高一数学必修4三角函数复习学案

[必修4]第1章三角函数

重点：角的概念的扩展及任意角的概念、弧度制、正弦、余弦和正切函数的

图象与性质、“五点法”作图、诱导公式、函数y=Asin（3X+6）的图象与正

弦函数y=sinx的图象间的关系、同角三角函数的基本关系。

难点：三角函数的概念、弧度制与角度制的互化、三角函数性质的应用、由

正弦函数到y=Asin（3X+6）的图象变换、综合运用三角函数的公式进行求

值、化简和证明等

知识要点

一、任意角、弧度

1、角的概念：

2、弧度制：角度制和弧度制的互换

1弧度：

7U=

,lrad=.

3、弧长为1所对的圆心角|

a

I=；扇形的面积S=

二、任意角的三角函数

1、任意角的三角函数：

sin

a-

cos

a-

，tan

a-

其中r=.

象限符号：

2、同角三角函数关系：

（1）;

（2）；

3、三角函数的诱导公式：口诀"奇变偶不变，符号看象限”

公式（一）：

sin（a+2%乃）=

cos（a+2左4）=

tan（a+2左；r）=

公式（二）：

sin（-a）=

cos（-a）=

tan（-a）=

公式（三）：

sin（万一a）=

cos（4-a）=

tan（九一a）=

公式（四）：

sinQr+a）=

cos（乃+a）=

tan（乃+a）=

公式（五）：

sin(y-a)=

,n、

COS(y-a)=

tan(y-a)

公式(六)：

.71、

sm(zy+a)—

m、

cos(—+a)=

tan(y+a)=

三、三角函数的图象和性质

1、三角函数的周期性：如果存在一个非零的常数的T,满足f(x+T)

.则称

T为函数f(x)的一个周期.

正、余弦函数的T=,正、余切函数的

2、三角函数的图象和性质:

函数名图象定义域值域周期奇偶性单调性对称性

sinx

COSX

tanx

考点一三角函数的基本概念

例1(2011•江西高考)已知角。的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半

轴.若P(4,y)是角。终边上一点，且sin9=—

2^5

,则y=.

变式：若一个a角的终边上有一点P(—4,a),且sina•cosa=

亚

4

a的值

为

A4

小

B_+4

-4

C.

审

或-

4

3-

审

D

V3

例2设角a属于第二象限，Icos

a

7

=­COS

a

，试判断角

a

7

属于第几象限?

点评：由a所在象限，判断诸如

a

a

~3

9

a

4

等角所在的象限时，一般有两种办法：一种是利用终边相同的角的集合的几何意

义，采用数形结合的办法确定

a

7

9

a

~3

a

4

所属的象限；另一种办法就是将k进行分类讨论。一般来说，分母是几就应分几类

去讨论。

考点二：同角三角函数基本关系式及诱导公式

例3(1)已知Ji<a<2JT,cos(a—7北)=

3

5

,求sin(3n+a)与

tan(a—

74

）的值;

(2)已知2+sinAcosA=5cos2A

，求tanA的值；

(3)已知sina+cosa=

1

5

，且a£(0,兀)，求

sm・3a-cos3a

的值。

变式.已知tanx=sin(x+

n

2

),则sinx=()

A.

2

B.

小+1

2

C.

由一1

2

D.

小—1

2

知识点三：三角函数的图象求解析式

例4：已知函数f(x)=2sin(2x—

n

6

)+a(a为常数).

(1)求函数f(x)的最小正周期；

(2)求函数f(x)的单调递增区间；

⑶若xG[0,

K

2

]时，f(x)的最小值为一2,求a的值.

变式函数f(x)=Asin(3x+6)(A,3,6)为常数，A>0,3>0)的部

分图像如图所示，则f(O)的值是.

变式(2011•辽宁高考)已知函数f(x)=Atan(3x+④)(3>0,<i>|<

Tt

2

y=f(x)的部分图像如图，则乳

TC

24

)=.

知识点四：三角函数的图象变换

例5将函数f(x)=sin3x(其中3>0)的图像向右平移

n

4

个单位长度，所得图像经过点(

371

T

,0),则3的最小值

是

()

A.

1

3

B.1C.

5

3

D.2

变式：将函数y=sinx的图像上所有的点向右平移

71

To

个单位长度,

再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图像的函数解

析式

是

A.y=sin

Ox-云）

B.y=sin

3-目

C.y=sin

（女-完）

D.y=sin

&-给

知识点四：三角函数的性质及应用

例6：已知定义在(一8,3］上单调减函数f(x)使得f(l+sin2x)Wf(a-

2cosx)对一切实数x都成立,求a的取值范围.

1在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由4个相同的直角三角

形与中间的小正方形拼成的一个大正方形。若直角三角形中较小的锐角是。，大

正方形的面积是1,小正方形的面积是

1

25

，则sin29—cos20的值等于(）

A.1B.

2函数y=

Jsinx+'cos)u

的定义域是—

3设函数f(x)=sin3x+sin3!x'J|f,(夕x)为()

A.周期函数，最小正周期为

四

i

B.周期函数，最小正周期为

2万

T

C.周期函数，最小正周期为2”D.非周期函数

4函数f(x)=cosx+21cosx|,xG[0,28]的图象与直线y=k有且仅有两

个不同的交点，则k的取值范围是________.

知识点一：三角函数的概念

例题1设角a属于第二象限，coS

a

|=-cos

a

2

，试判断角

a

属于第几象限？

思路导航：首先应根据a所属象限确定出

a

7

所属的象限，然后再由一cos

a

NO,

cos

a

7

wo确定最终答案，要点就是分类讨论。

答案：因为a属于第二象限，所以2k"+

7T

2

<a<2kn+JI(kGZ),

/.kn+

n

4

<

a

5

<kn+

n

2

(keZ)»

当k=2n(nGZ)时，

2nJi+

n

4

<

a

5

<2nJi+

n

2

(nez)o

a

5

是第一象限角；

当k=2n+l(n£Z)时，

2nJi+

5

一冗

4

<

a

V2n+

3

一冗

2

(n£Z)o

a

~2

是第三象限角。

又由Icos

a

7

|=-cos

a

7

20

=>

cos

a

WO。

所以

a

7

应为第二、三象限角或终边落在X轴的负半轴上。综上所述，

a

7

是第三象限的角。

点评：由a所在象限，判断诸如

a

7

a

~3

a

7

等角所在的象限时，一般有两种办法：一种是利用终边相同的角的集合的几何意

义，采用数形结合的办法确定

a

7

a

~3

9

a

7

所属的象限；另一种办法就是将k进行分类讨论。一般来说，分母是几就应分几类

去讨论。

知识点二：同角三角函数基本关系式及诱导公式

例题2(1)已知n<a<2n,cos(a—7n)=

_3

-5

，求sin(3n+a)与tan(a—

7%

V

)的值；

(2)已知2+sinAcosA=5cos2A,求tanA的值;

(3)已知sina+cosa=

£

5

，且ae(0,n),求sin3a—cos3a的值。

答案：(1)'.,cos(a—7n)=—cosa

3

-5

••cosa—

3

5

又JT<a<2n,

3万

T

<a<2n,sina—

4

5

sin(3n+a)=—sina=

4

5

,tan(a—

7〃

T

)=

.，7、3

Sin(Q——7t)-c

2__cosa_5_3

/7-sina44'

cos(a-57)-

(2)将已知式化为2sin2A+2cos2A+sinA•cosA=5cos2A,

VcosA^O,

/.2tan2A+tanA—3=0,tanA=l或tanA=—

3

2

(3)sinacosa=

(sina+cosa)2-1

2

~25

VaG(0,,

Asina>0,cosa<0,

Asina-cosa>0,

Asina-cosa=

_____________7

-2sinacosa=—

/.sin3a—cos3a=

7

5

X(1

_]2

~25

)=

81

125

0

点评：形如asina+bcosa和asin2a+bsinacosa+ccos2a的式子分别

称为关于sina、cosa的一次齐次式和二次齐次式，对它们涉及的三角式的变换

常有如上的整体代入方法可供使用。

知识点三：三角函数的图象与性质

例题3对于函数f(x)=2sin(2x+

n

3

),给出下列结论：

①图象关于原点成中心对称；②图象关于直线*=

n

12

成轴对称；③图象可由函数y=2sin2x的图象向左平移

I

个单位得到；④图象向左平移

n

12

个单位，即得到函数y=2cos2x的图象。其中正确结论的个数为()个

A.0B.1C.

2D.3

思路导航：..丫(x)是非奇非偶函数，.•.①错误。

Vf(x)是由y=2sin2x向左平移

7T

6

个单位得到的,

.•.③错误。

把X=

n

12

代入f(x)中使函数取得最值，

.,.②正确。

f(x)=2sin(2x+

n

i

)

左移三个单位

------------------>

f(x)=2sin[2(x+

乳

12

)+

n

y

]=2cos2x,

.•.④正确。

答案：C

点评：利用排除法求解选择题，是一个简单、易行的办法。在用排除法时,

要注意函数性质的应用。

例题4设函数f(x)=sin3x+|sin3x|,则f(x)为()

A.周期函数，最小正周期为

n

3

B.周期函数，最小正周期为

2z

T

C.周期函数，最小正周期为2五D.非周期函

思路导航：本身可以直接把选项代入

检验，也可化简

f(x)=

sin3x4-|sin3x|

答案：f(x)=sin3x+|sin3x

3.-2k九,,2k九n

2sin3x,-----Vx4--------F—,

333

2k兀nIkn2万

0,---+—<x<-----+—.

3333

B正确。

答案：B

点评：遇到绝对值问题可进行分类讨论，将原函数写成分段函数。本题也可

以数形结合运用图象的叠加来考虑。后者更简捷。

知识点四：三角函数的应用

例题5在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由4个相同

的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形。若直角三角形中较小的锐角

是。，大正方形的面积是1,小正方形的面积是

1

,则sin29-cos20的值等于()

w

A.1B.

_24

~25

C.

7

25

D.一

7

25

思路导航：由题意，设大正方形边长AB=1,小正方形的边长是

1

5

,则BE=sin。,AE=cos。,

/.cos0—sin0=

5

0

平方得2cos0sin。=

24

25

0

/.(cos0+sin0)2=l+2cos0sin0=

49

25

/.cos0+sin0=

7

5

Asin20—cos20=(sin0—cos0)(sin0+cos。)

1__7x_—_7___

55-25

答案：D

点评：三角函数的应用非常广泛。将实际问题转化成数学中的同角三角函数

问题，再利用三角函数的性质是解此题的关键。

例题6函数y=

L工1

Vsinx+Jcosx——

的定义域是_O

思路导航：由题意知9

sinx>0fsinx>0

,11

COSX——>0cosx>—.

[2[2

作单位圆如图所示，图中双阴影部分即为函数的定义域{x|2k兀WxW2kn+

it

3

,k£Z}o

答案：{x,2kJI<x〈2kJT+

n

i

，kGZ}

点评：解三角不等式基本上有两种方法：①利用三角函数线。②利用三角函

数图象。

例题7求函数f(x)=

sinxcosx

1+sinx+cosx

的最大、最小值。

思路导航：利用三角函数中

sin2a+cos2a=1

和

sina+cosa

与

sina-cosa

的关系，转化成同一个量的关系式。

答案：设sinx+cosx=t,则sinxcosx=

2

te[―

◎

]，且tW—1,则y=

tl-\

工

1+f2+2/2

，t£［一

V2

，0

］。

.•.当t=

V2

,艮|Jx=2k兀+

it

4

(kez)时、f(x)的最大值为

V2-1

2

当t=.

V2

,即x=2k冗—

3万

T

(kez)时，f(x)的最小值为

V2+1

2

点评：利用三角函数的特殊性，将问题转化成求一元函数的最值问题。

例题（全国大纲理5）设函数

f（x）=COS0A（G>O）

,将

y=

的图像向右平移

n

3

个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则

a)

的最小值等于()

A.

2_

3

B.

3

C.

6

D.

9

思路分析：本题主要考查三角函数的周期性与三角函数图象变换的关系。此

题理解好三角函数周期的概念至关重要，将

y=./")

的图象向右平移

n

3-

个单位长度后，所得的图象与原图象重合，说明了

n

y

是此函数周期的整数倍。

解答过程：由题意将

y=./")

的图象向右平移

n

3-

个单位长度后，所得的图象与原图象重合，说明了

n

*3

是此函数周期的整数倍，得

—xA=­(AeZ)

a)3

，解得

0=6左

又

刃＞0

,令

k=1

,得

答案：C

规律总结：三角函数的图象只有平移周期的整数倍，平移之后的图象才可能

与原图象重合。

练习:

一、选择题:

1、a=6,则a的终边

在

()

A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限

2、角a的终边过P(4a,—3a)(a<0),则下列结论正确的

是()

A

3

sina=一

5

B

4

cosa=一

5

C

4

tana-——

3

D

3

tana=一

4

3、tan(-300°)的值

为

()

A.

旦

B.

后

c.一

百

V

D.

-N/3

4、使

log2(sin^tan^)

有意义的

e

在()

A.第一象限B.第四象限

C.第一象限或第四象限D.右半平面

5、函数

j=sinx

D

6、函数

y=3sin（2x+?）

的对称轴方程

为（）

Ax=

n

~4

Bx=

n

4

Cx=-

n

g

Dx=

n

7、若

a,0

的终边关于y轴对称，则必

有（）

A

a+/3=(2k+])7i,keZ

B

c

a+B=2k*keZ

D

TT

a+/J=2k九+

8、函数

7t

y2sin(——2x)(xe[0,万])

6

为增函数的区间是.........

A.

[0,y]

B.

C.

D.

9、下列关系式中，不正确的

是

)

Asin

4万

T

<sin

in

T

Bcos冗<cos3

Ctanl>sinlDsinKcosl

10、若Sin9=l—log2x,则x的取值范围

是)

(A)[1,4](B)

1,1

4

(C)[2,4](D)

r4

11＞函数

y=cos2(x-^)+sin2(x+-^)-l

是()

A、周期是

24

的奇函数B、周期是

n

的偶函数

C、周期是

的奇函数D、周期是

2万

的偶函数

12、平移函数

^=sin(-2x+y)

的图象得到函数

y=sin(—2x)

的图象的平移过程是()

(A)向左平移

凡

~6

单位(B)向右平移

~6

单位(C)向左平移

万

T

单位（D）向右平移

丸

1

单位

13＞函数

y=4sin2x+6cosx