第03讲空间中点线面位置关系与空间中的平行关系（学生版）

第03讲空间中点、线、面位置关系与空间中的平行关系（核心考点精讲精练）1.4年真题考点分布4年考情考题示例考点分析关联考点2023年全国乙卷（理），第19题,12分证明线面平行证明线面垂直证明面面垂直求二面角2022年新Ⅱ卷，第20题,12分证明线面平行面面角的向量求法2022年全国甲卷（文），第19题,12分证明线面平行求组合体的体积2020年全国乙卷（理），第20题,12分证明线面平行求线面角证明面面垂直2.命题规律及备考策略【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题稳定，难度中等，分值为512分【备考策略】1.理解、掌握空间中点线面的位置关系及相关的图形和符号语言【命题预测】本节内容是新高考卷的常考内容，一般在解答题中考查线面平行、面面平行的判定及其性质，需强化巩固复习.知识讲解常见立体几何的定义、性质及其关系棱柱：棱柱的上下底面是全等的平行图形，侧面是平行四边形（即侧棱平行且相等）斜棱柱：侧棱与底面不垂直的棱柱直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱正棱柱：底面是正多边形的直棱柱平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体，即：平行六面体的六个面都是平行四边形四个公理与一个定理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.空间中点线面的位置关系点与直线的位置关系点在直线上点不在直线上点与面的位置关系点在平面上点不在平面上线与线的位置关系平行，相交，，异面线与面的位置关系面与面的位置关系平行，相交，与重合空间中的平行关系线线平行①三角形、四边形的中位线与第三边平行，②平行四边形的性质（对边平行且相等）③内错角、同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行线面平行的判定定理：平面外一直线与平面内一直线平行，则线面平行图形语言符号语言线面平行的性质定理若线面平行，经过直线的平面与该平面相交，则直线与交线平行图形语言符号语言面面平行的判定定理判定定理1：一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，则面面平行图形语言符号语言判定定理2：一个平面内有两条相交直线分别于另一个平面内两条相交直线平行，则面面平行图形语言符号语言面面平行的性质定理性质定理1：两平面互相平行，一个平面内任意一条直线平行于另一个平面性质定理2：两平面互相平行，一平面与两平面相交，则交线互相平行考点一、空间中点线面的位置关系1．（2023·湖北武汉·统考三模）已知不重合的平面，及不重合的直线m，n，则（

）．A．若，，则B．若，，，则C．若，，，则D．若，，，则2．（2023·重庆·统考模拟预测）已知l，m，n表示不同的直线，，，表示不同的平面，则下列四个命题正确的是（

）A．若，且，则 B．若，，，则C．若，且，则 D．若，，，则3．（2023·江苏扬州·扬州中学校考模拟预测）已知、、为空间中三条不同的直线，、、为空间中三个不同的平面，则下列说法中正确的是（

）A．若，，，则B．若，，，若，则C．若，、分别与、所成的角相等，则D．若m//α，m//β，，则4．（2023·河南新乡·统考二模）在如图所示的正方体或正三棱柱中，M，N，Q分别是所在棱的中点，则满足直线BM与平面CNQ平行的是（

）A．B．C． D．5．（2023·河南·统考模拟预测）如图，已知正三棱柱的各条棱长都相等，是侧棱的中点，是的中点，则（

）A． B．平面C．平面 D．1．（2023·福建泉州·泉州五中校考模拟预测）设为两条直线，为两个平面，则的充分条件是（

）A． B．C． D．2．（2023·全国·校联考模拟预测）已知直线两两异面，且，，下列说法正确的是（

）A．存在平面，使，，且，，B．存在平面，使，，且，，C．存在唯一的平面，使，且与所成角相等D．存在平面，使，，且3．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）已知是三条不同的直线，是三个不重合的平面，则下列说法错误的是（

）A．若，则．B．若与异面，，则存在，使得．C．若，则．D．若，则．4．（2023·福建泉州·校联考模拟预测）如图，点A，B，C，M，N为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，不满足直线平面ABC的是（

）A．B．C．D．5．（多选）（2021·全国·统考高考真题）如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点．则满足的是（

）A． B．C． D．考点二、空间中线面平行的判定定理1．（2022·全国·统考高考真题）如图，是三棱锥的高，，，E是的中点．(1)证明：平面；(2)若，，，求二面角的正弦值．2．（2023·天津·统考高考真题）三棱台中，若面，分别是中点.(1)求证：//平面；(2)求平面与平面所成夹角的余弦值；(3)求点到平面的距离．3．（2023·浙江·校联考三模）如图，三棱台中，，，为线段上靠近的三等分点.(1)线段上是否存在点，使得平面，若不存在，请说明理由；若存在，请求出的值；(2)若，，点到平面的距离为，且点在底面的射影落在内部，求直线与平面所成角的正弦值.4．（2023·湖南永州·统考一模）如图所示，在四棱锥中，底面为矩形，侧面为正三角形，且分别为的中点，在线段上，且．(1)求证：平面；(2)当时，求平面与平面的夹角的余弦值．1．（2023·重庆九龙坡·重庆市育才中学校考模拟预测）如图所示，在三棱柱中，点G、M分别是线段AD、BF的中点.(1)求证：平面BEG；(2)若三棱柱的侧面ABCD和ADEF都是边长为2的正方形，平面平面ADEF，求二面角的余弦值；2．（2023·广东佛山·校考模拟预测）如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面平面，，，，分别为，的中点.(1)求证：平面；(2)若，求二面角的余弦值.3．（2023·山东泰安·统考模拟预测）四棱锥中，底面为矩形，，，平面与平面的交线为.(1)求证：直线平行于平面；(2)求二面角的余弦值.4．（2023·湖北武汉·统考二模）如图，在边长为4的正三角形ABC中，E，F分别为边AB，AC的中点．将沿EF翻折至，得到四棱锥，P为的中点．(1)证明：平面；(2)若平面平面EFCB，求直线与平面BFP所成的角的正弦值．考点三、空间中线面平行的性质定理1．（2023·福建福州·福州四中校考模拟预测）如图，在直三棱柱中，，且，点在线段（含端点）上运动，设.(1)当平面时，求实数的值；(2)当平面平面时，求平面与平面的夹角的正弦值.2．（2023·河南·校联考模拟预测）如图，在矩形中，点在边上，且满足，将沿向上翻折，使点到点的位置，构成四棱锥.(1)若点在线段上，且平面，试确定点的位置；(2)若，求四棱锥的体积.3．（2023·广东广州·统考模拟预测）已知四棱锥的底面是棱长为2的菱形，，，若，且与平面所成的角为，为的中点，点在线段上，且平面.(1)求；(2)求平面与平面夹角的余弦值.4．（2023·江西鹰潭·贵溪市实验中学校考模拟预测）如图，三棱锥中，底面与侧面是全等三角形，侧面是正三角形，，，，，，，分别是所在棱的中点，平面与平面相交于直线．(1)求证：；(2)求点到平面的距离．1．（2023·北京·统考模拟预测）如图，在三棱柱中，平面，，为线段上一点，平面交棱于点.(1)求证：;(2)若直线与平面所成角为，再从条件①和条件②这两个条件中选择一个作为已知，求点到平面的距离.条件①：；条件②：.注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.2．（2023·陕西商洛·镇安中学校考模拟预测）如图，在六面体中，四边形是菱形，，平面，，为的中点，平面．(1)求；(2)若，求直线与平面所成角的正弦值．3．（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）如图，在直三棱柱中，，，，点分别是的中点，点是线段上一点，且平面．(1)求证：点是线段的中点；(2)求二面角的余弦值．4．（2023·河南·襄城高中校联考三模）如图，在正四棱台中，，，，为棱，的中点，棱上存在一点，使得平面．(1)求；(2)当正四棱台的体积最大时，证明：平面．考点四、空间中面面平行的判定定理1．（2023·河南·校联考二模）如图所示，正六棱柱的底面边长为1，高为.(1)证明：平面平面；(2)求平面与平面间的距离.2．（2023·山东潍坊·统考模拟预测）如图，线段是圆柱的母线，是圆柱下底面⊙O的内接正三角形，．(1)劣弧上是否存在点D，使得平面？若存在，求出劣弧的长度；若不存在，请说明理由．(2)求平面和平面所成角的正弦值．3．（2023·河北·统考模拟预测）在圆柱中，等腰梯形为底面圆的内接四边形，且，矩形是该圆柱的轴截面，为圆柱的一条母线，.(1)求证：平面平面；(2)设，，试确定的值，使得直线与平面所成角的正弦值为.1．（2023·海南海口·校联考一模）如图所示的多面体由正四棱柱与正四棱锥组合而成，与交于点，，，．(1)证明：平面平面；(2)求平面与平面夹角的余弦值．2．（2023·宁夏银川·银川一中校考三模）如图，矩形所在平面垂直于直角梯形所在平面，，，，，，，分别是，的中点，H是AB边上一动点.(1)是否存在点使得平面平面，若存在，请指出点的位置，并证明；若不存在，请说明理由.(2)求多面体的体积.3．（2023·湖北·校联考模拟预测）如图，在棱长为2的正方体中，点M是正方体的中心，将四棱锥绕直线逆时针旋转后，得到四棱锥．(1)若，求证：平面平面；(2)是否存在，使得直线平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．考点五、空间中面面平行的性质定理1．（2023·四川南充·模拟预测）如图所示，在圆锥中，为圆锥的顶点，为底面圆圆心，是圆的直径，为底面圆周上一点，四边形是矩形．(1)若点是的中点，求证：平面；(2)若，求三棱锥的体积．2．（2023·云南曲靖·校考三模）如图，在多面体中，已知是正方形，，平面分别是的中点，且．(1)求证：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值．3．（2023·山东烟台·统考三模）如图，在中，为中点，过点作垂直于，将沿翻折，使得面面，点是棱上一点，且面．(1)求的值；(2)求二面角的余弦值．1．（2023·全国·模拟预测）如图，在多面体中，四边形是菱形，且有，，，平面，．(1)求证：平面；(2)求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．2．（2023·河南·校联考二模）如图所示，正六棱柱的底面边长为1，高为，为线段上的动点.(1)求证：平面；(2)设直线与平面所成的角为，求的取值范围.3．（2023·浙江·校联考三模）如图，三棱台中，，，为线段上靠近的三等分点.(1)线段上是否存在点，使得平面，若不存在，请说明理由；若存在，请求出的值；(2)若，，点到平面的距离为，且点在底面的射影落在内部，求直线与平面所成角的正弦值.【基础过关】一、单选题1．（2023·河南·校联考二模）已知两条不同的直线l，m，两个不同的平面，，则下列命题正确的是（

）A．若，，，则 B．若，，，则C．若，，，则 D．若，，，则2．（2023·四川宜宾·校考三模）已知空间两不同直线、，两不同平面，，下列命题正确的是（

）A．若且，则B．若且，则C．若且，则D．若不垂直于，且，则不垂直于二、多选题3．（2023·江苏南京·校联考一模）如图，是长方体，是的中点，直线交平面于点M，则下列结论正确的是（

）A．四点共面 B．四点共面C．四点共面 D．三点共线4．（2023·河北秦皇岛·校联考二模）已知表示空间内两条不同的直线，则使成立的必要不充分条件是（

）A．存在平面，有 B．存在平面，有C．存在直线，有 D．存在直线，有三、解答题5．（2023·安徽蚌埠·统考二模）如图，正方体的棱长为1，E，F是线段上的两个动点．(1)若平面，求的长度；(2)若，求直线与平面所成角的正弦值．6．（2023·江西南昌·统考一模）已知直棱柱的底面ABCD为菱形，且，，点为的中点．(1)证明：平面；(2)求三棱锥的体积．7．（2023·浙江·统考模拟预测）已知四棱锥中，PA⊥平面ABCD，，，E为PD中点.(1)求证：平面PAB；(2)设平面EAC与平面DAC的夹角为，求三棱锥的体积.8．（2023·福建宁德·福鼎市第一中学校考模拟预测）在四棱锥中，底面是矩形，分别是棱的中点.(1)证明：平面；(2)若平面，且，，求二面角的余弦值.9．（2023·河南·统考三模）如图，四棱锥中，四边形ABCD为梯形，，，，，，M，N分别是PD，PB的中点．(1)求证：直线平面；(2)求证：．10．（2023·全国·校联考模拟预测）如图，在多面体中，四边形为正方形，平面平面，，是棱上的一点.(1)是否存在点，使得平面？若存在，则求出的值；若不存在，请说明理由；(2)求多面体ABCDEF的体积.【能力提升】一、单选题1．（2023·陕西·西安市西光中学校联考一模）在空间中，，表示平面，表示直线，已知，则下列命题正确的是（

）A．若，则与，都平行 B．若与，都平行，则C．若与异面，则与，都相交 D．若与，都相交，则与异面2．（2023·全国·模拟预测）已知，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，若，，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．（2023·江西鹰潭·统考一模）如图，为正方体，下列错误的是（

）A．平面 B．平面平面．C．与共面 D．异面直线与所成的角为90度4．（2023·四川成都·校考模拟预测）如图，在已知直四棱柱中，四边形为平行四边形，分别是的中点，以下说法错误的是（

）A．若，，则B．C．平面D．若，则平面平面二、解答题5．（2023·重庆·统考模拟预测）在多面体中，四边形是边长为4的正方形，，△ABC是正三角形．(1)若为AB的中点，求证：直线平面；(2)若点在棱上且，求点C到平面的距离．6．（2023·安徽安庆·安庆一中校考三模）如图,四棱锥中,底面为的中点.(1)若点在上,,证明:平面;(2)若,求二面角的余弦值.7．（2023·河北衡水·河北衡水中学校考一模）如图所示，四点共面，其中，，点在平面的同侧，且平面，平面.(1)若直线平面，求证：平面；(2)若，，平面平面，求锐二面角的余弦值.8．（2023·山东潍坊·三模）如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，为底面圆的内接正三角形，且边长为，点在母线上，且.(1)求证：直线平面；(2)求证：平面平面；(3)若点为线段上的动点．当直线与平面所成角的正弦值最大时，求此时点到平面的距离.9．（2023·河南·校联考模拟预测）如图，在矩形中，点在边上，且满足，将沿向上翻折，使点到点的位置，构成四棱锥.(1)若点在线段上，且平面，试确定点的位置；(2)若，求锐二面角的大小.10．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）如图，平行六面体中，点P在对角线上，，平面平面．(1)求证：O，P，三点共线；(2)若四边形是边长为2的菱形，，，求二面角大小的余弦值．【真题感知】1．（2020·山东·统考高考真题）已知正方体（如图所示），则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．2．（湖南·高考真题）如图1，在正四棱柱中，分别是，的中点，则以下结论中不成立的是（）A．与垂直 B．与垂直C．与异面 D．与异面3．（全国·高考真题）对于直线m、n和平面，下面命题中的真命题是（

）A．如果，，m、n是异面直线，那么B．如果，，m、n是异面直线，那么n与相