第04讲 矩形的判定、判定与性质综合（原卷版）-初中数学暑假自学课讲义（9年级北师大版）

第04讲矩形的判定、判定与性质综合掌握矩形的判定定理.学会用矩形的性质与判定综合解题.矩形的判定矩形的判定有三种方法：1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.2.对角线相等的平行四边形是矩形.3.有三个角是直角的四边形是矩形.要点：在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判定平行四边形是矩形.考点一：矩形的判定例1．下列条件不能判定一个四边形是矩形的是（）A．四个内角都相等 B．四条边都相等C．对角线相等且互相平分 D．对角线相等的平行四边形例2．下列说法不正确的是（

）A．有一个角为直角的平行四边形是矩形 B．有三个角为直角的四边形是矩形C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．对角线互相垂直的平行四边形是矩形例3．在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O．下列条件不能判定平行四边形ABCD为矩形的是()A．∠ABC＝90° B．AC＝BDC．AC⊥BD D．∠BAD＝∠ADC例4．能判断一个平行四边形是矩形的条件是（

）A．两条对角线互相平分 B．一组邻边相等C．两条对角线互相垂直 D．两条对角线相等考点二：添加一个条件成为矩形例5．如图，要使平行四边形为矩形，则可添加下列哪个条件（

）A． B． C． D．例6．如图，在平行四边形ABCD中，在不添加任何辅助线的情况下，添加以下哪个条件，能使平行四边形ABCD是矩形（

）A． B． C． D．例7．如图，在四边形ABCD中，，AC交BD于点O，再添加什么条件可以判定四边形ABCD为矩形(

)A． B．C． D．例8．如图，是的中线，四边形是平行四边形，下列条件中，能判定四边形是矩形的是（

）A． B．平分 C． D．考点三：矩形的判定的证明例9．如图，是平行四边形的一条对角线，E是的中点，连接并延长交的延长线于F．(1)求证：．(2)当时，求证：四边形是矩形．例10．如图，在平行四边形中，为线段的中点，延长与的延长线交于点，连接，，．(1)求证：四边形是矩形；(2)若，，求四边形的面积．例11．如图，四边形的对角线交于点，于E，于F，点O既是的中点，又是的中点．(1)求证：；(2)若，求证：四边形是矩形．例12．如图，平行四边形的对角线交于点O，E为中点，过点C作交的延长线于F，连接．(1)求证：(2)当满足什么条件时，四边形为矩形？请说明理由．考点四：根据矩形的判定与性质求长度例13．如图，在矩形中，垂直平分于点，若，，则线段的长度是______．例14．四边形的对角线相交于点，且，，则_______．例15．如图，在平行四边形ABCD中，∠ACB＝90°，过点D作DE⊥BC交BC的延长线于点E，连接AE交CD于点F，连接BF．若∠ABC＝60°，CE＝2，则BF＝_____．例16．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，O为对角线AC的中点，点P在AD边上，且AP=2，点Q在BC边上，连接PQ与OQ，则PQ−OQ的最大值为______．考点五：根据矩形的判定与性质求角度例17．如图，矩形ABCD中，BE⊥AC于点E，若∠ACB＝23°，则∠DBE＝_______度．例18．如图，在矩形中，，点在上，且，则________．例19．如图，在中，为边上一点，以为边作矩形．若，，则的大小为______度．例20．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，DE平分∠ADC．若∠AOB＝60°，则∠COE的大小为____．例21．在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，过点A作∠DAC的角平分线交BC的延长线于点H，取AH的中点P，连接BP，则S△ABP＝___．考点六：根据矩形的判定与性质求面积例22．已知矩形，点在边上，，连接，点在边上，连接，平分，若，，，则的面积是___________．例23．如图，在矩形中，平分交于点，．有下面的结论：①是等边三角形；②；③．其中，正确结论的个数为_________．例24．如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，取EF的中点G，连接CG，BG，BD，DG，下列结论：①BE＝CD；②∠DGF＝135°；③△BEG≌△DCG；④∠ABG+∠ADG＝180°；⑤若，则3S△BDG＝13S△DGF．其中正确的结论是_____．（请填写所有正确结论的序号）一、单选题1．（2020·湖北·中考真题）已知中，下列条件：①；②；③；④平分，其中能说明是矩形的是（

）A．① B．② C．③ D．④2．（2020·山东菏泽·统考中考真题）如果顺次连接四边形的各边中点得到的四边形是矩形，那么原来四边形的对角线一定满足的条件是（

）A．互相平分 B．相等 C．互相垂直 D．互相垂直平分3．（2013·河北·中考真题）如已知：线段AB，BC，∠ABC="90°."求作：矩形ABCD．以下是甲、乙两同学的作业：对于两人的作业，下列说法正确的是A．两人都对 B．两人都不对C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对二、填空题4．（2021·黑龙江·统考中考真题）如图，在平行四边形中，对角线、相交于点O，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件______________，使平行四边形是矩形．．三、解答题5．（2022·四川巴中·统考中考真题）如图，▱ABCD中，E为BC边的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，延长EC至点G，使CG=CE，连接DG、DE、FG．(1)求证：△ABE≌△FCE；(2)若AD=2AB，求证：四边形DEFG是矩形．6．（2022·湖北十堰·统考中考真题）如图，中，，相交于点，，分别是，的中点．(1)求证：；(2)设，当为何值时，四边形是矩形？请说明理由．一、单选题1．如图，在四边形中，对角线相交于点O，，添加下列条件，不能判定四边形是矩形的是（

）A． B． C． D．2．连接菱形各边中点，可得到的“中点四边形”是矩形，主要是因为（

）A．菱形的四条边都相等 B．菱形的对角线互相垂直C．菱形的对角线互相平分 D．以上答案都不对3．如图，平行四边形中，E,F分别在边，上，，，若，的长为（）A．10 B． C．9 D．64．如图，已知在四边形ABCD中，AB＝DC，AD＝BC，连结AC，BD，AC与BD交于点O，若AO＝BO，AD＝3，AB＝2，则四边形ABCD的面积为()A．4 B．5 C．6 D．75．下列叙述中能判定四边形是矩形的个数是（

）．①对角线互相平分的四边形；②对角线相等的四边形；③对角线相等的平行四边形；④对角线互相平分且相等的四边形．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个6．如图，在菱形中，E、F为边、的中点，连接、．若，，则四边形的面积为（

）A． B．1 C．2 D．47．已知如图，，，，，则的面积为（

）A．2 B．3 C．4 D．68．如图，在平行四边形中，，．连接AC，过点B作，交DC的延长线于点E，连接AE，交BC于点F．若，则四边形ABEC的面积为（

）A． B． C．6 D．9．如图，矩形在矩形的内部，且，点，在对角线的异侧．连结，，，，若矩形矩形，且两个矩形的周长已知．只需要知道下列哪个值就一定可以求得四边形的面积（）A．矩形的面积 B．的度数C．四边形的周长 D．的长度10．如图，在矩形中，为中点，过点且，分别交于，交于，点是中点，，则下列结论正确的是（

）①；②；③是等边三角形；④A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①③④二、填空题11．矩形的判定定理包括：（1）___________的平行四边形是矩形；（2）____________的平行四边形是矩形；（3）____________的四边形是矩形．12．四边形中，交于O，给出条件①；②；③；④．其中能推得四边形是矩形的是（填序号）___________．13．如图，AB∥CD，∠A＝∠B＝90°，AB＝4cm，BC＝3cm，则AB与CD之间的距离为________．14．如图，在中，，D，E分别是边，的中点，将绕点E旋转得，则四边形的形状为______．

15．如图，△ABC的边BC长为4cm．将△ABC平移2cm得到△A′B′C′，且BB′⊥BC，则阴影部分的面积为______．16．如图，在中，，，D是上任意一点，分别作于E，于F．如果，那么________．17．如图，是等腰直角三角形，，，点是上的一个动点（点与点、不重合），过点分别作于点，于点，连接．（1）四边形的形状是______；（2）线段的最小值为______．18．如图，在矩形中，，，点分别是上的动点，点不与重合，且，点是五边形内点，，且．①当点为的中点时，_____________．②点到边距离为，则的取值范围为_____________．三、解答题19．如图，在平行四边形ABCD中，点P是AB边上一点（不与A，B重合），过点P作PQ⊥CP，交AD边于点Q，且∠QPA＝∠PCB．求证：四边形ABCD是矩形．20．如图，在平行四边形中，过点作于点点在边上，连接(1)求证：四边形是矩形；(2)若平分求四边形的面积．21．如图，四个内角的平分线围成四边形，猜想四边形的形状，并说明理由．22．如图，在平行四边形中，点是边的中点，连接并延长，交延长线于点，连接．(1)求证：四边形是平行四边形；(2)若，则当__________时，四边形是矩形（不用证明）23．如图，在菱形中，对角线和交于点O，分别过点B、C作，，与交于点E．(1)求证：四边形是矩形；(2)当，时，求的长．24．如图，菱形的对角线和交于点O，分别过点C、D作，，和交于点E．(1)判断四边形的形状并说明理由；(2)连接，交于点F，当时，求的长．25．如图，平行四边形ABCD的对角线交于点O，以OD，CD为邻边作平行四边形DOEC，OE交BC于点F，连接BE．(1)求证：F为BC中点．(2)若OB⊥AC，OF=1，求平行四边形ABCD的周长．26．如图，已知：如图，在四边形中，点在边的延长线上，平分，平分，交于点．

(1)求证：；(2)若点为的中点，求证：四边形是矩形．27．如图1，在中，，于点C，点E是的中点，连接并延长，使，连接．(1)求证：四边形是矩形．(2)如图2，点H为的中点，连接，若，，求四边形的面积．28．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，其中AD∥BC，AD＝BC，AC＝2OB，AE平分∠BAD交CD于点E，连接OE．(1)求证：四边形ABCD是矩形；(2)若∠OAE＝15°，①求证：DA＝DO＝DE；②直接写出∠DOE的度数．29．如图1，在平行四边形中，的平分线交直线于点E，交直线于点F．(1)当时，G是的中点，联结（如图2），请直接写出的度数______．(2)当时，，且，分别联结、（