机械原理-第10章-齿轮机构及其设计(1-5)

第10章齿轮机构及其设计§10－1齿轮机构的特点和类型作用：传递空间任意两轴（平行、相交、交错）的旋转运动，或将转动转换为移动。结构特点：圆柱体或圆锥体外（或内）均匀分布有大小一样的轮齿。优点：①传动比准确、传动平稳。②圆周速度大，高达300m/s。③传动功率范围大，从几瓦到10万千瓦。④效率高(η→0.99)、使用寿命长、工作安全可靠。⑤可实现平行轴、相交轴和交错轴之间的传动。缺点：要求较高的制造和安装精度，加工成本高、不适宜远距离传动(如单车)。平面齿轮传动（轴线平行）外齿轮传动直齿斜齿人字齿圆柱齿轮非圆柱齿轮

空间齿轮传动（轴线不平行）按相对运动分

按齿廓曲线分直齿斜齿曲线齿圆锥齿轮两轴相交两轴交错蜗轮蜗杆传动交错轴斜齿轮准双曲面齿轮渐开线齿轮(1765年)摆线齿轮(1650年)圆弧齿轮(1950年)按速度高低分:按传动比分:按封闭形式分：齿轮传动的类型应用实例：提问参观对象、SZI型统一机芯手表有18个齿轮、炮塔、内然机。高速、中速、低速齿轮传动。定传动比、变传动比齿轮传动。开式齿轮传动、闭式齿轮传动。抛物线齿轮(近年)分类：内齿轮传动齿轮齿条2ω2作者：潘存云教授1ω1椭圆

齿轮准双曲面齿轮作者：潘存云教授斜齿圆锥齿轮作者：潘存云教授曲线齿圆锥齿轮齿轮机构可以分为定传动比齿轮机构和变传动比齿轮机构。本章仅讨论定传动比的齿轮机构。直齿圆柱齿轮是传动最简单、最基本、应用最广泛的一种。本章以直齿圆柱齿轮传动为重点，分析其啮合原理、传动参数和几何尺寸计算等问题。以直齿圆柱齿轮为基础对其他类型齿轮传动的特点进行介绍。设计：潘存云o1ω1§10－2齿轮的齿廓曲线

一.齿廓啮合基本定律一对齿廓在任意点K接触时，作法线n-n得：

i12＝ω1/ω2＝O2P/O1P齿廓啮合基本定律:

互相啮合的一对齿轮在任一位置时的传动比，都与连心线O1O2被其啮合齿廓的在接触处的公法线所分成的两段成反比。根据三心定律可知：P点为相对瞬心。nnPo2ω2k由：

v12＝O1Pω1v12＝O2Pω2设计：潘存云节圆如果要求传动比为常数，则应使O2P/O1P为常数。

节圆：r’1r’2

设想在P点放一只笔，则笔尖在两个齿轮运动平面内所留轨迹。由于O2

、O1为定点，故P必为一个定点。两节圆相切于P点，且两轮节点处速度相同，故两节圆作纯滚动。r'1r'2a=r'1+r'2中心距：o1ω1nnPo2ω2ka共轭齿廓传动比i12=常数，则O2P/O1P=常数，O2、O1为定点，所以P为定点。如果两轮作定传动比传动时，节点P为连心线上的一个定点。若i12=常数，两齿轮的齿廓在任何位置啮合时，接触点的公法线必与两轮的连心线交于一定点。共轭齿廓：一对能实现预定传动比(i12=ω1/ω2)规律的啮合齿廓。----应用最广渐开线2.齿廓曲线的选择

理论上，满足齿廓啮合定律的曲线有无穷多，但考虑到便于制造和检测等因素，工程上只有极少数几种曲线可作为齿廓曲线，如渐开线、其中应用最广的是渐开线，其次是摆线(仅用于钟表)和变态摆线。(摆线针轮减速器)，近年来提出了圆弧和抛物线。渐开线具有很好的传动性能，而且便于制造、安装、测量和互换使用等优点。本章只研究渐开线齿轮。摆线变态摆线圆弧抛物线渐开线齿廓的提出已有近两百多年的历史，目前还没有其它曲线可以替代。设计：潘存云§10－3渐开线齿廓的啮合特点一、渐开线的形成和特性―条直线在圆上作纯滚动时，直线上任一点的轨迹2.渐开线的特性②渐开线上任意点的法线切于基圆纯滚动时，

B为瞬心，速度沿t-t线，是渐开线的切线，故BK为法线③B点为曲率中心，BK为曲率半径。渐开线起始点A处曲率半径为0。可以证明BK－发生线，①

AB=BK;tt发生线Bk基圆OArkθk基圆－rbθk－AK段的展角－渐开线渐开线rb设计：潘存云A1B1o1θkK④渐开线形状取决于基圆⑤

基圆内无渐开线。⑥

同一基圆上任意两条渐开线公法线处处相等。当rb→∞，变成直线。B3o3θkA2B2o2设计：潘存云BC'ACrbOEC”⑥同一基圆上任意两条渐开线的公法线处处相等。由性质①和②有：两条反向渐开线,两条同向渐开线：B1E1=A1E1－A1B1B2E2=A2E2－A2B2B1E1=B2E2∴A1B1=A2B2A1E1=A2E2AB

=AN1+N1B=A1N1+N1B1

=

A1B1AB=AN2+N2B=A2N2+N2B2

=

A2B2A1B1N1A2B2N2E2E1二.渐开线方程及渐开线函数设计：潘存云OABkrkθkαkαkvk离中心越远，渐开线上的压力角越大。rb定义：啮合时K点正压力方向与速度方向所夹锐角为渐开线上该点之压力角αk。rb＝rk

cosαk

rb＝ri

cosαi

rb＝r

cosαrb＝rb

cosαb

对于同一条渐开线：ri

↓→αi

↓αb＝0渐开线函数渐开线的极坐标方程为渐开线上各点压力角αk

不同注意：计算时αk取弧度值离齿轮中心越远，渐开线上的压力角越大。设计：潘存云N2N1ω2O2rb2O1ω1三、渐开线齿廓的啮合特点要使两齿轮作定传动比传动，则两轮的齿廓无论在任何位置接触，过接触点所作公法线必须与两轮的连心线交于一个定点。两齿廓在任意点K啮合时，过K作两齿廓的法线N1N2，是基圆的切线，为定直线。i12=ω1/ω2=O2P/O1P=const工程意义：i12为常数可减少因速度变化所产生的附加动载荷、振动和噪音，延长齿轮的使用寿命，提高机器的工作精度。两轮中心连线也为定直线，故交点P必为定点。在位置K'时同样有此结论。C1C2KPK'1.渐开线齿廓满足定传动比要求作者：潘存云教授rb1ω2O2rb2O1ω1N2N1PC1C2K2.运动可分性△O1N1P≌△O2N2P由于上述特性，工程上广泛采用渐开线齿廓曲线。实际安装中心距略有变化时，不影响i12，这一特性称为运动可分性，对加工和装配很有利。故传动比又可写成：

i12=ω1/ω2=O2P/O1P=rb2/rb1－－基圆半径之反比。基圆半径是定值rb2rb1设计：潘存云N2N1ω2O2rb2O1ω13.渐开线齿廓间正压力方向不变N1N2是啮合点的轨迹，称为啮合线,2,

3C1C2K啮合线与节圆公切线之间的夹角α'

，称为啮合角K'Pα'rb＝r'

cosα'

由渐开线的性质可知：啮合线又是接触点的法线，正压力总是沿法线方向，故正压力方向不变。该特性对传动的平稳性有利。实际上α'就是节圆上的压力角设计：潘存云rbO一、齿轮各部分名称和符号pn齿顶圆－

da、ra齿根圆－

df、rf齿厚－

sk

任意圆上的弧长齿槽宽－

ek

弧长齿距（周节）－

pk=sk+ek

同侧齿廓弧长齿顶高ha齿根高

hf齿全高

h=ha+hf齿宽－

BhahfhBpra分度圆－－人为规定的计算基准圆表示符号：

d、r、s、e，p=s+e法向齿距（周节）－

pnseskek=pb§10－4渐开线标准齿轮的基本参数和几何尺寸pbrfrpk设计：潘存云m=4z=16二.渐开线齿轮的基本参数②模数－m①齿数－z出现无理数,不方便为了计算、制造和检验的方便分度圆周长：πd=zp,d=zp/π称为模数m

。m=2z=16模数的单位：mm，它是决定齿轮尺寸的一个基本参数。齿数相同的齿轮，模数大，尺寸也大。于是有：

d=mz，r=mz/2人为规定：m=p/π只能取某些简单值，m=1z=16

0.350.70.91.752.252.75(3.25)3.5(3.75)第二系列

4.55.5(6.5)79(11)14182228(30)3645标准模数系列表（GB1357－87）

0.10.120.150.20.250.50.40.50.60.8第一系列

11.251.522.5345681012162025324050为了便于制造、检验和互换使用，国标GB1357-87规定了标准模数系列。③分度圆压力角速度方向正压力方向α设计：潘存云OrfrarbrN得:α＝arccos(rb/r)由

rb＝ri

cosαi定义分度圆压力角为齿轮的压力角：α

α由d=mz知：m和z一定时，分度圆是一个大小唯一确定的圆。规定标准值：α＝20°由db＝dcosα可知，m、z、α一定时，基圆也是一个大小唯一确定的圆。对于分度圆大小相同的齿轮，如果α不同，则基圆大小将不同，因而其齿廓形状也不同。α是决定渐开线齿廓形状的一个重要参数。或rb＝rcosα，α＝arccos(rb/r)db＝dcosα④齿顶高系数ha*，ha=ha*m，已标准化了，对正常齿ha*=1，短齿ha*=0.8⑤顶隙系数c*，hf=（ha*+c*）m，已标准化了，对正常齿c*=0.25，短齿c*=0.3m、z、α、ha*

、c*为渐开线齿轮的五个基本参数。当齿轮的基本参数m、z、α、ha*

、c*确定后，渐开线标准直齿圆柱齿轮的几何尺寸和齿廓形状就确定了。设计：潘存云三.渐开线齿轮各部分基本尺寸计算齿顶高：ha=ha*m齿根高：hf=(ha*+c*)m全齿高：h=ha+hf齿顶圆直径：

da=d+2ha齿顶高系数:ha*齿根圆直径：

df=d-2hf顶隙系数:c*分度圆直径：

d=mz=(2ha*+c*)m=(z+2ha*)m=(z-2ha*-2c*)mrrf正常齿：

ha*＝1短齿制：

ha*＝0.8正常齿：

c*＝0.25短齿制：

c*＝0.3rahahfh设计：潘存云hahfhBprarfrpnpbrbO基圆直径：法向齿距pn：是指齿轮相邻两齿同侧齿廓间沿公法线方向度量的距离标准齿轮：标准齿轮:e=s=

πm/2=mzcosα=πdb/z=πmcosα=pcosα统一用pb表示m、α、ha*

、c*

取标准值，且e=s的齿轮。Nαdb=dcosα

pn=pbse作者：潘存云教授ri

CC

si

BB设计和检验齿轮时，常需要知道某些圆上的齿厚。一般表达式：si=CC=riφφ=∠BOB-2∠BOCSi=riφ其中：αi=arccos(rb/ri)顶圆齿厚：Sa=(sra/r)-2ra(invαa-invα)节圆齿厚：S’=(sr’/r)-2r’(invα’-invα)基圆齿厚：Sb=(srb/r)+2rbinvα=cosα(s+mzinvα)=scosα+2rcosαinvα

=(sri/r)-2ri(invαi-invα)=(s/r)=(s/r)-2(-2(θi-θ)sainvαi-invα)Nαi

αrra

AArb

Ossb

φ

θi

θ渐开线标准直齿圆柱齿轮计算公式p180四、齿条和内齿轮1、齿条设计：潘存云B特点：齿廓是直线，各点法线和速度方向线平行1)压力角处处相等，且等于齿形角，2)齿距处处相等:

p=πm其它参数的计算与外齿轮相同,如：

s=πm/2e=πm/2

esppnhahfz→∞的特例。齿廓曲线（渐开线）→直线ha=ha*mhf=(ha*+c*)mpn=pcosαα为常数。ααα设计：潘存云pnhNαsehahfpBOrbrfra1)轮齿与齿槽正好与外齿轮相反。2)df>d>da2、内齿轮3)为保证齿廓全部为渐开线，，da＝d-2ha,df＝d+2hf结构特点：轮齿分布在空心圆柱体内表面上。不同点：要求da>db。r设计：潘存云设计：潘存云rb2r2O2ω2rb2r2O2ω2rb1r1O1ω1rb1r1O1ω1pb2pb2pb1pb1<pb2pb1=pb2pb1不能正确啮合!能正确啮合!一对齿轮传动时，所有啮合点都在啮合线N1N2上。渐开线齿廓能满足齿廓啮合基本定律，那么，是否任意两个渐开线齿轮都能组成一对齿轮传动呢？m1<m2从外观看齿1比齿2小§10－5渐开线直齿圆柱齿轮的啮合传动

PN1N2B2B1PN1N2B1B2设计：潘存云rb2r2O2rb1r1O1ω1ω2PN1N2B2B1要使进入啮合区内的各对齿轮都能正确地进入啮合，两齿轮的相邻两齿同侧齿廓间的法向距离应相等：一.一对渐开线齿轮正确啮合条件

pb1=pb2将pb=πmcosα代入得：

m1cosα1=m2cosα2因m和α都取标准值，使上式成立的条件为：m1=m2，α1=α2结论：一对渐开线齿轮的正确啮合条件是它们模数和压力角应分别相等。pb2i12=--ω1ω2传动比：

=--db2db1

=--d'2d'1

=--d2d1

=--Z2Z1pb1设计：潘存云rb2r2O2r1O1ω1ω2PN1N2rb1二、齿轮传动的中心距及啮合角1.确定中心距对标准齿轮，确定中心距a时，应满足两个要求：①顶隙c为标准值。

储油用此时有：

a=ra1+c+rf2=r1+ha*m=r1+r2为了便于润滑、制造和装配误差，以及受力受热变形膨胀所引起的挤压现象，实际上侧隙不为零，由公差保证。ra1ra1rf2rf2acc=c*m+c*m+r2-(ha*m+c*m)=m(z1+z2)/2a=r1+r2标准中心距标准安装两标准齿轮的标准中心距等于两齿轮分度圆半径之和。②保证两轮的齿侧间隙为零一个齿轮在节圆上的齿厚=另一齿轮在节圆上的齿槽宽标准中心距安装时,两轮的节圆与分度圆重合，则有s1´=e1´s2´=e2´s1´=e2´=πm/2∴标准齿轮按标准中心距安装时，无齿侧间隙一对标准齿轮按标准中心距安装时，两轮的节圆分别与其分度圆相重合，此时齿轮的节圆与其分度圆大小相等。2.啮合角：标准齿轮按标准中心距安装时，啮合角=分度圆压力角3.当实际中心距≠标准中心距节圆r´≠分度圆rrb1=r1cosα=r1´cosα´rb2=r2cosα=r2´cosα´,rb1+rb2=(r1+r2)cosα=(r1´+r2´)cosα´∴齿轮的中心距与啮合角的关系式为：acosα=a´cosα´

其中a=(r1+r2)标准中心距

a´=(r1´+r2´)实际中心距当a´增大，α´也增大，r1´>r1,r2´>r2

两分度圆将分离，此时有：α'>α提问：有可能α'<α吗？区分节圆：两齿轮啮合时在节点处相切的一对圆，所以只有啮合时才有节圆，节圆的大小随中心距的变化而变化。分度圆：完全确定的圆(d=mz)，无论啮合与否，中心距如何变化。必须指出：分度圆和压力角是单个齿轮就有的；而节圆和啮合角是两个齿轮啮合后才出现的。例：m=4，α=200的标准圆柱直齿轮，标准安装时，顶隙=

，侧隙=

。当中心距加大0.5mm时，顶隙=

，侧隙

。答案1mm，0mm，1.5mm，>0mm齿条传动4.齿轮齿条传动标准安装：

(1)齿轮分度圆与齿条分度线相切。(2)齿轮节圆与分度圆重合。(3)齿条节线与分度线重合。传动啮合角α´=齿轮分度圆压力角α=齿条齿形角非标准安装：(1)齿条的渐开线齿廓为直线，啮合线N1N2与齿廓垂直。(2)因此啮合线N1N2及节点P的位置始终保持不变。(3)齿轮的节圆大小不变，恒与其分度圆重合。(4)齿轮和齿条传动,其啮合角α´恒等于齿轮的分度圆压力角α(5)齿条的节线与其分度线将不再重合。5.内齿轮啮合传动标准中心距:a=r2-r1=m(z2-z1)/2设计：潘存云N1N2O1rb1Prb2ω2ω1O21.一对轮齿的啮合过程轮齿在从动轮顶圆与N1N2

线交点B2处进入啮合，主动轮齿根推动从动轮齿顶。随着传动的进行，啮合点沿N1N2

线移动。在主动轮顶圆与N1N2

线交点处B1脱离啮合。主动轮：啮合点从齿根走向齿顶，而在从动轮，正好相反。B1B2

－实际啮合线N1N2

：因基圆内无渐开线理论上可能的最长啮合线段--N1、N2

－啮合极限点阴影线部分－齿廓的实际工作段。理论啮合线段三一对轮齿的啮合过程及连续传动条件ra2B1----终止啮合点B2

----起始啮合点N1N2ra1B2B1设计：潘存云pb2.连续传动条件一对轮齿啮合传动的区间是有限的。要保证齿轮连续转动，则在前一对轮齿脱离啮合之前,后一对轮齿必须及时地进入啮合。齿轮连续传动的条件：前一对齿尚未脱离啮合，后一对齿已进入啮合。即：实际啮合线段B1B2≥pb

(齿轮的法向齿距)，定义:

ε=B1B2/pb

为一对齿轮的重合度一对齿轮的连续传动条件是：为保证可靠工作，工程上要求：[ε]的推荐值：使用场合一般机械制造业汽车拖拉机金属切削机

[ε]1.41.1～1.21.3从理论上讲，重合度为1就能保证连续传动，但齿轮制造和安装有误差即：

B1B2/pb≥1ε≥[ε]ε≥1

采用标准齿轮，总是有：ε≥1故不必验算。O1N2N1KO2ω2ω1B1B2作者：潘存云教授N1N2O1rb1rb2O2Pα’αa2重合度计算公式：εα=

B1B2/pb＝(PB1+PB2)∴εα=[z1(tgαa1-tgα’)+z2(tgαa2-tgα’)]/2π其中：PB1＝B1N1-PN1＝rb1tgαa1＝z1mcosα(tgαa1-tgα’)/2PB2＝B2N2-PN2＝rb2tgαa2＝z2mcosα(tgαa2-tgα’)/2①外啮合传动-rb1tgα’α’αa1-rb2tgα’/πmcosα

B2ra2ra1B1作者：潘存云教授PN1O1②齿轮齿条传动：PB1＝z1mcosα(tgαa1-tgα’)/2PB2＝h*am/sinα

代入得：εα=[z1

(tgαa1-tgα’

)]/2π

+h*a/πcosαsinαεα＝B1B2/pb＝(PB1+PB2)/πmcosα

α’α’αa1B1B2h*am作者：潘存云教授N2PO2ra2rb2εα＝B1B2/pb＝(PB1+PB2)/πmcosα

∴εα=[Z1(tgαa1-tgα’)-Z2(tgαa2-tgα’)]/2πPB2＝PN2-B2N2＝rb2tgα’＝-z2mcosα(tgαa2-tgα’)/2③内啮合传动PB1＝B1N1-PN1αa1α’αa2<α’＝z1mcosα(tgαa1-tgα’)/2

同上εα的物理意义：表示同时参与啮合的轮齿对数的平均值。-rb2tgαa2α’αa2-rb1tgα’＝rb1tgαa1N1O1ra1rb1B1B2一对齿轮传动时，其重合度的大小，实质上表明了同时参与啮合的轮齿对数的平均值。增大齿轮传动的重合度，意味着同时参与啮合的轮齿对数增多，这对于提高齿轮传动的平稳性，提高承载能力都有重要意义。增大重合度εα

：εα=[z1(tanαa1-tanα´)+z2(tanαa2-tanα´)]/2παa=arccos(rb/ra)1.增大齿数z1和z2：2.减小啮合角α´当安装的实际中心距大于标准中心距时，啮合角α´变大，重合度εα减少，传动比i不变。3.增大齿顶高系数ha*，ra增大，αa增大，εα增大重合度εα的极限值是多少？重合度εα与模数m无关，随齿数Z的增多而增大。对于按标准中心距安装的标准齿轮传动(ha*=1,α=200)，当两轮的齿数趋于无穷大时PB1=PB2=ha*m/sinαεαmax=(PB1+PB2)/(πm

cosα)=4ha*/(πsin2α)=1.981即当ha*=1,α=200时，极限重合度εαmax=1.981。(1)观察ε>1时传动连续情况；(2)观察何时有两对齿啮合，何时只有一对齿啮合作者：潘存云教授rb2rb2单齿啮合区双齿啮合区双齿啮合区εα=

1.45