2021人教B版高中数学选择性必修第一册1.1.3空间向量的坐标与空间直角坐标系

1.1.3空间向量的坐标与空间直角坐标系

教材分析

本节课选自《2019人教B版高中数学选择性必修第一册》第一章《空间向量与立体几何》，

本节主要学习空间向量及其运算的坐标表示。通过类比平面向量及其运算的坐标表示，从而引

入空间向量及其运算的坐标表示，为学生学习立体几何提供了新的方法和新的观点，为培养学

生思维提供了更广阔的空间，在学生学习了空间向量的几何形式和运算，以及在空间向量基本

定理的基础上进一步学习空间向量的坐标运算及其规律，是平面向量的坐标运算在空间推广和

拓展，为运用向量坐标运算解决几何问题奠定了知识和方法基础。

教学目标与核心素养

课程目标学科素养

A.在理解空间向量基本定理的基础1.数学抽象：空间向量的坐标表示

上掌握空间向量正交分解的原理及2.逻辑推理：运用空间向量坐标解决平行与垂

坐标表示.直问题

2.能正确地运用空间向量的坐标,进3.直观想象：用坐标的方法解决立体几何中的

行向量的线性运算与数量积运算.简单几何问题

3,初步学会用坐标的方法解决立体4.数学运算：向量坐标下的线性运算与数量积

几何中的简单几何问题.运算

教学重难点

1.教学重点：掌握空间向量坐标表示并能进行向量的线性运算与数量积运算.

2.教学难点：会用坐标的方法解决立体几何中的简单几何问题

课前准备

多媒体

教学过程

教学过程教学设计意图

核心素养目标

一、情境导学

我国著名数学家吴文俊先生在《数学教育现代化问创设问题情境,

题》中指出：“数学研究数量关系引导学生体会运

与空间形式,简单讲就是形与数，用坐标法，实现将

欧几里得几何体系的特点是排除空间几何问题代

了数量关系,对于研究空间形式，数化的基本思想，

你要真正的‘腾飞'，不通过数量提升数形结合思

关系，我想不出有什么好的办想。

法…….”

吴文俊先生明确地指出中学几何的“腾飞”是“数量

化”，也就是坐标系的引入，使得几何问题“代数化”，为

了使得空间几何“代数化”，我们引入了坐标及其运算.

在平面向量中，我们借助平面向量基本定理以及两个

互相垂直的单位向量，引进了平面向量的坐标，空间向量是

否可以引进类似的坐标，这就是本小节我们要研究的内容。

二、探究新知

问题1：如图所示，已知=e1,砺=e2,瓦=63,且

OADB-CEGF是棱长为1的正方体，。尸便通-公久。/1是一

个长方体，名为0C的中点，。尸尸2,。

(1)设次=a,0C；=b,将向量G与b都用e1，e2,e?表

示；

(2)如果p是空间中任意一个向量，怎样才能写出p在基底

{ei，e2>03}下的分解式？

由知识回顾，

提出问题，让学生

感受到平面向量

AD与空间向量的联

答案：＜1)a=+e2+63,b=一262+563系，类比平面向量

(2)若p=xe1+ye2+ze3,则p=｛x,y,z｝及其坐标运算，从

1.空间中向量的坐标而学习空间向量

一般地，如果空间向量的基底｛e,e,e｝中，e,e,e都是及其坐标运算。

123123

单位向量,而且这三个向量两两垂直,就称这组基底为单位

正交基底;在单位正交基底下向量的分解称为向量的单位正

交分解,而且,如果p=xe+ye+ze,则称有序实数组(x,y,z)

\23

为向量P的坐标,记作p=(x,y,z),其中x,y,z都称为p的坐

标分量.

1.已知向量P在基底｛a,b,c｝下的坐标为(8,6,4),其中

a=i+j,b=j+k,c=k+i,则向量p在基底｛i,j,k｝下的坐标是

()

A.(12,14,10)B.(10,12,14)C.(14,12,10)

D.(4,3,2)

解析：由题意知

p=8a+6b+4c=8i+8j+6j+6k+4k+4i=12i+14j+10k,

故向量p在基底｛i,j,k｝下的坐标为(12,14,10).

答案:A

2.空间向量的运算与坐标的关系

空间向量a,b,其坐标形式为a=(x,y,z),b=(x,y,z).

111222

向量运

向好:表不坐标表示

算

a+b=(x+x,y+y,z+z

121212

加法a+b

)

a-b=(x-x,y-y,z-z

121212

减法a-b

)

Xa=(Xx,Xy,Xz)

数乘入aiii

a•ba,b=xx+yy+zz

数量积1212I2

特别地，（1）如果〃，/是两个实数，那么

通过对空间向

y-f-vyyuz+uz）.

121212量坐标表示的学

(2)/a/S/a•a=J*+y/+z习，让学生感受空

(3)cos缸=IX|X2+%7+z-(awo,bWO).间向量坐标化的

abJ贷+*+z"嫂+*+z/

基本原理和方法，

2.已知向量a=(3,3,l),b=(-2,4,0),则4a+2b等于()

发展学生逻辑推

A.(16,0,4)B.(8,-16,4)

理，数学抽象和数

C.(8,16,4)D.(8,0,4)

学运算的核心素

解析：cos<a,b)===7?型型--------=1.答

abI----------2

j22+(-3)2+(V3)2xJl2+02+02养。

科

3.向量a=(2,-3,V3),b=(l,0,0),则

cos<a,b>=.

解

析:4a+2bN(3,-2,1)+2(-2,4,0)=(12,-8,4)+(Y,8,0)=(8,

0,4).

答案:D

3.空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直

设a=G,y„z),b=(%,%,z^),则有a〃bo包="=&(其中

xiyizi

Xi"#。);

a_Lb=a,bOox/z+N必+Z1Z2R.

名师点析若不明确及弘©W0,则可以用以下结论进行求解,

即a〃

%2=入％1，

b(a#0)=b=4a=(在，必，zj二4(小，乂，zjy2=Ay1；

Z?=4Z].

4.已知a=(2,4,5),b=(3,x,y),若a〃b,贝U()

A.x=Qyy-15B.x=Qfy=^

C.产3,y-15D.x=6yy胄

%=6

15

(y=--

答案:D

问题2：由空间向量坐标的定义可以看出，当单位正交基底

的始点是同一个点0,而且空间向量的始点也是0时，空间

向量的坐标实际上是由它的终点位置确定的。

(1)如图所示，怎样才能刻画地球的

卫星在空间中的位置？

(2)我们知道，在直线上建立数轴后,

就可以用一个数来刻画点在直线上的

位置，在平面内建立平面直角坐标系之

后，就可以用一对有序时数来刻画点在平面内的位置，那么

怎样才能刻画空间中点的位置呢?

4.空间直角坐标系

通过典型例

为了确定空间点的位置,在平面直角坐标系xa的基础

题的分析和解决，

上,通过原点0,再作一条数轴z,使它与x轴,■轴都垂直,这

让学生感受空间

样它们中的任意两条都互相垂直.

向量坐标运算在

轴的方向通常这样选择:从z轴的

解决空间几何中

正方向看,x轴的正半轴沿逆时针

的应用。发展学生

方向转90°能与y轴的正半轴重

数学抽象、逻辑推

合,这样就在空间建立了一个空间

理的核心素养。

直角坐标系Oxyz,。叫做坐标原

点.每两条坐标轴分别确定的平面xOy,yOz,zOx叫做坐标平

面,三个坐标平面把不在坐标平面内的点分成八个卦限，如

图所示.

点睛(1)空间中的点与三个实数组成的有序实数组之间，有

了一一对应关系,空间一点”的位置完全由有序实数组

(x,%z)确定，因此将(x,y,z)称为点"的坐标,记作

M^x,y,z).此时,x,%z都称为点〃的坐标分量,且x称为点M

的横坐标(或x坐标)，y称为点"的纵坐标(或y坐标)，z称

为点必的竖坐标(或z坐标).

(2)八个卦限中的点的坐标符号也有一定的特点：

I：(+,+,+);II：(-,+,+)；in：(-+);W:(+,-,+);V:(+,+

,-)；VI：(-,+,-)；vn：(-,；vin：.

(3)在空间中建立了空间直角坐标系之后，向量而的坐标与

尸点的坐标相同，即而二的产9+绝=(*,y,z)y,Z).

5.(1)点/(1,2,1)关于xOz平面的对称点的坐标是()

A.(1,-2,1)B.(-1,-2,1)C.(1,2,-1)

D.(-1,-2,-1)

(2)如图,在棱长为2的正方体ABCD-ABCD中,取〃点为原

1111

点建立空间直角坐标系，“〃分别是AC,DD的中点，写出下列

1

向量的坐标：~AM=_______,0B；=________.

Dif_Z______r.

//

4Bi

/

/

/

：D/

//*

2——7

4AB

解析:〃介外物=2,且DA,DC,如「两两互相垂直，

设［五？前=(1,0,0),［比个2=(0,1,0),3西个3=(0,0,1).

'：AM=AD++：。。1=-2匕e3,0,1).

---------->1'>■,■>1,■>1■■>11'>1'->

,/0B1=OB+BBr=-DB+BBX=-DA+-DC+

DD；Aei&+2e3,

.•.西=(1,1,2).

答案：⑴A(2)(-2,0,1)(1,1,2)

5.空间直角坐标系中两点之间距离公式及中点坐标

设4(x,y,z),8(”,z)为空间直角坐标系中的两点，则

111222

OA=(为，外zj,05=(&%,Z2),所以=05-

OA=(^2,%,Z2)一(为,几Zi)=(在-Xi,z2-Zi),

222

AB=[AB1=^(%2-xi)+(y2~yi)+(z2~^i)-

设线段AB的中点为M(x,y,z),则加=(x,%z),

W=|(OA+05)](x\+xz,yx+y2,z、+zj

=(上及，组及，迫及)，所以点"的坐标为(卫士这,左士这,山

222222

).

通过典例解析，进

6.已知点4(-3,1,5)与点6(4,3,1),则48的中点坐标是

一步让学生体会

()

空间向量坐标在

A.Q,1,-2)B.&2,3)C.(-12,3,5)

解决立体几何中

D-G；”)的应用，提升推理

论证能力，提高学

答案:B

生的数学运算及

例1(1)已知向量a=(4,-2,-4),b=(6,-3,2),则

逻辑推理的核心

(2a+3b),(a-2b)=________.

素养。

(2)已矢口a+b=(2,V2,2V3),a~b=(0,V2,0),贝Ucos<a,b>等于

()

A.-B.-C.—D.—

3636

解

析：⑴(2a+3b)•(a-2b)=2a43a•b-4a•b-6bL，=2X6-22-6

X7J=-244.

(2)由已知得a=(l,V2,V3),b=(l,0,g),故

/L、a•b1+0+3\/6

cos<a,b>-----=-p-F=—.

abx/6xV43

答案：⑴-244(2)C

对于空间向量坐标的计算有以下两种途径：

(1)直接计算问题

首先将空间向量用坐标表示出来,然后准确运用空间向量坐

标运算公式计算.本探究中例题就是用给出的向量坐标直接

套用数量积相关公式求解.对于(1)问中运算方法还可以先

求出2a+3b与a-2b的坐标再计算.

(2)由条件求向量或点的坐标

首先把向量按坐标形式设出来,然后通过建立方程组,解方

程(组)求出其坐标.变式中的求参问题便属于这一类型题

目.

跟踪训练1若向量a=(l,1,x),b=(l,2,1),c=(l,1,1),且满

足条件(c-a)•(2b)=-2,则.

解析：据题意,有c-a=(0,0,1-x),2b42,4,2),故

(c-a)-2b=2(1-x)=-2,解得xd答案:2

例2已知空间三点4(-2,0,2),8(-1,1,2),。(-3,0,4),设

a=AB,b=AC.

⑴若|c|=3,c〃而，求c;

(2)若ka+b与Aa-2b互相垂直,求k.

解：(1)因为前二(-2,T,2),且c〃就，

所以设c=4近=(-2九-九24)，得

/c/J(-2A)2+(-A)2+(2A)2即人肉

解得X=±\,即c=(-2,T,2)或c=(2,1,-2).

(2)因为a-AB=(1,1,0),b=AC-(-1,0,2),所以

Aa+b=(^-l,k,2),Aa-2b=(4+2,k,-4).

又因为(Aa+b)_L(Aa-2b),所以(为+b),(Aa-2b)O,

即(A-l,k,2)•(右2,k,-4)=2^-61-10=0.解得左即或k=--.

变式：若将本例改为“若Aa-b与瓶，2b互相垂直”，求k

的值.

解：由题意知Aa-b=(A+l,k,-2),Aa+2b=(4-2,k,4),

V(Aa-b)_L(4a+2b),，(%a~b)•(4a+2b)4),

即々+1)(4-2)老解得k=-2或/故所求k的值为-2

吟nlz—.

判断空间向量垂直或平行的步骤.

(1)向量化:将空间中的垂直与平行转化为向量的垂直与平

行.

(2)对于a=(x,y,z),b=(x,y,z),根据两向量坐标间的关

111222

系判断两向量是否垂直；根据=

121212

R)或卫=左=幺(X,八z都不为0)判断两向量是否平行.

%2Z2222

2.求出参数值后还要再回归到原题检验解的可行性,解决平

行或垂直时用的坐标，含参数的还要注意分类讨论思想的应

用.

跟踪训练2正方体ABCD-ABCD中，£是棱〃〃的中点,P,0分

别为线段物上的点，且3瓦下=的，若PQL

4区前=八成，求A的值.

解:如图所示，以〃为坐标原点，的,用如所在直线分别为x

轴,夕轴，z轴，建立空间直角坐标系Dxyz,设正方体棱长为1,

则4(1,0,0),£(0,0彳)，8(1,1,0),6(1,1,1),〃(0,0,1),

由题意,可设点尸的坐标为(a,a,1),

因为3帝=可,所以3(a-l,a-1,0)=(-&-a,0),

所以3a-3=-a,解得a^,所以点尸的坐标为(j*1).

由题意可设点0的坐标为（6,，,0）,

A~~~B

因为做1仍所以所.荏R,所以（6》,T）•（-1,0,-）

442

电

即-（《）畀，解得吟所以点。的坐标为（强0）-

因为丽=4而，所以（T,T,0）=4（袅，0），所以（=T,故

A二一4.

例3棱长为1的正方体力颂T8中，£EG分别是

iiii

如，"缈的中点.

11

（1）求证:斯D;（2）求cos而,次）；（3）求四的长.

⑴证明：以〃为坐标原点,DA,DC,DD所在直线分别为x轴,y

1

轴,Z轴，

建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,

则〃（0,0,0）,£（0,0）1）,C（0,

所以萨（另,分谓呜go），研（i，o,9,晒（0,<4

）•

因为"-CF=|x1+|x（―），（T）义。老所以加1CF.

即EFLCF.

⑵解:因为丽•德=11号xo+（T）W=：

而/=J（|）2+（|）2+（4）2=

当闻仁］#+02+g2=与

EF.CG7V15

所以cos<EF,CG>~-------=返去=7T-

EF\CG\22

⑶解：/6F/-/CE/=02+（_1）2+（工）2=叵

通过分析几何体的结构特征,建立适当的坐标系，使

尽可能多的点落在坐标轴上，以便写点的坐标时便捷.对于

正方体载体常用的建系方法一般如例题中所述.建立坐标系

后，写出相关点的坐标,然后再写出相应向量的坐标表示，把

向量坐标化,然后再利用向量的坐标运算求解夹角和距离问

题.

跟踪训练3如图，在直三棱柱（侧棱垂直于底面的棱

柱）/SCT8C中，CA=CB=\,

111

,棱412，川为AA的中点.

11

（1）求的长；（2）建立直角坐标系，求cos<O,瓦下）

G

解:如图，以。为坐标原点,CA,CB,3所在直线分别为x轴,y

i

轴，Z轴,建立空间直角坐标系Cxyz.

（1）依题意得3（0,1,0）,Ml,0,1）,

布/J(1-0)2+(

/.//o-l)2+(l-o)2=V3,

.,.线:段8V的长为VI

(2)1衣题意得4(1,0,2),8(0,1,0),C(0,0,0),6(0,1,2),

AA吊=(-1,1,-2),可>(0,-1,-2),

AA了•鸵=(T)X03-1X(-1)+(-2)X(-2)-3.

又〃/W6,rB]d/r亏，

•B^_V3O

)S<A[B,B7C>^^

Act-10,

ATB|B；c

4BI

N

k

)

Xy

三、达标检测

1.已知M5,-1,2),4(4,2,-1),0为坐标原点,若丽=AB,通过练习巩固

本节所学知识，通

则点6的坐标应为()

过学生解决问题，

A.(-1,3,-3)B.(9,1,1)C.(1,-3,3)

发展学生的数学

D.(-9,-1,-1)

运算、逻辑推理、

解析：砌=荏=加一万?,加=两+面=(9,1,1).因

数学建模的核心

为0为坐标原点,则点8坐标为(9,1,1).

素养。

答案:B

2.在空间直角坐标系中，点产(-2,1,4)关于点#(2,-1,-4)的

对称点的坐标是()

A.(0,0,0)B.(2,-1,-4)C.(6,-3,T2)

D.(-2,3,12)

解析:设对称点为P,则点物为线段外的中点，设尸(X,y,z),

333

由中点坐标公式,可得

x=2X2-(-2)=6,y=2X(-1)-1--3,z=2X(-4)-4=—12,所以

一(6,T,T2).答案:C

3

3.(多选)已知a=(2,-3,1),则下列向量中不与a平行的是

()

A.(1,1,1)B.(-4,6,-2)C.(2,-3,5)

D.(-2,-3,5)

解析:若a〃b,bWO,必有b=4a.则b=(-4,6,-2)

时,b=-2⑵-3,l)=-2a,所以a〃b.经检验,其他向量均与a

不平行.答案:ACD

4.已知向量a=(l,1,0),b=(T,0,2),且Aa+b与2a-b互相垂

直,则A的值是________.

解析:依题意得(Aa+b)•(2a-b)=0,所以

22

2k/a\~ka•b+2a,b-1b|老

22

而|a|=2,|b|=5,a•b=T,所以4k+k~2T>=0,解得k%答

案[

5.已知A(2,-5,1),M2,