2015年高中数学 正、余弦定理的应用练习 新人教版必修5

正、余弦定理的应用

♦解三角形•考虑聚焦优化整合有序识记+

【考点1］几何问题

1.已知△4回的两边a、方及其夹角G则△47C的面积为:a6sinC.

♦解三角形"基础演炼掌握核心有的放矢.

例1已知圆内接四边形被力的边长48=2,BC=6,CADA=A,求圆内接四边形加切的面

积.

【点拨】连接BD分割成三角形，利用余弦定理求出sinA.

【解析】连接BD,则四边形面积

S=S&U»+SA(»=；AB,AD♦sinA+；BC,CD,sinC.

VA+C=180°,.'.sinA=sinC.

.•.S=J(AB•AD+BC•CD)•sinA=16sinA.

由余弦定理:在AABD中，BD2=22+42-2X2X4CO.SA=20-16COSA,

在aCDB中，BD2=42+62-2X4X6COSC=52-48cosC,

.".20—16cosA=52—48cosC.

又cosC=—cosA,/.cosA=—.•・A=120°.

四边形ABCD的面积S=16sinA=8#.

【答案】8木.

【小结】本题考查余弦定理.

练习1：(2014•新课标全国卷H)四边形被力的内角力与C互补，A8=l,况、=3,CD^DA

—2.

⑴求。和BD；

(2)求四边形4版的面积.

【解答过程】

【解析】(1)由题设及余弦定理得

Blf=BC+Cl}-2BOCZbosC

=13—12cosC,①

BG=AS^DA-UB-DACOSA

=5+4cosC.②

由①②得cosC=；,故C=60。，BD=^i.

(2)四边形4比》的面积

S=^AB•ZMsinA+^BC,CZteinC

=(|xiX2+|x3X2jsin600=2小.

♦解三角形•考点、聚焦优化整合有序识记,

【考点2】测量距离问题

1.基线的定义：在测量上，我们根据测量需要适当确定的线段叫做基线.一般来说，基线

越长，测量的精确度越高.

2.方位角：指从正北方向线按顺时针方向旋转到H标方向线所成的水平角.如图中的4点

的方位角为*

3.计算不可直接测量的两点间的距离是正弦定理和余弦定理的重要应用之一.

4.仰角和俯角：与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在

水平线上方时叫仰角，目标视线在水平线上方时叫俯角.（如图所示）

目标视线

水平视线

K目标视线

♦解三角形•基础演炼掌提核心有的漱矢＜

例2（2014•全国新课标卷I）如图，为测量山高MN,选择｛和另一座山的山顶，为测量观

测点.从1点测得"点的仰角乙曲沪=60°,C点的仰角NC48=45°,以及/物。=75°,

从C点测得乙必4=60°.已知山高取'=100m,则山高MV=m.

M

【点拨】在RtZXABC中，求得AC=10（h\「；在△MAC中，AM=100^3,在Rt/XAMN中，有MN

=150.

【解析】在Rl^ABC中，BC=100,NCAB=45°，所以人，=10咪.在△MAC中，/MAC=75°,

AMACsin600

/MCA=60°,所以NAMC=45°,由正弦定理有.八。=.八”,即AM='.后乂

sinZMCAsinZAMCsin45

100/=10（h/5,于是在RtZ\AMN中，有MN=sin60°X10琉=150.

【答案】150.

【小结】本题考查正弦定理及仰角的概念.

练习1：江岸边有一炮台高30m,江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°,

而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距.

船C

【解答过程】

【解析】设炮塔顶4、底〃，两船员C,则N4劭=45°,ZACD=30°,NBDC=30：AD

=30,：.1)433DC=34,BG=Dtf+DC—2DB♦DC•cos30°=900,."C=30.

♦解三角形•考点聚焦优化整合有序识记，

【考点3】测量角度问题

例3如图,在斜度一定的山坡上的一点4测得山顶上一建筑物顶端C对于山坡的斜度为15。，

向山顶前进100m后，又从点6测得斜度为45。，假设建筑物高50m,设山对于地平面的斜度

6,贝ljcos。二.

【点拨】在△ABC中，BC=200sinl5°；在aDBC中，-'。一=「频向'-求出cos。,

sin450sin(900+0)

【解析】在4ABC中，AB=100m,ZCAB=15°,ZACB=45°-15°=30°

100BC

由正弦定理:

sin30°sin15

ABC=200sinl5°

在4DBC中，CD=50m,ZCBD=45°,ZCDB=90°+0

50200sin15°八尻,

由正弦定理:------=------------=>cos0=v3-1

sin45°sin(90"+6)

【答案】V3-1.

【小结】本题考查正弦定理应用.

练习1：如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A,B,C三点进行测量，

已知AB=50m,BC=120m,于A处测得水深AD=80m,于B处测得水深BE=200所,于C处测

得水深CF=110m,求/DEF的余弦值.

【解答过程】

【解析】作DM〃AC交BE于N,交CF于M.

DF=VMF2+DM2=V302+1702=107298,

DE=VDN2+EN2=V502+1202=130,

EF=7(BE-FC)2+BC2=V902+1202=150,

在4DEF中，由余弦定理得

/MDE2+EF2-DF213O2+15O2-1O2X29816

Pn<-/DFF=_________________=_______________________=___

2DE更F2x130x15065,

所以/DEF的.余弦值为3.

65

练习2：如图，某市拟在长为8km的道路0P的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为

曲线段0SM,该曲线段为函数丫=人$行0乂6>0,。>0)xe[0,4]的图象，且图象的最高点为

S(3,20)；赛道的后一部分为折线段MNP,为保证参赛运动员的安全，限定/MNP=120°.

(1)求A,0的值和M,P两点间的距离；

(2)应如何设计，才能使折线段赛道MNP最长？

8x

【解答过程】

【点拨】本小题主要考查三角函数的图象与性质、解三角形等基础知识，考查运算求解能

力以及应用数学知识分析和解决实际问题的能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，

【解析】解法一

(1)依题意，W-A=2A/3J—=3»X7'=-^-,6W=—O/.y=25/3sin—x

4co66

当x=4Ay=2A/3sin=3

.•.M(4,3)又p(8,3)

/.MP=V42+32=5

(2)在aNINP中NMNP=120°,MP=5,

设NPMN=6,则0。<6K60°

MPNPMN

山正弦定理得

sin1200-sin6»-sin(6Oo-6>)

ioG.10V3.

NP=----sin9，.二MN=-----sin(600-0)

33

场ZDAN16.Z)«八0小I0V3J.V3小

故NP+MN=--。--sin0+-1-0-A-/3-si•n(60-0)=-----(—sin。n+——cos0)

33323

=#gsin(6>+60")

v0°<e<60°,.•.当e=30°时，折线段赛道MNP最长

亦即,将NPMN设计为30°时,折线段道MNP最长

解法二：

(1)同解法一

(2)在△MNP中，ZMNP=120°,MP=5,

由余弦定理得M/V?+NP2-2MNNPcosZMNP=MP2

即MN2+NP2+MNNP=25

故(MN+NP)2-25=MNNP<")2

2

从而』(MN+NP)2V25,即+

43

当且仅当MN=NP时，折线段道MNP最长

【小结】本题第(2)问答案及其呈现方式均不唯一，除了解法一、解法二给出的两种设计

方式，还可以设计为：①N(吐叵，卫生叵)；②N(巴立，上小)；③点N在线段MP的

2626

垂直平分线上等

♦解三角形•考点聚焦优化整合有序识记，

【考点3】测量高度问题

例4如图所示，为测一树的高度，在地面上选取A、B两点，从A、B两点分别测得树尖的仰

角为30°、45°,且A、B两点间的距离为60m,则树的高度为.m.

CB60mA

【解析】由图可得NAPB=15°,根据正弦定理，

Bp=WinZBAP=f4=30=30(^+^)>

sinZAPBsinl5°76-72''

4

在aPBC中，PC=BPsinZPBC=30(76+72)X—=30(73+1)(m).

2

【答案】30(V3+1).

练习1：在200米高的山顶上，测得山下-塔塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°,则塔高

为-

【解答过程】

BD

【解析】如图，在RtZXCDB中，CD=200,

2004006

ZBCD=90°-60°=30°,ABC=

cos30°3

在4ABC中.，ZABC=ZBCD=30°,ZACB=60°-30°=30°,

BC_AB

ZBAC=120°

sin1200-sin30°

40g

.BCg>in30°32400

••AB=-----V-3----V3~T

TT

基础练习

（时间：60分钟）

1.从高出海平面2米的小岛看正东方向有一只船俯角为30。，看正南方向一只船俯角为

45°,则此时两船间的距离为

2.某人在C点测得某塔在南偏西80°,塔顶仰角为45°,此人沿南偏东40°方向前进10

米到〃测得塔顶力的仰角为30°,则塔高为.

3.一艘船以20km/h的速度向正北航行，船在/处看见灯塔6在船的东北方向，1h后船

在。处看见灯塔6在船的北偏东75。的方向上，这时船与灯塔的距离比等于_______km..

4.（2014•四川卷）如图所示，从气球4上测得正前方的河流的两岸区C的俯角分别为75°,

30°,此时气球的高度是60m,则河流的宽度9等于.

5.台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区

为危险区，城市B在A的正东40千米处，B城市处于危险区内的时间为.

南

6.某市电力部门在今年的抗雪救灾的某项重建工程中，需要在A、8两地之间架设高压电

线，因地理条件限制，不能直接测量A、B两地距离.现测量人员在相距6的C、。两

地（假设在同平面上），测得/4C8=75°,ZBCD=45°,ZADC=30°,

乙4OB=45°（如图），假如考虑到电线的自然下垂和施工损耗等原因，实际所须电线长度

_4

大约应该是A、8距离的一倍，问施工单位至少应该准备多长的电线?

3

7.如图所示，已知在四边形46（力中，ADVCD,47=10,48=14,NBDA=60°,/圜9=135°,

求a'的长.

8.（2014•湖南卷）如图所示，在平面四边形/版中，DAUB,DE=\,EC=$,£4=2,

2nJI

ZADC=—ABEC=—.

ofo

(1)求sin/物的值;

(2)求应的长.

9.甲船在A处、乙船在甲船正南方向距甲船20海里的B处，乙船以每小时10海里的速度

向正北方向行驶，而甲船同时以每小时8海里的速度由A处向南偏西60”方向行驶，问经过

多少小时后，甲、乙两船相距最近？

加

10.（山东省枣庄市2014届高三上学期期中检测数学（理）试题）如图，在AA8C

中，/48。=90。,48=6,8。=1,2为根8。内一点，ZBPC=9Q°.

(1)若PC=^，求PA;

2

⑵若ZABC=120°,求MBP的面积S.

11.如图，甲船以每小时300海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行,

当甲船位于4处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的4处，此时两船相距20海里，当

甲船航行20分钟到达4处时，乙船航行到甲船的北偏西120。方向的与处，此时两船相距

10匹海里，问乙船每小时航行多少海里？

12.在某海滨城市附近海面有一台风，据检测，当前台风中心位于城市0（如图）的东偏南

。（cos。=%）方向300km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北45°的方向移动,

台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km,并以10km/h的速度不断增加，问几

小时后该城市开始受到台风的侵袭？持续多长时间？

13.6.设A46C的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,且满足在心=上独

acosA

(1)求角A的大小；

⑵若a=2旧,求A48C面积的最大值.

参考答案

1•【解析】如图所示,

BC=#h,Agh,

...48=、3斤+斤=2/7.

68X必

MN=g=34乖,；.心号=11^（nG/h）.

2

2.【解析】如图，设塔高为h,

在RtZUOC中，ZACO=A5°,

则OC=OA=h.

在RtZX/如中，N4»=30。，

贝UOA#h,

在中，/次力=120°,CD=\Q,

由余弦定理得：切=况+）一2%•汝osN殴,

BP（V3/7）2=A2+102-2AX10XCOS1200,

...少一5力-50=0,解得，=10或==一5（舍）.

BC________AC_

3.【解析】如图所示,

sin45°sin30°

AC

：.BC=Xsin45°

sin30°

2

=2（hj2（km）.

60

4.【解析】由题意可知，AC=~~k=120.

sin30

ZBAC=75°-30°=45°,ZABC=180°-45°-30°=105°，所以sin//a:=sin1050

=sin（60°+45°）=sin60°cos450+cos60°sin45°=4.

在△脑中,由正弦定理得;缶r枭

于是BC=—j=---台=2：。*=120（木—1）（m）.故选C.

■V2+V6丫

4

5.【解析】设A地东北方向上点P到B的距离为30千米，AP=x,在4ABP中

PB2=AP2+AB2-2AP•AB•cosA,

即30，=x'+40'-2x•40cos45°

化简得X2-40缶+700=0

IXi—X2I'=(X1+X2)2-4XIX2=400,|XI—X2I=20,即CD=20

,,CD20,,

故"——=—=1]

v20

6.【解析】在AACO中，由已知可得，ZCAD=30°

所以，AC=43km.....

在△BCD中，由已知可得，ZCBD=60"

sin75°=sin(45°+30°)=■:>

由正弦定理，.="5。=如逑

sin6002

cos75°=cos(45°+30。)=娓一°

在AABC中，由余弦定理AB2=AC1+BC2-AC-BCcosZBCA

2

rz>/6+V22r~y/6+y/2

=73+(--------)-2V3--------------cos75-5

22

所以，AB=#>施工单位应该准备电线长-V5.

3

答：施工单位应该准备电线长-V5km.

3

7.【解析】设被=x,在△45®中，由余弦定理有

At}=Alf+Bl}-2AD・BD，cosAADB,

即14'=f+10‘-20xcos600,

/./—10x—96=0,，x=16(x=-6舍去)，

即BD=16.

BeBD

在△版中，由正弦定理.//,“?=一/后方

sinZcZ®smABCD

,、16sin30°

‘欣=sin135。

8.【解析】设NQ»=a.

(1)在△口定中，由余弦定理，得

EC=Ca+呢-2CD，DE-cosAEDC,

于是由题设知，7=5+1+09,BPCG+CD—

6=0,解得32(&?=—3舍去).

在△&组中，由正弦定理，得.口后

s\x\Z_EDCsina

2冗

CD-sin—2XVr-

sinZ6E?=^.

(2)由题设知，0<于是由(1)知，

o

而­—a,所以

(2n、2n2n

cosZ^£ff=cosl-l=cos_ycosa+sinf-sina

1m.

=--cosa+slna

捶+圾恒-亚

-2X7+2X7-14-

EA2

在中，CQSZ.AEB=^=—^,故

22

BE-/力s=~~rr=4ylr7.

cos/AEBA/7v

14

9.【解析】设经过x小时后，甲船和乙船分别到达CO两点

贝必。=8%,4。=48—BO=20—10x

/.CD2=AC2+AD2-2AC-AD•cos60°

=(8x)2+(20—10x)2-2-8X-(20-10X)-1

=2441-560x+400=244(%-—)2+

6161

当CO?取得最小值时,co取得最小值.

.•.当x=；70时,CO取得最小值，

61

B

此时，甲、乙两船相距最近

10.【解析】（1）在Rt/^BPC中，sinZPBC=—.所以NPBC=60°.而

2

PB=^BC2-PC2=.J13I=i,

V42

在\ABP中，ZPBA=90°-ZPBC=90°-60°=30°.由余弦定理，

PA2=PB2+AB2-2PB-AB-cosZPBA='+3—2x!x百x走=2，所以PA=也.

42242

（2）设NP8A=a,则NP8C=90°—a.在MAJ5PC中,

PB=BCcosZPBC=cos（900-a）=sina.

AB_PB即G_sina

在A48尸中，由正弦定理,

sin1200sin（60。-a）百sin（600-a）

T

所以sina=2cosa——sina即2sina=Gcosa.