+6+2=30,考试总

1380

成绩约为40+240+500+420+180=1380,平均分数约为不「=46.

5.已知7,4,3和m这四个数的平均数是5；18,9,7,m,〃这五个数的平均数

为10,求必，〃的值.

17+4+3+/

4:5，

加=6,

解由题意，得《解得

18+9+7+勿+n〃=10.

所以加的值为6,〃的值为10.

课后课时,精练

KEHOUKESHIJINGLIAN

旅龄学考水平合格练

一、选择题

1.某公园对“十一”黄金周7天假期的游客人数进行了统计，如下表:

10月10月10月10月10月10月10月

日期

1日2日3日4日5日6日7日

旅游人

1.52.22.23.81.52.20.6

数（万）

则该公园‘'十一”黄金周七天假期游客人数的平均数和第25百分位数分别是

（）

A.2万、1.5万B.2万、2.2万

C.2.2万、2.2万D.2万、1.85万

答案A

解析游客人数的平均数为义><（1.5+2.2+2.2+3.8+1.5+2.2+0.6）=

2（万）.将数据由小到大排列，因为7X25%=1.75,所以这组数据的第25百分位

数为L5万.故选A.

2.某学习小组在一次数学测验中，得100分的有1人，得95分的有1人，

得90分的有2人，得85分的有4人，得80分和得75分的各有1人，则该小组

成绩的平均数、众数、中位数分别是（）

A.85,85,85B.87,85,86

C.87,85,85D.87,85,90

答案C

解析该小组成绩的平均数为m（100+95+90X2+85X4+80+75）=87,

其中85分出现的最多，有4个，故众数为85,把该小组的学习成绩按由低到高

排列，其中第五个数、第六个数都是85,.•.中位数为"恒=85.故选C.

3.如图是某工厂对一批新产品长度（单位:mm）检测结果的频率分布直方图.估

计这批新产品长度的中位数约为（）

A.20B.25

C.22.5D.22.75

答案C

解析V0.02X5+0.04X5=0.3<0,5,0.3+0.08X5=0.7>0,5,.•.中位数

应在20〜25内，设中位数为x,则0.3+0-20）X0.08=0.5,解得x=22.5.二

这批新产品长度的中位数约为22.5.故选C.

4.如下表是某公司员工月收入的资料.

月收入/元45000180001000080007000500034002000

人数111361111

能够反映该公司全体员工月收入水平的统计量是（）

A.平均数和众数B.平均数和中位数

C.中位数和众数D.平均数

答案C

解析平均数会受（极大或极小）极端值影响，不能准确反应员工的工资水平,

众数和中位数可以很好地反映数据的集中趋势.

5.（多选）为征求个人所得税法修改建议，某机构调查了10000名当地职工的

月收入情况，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图.

下列说法正确的是（）

A.月收入低于5000元的职工有5500名

B.如果个税起征点调整至5000元，估计有50%的当地职工会被征税

C.月收入高于或等于7000元的职工约为当地职工的5%

D.根据此次调查，为使60%以上的职工不用缴纳个税，起征点应位于

[5000,6000）内

答案ACD

解析月收入低于5000元的职工有10000X（0.0001+0.0002+0.00025）X

1000=5500（名），A正确；如果个税起征点调整至5000元，由（0.00025+0.00015

+0.00005）X1000X100%=45%,可估计有45%的当地职工会被征税，B不正确；

月收入高于或等于7000元的职工约占0.00005X1000X100%=5%,C正确；月收

入低于5000元的频率为0.55,低于6000元的频率为0.8,D正确.

二、填空题

6.某医院急救中心随机抽取20位病人等待急诊的时间记录如下表:

等待时间(分)[0,5)[5,10)[10,15)[15,20)[20,25]

频数48521

用上述分组资料计算出病人平均等待时间的估计值工=—.

答案9.5

_1

解析A=-X(2.5X4+7.5X8+12.5X5+17.5X2+22.5XI)=9.5.

7.从甲、乙、丙三个厂家生产的同一种产品中抽取8件产品，对其使用寿命

(单位：年)进行追踪调查的结果如下：

甲：3,4,5,6,8,8,8,10；

乙：4,6,6,6,8,9,12,13；

丙:3