大学高等数学第二册复习资料

高等数学第二册

第七章空间解析几何及向量代数

在这一章中,首先建立空间直角坐标系,引进自由向量,并以坐标和向量为

根底•用代数的方法探讨空间的平面和直线•在此根底上•介绍一些常用的空间

曲线及曲面。通过这一章的学习，培育空间想象实力•娴熟的向量代数的计算实

力和推理'演绎的逻辑思维实力。也为学习多元微积分做打算。

重点：曲面方程，曲线方程

难点：较深入地理解曲面（平面）'曲线（直线）方程，并能把握方程所表示

的图形的特征。

（—）

1•空间笛卡尔坐标系的构成：空间的一个定点。­连同三个两两互相垂直的

有序向量组1称为笛卡尔坐标系。当G，02，03的互相关系和右手拇指'食指'

中指一样时，称为右手坐标系。在通常的探讨中­常用右手笛卡尔坐标系。关于

一般的坐标系称为仿射坐标系'有爰好的同学可参阅《空间解析几何》这类专业

教材。

2•空间向量可以从两个途径来相识：

①由定义：具有大小和方向的量称为向量，因此可由方向（可由方向角来确

定）连同大小（模长）来确定（留意，这样定义的向量称为自由向量，简称向量•

自由向量及起点和终点无关）。书上往往用黑体字母表示，手写时用黑体并不便

利，常在字母上面加一个箭头表示，例：AB，M等。

②可由向量的坐标来把握向量。必需分清向量坐标及点坐标这两个概念'—

般状况下，设“=｛x,y,z｝的始点的坐标分别为（玉，%2，%3），（%，为，＞3）,则

a=｛x2%一-zj,即向量的坐标及向量的起点及终点的坐标间有下列关

系：

x=0-七，丁=乃-M，z=Z2-4。因此，若确定了向量的坐标，则这个向量就确

定了。

当向量的起点及坐标系的原点重合时'向量的坐标及向量的终点的坐标在

数值上相等。

3•在学习向量的代数运算时，利用几何或物理模型比拟简洁驾驭。如求向量

的加法和减法可以平行四边形或以力的相加或相减为模型，求两向量的数量积可

以求力在某段路程上所作的功为模型•求两向量的向量积可以求力关于某点的力

矩为模型•并要娴熟驾驭每种运算的算律。

4•一个平面具有各种形式的方程，如点法式•三点式•截距式•一般式。在

学习平面的各种形式的方程时，对方程中常数的几何意义应引起充分的留意。如：

平面方程Ax+为+Q+D=°,则｛ABC｝为平面的一个法向量-建立平面的方程时

应依据条件敏捷处理。点法式方程是应用较便利•常用的方程类型•这是因为在

探讨平面问题时，平面的法向量常常起着关键性的作用。

5•确定空间一条直线的方法许多，在《高等数学》中把它归结为由直线上的

一个定点和及直线平行的一个非零向量来确定，或将它看成两个平面的交线。空

间直线的标准式方程及参数式方程，二维空间中的直线均有对应的形式•但要留

意•只有空间直线可看成两个平面的交线。

6­在《高等数学》中，常用的曲面方程为：

椭球面方■当。=6或b=c或c=a时为旋转椭球面，当a=/?=c时，

程为球面方程。

双曲面方

程

X2y2Z2

锥面方程---11-0,cibcw0

a--b---c

22

二+二,椭圆抛物面

抛物面方pq

2z=<

22

程2-二，双曲抛物面

PQ，其中pq>°

M，z)=o,母线平行于x轴的柱面方程

柱面方程

M》,z)=o,母线平行于y轴的柱面方程

旋转面方，绕z轴旋转所得旋转面方程f±4-¥2+y2,z1=0

\/x2+z2j

、绕y轴旋转所得旋转面方程f=0

程母线V土

(二)

1•向量在轴上的投影是个常用的概念，要留意向量在轴上的投影是一个数量

而不是一个向量，也不是一个线段。

设向量,其中投影轴为/,点A,3在轴上的投影分别为4，B',若取及

轴同方向的单位向量为，则有葡=也称X为痴在轴/上的投影。因此向量前在

轴上的投影不是有向线段轴­而是一个数值，记为P门而，易知

Prj,AB=\AB\cos（p,其中。为蕊及轴/的夹角。

2•向量在坐标轴上的投影称为向量的坐标。

3•向量的数量积，向量积一览表：

a-baxb

—►►—*（f人—、*

axb=\a\\b\sinab,

1）•其中

a-b=\a\\b\b

〃。是同时垂直于M的单位

定义4

向量，且a，B，〃。按右手系

排列

坐标表a=\ax,ay,az\,b=\bx,by,bz}a=\ax,ay,az],b=\bx,by,bz}

示a-b=axbx+ayby+azbz

特征性a.Lba-b=0allb==6

质即4b*+ayby+azbz=0即

点峪到平面万的间点M（X|，%，zJ到直线/的间隔

隔为1，（*D，其为d^/oXM；必I,（*2）,其中/（）

几何应中公为平面〃的单位法向为直线/上的单位向量-M。

用量，%是万上的任一点•当是直线/上的任一点。当d=0

2=0时，（*1）式给出动点M时，（*2）式给出动点监所满

所满意的平面的方程。意的直线的方程。

4•要娴熟驾驭平面，直线的各种形式的方程互化，关键在于明确在各种形式

的方程中•各个量（常量'变量）的几何意义以及它们之间的笑系•在此根底上，

互化是简洁做到的。如建立平面的三点式方程时•若硬记公式则不简洁记牢的•

但从三个向量共面的角度去思索就能牢牢地记住。

5•要深入理解空间直角坐标系下平面的方程是一个关于％­，，z的一次方

程。反之，任何一个关于大，，，z的一次方程都表示一个平面。

6•平面及平面'直线及直线、平面及直线间的位置关系均是通过平面的法向

量间，直线的方向向量间，或平面法向量及直线的方向向量间的位置关系来探讨•

因此可归结为向量问题来解决。如：两个平面间的夹角问题通过它们的法向量的

夹角来解决。

7•常用的曲面方程见（A）中6，要真正驾驭这些曲面的形态、特征•可以

用"平行平面截割法"，也就是用一族平行平面（一般平行于坐标面）来截割曲

面，探讨所截得的一族曲线是怎样变更的•从这一族截线的变更状况即可推想出

所表示的曲面的整体形态•这是相识曲面的重要方法•它的根本思想是把困难的

空间图形归结为比拟简洁相识的平面曲线。

8•空间曲线一般由两个曲面相交而得，这样的曲面有无穷多个，若曲线的形

态不易把握时，可先将两个曲面方程通过消去未知数的方法得两个过曲线的射影

柱面的方程，而射影柱面的形态是较简洁把握的。

9•空间曲面和曲线除了利用图形上的点的坐标所满意的关系建立方程外，还

常用参数方程来表示。参数方程的特征是方程中既有表示坐标的变量，也有坐标

以外的其他变量（称参数），且坐标变量X-y，z分别可以表示成参数的函数。

10•曲线（直线）的参数方程均含一个参数，曲面（平面）的参数方程含两

个参数。简洁的参数方程消去参数后可化得一般方程，但并不是全部的参数方程

都能化成一般方程的。

（=）

1.三个向量相乘有混合积仿义而々和双重向量积仿义而义3,其中双重向量积的

探讨可见《空间解析几何》这类专业教材，对于混合积在高等数学中应用较多•

它具有一个非常重要的几何意义，即当@B，亍不共面时，卜，瓦3的肯定值等于

«，B，工为棱的平行六面体的体积。因此利用混合积可以解决求一类体积的问题。

2・三个以上的向量相乘的问题总可转化为三个向量相乘，因此可归结为三个

向量相乘来探讨。

3•混合积的坐标表示及特征性质

设）={%,%,%},3=机，々，么},c={cx,cy,cz},则

axaya.

[a,K,c]=(GxB>C=bxbyb:

cxcyc(a,^,c)=O<»a,b,5共面。

4•在学习曲面及空间曲线时•应留意两点:

①空间曲面方程的定义及平面曲线方程的定义相类似，通常将曲面看成具有

某种特征性质的空间点的轨迹，用方程Mx,y,z）=°来表示，从集合的观点来看，

曲面就是全部满意方程Mx,y,z）=°的点（x,y,z）的集合。

②要充分理解空间曲线一般方程的定义。这里强调用通过空间曲线/的随意

两个曲面的方程来表示•即用通过空间曲线/的两个曲面方程联立起来表示空间

曲线。若由方程乙（%»*）=。和F2（x,，z）=0表示的两个曲面，除去曲线/:上的点是

它们的公共点外，再也没有别的公共点•则用表示它们交线的方程。但要留意­

联立随意的两个曲面方程，它们可能不表示任何空间曲线，例如，从代数上看这

是一个冲突方程组•不存在解；从几何上看•这是两个同心的球面•它们没有任

何的公共点。

第八章多元函数微分法及其应用学习指导

-'学问脉络

二'重点和难点

1•重点：求极限'求偏导数'求全微分'求极值。

2•难点：极限存在、连续、偏导数存在、可微之间的关系•复合函数求偏导

数。

三、问题及分析

1­及户沿某盘超于/仅当前者存在时，才相等。

2-二重极限、连续、偏导数存在、可微间的关系

3•多元函数中极限、连续'偏导数

的运算法则、一阶微分形式的不变性、

初等函数的连续性、最值定理、介值定

理均及一元函数中相应内容和结论对

应。存在

4-二重极限及二次极限是本质不同的两个概念。

(1)当动点「(％丁)沿随意途径趋于a。，〉。)时，若/卜丁)都以同一数值为其极限，

则这样得到的极限为二重极限;当X，y先后相继地趋于X。，时的极限为二次

极限。

(2)两个二次极限存在且相等­不能得出二重极限存在。

例如：，简洁验证两个二次极限吧吧"羽"=吧吧，但是不存在。

(3)二重极限存在，不能得出二次极限存在。

例如：，因为/(%»)在不含有两个坐标轴的平面点集上

有定义•当尸&丁)一(。，0)时,有x+yf0。由于有界变量及无穷小量的乘积仍是无

lim/(x,y)=lim(x+)?)sin—sin—=0

穷小量，可得^^oL九丁」，对随意给定的严。，由于，而不

存在•所以不存在。因此先对X后对y的二次极限吧吧/8”不存在。同理

吧吧了(%广)也不存在。

5•学习二次极限应留意以下三个问题:

(1)两个二次极限分别存在时不能保证它们肯定相等，因此不能随意地交换

求极限的先后依次。

.limlimfix.y)=-1limlimfix.y)=1

例/ril:■则niyf0x—>0'，0yf0'

(2)二次极限中一个存在，另一个可以不存在。

例:■简洁验证

limlimf(x,y)=1y)

yfOxfO，、，〃,而X-OyfO,'不存在O

(3)两个二次极限都可以不存在。

f(x,y)=(%+y)sin—sin—

例：xy。简洁验证

y->0Ifo，，，，)及1-0y->0/('，)都不存在。

6­学习多元复合函数的求导应留意的问题:

求多元复合函数的导数，关键是搞清各个变量之间的复合笑系，常用一种〃树

形图"的图形直观地给出因变量'中间变量及自变量的关系，扶植我们记忆公式•

以便进展正确运算。

例如：z=/(%»)，U=u{x,y),v=v(x,y)

画出"树形图"

则

7•学习方向导数应留意的问题

df-----------------

(1)须是单侧极限。因为。=J(&y+(Ay)2，所以夕一。事实上是Qf0+。

dfdfdf

（2）dx是双侧极限。AxfO时-Ax可正、可负­因此。=0时，树及Ox不肯

dfdf

定相等，时，记及瓦也不肯定相等。

g/Uy）=［笠巨1

（3）梯度J是一个向量，当/的方向及梯度方向一样时，方向

生

导数树到达最大值1g%网光,力。

8•最小二乘法在数学建模中有广泛的应用，要留意领悟其精神本质。

四、解题示范

例1:求

=lim厂—=--

解：原式，孙（2+J孙+4）?2+“y+44

一般地•用定义证明二重极限不存在有二种途径：

（1）找到两条特别的途径•得出（x，“沿这两条途径趋于（%。，%）时­/（%，丁）的板

限值不等；

（2）找到一条特别的途径证明■，”沿此途径趋于（X。，为）时，/（%，丁）的极限不存

在。

例2:求

解：当动点尸（％y）沿丁=%趋于（°，°）时，则

当动点p（x，y）沿y=2x趋于（o,o）时,则

故原极限不存在。

例3：求2=加(1+/+/)当％=i,片2时的全微分。

解：因

故。

例4：求M=/(x，肛，肛3的一阶偏导数，其中/具有一阶连续偏导数。

解：将三个中间变量按依次编为1，2，3号，画出〃树形图"

分7/

故装

/xQ)

例5：求函数”=正在点(5,1,2'j、"的方向导数。

u=f\xy(2)

解：/=(9-5,4-1,14-2)=(4,3,12)

xyz(3)

dududu万du

——=——cosa+——cosB+——cosy

因为0/drdydz

du」2+、0+25=电

所以讥(5.1.2)13131313

例6・设，，取〃-v作为新自变量，试变换方程。

dzdzdxdzdydzdzdzdzdxdzdydzdz

---------1------It---FV---------1-----——V---FU

解：0〃dxdudydudxdytdvdxdvdydvdxdy

22

dzdz222+v2)z=0

即而+而+"+a(u

7•设z=z(x,y)由z+Mz-Jyd”=°确定，求私/。

解：由z+Mz-J,“力=0两边对％求导.

从而⑴

原式两边对，求导

从而⑵

Q）式两边对，求导

将（2）代入得：

第九章重积分学习指导

-'学问脉络

二''重点和难点

1♦重点：求二重积分'求三重积分

2•难点：将二重积分化为二次积分-将三重积分化为三次积分

三、问题及分析

1•重积分中有4个矣键步骤：①随意分割积分区域；②在分割后的小区域

中随意取点；③求和；④求极限；

2•计算重积分的关键是化为累次积分，依据详细题目，要能正确选择坐标系

以及要正确考虑积分的先后次序；

3•二重积分的几何意义：①当时，表示以曲面z=/（"）为顶，以。

为底的曲顶柱体体积；②当/（x，y）三1时，的面积；

4・二重积分的物理意义：当/（》»）表示平面薄片。的面密度时，表示。的质

量；

5・三重积分的物理意义：当/(x，y，z)表示空间立体Q的体密度时，表示。的

质量。

四、计算二重积分时•应留意的问题

1•选系：当积分区域是圆域或圆域的一局部'被积分函数含有必+V或两个

yX

积分变量之比最，不时，一般可选用板坐标系来计算；

2•选序：中选用直角坐标系时­要考虑积分次序•先对哪个变量积分较好;

3•积分区域的对称性及被积函数的奇偶性的正确协作，例如当积分区域关于

X轴对称时■应协作被积函数欠于y的奇偶性；

4•特例：当被积分函数的变量可分别，并且积分区域为两邻边分别及两坐标

轴平行的矩形时•则二重积分可化为两个定积分的乘积。

五、解题示范

例1：变更二次积分［。6I；八%”公的积分次序。

解：积分区域。：改写为。：

y)dx=J：f(x,y)dy

故》2。

例2：计算-其中。是由直线丁=%及抛物线x=F所围成的区域。

解：积分区域。为「于是

留意：假如先对，后对1积分，此时。为­于是。

siny

由于y的原函数不能用初等函数表示，积分难以进展，故本积分不能按此

次序。

例3:计算•其中。为V+。

解：用极坐标-此时。为：

I=ffe'rdrdO=\doVerrdr=»[1—

于是吊JoJoIe)

注：如用直角坐标•则由于卜“公不能用初等函数表示,积分就难以进一步

计异。

例4:计算•其中。为平面x=0.y=o,z=o，x+y+z=i所围成的四面体。

解：积分区域。为­于是

f17f1-X7f1~x~ydz

原式-oX°y°(1+x+y+z)3

例5：求，其中。是由曲面“乒笆手及Z=/+y2所围成的区域。

解：积分区域Q为­于是

原式=1。珠叫L*zdz

例6：求，其中。由不等式/+V+(z—44/，/+/WZ2所确定。

解：直角坐标变换为球面坐标,于是Q为

=[[[rcos(p-r2sin(pdrd(pd3

故原式也

第十章曲线积分及曲面积分学习指导

—'内容提要

（-）对弧长的曲线积分

1•定义：„2=罂宫"'血）”，其中品（』，2,一、”）表示第i个小弧段的

弧长人盥+2，｝。

2•性质：具有及定积分类似的性质。如线性性质，对积分途径的可加性等。

3•计算：

（1）若曲线L的界数方程为x=M。，y=且x3，y«）在［a,四上连

续，/（x，y）在L上连续，则

（2）若曲线L的方程为'r/（。"。旧了⑺在卜㈤连续，/（x,ML上连续，

则

（3）若曲线L的板坐标方程为P=。⑻”"，"巧•且。'⑹在上阳上连续，/（X）

在L上连续，则

（4）若空间曲线L的方程为,如「3在|«,例上连续/（*/*）在心上连续，

则

（二）对坐标的曲线积分

1•定义："其物理意义是变务

1=尸（羽犷+。（苍沙沿有向弧段4所作的功，即

2•性质：除了及弧长的曲线积分一样的性质外，应留意方向性

3•计算：

（1）若曲线L的参数方程为x=M）=，且曲线L的起点和终点所对应的才

的值为a和"‘又x'”），丁3在同用或股可上连续，「（%»），。（%,丁）在L上连续，

则

（2）若曲线L的直角坐标方程为丁=丁（犬），且曲线心的起点和终点所对应的1的

值为a和万，又y'G）在［。，一或［瓦司上连续，则

（3）若空间曲线L的参数方程为x=x"）-1州-z=z"）,且曲线L的起点和

终点所对应的/的值为a和夕•又，z，”）在［%例或［夕㈤上连续，则

（三）格林公式•曲线积分及途径无关的条件

1•格林公式

设P（x,y）和。（x,y）及一阶导数在闭区域。上连续，则有

其中分段光滑曲线L是区域。的正向边界。

2•四个等价命题

若p（x,y）,Q（x，y）在单连通区域。内有一阶连续偏导数,则在。内下列四个命

题互相等价：

（1）曲线积分+及途径无关其中L是。中分段光滑曲线；

（2）沿D中任一分段光滑闭曲线L有£尸卜"公+。卜丁）力=0。

（3）对。内的任一点有。

（4）在。内存在一函数。（羽力使dU=P（x,y）dx+Q（x,y）dy,则有

3.两种曲线积分之间的笑系Jj（x，y）dx+Q（x,"dy=L（Pcosa+Qcos⑶ds其中

cos«,cos分是L上任一点L方向上的切向量的方向余弦。

（四）对面积的曲面积分

IT/（羽y,z）dx=limy/恁,7,）A5.

1•定义：25台■其中品（”1,2是曲面块£上的

第，个块的面积八悭。

物理意义是密度，（x，y，z）的曲面块S的质量当/（x,y,z）=l时为面积。

2•计算

若曲面E可用单值函数z=z（x,y）表示设%,为在WY平面上的投影区域.则

若曲面Z的方程为单值函数片心㈤若股仙㈤，设'和。"为£在W平面和wz

平面上的投影，则曲面积分可类似地化成重积分：

JJ/（x,yz）ds=jjf[x,y（x,z）,4yl+yt+yldxdz

DDXZ

（五）对坐标的曲面积分

JJP（x,y,z）dydz+Q（x,y,z）dxdz+R（x,y,z）dxdy

1•定义：

其中（维）》表示z的第i子块他在皿y平面上的投影,（加）一加入含义类似

2=『ax®的直径｝。

物理意义：设流体密度为1-流速为市,y,z）=P（x,y,z）:+Qa，y,z）］+Mx,%z1

则单位时间内流进有向曲面E指定一侧的流量为

2•计算

JJp（x,y,z）dydz=±jj7?[x,y,Z（X,y}\dxdy

若曲面Z的方程为2=2（用力，则E%（当Z为曲面

的上、下侧时分别取正'负号）

,、ri'P（x,y,z）dydz=±ffP[x（y,z\y,z\dydz

类似地，若曲面E的方程为x=x（y,z）则？Z（当E为

曲面的前、后侧时分别取正、负号）

/、[[Q（x,y,z）dxdz=±[[。[羽y（x,z）,z]dxdz

若曲面E的方程为尸心,z）则？夕「（当Z为曲面的

右、左侧时分别取正、负号）

3•两类曲面积分的关系

其中cosc.cos分,cos7是有向曲面E上点（x,y,z）处的法向量的方向余弦。

（六）高斯公式

设空间闭区域。由分片光滑的闭曲面E所围成•函数尸（x，y，z）'Q（x,y,z）、

R（x,y,z）在Q上是有一阶连续偏导数,则

其中E中。的整个边界的外侧。

（七）斯托克斯公式

设「为分段光滑的有向空间闭曲线，E为以「为边界的分片光滑的有向曲

面，丁的正向及E的侧符合右手法则­函数P（x，y）'Q（x，，z）'R（x,y,z）在包含曲面

E在内的一个空间区域内是有一阶连续偏导数'则有

（八）通量及散度'环量及流量

设向量场l（x，％z）=P（x,y,z）：+Q（x,y,z）］+Mx,y,z）G通量（或流量）,其中

元={cosaCOSB，cos/}为E上点（x,y，z）处的单位法向量。

散度：

对坐标的曲面积分及Z的形态无关的充要条件是散度为零。

1Jk

一SS。

rota=——————

dxdydz

旋度：PQR

环流量：向量场法沿有向闭线「的环流量为,「Pdx+Qdy+Rdz

二、根本要求

（-）理解曲线'曲面积分的定义-驾驭曲线'曲面积分的计算方法;

（二）驾驭第二类曲线、曲面积分及途径'形态无关的条件及其推断方法;

（三）理解通量及环流量及旋度的概念•并驾驭它们的计算方法；

（四）驾驭各类曲线'曲面积分之间的关系;

（五）驾驭曲线'曲面的积分的有关应用（求面积'求曲线段和曲面块的重心

坐标等）;

（六）驾驭高斯公式和斯托克斯公式及其应用。

三、留意的几点

（-）第一类曲线积分的计算应驾驭弧长微分的根本公式办=而万南全

部形式的计算公式均可由此推出，第一类曲面积分也有类的公式。

（二）第二类曲线积分及积分曲线的方向有笑

第二类曲面积分及曲面空间有笑

（三）第一类曲面积分的计算时•应留意"一投'二代'三换"以及利用积

分区域的对线性和被积函数的第二类曲面积分的计算应留意"一投'二代'三定

aII

F°

（四）利用第二类曲线积分求平面图形面积是格林公式的一个简洁应用可利

下面各式计算

面积：A=必=小力=『必。

（五）利用格林公式时，要留意条件：

1•曲线是闭曲线•录不封闭则应添加曲线使其封闭；

2­函数尸（%丁）和。&y）在封闭曲线围成的区域。内应具有一阶连续偏导数；

3•曲线积分的方向是正向•即逆时针方向。

利用高斯公式时也应留意类似问题。

（六）有关重心公式

线度夕的空间曲线r的重心公式

面度为P的空间曲面E的重心坐标

第十一章无穷级数学习指导

重点：数项级数、函数项级数的根本概念和根本性质•数项级数收敛性、函

数项级数收敛域的探讨-函数的帚级数绽开及其应用

难点：数项级数收敛性的推断，函数项级数收敛域的探讨、一样收敛性的推

断，将函数绽开为募级数，求函数项级数的和函数，将周期函数绽开为傅里

叶级数

（—）

00

讥.1+沅2T---------卜T----

A1无穷级数是形如占=-的无穷和式，简称级数。其中明

称为级数的一般项或通项。若"〃（〃=12…）都是数，则称级数为数项级数；若

M〃=""（X）U=L2,…）,都是定义在某个区间/上的函数，则称级数为函数项

级数。

A2级数（）的前〃项的和：

称为数项级数（函数项级数）的局部和。对于数项级数•若

哽=s（有限值），则称级数收敛，并称s为级数的和，记为s=，并称级数为级

数第〃项后的余项。若吧S〃不存在，则称级数发散。对于函数项级数,若

“。C/使函数项级数对应的数项级数收敛（发散），则称％。为函数项级数的收

敛点（发散点）；一切收敛（发散）点的集合-叫做函数项级数的收敛（发散）域。

在收敛域上，记义力=吧5〃（%），称为函数项级数的和函数，并称扁（%）=为函

数项级数的余项。

A3数项级数敛散性的推断是本章的重点，简洁证明数项级数收敛的必要条

件是级数的通项/满意，"，因此若通项不趋于零，则级数必发散。

除了定义，以下根本性质也有助于我们判别数项级数的敛散性。

（1）若收敛，则亦收敛，且=；

（2）若及均收敛，则亦收敛，且=±;

（3）在级数前面添加或去掉有限项后所得的级数及原级数的敛散性一样;

（4）收敛级数的各项按规则加括号后所得的级数仍旧收敛o按某规则加括

号后所得的级数发散•则原级数发散；

（5）柯西收敛原则。

A4以下几个重要的数项级数，其敛散性已经明确：

(1)等比级数，当时<1时收敛，当M却时发散；

(2)调和级数17发散；

(3)p-级数，当°<。《1时发散；时收敛；

(4)倒阶乘级数自获收敛.

A5函数项级数收敛域的探讨也是本章的重点之一。本章我们着重探讨两种函

数项级数：募级数和傅里叶级数。帚级数是形如的级数。帚级数的收敛域，除端

点外是关于X。对称的区间(X。一氏/+R)，两端点处是否收敛需单独检验，其中R称

为收敛半径。帚级数我们着重探讨与二°的状况-即级数•因为帚级数一般形式

可以通过变量交换X=x-%化为。此级数收敛区间的求法为：先求，则收敛半径;

再检验两端点处是否收敛，从而收敛域二(%—氏/+氏)。收敛的端点。

A6驾驭函数项级数一样收敛的定义及其判别方法，最常用的方法是维尔斯特拉

斯判别法：设函数项级数定义在数集D上，是收敛的正项级数，若对一切xe。,有

<­则一样收敛。其它还有阿贝尔判别法和狄利克雷判别法。一样收敛的函数项

级数'逐项微分或逐项积分运算后的函数项级数-其和函数等于原函数项级数和

函数的微分或积分。此性质在求函数项级数的和函数及函数的帚级数绽开中有着

重要应用。

(二)

B1正项级数就是通项%>°的级数。它是数项级数中比拟简洁的一类级数•

其收敛的充要条件是局部和S”有上界。推断正项级数的敛散性­除了上述收

敛的充要条件•还有如下常用方法：

(1)比拟法：

若乙4%­而收敛•则收敛；若V"*…而发散,贝|」发散。

比拟法的极限形式如下：

若(0</<+8),则及同时收敛或同时发散。

在比拟法中，正项级数的敛散性常借助于一些已知的正项级数的敛散性

来推断。如已知Ui发散，由此推得若吧〃""="(。<"+8),则发散。又如已知

P-级数，当。〉1时收敛，由此推得若吧〃I""(0〈/<+8),且。〉1,则收敛。

(2)比值法

若，当时■则

(3)根值法

若蚓疯当时，则

B2关于帚级数的代数运算，设及的收敛半径分别为R和*，则在W<.{尺夫’}

内有

其中cn=aobn+a"+…+凡％。

在比N<min{R,R'}可能小得多的区间内有

其中%=为1+bl*+…+2/。

B3帛级数在其收敛域内还可以进展逐项微分和逐项积分运算，例如在收敛

域(-氏&内，对5(%)=进展逐项微分可得新的帚级数；逐项积分可得新的募

00c

£一尤"+i=f's（x）dx

级数占〃+1

注1'在收敛域(一氏切内对帚级数逐项微分或逐项积分后所得新的帚级数，

其收敛半径及原级数一样，但在收敛域两端点处的敛散性有可能变更。

注2'逐项微分和逐项积分法是求帚