高中数学椭圆及其标准方程练习题

3.1.1椭圆及其标准方程

知识点一：椭圆的定义

、椭圆的定义:平面内一个动点P到两个定点E、的距离之和等于常数（归耳卜2。＞闺闯）,

1F2\+\PF2

动点p的轨迹叫椭圆.这两个定点（£，B）叫椭圆的焦点，两焦点的距离（IECJ）叫作椭圆的焦距.

说明：若|P£|+|PE|=忻闾，P的轨迹为线段我石；若归月|+|咋|＜忸居|，P的轨迹无图形

2、定义的集合语言表述

集合F={P[W+|p&=2a＞忸玛|}.

练习I.（2022.全国•高二课时练习）判断正误

（1）到平面内两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹叫做椭圆.（）

（2）到两定点％（-2,0）和6（2,0）的距离之和为3的点M的轨迹为椭圆.（）

2.（2022・全国•高二课时练习）到两定点耳（-7,0）和玛（7,0）的距离之和为14的点P的轨迹是（）

A.椭圆B.线段C.圆D.以上都不对

22

3.（2022•全国•高二课时练习）椭圆会+春=1的焦点坐标为（）

A.（5,0）,（-5,0）B.（0,5）,（0,-5）C.（0,12）,（0,-12）D.（12,0）,（-12,0）

4.（2022♦全国・高二课时练习）设P是椭圆卷+[=1上的任意一点，若耳,K是椭圆的两个焦点，则

2516

|「用+归周等于（）

A.10B.8C.5D.4

5.（2022•全国•高二课时练习）已知椭圆中a=5,c=6,焦点在x轴上，则椭圆的标准方程为

重点题型一：求椭圆的标准方程

角度1：待定系数法

例题L（2022•四川•遂宁中学高二阶段练习（理））求适合下列条件的椭圆的标准方程：

（1）焦点在轴上X,长轴长为4,焦距为2；

（2）一个焦点坐标为（2,0）,短轴长为2.

例题2.（2022•江苏•高二课时练习）求适合下列条件的椭圆的标准方程：

（1）中心在原点，焦点在x轴上，长轴长、短轴长分别为8和6；

⑵中心在原点，一个焦点坐标为（0,5）,短轴长为4；

⑶中心在原点，焦点在x轴上，右焦点到短轴端点的距离为2,到右顶点的距离为1.

角度2：定义法

例题1.（2022•浙江•高三专题练习）若动点M（x,y）始终满足关系式Jf+（y+2）2+Jx2+（y-2>=8,则

动点M的轨迹方程为（）

+=1BD

A.^i2-才亮=1^玉=-"4rl

2

例题2.(2022•全国•高二专题练习)已知两圆G：(X-4)+/=169,C2：(x+4)?+丁=9.动圆M

在圆G内部且和圆G相内切，和圆相外切，则动圆圆心M的轨迹方程是()

2222

A.工-工=1B.土+匕=1

64484864

C.二-《=1D.二+*=1

48646448

例题3.(2022•全国•高二专题练习)已知定点4(-4,0)、月(4,0)和动点加(苍》).

(1)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：动点M的轨迹及其方程.

条件①：|M用+|MR|=12

条件②：|阿|+|年|=8

(2)|M6|+|M£|=2a(a>0),求：动点”的轨迹及其方程.

同类题型归类练

1.(2022・全国•高二专题练习)方程旧+()，-2>+旧+(y+21=10化简的结果是.

2.(2022.湖南•高二期末)一动圆与圆W+V+Gx+SuO外切，同时与圆/+y?-6x-91=0内切，则动圆

圆心的轨迹方程为.

3.(2022•全国•高三专题练习)已知点P(x,y)满足条件而斤五'+炉丁万=4,求点尸的轨迹C

的方程.

4.(2022.新疆•哈密市第一中学高二期末(理))求适合下列条件的椭圆的标准方程：

⑴焦点在x轴上，且经过点(2。和点(0,1)；

(2)焦点在y轴上，与y轴的一个交点为P(0,-10),P到距它较近的一个焦点的距离等于2.

5.（2022•全国•高二课时练习）分别根据下列条件，求椭圆的标准方程:

（1）4=6力=1,焦点在X轴上；

（2）6=3,经过点（0,-4）,焦点在y轴上.

重点题型二：对椭圆标准方程的理解

22

例题1.（2022•江西吉安•高二期末（文））“加＞一3”是“方程」一+，^=1表示椭圆”的（）

A.必要不充分条件B,充分不必要条件

C.充要条件D.不充分也不必要条件

例题2.（2022•广西•南宁二中高三阶段练习（文））“1＜女＜5”是方程“上+工=1表示椭圆”的（）.

k—15-k

A.必要不充分条件B.充分不必要条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

例题3.（2022•全国•高二课时练习）已知椭圆侬?+（2-,〃）/=加（2-加）的焦点在x轴上，求实数机的取

值范围.

同类题型归类练

22

1.（2022•安徽省芜湖市教育局模拟预测（文））已知命题p："0＜加＜1"，命题“：”方程上+工=1表

tn\—m

示椭圆“，则p是q的（）

A.充要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

22

2.（2022.贵州•遵义航天高级中学高二阶段练习（理））已知a为实数，则“〃〉5”是“方程工+汇=1表

67-13

示的曲线为椭圆”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3.（2022•全国•高三专题练习）若方程」—+4=1表示椭圆，求女的取值范围.

S—kk—3

重点题型三：椭圆中的焦点三角形问题

角度1:求焦点三角形的内角或周长

例题1.（2022•全国•高三专题练习）已知椭圆兰+f=1的左右焦点分别为外，点B为短轴的一个

259

端点，则耳心的周长为（）

A.20B.18C.16D.9

）2

例题2.（2022•四川眉山•高二期末（理））直线/过椭圆工+工=1的中心，交椭圆于A,B两点,厂是

259

椭圆的一个焦点，贝！LAB尸周长的最小值为（）

A.14B.16C.18D.20

例题3.（2022•江苏•高二）已知椭圆£+丫=1的左、右焦点分别为斗鸟，点"在椭圆上，若1加耳1=4,

92

则鸟=（）

A.3伊B.60°C.120°D.150°

例题4.（2022•全国•高二专题练习）设P是椭圆上+片=1上一点，不K是椭圆的两个焦点，贝!IcosN^PE

94

的最小值是（）

角度2：求焦点三角形的面积

例题1.（2022•四川内江•高二期末（理））已知P是椭圆二+《=1上的点，6、乙分别是椭圆的左、右

259

PF.PF,1

焦点，若尾问=々，则△片P鸟的面积为（）

A.3#>B.9A/3C.6D.9

22

例题2.（2022•山西吕梁•高二期末）已知耳分别是椭圆C:=+4=l（a>6>0）的左，右焦点，点M是

椭圆C上的一点，且/KMg耳/心的面积为1,则椭圆C的短轴长为（）

A.1B.2C.20D.4

例题3.（2022•全国•高三专题练习）设片,八是椭圆a+片=1的两个焦点，P是椭圆上的点，且

496

1=4:3,则的面积为()

A.2&B.4&C.4D.6

角度3：几何最值问题

例题1.（2022•四川•遂宁中学高二阶段练习（理））点耳是椭圆广+.=1的左焦点，“是椭圆

43

上任意一点，贝小「41+1产川的取值范围是（）

A.[3,5]B.[3,+oo）C.[3,后]D.（底+8）

例题2.（2022•山东临沂•高二期末）耳，E分别为椭圆工+片=1的左、右焦点，M为椭圆上的动点，设

43

点则|M4|+版|的最小值为（）

A彳而DC丽cAMnc所

A.4---B.2--—C.4+--D.2+--

2222

例题3.（2022•宁夏六盘山高级中学高二阶段练习（理））已知户为椭圆=1上的一个点，点分

2516

别为圆（*+3）2+丁=1和圆（x-3）2+V=4上的动点，则|PM|+|/W|的最小值为（）

A.6B.7C.9D.10

角度4：其他问题

）2

例题1.（2022•上海普陀•二模）设椭圆「二+二=1的左、右两焦点分别为5,尸?，尸是「上的点，则使

84

得△PEE是直角三角形的点P的个数为.

例题2.（2022•全国•高二专题练习）已知点P在焦点为士、外的椭圆工+£=1上，若NRPK=90,则

4520

|P4"P闾的值为.

同类题型归类练

,>2

1.（2022•安徽亳州•高三期末（理））已知椭圆二+4=1（。>6>0）的左、右焦点分别为士、死，点尸在

a~h~

椭圆上，且满足归用=|耳凡|.若椭圆的离心率为|,则NP4后的余弦值为（）

A.yB.-C.-D.-

2848

2.（2022•全国•高二专题练习）椭圆与双曲线/-弓=1有相同的焦点环，心，离心率互为倒数，户为椭

圆上任意一点，则角N6P居的最大值为（）

3.（2022.全国•高二）已知有相同两焦点耳，鸟的椭圆工+丁=1（机>1）和双曲线.-9=1（">0），尸是它

mn

们的一个交点，则△KP行的形状是（）

A.锐角三角形B.直角三角形

C.钝角三角形D.随机，〃的变化而变化

22

4.（2022•上海虹口•二模）已知椭圆C：5+/=13>0）的左、右两个焦点分别为"、F2,过人的直线

交椭圆C于A3两点.若耳48是等边三角形，则匕的值等于.

r2V2

5.（2022.全国.高二课时练习）己知耳、鸟分别是椭圆二+二=1的左、右焦点，P是椭圆上一点，若

369

尼=120。，则这样的点P有个.

->o

6.（2022•全国・高二课时练习）设椭圆工+二=1的焦点为"，尸2,点P在该椭圆上，如果线段尸耳的中

123

点在〉轴上，那么|历|：归闾的值为.

7.（2022•全国•高三专题练习）已知椭圆。：二+亡=1的左焦点为£4B是C上关于原点对称的两点，

167

且NA£B=90。，贝ILAB尸的周长为.

8.（2022・全国•高三专题练习）已知椭圆]+[=1的左焦点为巴，点P是椭圆上异于顶点的任意一点，O

2516

为坐标原点，若点M是线段尸耳的中点，则A"。1的周长为.

9.（2022•湖北•高二阶段练习）己知F是椭圆C：看+]=1的左焦点，尸为C上一点，A（l,2）,则附+附

的最小值为.

10.（2022・全国•高二专题练习）已知点P是椭圆C:《+X=l上一点，耳片是其左右焦点，且N耳?居=60,

259

则三角形△片P6的面积为

11.（2022.全国.高二课时练习）椭圆捺+/1（“>6>0）的左、右焦点分别为耳，F?,A（0,6）,MFR

的面积为百，且斗心，则椭圆方程为（）

2

AX21n%2y2

A.Fy=1B.1=1

334

22

12.（2022•黑龙江・大庆市东风中学高二开学考试）已知片、鸟是椭圆C：5+4=1（。>/,>0）的两个焦

a~b~

点，尸为椭圆C上的一点，且P£_LP6.若△尸片片的面积为9,则6=（）

A.2B.3C.4D.5

13.(2022•全国•高二专题练习)已知点44,0)和B(2,2),M是椭圆《+f=1上的动点，则|M4|+|M8|

259

最大值是()

A.10+2710B.10-2^C.8+710D.8-V10

重点题型四：与椭圆有关的轨迹问题

例题1.（2022•全国•高二专题练习）已知AfiC的周长为14,顶点8、C的坐标分别为（0,3）、（0-3）,

则点A的轨迹方程为（）

22

B.^-+—=l(y*0)

167V7

22

C.一+上=1("0)D.-^-+—=1(x^0)

1677167''

例题2.（2022•全国•高三专题练习）设圆（x+Ip+/=25的圆心为C,点A。,。）是圆内一定点，点。为圆

周上任一点，线段A。的垂直平分线与C。的连线交于点M,则点M的轨迹方程为（）

4x24v2

B."-+”-=1

21252125

2

r4x4y2

2521

例题3.（2022•全国•高二）动点M在圆.d+y2=25上移动，过点M作x轴的垂线段。为垂足，则

线段血中点的轨迹方程是.

底)产］x24v2E-E=1

B.土+竺-=1C.

252525252525

同类题型归类练

1.（2022•全国♦高三专题练习）已知定点产（根,0）,动点。在圆O：f+y2=9上，PQ的垂直平分线交直线

OQF点M,若动点M的轨迹是椭圆，则根的值可以是（）

A.5B.4

C.3D.2

2.（2022・全国•高二专题练习）AABC的两个顶点坐标A（-4,0）,B（4,0）,它的周长是18,则顶点

C的轨迹方程是（）

22

B.—+—=1（#0）

259

2222

c.工+21=1（"0）D.—+—=l（y*0）

1697259l）

3.（2022•全国•高三专题练习）己知[AB]=3,A,B分别在y轴和x轴上运动，。为原点，OP=goA+go8,

点P的轨迹方程为

2222

A.—+/=1B.x2+^—=1C.j+y2=iD.x2+—=1

47499

第五部分：新定义问题

1.（2022.北京市十一学校高二期末）在椭圆C：4+4=1（a>b>0）中，其所有外切矩形的顶点在一

crb2

个定圆「：丁+V=/+从上，称此圆为该椭圆的蒙日圆.该图由法国数学家G-Ma/ge（1746-1818）最先发

现.若椭圆。的离心率为e,左、右焦点分别为片、工，P为椭圆。上一动点，过P和原点作直线/与蒙日圆

|PM|•|PN|

「相交于M,N,则两7阿

A.4B.1C.e2D.以上答案均不正确

e

2.（2022重庆市清华中学校高二阶段练习）阿基米德（公元前287年一公元前212年）不仅是著名的物

理学家，也是著名的数学家，他利用''逼近法''得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴与短半轴的乘

且椭圆C的离心率为且，面积为127，则椭圆C的方程

积.若椭圆C的对称轴为坐标轴，焦点在y轴上,

4

为（）

3.（2022・安徽•高二阶段练习）古希腊数学家阿波罗尼奥斯采用平面切割圆锥的方法来研究圆锥曲线，用

垂直于圆锥轴的平面去截圆雉，得到的截面是圆；把平面再渐渐倾斜得到的截面是椭圆.若用面积为128的

矩形ABC。截某圆锥得到椭圆「，且工与矩形A8CO的四边相切.设椭圆r