【解析】黑龙江省哈尔滨市高三5月模拟复课联考数学（文）试题

2020届高三模拟复课联考试卷数学试卷（文科）考生注意：1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区城内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷草稿纸上作答无效.3.做选考题时，考生须按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.，则A. B. C.2， D.1，2，【答案】C【解析】分析：先分别求出集合A和B，由此能求出A∩B．详解：∵集合A={x|0≤x≤5}，B={x∈N*|x﹣1≤2}={1，2，3}，∴A∩B={1，2，3}．故选C．点睛：本题考查交集的求法，考查了自然数集的概念，属于基础题，则（）A. B.2 C. D.【答案】D【解析】【分析】根据复数的四则运算法则及模的计算公式，即可得到本题答案.【详解】由题，得，所以.故选：D【点睛】本题主要考查复数的四则运算及模的计算，考查学生的运算求解能力，属基础题.与共线,则实数（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由图像，根据向量的线性运算法则，可直接用表示出，进而可得出.【详解】由题中所给图像可得：，又，所以.故选D【点睛】本题主要考查向量的线性运算，熟记向量的线性运算法则，即可得出结果，属于基础题型.，满足约束条件，则的最大值为（）A.0 B. C. D.2【答案】D【解析】【分析】根据题意，作出可行域，又，它表示区域内动点与原点连线的斜率，利用数形结合即可求解.【详解】可行域如图所示．又，它表示区域内动点与原点连线的斜率，其最大值为直线的斜率，而，故，所以的最大值为．故答案为：D【点睛】本题考查线性规划问题，利用数形结合的方法求解即可，属于基础题.的一个焦点到它的一条渐近线的距离为，则该双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用点到直线距离公式可求得，利用求得，进而可得离心率.【详解】取双曲线的一个焦点，一条渐近线：本题正确选项：【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，关键是利用点到直线距离公式构造方程求得，属于基础题.，则下列说法正确的是A.的最小正周期为 B.的最大值为2C.的图像关于轴对称 D.在区间上单调递减【答案】C【解析】【分析】利用余弦型函数图像与性质逐一判断即可.【详解】∵f（x）＝sin4x﹣cos4x＝sin2x﹣cos2x＝﹣cos2x，∴函数的最小正周期T＝π，∵f（﹣x）＝﹣cos（﹣2x）＝﹣cos2x＝f（x），∴f（x）为偶函数，其图象关于y轴对称，∵f（x）＝cos2x在[，]上单调递减，故f（x）＝﹣cos2x在[，]上单调递增．故选C．【点睛】本题考查余弦函数的单调性、对称性以及最值，三角函数的周期公式，以及平方关系、二倍角的余弦公式的应用，熟练掌握函数的性质与公式是解题的关键．7.《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位所著，该作完善了珠算口诀，确立了算盘用法，完成了由筹算到珠算的彻底转变，该作中有题为“李白沽酒”“李白街上走，提壶去买酒．遇店加一倍，见花喝一斗，三遇店和花，喝光壶中酒．借问此壶中，原有多少酒？”，如图为该问题的程序框图，若输出的值为0，则开始输入的值为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先执行程序，依次求出每次的输出结果，当输出结果为0时，求出此时的值，因此输入框里的输入的值是此时的值，从中选出正确的答案.【详解】模拟程序的运行，可得当时，，满足条件，执行循环体；当时，，满足条件，执行循环体；当时，，不满足条件，退出循环体，输出，所以，.所以本题答案为B.【点睛】本题考查了通过输出结果写出输入框中输入的值，正确按程序框图写出每次循环后的结果，是解题的关键.，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】∵a＝log3π>log33＝1，b＝log2<log22＝1，∴a>b，又＝＝(log23)2>1，∴b>c，故a>b>c.9.我国明代著名乐律学家、明宗室王子朱载堉在《律学新说》中提出的十二平均律，即是现代在钢琴的键盘上，一个八度音程从一个键到下一个键的8个白键与5个黑键（如图）的音频恰好构成一个等比数列的原理，高音的频率正好是中音的2倍．已知标准音的频率为，那么频率为的音名是（）A.d B.f C.e D.d【答案】D【解析】【分析】的音比的频率低，故可将的频率记为第一项，的音设为第项，则这个数列是以为第一项，以为公比的等比数列，代入等比数列的通项公式可得．【详解】从第二个单音起，每一个单音的频率与它的左边一个单音的频率的比．故从起，每一个单音的频率与它右边的一个单音的比为由，解得，频率为的音名是，故选D.【点睛】本题考查等比数列的通项公式及其性质，考查逻辑推理能力与运算求解能力，属于中档题．中，点Q是线段的中点，点P在线段上，且，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】正方体中由，可得异面直线所成的角为（或其补角），在三角形中求出这个角即可．【详解】正方体中，由，则异面直线所成的角为（或其补角），长方体中平面，∴，设正方体棱长为1，则因为点是线段的中点，点满足，所以，，，∴．故选：D．【点睛】本题考查异面直线所成的角，关键是作出这个角并证明．然后解三角形求得此角，注意若求得三角形中的角为钝角，需求其补角才是异面直线所成的角．属于基础题.表示的曲线作为函数的图象，则下列结论正确的是（）①在R上单调递减②的图像关于原点对称③图象上的点到坐标原点的距离的最小值为3④函数不存在零点A.①③ B.①②③ C.①③④ D.①②③④【答案】C【解析】【分析】讨论的正负情况得到函数解析式，画出图象，根据图象结合两点间距离公式和双曲线渐近线得到答案.【详解】，当，时不成立；当，时，；当，时，；当，时，；画出图像，如图所示：由图判断函数在R上单调递减，故①正确，②错误.由图判断图象上的点到原点距离的最小值点应在，的图象上，即满足，设图象上的点，，当时取最小值3，故③正确；当，即，函数的零点，就是函数和的交点，而是曲线，，和，，的渐近线，所以没有交点，由图象可知，和，，没有交点，所以函数不存在零点，故④正确.故选：C.【点睛】本题考查了函数的单调性，对称性，零点问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力，画出图象是解题的关键.，若对任意的正实数x，不等式恒成立，则m的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由条件可得不等式恒成立即恒成立，设函数，分析出的单调性,将问题转化为恒成立，由单调性即恒成立，即，设，求出的导数得到其单调性，从而得到的最大值，得出答案.【详解】∵，，∴，当时，不等式显然成立，当时，原不等式可变形为，设函数，，当，，∴当时，递增，则不等式恒成立等价于恒成立，即恒成立，，设，则，当时，，当时，，∴在递增，递减，，故选:A.【点睛】本题主要考查不等式恒成立的问题，考查对数与指数的相互转化，导数性质的应用，体现了转化的思想，关键是构造出合适的函数.属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.满足，则_______.【答案】3【解析】【分析】由题意，根据正切的二倍角公式求出正切值，再把所求分式分子分母同除以，代入即可求解．【详解】，∵，∴.∵，∴.∴.故答案为：3【点睛】本题主要考查了利用齐次式即分子分母同除以，代入求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题．，则与曲线切于点处的切线方程为_______【答案】【解析】【分析】由求得值，然后求出导函数，得即切线斜率，从而得切线方程．【详解】∵，∴，∴，∴，∴∴切线斜率，∴切线方程：.故答案为：．【点睛】本题考查导数的几何意义，掌握导数的运算是解题关键．本题属于基础题．，的前n项和分别为，，若，则______.【答案】【解析】【分析】由等差数列的性质和前项和公式可得，，从而有得出答案.【详解】由为等差数列可得，同理可得，所以.故答案：【点睛】本题考查等差数列的性质，等差数列的前项和公式，属于基础题.的焦点为F，，是抛物线C上的两个动点，若，则的最大值为______.【答案】【解析】【分析】根据抛物线的定义，结合余弦定理、基本不等式和余弦函数的单调性进行求解即可.【详解】抛物线的准线方程为：，所以由已知，得，因为，因为，所以，因此的最大值为.故答案为：【点睛】本题考查了抛物线定义的应用，考查了余弦定理的应用，考查了基本不等式的应用，考查了余弦函数的单调性应用，考查了数学运算能力.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.2022年北京冬奥运动会即第24届冬季奥林匹克运动会将在2022年2月4日至2月20日在北京和张家口举行，某研究机构为了了解大学生对冰壶运动的兴趣，随机从某大学生中抽取了100人进行调查，经统计男生与女生的人数比为，男生中有20人表示对冰壶运动有兴趣，女生中有15人对冰壶运动没有兴趣.（1）完成列联表，并判断能否有把握认为“对冰壶运动是否有兴趣与性别有关”？有兴趣没有兴趣合计男20女15合计100（2）用分层抽样的方法从样本中对冰壶运动有兴趣的学生中抽取6人，求抽取的男生和女生分别为多少人？若从这6人中选取两人作为冰壶运动的宣传员，求选取的2人中恰好有1位男生和1位女生的概率.附：，其中【答案】（1）填表见解析，有把握认为“对冰壶运动是否有兴趣与性别有关”（2）抽取的男生数、女生数分别为：2,4，选取的2人中恰好有1位男生和1位女生的概率为【解析】【分析】（1）先得2×2列联表，在根据表中数据计算，结合临界值表可得到结论；

（2）对冰壶运动有兴趣的学生共有60人，从中抽取6人，抽取的男生数，女生数分别为：，．再用列举法得到从6中选取2人的基本事件和恰好有1位男生和1位女生的基本事件，用古典概型概率公式可得．【详解】（1）根据题意得如下列联表：有兴趣没有兴趣合计男202545女401555合计6040100所以所以有把握认为“对冰壶运动否有兴趣与性别有关”，（2）对冰壶运动有兴趣的学生共60人，从中抽取6人，抽取的男生数、女生数分别为：，.记2名男生为，；女生为，，，，则从中选取2人的基本事件为：，，，，，，，，，，，，，，共15个，其中含有1男1女的基本事件为：，，，，，，，共8个记“对冰壶运动有兴趣的学生中抽取6人做宣传员，恰好一男一女”的事件为，则，所以选取的2人中恰好有1位男生和1位女生的概率为.【点睛】本题考查了独立性检验，属中档题．中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，.（1）求的面积；（2）若，求b的值.【答案】（1）4；（2）.【解析】【分析】（1）根据二倍角公式求出，再求出，然后根据向量的数量积和三角形的面积公式即可求出答案；（2）根据余弦定理即可求出答案.【详解】解：（1）因为，所以，显然，所以，又由，所以，所以；（2）由（1）知，，又，所以，得.【点睛】本题主要考查余弦定理的应用，涉及向量的数量积和三角形的面积公式以及二倍角公式，属于中档题．19.如图，在四棱台中，，O分别为上、下底面对角线的交点，平面，底面是边长为2的菱形，且.（1）证明：平面；（2）若，求三棱锥的体积【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）证明与和垂直后可得线面垂直；（2）由求得，而，这样易计算出体积．【详解】（1）证明：∵底面是菱形，∴.∵平面，平面，∴，∵，∴平面.（2）解：连接，在中，，由，得则，.【点睛】本题考查证明线面垂直，考查棱锥的体积，证明线面垂直可用线面垂直的判定定理证明，求三棱锥的体积可用换底法，换底后高易求，底面积易求即得体积．20.记焦点在同一条轴上且离心率相同的椭圆为“相似椭圆”.已知椭圆，以椭圆E的焦点为顶点作相似椭圆M.(1)求椭圆M的方程；(2)设直线l与椭圆交于两点，且与椭圆仅有一个公共点，试判断的面积是否为定值(为坐标原点)？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.【答案】(1);(2)6.【解析】分析：(Ⅰ)由相似椭圆的定义可得，椭圆的离心率，由长轴的顶点为(2，0)，(2，0)，于是可得，从而可得椭圆的方程；(Ⅱ)设直线.由得，，利用判别式为零可得，联立与，利用韦达定理、弦长公式、点到直线距离公式以及三角形面积公式可得.详解：(Ⅰ)由条件知，椭圆的离心率，且长轴的顶点为(2，0)，(2，0)，∴椭圆的方程为.(Ⅱ)当直线的斜率存在时，设直线.由得，.令得，.联立与，化简得.设A()，B()，则∴，而原点O到直线的距离∴.当直线的斜率不存在时，或，则，原点O到直线的距离，∴.综上所述，的面积为定值6.点睛：本题主要考查椭圆标准方程、圆锥曲线的定值问题以及椭圆的切线，属于难题.探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：①从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值..（1）当时，求函数的单调区间；（2）证明：当时，.【答案】（1）增区间为，，减区间为.（2）见证明【解析】【分析】（1）先求导数，可得减区间，可得增区间；（2）不等式的证明转化为最值的求解即可.【详解】解：（1）当时，，所以，讨论：①当时，，有；②当时，由函数为增函数，有，有；③当时，由函数为增函数，有，有.综上，函数的增区间为，，减区间为.证明：（2）当时，有，所以，所以.令，则.令，有.令，得.分析知，函数的增区间为，减区间为.所以.所以分析知，函数的增区间为，减区间为,所以,故当时，.【点睛】本题主要考查利用导数求解函数的单调区间和利用导数证明不等式，侧重考查逻辑推理和数学运算的核心素