北师大版八年级数学上册教案

北师大版八年级数学

上册教案

1.1、探索勾股定理（一）

教学目标

1、经历用数格子的办法探索勾股定理的过程，进一步发展学生的合

情推理意识，主动探究的习惯，进一步体会数学与现实生活的紧密联

系。

2、探索并理解直角三角形的三边之间的数量关系，进一步发展学

生的说理和简单推理的意识及能力。

重点、难点

重点：了解勾股定理的由来并能用它解决一些简单问题。

难点：勾股定理的发现。

教学过程

一、创设问题的情境，激发学生的学习热情：

我们知道，任意三角形的三条边必须满足定理：三角形的两边之

和大于第三边。对于等腰三角形和等边三角形的边，除满足三边关系

定理外，它们还分别存在着两边相等和三边相等的特殊关系。那么对

于直角三角形的边，除满足三边关系定理外，它们之间也存在着特殊

的关系，这就是我们这一节要研究的问题：勾股定理。出示投影1（章

前的图文P1）我国是最早了解勾股定理的国家之一介绍商高（三千

多年前周期数学家）。

出示投影2。（书中P2图1—2）并回答：

1、观察图1一2,正方形A中有个小方格，即A的面积为个

面积单位。

正方形B中有个小方格.即B的面积为个面积

单位。

正方形C中有个小方格，即C的面积为个

面积单位。

2、你是怎样得出上面结果的？在学生交流回答的基础上教师接着发

问。

3、图1一2中，A、B、C之间的面积之间有什么关系？

在学生交流后形成共识老师板书。A+B=C，接着提出图1—1中

A、B、C的关系呢？

二、做一做

出示投影3（书中P3图1一3,图1—4）

提问：1、图1一3中，A、B、C之间有什么关系？

2、图1一4中，A、B、C之间有什么关系？

3、从图1一1、1一2、1一3、1一4中你发现了什么？

在学生讨论、交流形成共识后，老师总结：

以直角三角形两直角边为边的正方形面积和，等于以斜边为边的正方

形面积。

三、议一议

1＞图1-1、1一2、1一3、1一4中，你能用三角边的边长表不正

方形的面积吗？

2、你能发现直角三角形三边长度之间的关系吗？在同学的交流基础

上，老师板书：

直角三角边的两直角边的平方和等于斜边的平方。这就是著名的“勾

股定理”。

也就是说：如果直角三角形的两直角边为a、b,斜边为co那么

“2+。2=

我国古代称直角三角形的较短的直角边为勾，较长的直角边为股，斜

边为弦，这就是勾股定理的由来.

3、分别以5厘米和12厘米为直角边作出一个直角三角形，并测量斜

边的长度（学生测量后回答斜边为13）请大家想一想（2）中的规律

对这个三角形仍然成立吗？（回答是肯定的：成立。）4,（想一想）：

这里的29英寸（74厘米）的申视机，指的是屏幕的长吗？指的屏幕

的宽吗？那它指的是什么呢？

四、巩固练习精选练习，掌握应用：

勾股定理的应用是本节教学的重点，一定要让学生熟练地掌握在直角

三角形中已知两边求第三边的方法，为此，可设计下列三组具有梯度

性的练习：

练习1（填空题）

已知在RtZiABC中，ZC=90°o

①若a=3,b=4,贝ijc=；

②若a=40,b=9,则c=；

③若a=6,c=10,则b=；

④若c=25,b=15,则a=。

练习2（填空题）

已知在RtZiABC中，ZC=90°,AB=10o

①若NA=30°,则BC=,AC=

②若NA=45。,则BO,AC=

练习3

已知等边三角形ABC的边长是6cm。求：

（1）高AD的长；

⑵AABC的面积S.c。

件12

五、作业

1、课本P6习题1.12、3、4

六、教学反思：本节内容重在探索与发现，要给充分的时间让学生讨

论与交流。适当的练习以巩固所学也是必要的，当然，这些内容还需

在后面的教学内容在加深加广。

1.1、探索勾股定理（二）

教学目标

1、经历运用拼图的方法说明勾股定理是正确的过程，在数学活动发

展学生的探究意识和合作交流的习惯

2、掌握勾股定理和它的简单应用。

重点难点

重点：能熟练应用拼图法证明勾股定理.

难点：用面积证勾股定理.

教学过程

一、创设问题情境，激发学生学习热情，导入课题

我们已经通过数格子的方法发现了直角三角形三边的关系，究竟是儿

个实例，是否具有普遍的意义，还需要加以论证，下面就是今天所要

研究的内容，下边请大家画四个全等的直角三角形，并把它剪下来，

用这四个直角三角形拼一拼、摆一摆，看看能否得到一个含有以斜边

c为边长的正方形，并与同学们交流。在同学操作的过程中，教师展

示投影1(书中P7图1—7)接着提问：大正方形的面积可表示为什

,,v2—cib-4+c-

么？同学们回答有两种可能：(1)3+3一(2)2

在同学交流形成共识后教师把这两种表示大正方形面积的式子用等

号连接起来。

(a+h)2=^ab-4+c2

请同学们对上式进行化简，得到：

a2+2ab+b2=2ab+c2g|Ja2+b2=c2

这就可以从理论上说明了勾股定理存在。

请同学们回去用别的拼图方法说明勾股定理。

二、讲解例题

例1、飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶正上方

4000米处，过了20秒，飞机距离这个男孩头顶5000米，飞机每时

飞行多少千米？

分析：根据题意，可以先画出符合题意的图形。如右c——7«

图，图中^ABC的NC=90°,AC=4000^,AB=5000/

米欲求飞机每时飞行多少千米，就要知道20秒时间里/

飞行的路程，即图中的CB的长，由于△ABC的斜边AB=5000米,

AC=4000米，这样BC就可以通过勾股定理得出，这里一定要注意

单位的换算。

解：由勾股定理得BC?=入炉—AC?=52-42=9（千米2）

即BC=3千米

飞机20秒飞行3千米.那么它1小时飞行的距离为：

答：飞机每小时飞行540千米。

三、议一议：展示投影2（书中图1—9）观察上图应用数格子方法判

断图中的三角形的三边长是否满足小=。2

同学在议论交流形成共识后，老师总结。

勾股定理存在于直角三角形中，不是直角三角形就不能使用勾股定

理。

四、作业1、课文P1习题1.21、20

1.2能得到直角三角形吗

教学目的

知识与技能：掌握直角三角形的判别条件，并能进行简单应用；

教学思考：进一步发展数感，增加对勾股数的直观体验，培养从实际

问题抽象出数学问题的能力，建立数学模型.

解决问题：会通过边长判断一个三角形是否是直角三角形，并会辨析

哪些问题应用哪个结论.

情感态度与价值观：

敢于面对数学学习中的困难，并有独立克服困难和运用知识解决问题

的成功经验，进一步体会数学的应用价值，发展运用数学的信心和能

力，初步形成积极参与数学活动的意识.

重点、难点

重点：探索并掌握直角三角形的判别条件。

难点：运用直角三角形判别条件解题

教学过程

一、创设情境，激发学生兴趣、导入课题

展示一根用13个等距的结把它分成等长的12段的绳子，请三个同

学上台，按老师的要求操作。

甲：同时握住绳子的第一个结和第十三个结。

乙：握住第四个结。丙：握住第八个结。

拉紧绳子，让一个同学用量角器，测出这三角形其中的最大角。

问：发现这个角是多少？（直角。）

展示投影1。（书P9图1—10）

教师道白：这是古埃及人曾经用过这种方法得到直角，这个三角形三

边长分别为多少？（3、4、5）,这三边满足了哪些条件？

（32+42=52）,是不是只有三边长为3、4、5的三角形才可以成为

直角三角形呢？现在请同学们做一做。

二、做一做

下面的三组数分别是一个三角形的三边a、b.co

5、12、137、24、258、15、17

1、这三组数都满足/+b2=,2吗？

同学们在运算、交流形成共识后，教师要学生完成。

2、分别用每组数为三边作三角形，用量角器量一量，它们都是直角

三角形吗？

同学们在在形成共识后板书：

如果三角形的三边长a、b、c满足1+/=。2,那么这个三角形是直

角三角形。

满足的三个正整数，称为勾股数。

大家可以想这样的勾股数是很多的。

今后我们可以利用“三角形三边a、b、c满足。2+/=/时，三角形

为直角形”来判断三角形的形状，同时也可以用来判定两条直线是否

垂直的方法。

三、讲解例题

例1一个零件的形状如图，按规定这个零件中NA与NBDC都应为

直角，工人师傅量得零件各边尺寸:AD=4,AB=3,DC=12,BC=13,

这个零件符合要求吗？

分析：要检验这个零件是否符合要求，只要判断4ADB和4DBC是

否为直角三角形，这样勾股定理的逆定理即可派上用场了。

解：在4ABD中，AB?+A》=3?+4?=9+16=25=8》

所以aABD为直角三角形ZA=90°

在4BDC中，

BD-+DC*1=52+122=25+144=169=13?=BC?

所以4BDC是直角三角形NCDB=90°

因此这个零件符合要求。

四、随堂练习：

1.下列几组数能否作为直角三角形的三边长？说说你的理由.

(1)9,12,15；(2)15,36,39；

⑶12,35,36；(4)12,18,22.

2.已知AABC中BC=41,AC=40,AB=9,则此三角形为

二角形，是最大角.

3.四边形ABCD中已知AB=3,BC=4,CD=12,DA=13,且N

ABC=90°,求这个四边形的面积.

13—

D

L

A3

4.习题1.3

五、读一读

PH勾股数组与费马大定理。1.直角三角形判定定理：如果三角

形的三边长a,b,c六、小结：

1、满足a?+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.

2、满足a?+b2=c2的三个正整数，称为勾股数.勾股数扩大相同

倍数后，仍为勾股数.

六、作业

1、课本P121.31、2、3o

教学反思：这是勾股定理的逆应用。大部分的同学只要能正确掌握勾

股定理的话，都不难理解。当然勾股定理的理解掌握是关键。

L3.蚂蚁怎样走最近

教学目标

教学知识点：能运用勾股定理及直角三角形的判别条件（即勾股定理

的逆定理）解决简单的实际问题.

能力训练要求：1.学会观察图形，勇于探索图形间的关系，培养学生

的空间观念.

2.在将实际问题抽象成儿何图形过程中，提高分析问题、解决问题的

能力及渗透数学建模的思想.

情感与价值观要求：1.通过有趣的问题提高学习数学的兴趣.

2.在解决实际问题的过程中，体验数学学习的实用性，体现人人都学

有用的数学.

教学重点难点：

重点：探索、发现给定事物中隐含的勾股定理及其逆及理，并用它们

解决生活实际问题.

难点：利用数学中的建模思想构造直角三角形，利用勾股定理及逆定

理，解决实际问题.

教学过程

1、创设问题情境，引入新课：

前儿节课我们学习了勾股定理，你还记得它有什么作用吗？

例如：欲登12米高的建筑物，为安全需要，需使梯子底端离建筑物

5米，至少需多长的梯子？

根据题意，（如图）AC是建筑物，贝UAC=12米，BC=5米，AB是梯子

的长度.所以在RtAABC中，AB2=AC2+BC2=122+52=132；AB=13米.

所以至少需13米长的梯子.

2、讲授新课：①、蚂蚁怎么走最近

1BS-

A

出示问题:有一个圆柱,它的高等于12厘米,底面半径等于3厘米.在

圆行柱的底面A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B

点处的食物，需要爬行的的最短路程是多少？(口的值取3).

(1)同学们可自己做一个圆柱，尝试从A点到B点沿圆柱的侧

面画出几条路线，你觉得哪条路线最短呢？(小组讨论)

(2)如图，将圆柱侧面剪开展开成一个长方形，从A点到B点

的最短路线是什么?你画对了吗？

(3)蚂蚁从A点出发，想吃到B点上的食物，它沿圆柱侧面爬

行的最短路程是多少？(学生分组讨论，公布结果)

我们知道，圆柱的侧面展开图是一长方形.好了，现在咱们就用剪刀

沿母线AA'将圆柱的侧面展开(如下图).

我们不难发现，刚才几位同学的走法:

⑴A-A'-B；(2)A-B‘一B；

(3)A-*D-*B；(4)A-->B.

哪条路线是最短呢？你画对了吗？

第(4)条路线最短.因为“两点之间的连线中线段最短”.

②、做一做：教材14页。李叔叔随身只带卷尺检测AD,BC是否与

底边AB垂直，也就是要检测ZDAB=90°,NCBA=90°.连结BD

或AC,也就是要检测4DAB和4CBA是否为直角三角形彳艮显然，

这是一个需用勾股定理的逆定理来解决的实际问题.

③、随堂练习

出示投影片

1.甲、乙两位探险者，到沙漠进行探险.某日早晨8：00甲先出发，他

以6千米/时的速度向东行走.1时后乙出发，他以5千米/时的速度向

北行进.上午10：00,甲、乙两人相距多远？

2.如图，有一个高1.5米，半径是1米的圆柱形油桶，在靠近边的地

方有一小孔，从孔中插入一铁棒，已知铁棒在油桶外的部分是0.5米,

问这根铁棒应有多长？

1.分析：首先我们需要根据题意将实际问题转化成数学模型.

解：（如图）根据题意，可知A是甲、乙的出发点，10：00时甲到达B

点、,则AB=2X6=12（千米）；乙到达C点，则AC=1X5=5（千米）.

在Rt^ABC中，BC2=AC2+AB2=52+122=169=132,所以BC=13千米.

即甲、乙两人相距13千米.

2.分析：从题意可知，没有告诉铁棒是如何插入油桶中，因而铁棒的

长是一个取值范围而不是固定的长度，所以铁棒最长时，是插入至底

部的A点处，铁棒最短时是垂直于底面时.

解：设伸入油桶中的长度为x米，则应求最长时和最短时的值.

(1)X2=1.52+22,X2=6.25,X=2.5

所以最长是2.5+0.5=3(米).

(2)x=1.5,最短是1.5+0.5=2(米).

答：这根铁棒的长应在2〜3米之间(包含2米、3米).

3.试一试(课本P15)

在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问

题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形.在水池

正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺.如果把这根芦苇垂直拉

向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面.请问这个水池的深度和这根

芦苇的长度各为多少？

我们可以将这个实际问题转化成数学模型.

解：如图，设水深为x尺，则芦苇长为(x+1)尺，由勾股尸七

定理可求得J/

x\Zc+1

(X+1)2=X2+52,X2+2X+1=X2+251/

解得x=12

则水池的深度为12尺，芦苇长13尺.

④、课时小结

这节课我们利用勾股定理和它的逆定理解决了生活中的儿个实际问

题.我们从中可以发现用数学知识解决这些实际问题，更为重要的是

将它们转化成数学模型.

⑤、课后作业

课本P14、习题6.4.

教学反思：这节的内容综合性比较强，可能有些同学掌握的不是太好。

第二章实数

2.1.数怎么又不够用了（一）

教学目标

（一）教学知识点

1.通过拼图活动，让学生感受无理数产生的实际背景和引入的必要性.

2.能判断给出的数是否为有理数；并能说出理由.

（二）能力训练要求

1.让学生亲自动手做拼图活动，感受无理数存在的必要性和合理性，

培养大家的动手能力和合作精神.

2.通过回顾有理数的有关知识，能正确地进行推理和判断，识别某些

数是否为有理数，训练他们的思维判断能力.

（三）情感与价值观要求

1.激励学生积极参与教学活动，提高大家学习数学的热情.

2.引导学生充分进行交流，讨论与探索等教学活动，培养他们的合作

与钻研精神.

3.了解有关无理数发现的知识，鼓励学生大胆质疑，培养他们为真理

而奋斗的献身精神.

教学重点

1.让学生经历无理数发现的过程.感知生活中确实存在着不同于有理

数的数.

2.会判断一个数是否为有理数.

教学难点

1.把两个边长为1的正方形拼成一个大正方形的动手操作过程.

2.判断一个数是否为有理数.

教具准备

有两个边长为1的正方形，剪刀.

投影片两张：

第一张：做一做（记作§2.1.1A）；

第二张：补充练习（记作§2.1.1B）.

教学过程

I.创设问题情境，引入新课：

［师］同学们，我们上了好多年的学，学过不计其数的数，概括起来我们

都学过哪些数呢？

［生］在小学我们学过自然数、小数、分数.

［生］在初一我们还学过负数.

［师］对，我们在小学学了非负数，在初一发现数不够用了，引入了

负数，即把从小学学过的正数、零扩充到有理数范围，有理数包括整

数和分数，那么有理数范围是否就能满足我们实际生活的需要呢？下

面我们就来共同研究这个问题.

n.讲授新课

1.问题的提出［师］请大家四个人为一组，拿出自己准备好的两个边

长为1的正方形和剪刀，认真讨论之后，动手剪一剪，拼一拼，设法

得到一个大的正方形，好吗？

［生］好.（学生非常高兴地投入活动中）.

［师］经过大家的共同努力，每个小组都完成了任务，请同学们把自

己拼的图展示一下.

同学们非常踊跃地呈现自己的作品给老师.

［师］现在我们一齐把大家的做法总结一下：

下面再请大家共同思考一个问题，假设拼成大正方形的边长为a,则

a应满足什么条件呢？

［生甲］a是正方形的边长，所以a肯定是正数.［生乙］因为两个小

正方形面积之和等于大正方形面积，所以根据正方形面积公式可知

a2=2.［生丙］由a2=2可判断a应是1点儿.［师］大家说得都有道理,

前面我们已经总结了有理数包括整数和分数，那么a是整数吗？a是

分数吗？请大家分组讨论后回答.

［生甲］我们组的结论是：因为12=1,22=4,32=9,…整数的平方

越来越大，所以a应在1和2之间，故a不可能是整数.

111224111

——X———--,——X-=—.-X———

［生乙］因为224339339…两个相同因数的乘积都为

分数，所以a不可能是分数.

［师］经过大家的讨论可知，在等式a2=2中，a既不是整数，也不

是分数，所以a不是有理数，但在现实生活中确实存在像a这样的数,

由此看来，数又不够用了.

2.做一做：投影片§2.1.1A

(1)在下图中，以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是多少？

(2)设该正方形的边长为b,则b应满足什么条件?

(3)b是有理数吗？

［师］请大家先回忆一下勾股定理的内容.

［生］在直角三角形中，若两条直角边长为a,b,斜边为c,则有

a2+b2=c2.

［师］在这个题中，两条直角边分别为1和2,斜边为b,根据勾股

定理得b2=l2+22,即b2=5,则b是有理数吗？请举手回答.

［生甲］因为22=4,32=9,4<5<9,所以b不可能是整数.

［生乙］没有两个相同的分数相乘得5,故b不可能是分数.

［生丙］因为没有一个整数或分数的平方为5,所以5不是有理数.

［师］大家分析得很准确，像上面讨论的数a,b都不是有理数，而

是另一类数——无理数.关于无理数的发现是发现者付出了昂贵的代

价的.早在公元前，古希腊数学家毕达哥拉斯认为万物皆“数”，即

“宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比”，也就是一切现象

都可用有理数去描述.后来，这个学派中的一个叫希伯索斯的成员发

现边长为1的正方形的对角线的长不能用整数或整数之比来表示，这

个发现动摇了毕达哥拉斯学派的信条，据说为此希伯索斯被投进了大

海，他为真理而献出了宝贵的生命，但真理是不可战胜的，后来古希

腊人终于正视了希伯索斯的发现.也就是我们前面谈过的a2=2中的a

不是有理数.

我们现在所学的知识都是前人给我们总结出来的，我们一方面应积极

地学习这些经验，另一方面我们也不能死搬教条，要大胆质疑，如不

这样科学就会永远停留在某处而不前进，要向古希腊的希伯索斯学

习，学习他为捍卫真理而勇于献身的精神.

III.课堂练习

（一）课本P25随堂练习

如图，正三角形ABC的边长为2,高为h,h可能是整数吗？可能是

分数吗？

A

解：由正三角形的性质可知BD=1,在RtaABD中，由勾股定理得

1?=3上不可能是整数，也不可能是分数.

IV.课时小结

1.通过拼图活动，让学生感受有理数又不够用了，经历无理数产生的

实际背景和引入的必要性.

2.能判断一个数是否为有理数.

V.课后作业

课本P49习题2.1

解：设长、宽分别为3、2的长方形的对角线长为a,得a2=32+22,

a2=13

a不可能是整数，也不可能是分数.

VI.活动与探究

下图是由16个边长为1的小正方形拼成的，任意连结这些小正方形

的若干个顶点，可得到一些线段，试分别找出两条长度是有理数的线

段和三条长度不是有理数的线段.

E

解：如图，AB=2,BE=1,AB、BE是有理数.

AD2=AB2+BD2=22+32=13,AC2=1+1=2.

AE2=AB2+BE2=22+12=5.

AC、AD、AE既不是整数，也不是分数，所以不是有理数.

板书设计：

§2.1.1数怎么又不够用了（一）

一、问题的提出（讨论az=2中的a既不是整数，也不是分数）

二、做一做（由勾股定理得b?=5,且b既不是整数，也不是分数）

三、练习

四、小结

五、作业

教学反思：无理数的引入是比较重要的，也渗透着估计数的大小的问

题，为后面教学内容做一个好的铺垫。

2.1、数怎么又不够用了（二）

教学目标：

（一）教学知识点

1.借助计算器探索无理数是无限不循环小数，并从中体会无限逼近的

思想.

2.会判断一个数是有理数还是无理数.

（二）能力训练要求

1.借助计算器进行估算，培养学生的估算能力，发展学生的抽象概括

能力，并在活动中进一步发展学生独立思考、合作交流的意识和能力.

2.探索无理数的定义，以及无理数与有理数的区别，并能辨别出一个

数是无理数还是有理数，训练大家的思维判断能力.

（三）情感与价值观要求

1.让学生理解估算的意义，掌握估算的方法，发展学生的数感和估算

能力.

2.充分调动学生的积极性，培养他们的合作精神，提高他们的辨识能

力.

教学重点：

1.无理数概念的探索过程.

2.用计算器进行无理数的估算.

3.了解无理数与有理数的区别，并能正确地进行判断.

教学难点：

1.无理数概念的建立及估算.

2.用所学定义正确判断所给数的属性.

教学过程：

I.创设问题情境，引入新课

［师］同学们，我们在上节课了解到有理数又不够用了，并且我

们还发现了一些数，如下=2/2=5中的a,b既不是整数，也不是分数,

那么它们究竟是什么数呢？本节课我们就来揭示它的真面目.

II.讲授新课

1.导入

［师］请看图

大家判断一下3个正方形的边长之间有怎样的大小关系？说说

你的理由.

［生］因为3个正方形的面积分别为1,2,4,而面积又等于边

长的平方，所以面积大的正方形边长就大.

［师］大家能不能判断一下面积为2的正方形的边长a的大致范

围呢？

［生］因为/大于1且H小于明所以。大致为1点儿.

［师］很好.a肯定比1大而比2小，可以表示为1VQV2.那么a

究竟是1点儿呢？请大家用计算器进行探索，首先确定十分位，十分

位究竟是儿呢？如1.12=1.21,1.22=1.44,1.32=1.69,1.42=1.96,

1.52=2.25,而d=2,故。应比1.4大且比1.5小,可以写成1.4VaV

1.5,所以Q是1点4几，即十分位上是4,请大家用同样的方法确定

百分位、千分位上的数字.请一位同学把自己的探索过程整理一下，

用表格的形式反映出来.

［生］我的探索过程如下.

边长a面积S

l<a<21<S<4

1.4<«<1.51.96<S<2.25

1.41<a<1.421.9881<S<2.0164

1.414<a<1.4151.999396VSV2.002225

1.4142<iz<1.41431.99996164<5<2.00024449

［师］还可以继续下去吗？

［生］可以.

［师］请大家继续探索，并判断。是有限小数吗？

［生］“=1.41421356…，还可以再继续进行，且a是一个无限不

循环小数.

［师］请大家用上面的方法估计面积为5的正方形的边长b的值.

边长。会不会算到某一位时，它的平方恰好等于5?请大家分组合作

后回答.（约4分钟）

［生:16=2.236067978…，还可以再继续进行，6也是一个无限不

循环小数.

2.无理数的定义

请大家把下列各数表示成小数.

3,±9,且,2,并看它们是有限小数还是无限小数，是循环小数

594511

还是不循环小数.大家可以每个小组计算一个数，这样可以节省时间.

［生］3=3.0,-=0.8,-=0.5,

59

8•2,•

—=0.17,—=1.818

4511

［生］3,士是有限小数，々色,工是无限循环小数.

594511

［师］上面这些数都是有理数，所以有理数总可以用有限小数或

无限循环小数表示.反过来，任何有限小数或无限循环小数都是有理

数.

像上面研究过的。2=2,/=5中的Q,b是无限不循环小数.

无限不循环小数叫无理数(irrationalnumber).

除上面的a,b外，圆周率7=3.14159265…也是一个无限不循环

小数，0.5858858885…(相邻两个5之间8的个数逐次加1)也是一个

无限不循环小数，它们都是无理数.

3.有理数与无理数的主要区别

(1)无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循环小

数.

(2)任何一个有理数都可以化为分数的形式，而无理数则不能.

4.例题讲解

下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？

3.14,0.57,0.1010010001…(相邻两个1之间0的个数逐

次加1).

III.课堂练习

(一)随堂练习下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？

0.4583,3.7,一冗,--,18.

7

(二)补充练习：①、判断题

(1)有理数与无理数的差都是有理数.

(2)无限小数都是无理数.

(3)无理数都是无限小数.

(4)两个无理数的和不一定是无理数.

②、下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？

2••

0.351,--,4.96,3.14159,-5.2323332—,123456789101112-

3

(由相继的正整数组成).

在下列每一个圈里，至少填入三个适当的数.

W.课时小结

本节课我们学习了以下内容.

1.用计算器进行无理数的估算.

2.无理数的定义.

3.判断一个数是无理数或有理数.

V.课后作业

1Ro习题22

VI.探究与活动

设面积为5"的圆的半径为a.

(1)。是有理数吗？说说你的理由.

(2)估计Q的值(精确到十分位，并利用计算器验证你的估计).

(3)如果精确到百分位呢？

解：％Q2=5JI

a2=5

(1)。不是有理数，因为。既不是整数，也不是分数，而是无限不

循环小数.

(2)估计a心22

(3)日224.

板书设计：

1、数怎么又不够用了(二)

一、导入

二、新课

1.无理数的定义

2.举例

三、练习

四、补充练习

五、课时小节

六、课后作业

教学反思：这节内容是无理数的概念以及实数的分类。是数的范围的

又一次扩充。是很重要的一节。培养学生的分类归纳的思想。但对概

念的理解掌握一些同学还是不很好。只能在以后的教学过程中不断的

加深。

2.2平方根(一)

教学目标：

（一）教学知识点

1.了解数的算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方

根.

2.了解求一个正数的算术平方根与平方是互逆的运算，会利用这

个互逆运算关系求某些非负数的算术平方根.

3.了解算术平方根的性质.

（二）能力训练要求

1.加强概念形成过程的教学，提高学生的思维水平.

2.鼓励学生进行探索和交流，培养他们的创新意识和合作精神.

（三）情感与价值观要求

1.让学生积极参与教学活动，培养他们对数学的好奇心和求知欲.

2.训练学生动脑、动口、动手能力.

教学重点：

了解算术平方根的概念、性质，会用根号表示一个正数的算术平

方根.

教学难点：

了解算术平方根的概念、性质.

教学过程：

I.新课导入

上节课我们学习了无理数、了解到无理数产生的实际背景和引入

的必要性，掌握了无理数的概念，知道有理数和无理数的区别是：有

理数是有限小数或无限循环小数，无理数是无限不循环小数.比如在

/=2中，2是有理数，而a是无理数.在前面我们学过若则a

叫x的平方，反过来x叫。的什么呢？本节课我们就来一起研究这个

问题.

II.讲授新课

［师］在讲新课之前，我们先回忆一下勾股定理，请同学们回答.

［生］勾股定理就是在直角三角形中两条直角边的平方和等于斜

边的平方.

［师］下面请大家根据勾股定量，结合图形完成填空.根据下图填空

［师］请大家思考后回答.

［生］无2=2,2=3幺2=4,卬2=5.

［师］请大家再分析一下，X,y,z,卬中哪些是有理数？哪些

是无理数？

［生］x,y,卬是无理数，z是有理数.

［师］为什么呢？

［生］因为没有任何整数或分数的平方等于2,3,5,所以九，y,

z不是有理数，而22=4,所以Z=2.

［师］这位同学分析得非常正确，那么大家能不能把上图中的%,

y,z,卬表示出来呢？请大家仔细看书后回答.

［生］x=V2,y=V3,2=V?,w=V5.

［师］若一个正数尤的平方等于Q，即％2=Q,则这个正数x就叫

做Q的算术平方根.记为读作“根号a”.这就是算术平方根的

定义特别地规定0的算术平方根是0,即而=0.

［师］下面我们根据算术平方根的定义求一些数的算术平方根.

［例1］求下列各数的算术平方根：

(1)900；(2)1；(3泻；(4)14.

解：(1)因为3()2=900,所以900的算术平方根是30,即丽=30；

(2)因为/勺，所以1的算术平方根是1,即"=1；

(3)因为(工)2=竺，所以竺的算术平方根是L,即但=工；

864648V648

(4)14的算术平方根是旧.

通过上面的例题，大家思考一下，我们在求算术平方根时是借助

于哪一种运算来求的？

［生］是通过平方来求的.

［师］对.由此我们可以看出一个正数的平方和求算术平方根是

互为逆运算.而且我们在例题中的步骤采取语言叙述和符号表示互相

补充的做法，目的是让大家明白算术平方根的概念，以及从计算中进

一步体会一个正数的平方和求算术平方根是互为逆运算.在以后的步

骤中可以简化.

［例2］自由下落的物体的高度〃（米）与下落时间M秒）的关系为

〃=4.9』.有一铁球从19.6米高的建筑物上自由下落，到达地面需要多

长时间？

解：将力=19.6代入公式/?=4.9『得

『=4,所以f=V？=2（秒）

即铁球到达地面需要2秒.

［师］下面大家再观察一下刚才咱们求出的算术平方根有什么特

点.

［生甲］算术平方根是整数或分数，即为有理数.

［生乙］不对，那、而是不是有理数？若是则是，分数还是整数？

［生丙］因为没有任何一个整数或分数的平方等于14,所以旧

不是有理数，而是无理数.

［师］大家的分析都有道理，我提示一下从符号方面考虑.

［生甲］噢，算术平方根是正数，堀叵，瓜瓜炉,2.

［生乙］不对，还有零呢.正数的算术平方根是正数，零的算术

平方根为零.

［师］非常正确，那负数的算术平方根是否为负数呢？若（一2）2=4.

则四=一2对吗？或者口=一2对吗？

［生甲］不对.因为算术平方根的定义是一个正数的x的平方等

于。，这个正数％就叫做Q的算术平方根，所以算术平方根不可能是

负数.

［师］由此看来，定义中的Q和X都为正数，即算术平方根是非

负数，负数没有算术平方根.用式子表示为右(“NO)为非负数，这是

算术平方根的性质.

III.课堂练习

(一)P32随堂练习1、2题.

(二)补充练习.一、填空题

1.若一个数的算术平方根是石，则这个数是.

2：的算术平方根是

3.正数的平方为学,q的算术平方根为

4.(—1.44)2的算术平方根为.

5.风的算术平方根为,70^4=

二、求下列各数的算术平方根，并用符号表示出来：

(1)(7.4)2；(2)(—3.9)2；(3)2.25；(4)2；

4

IV.课时小结

本节课学习了算术平方根的概念，理解了求一个正数的平方和求

算术平方根是互为逆运算，求一个非零数的算术平方根，以及算术平

方根的性质，即算术平方根是非负数.

V.课后作业

P33习题1、3.

VI.活动与探究

1.一个正方形的面积变为原来的n倍时，它的边长变为原来的多

少倍？

2.一个正方形的面积为原来的100倍时，它的边长变为原来的多

少倍？

解：设原来的正方形边长为Q,面积为&,后来的正方形面积为

S小

l.S]=a\S^ncT（Vnof

二.后来的边长（〃。）为原来边长的品倍.

22

2.S]=/,S2=100a=（10a）

二.后来的边长10a为原来边长的10倍.

板书设计：

一、算术平方根的定义算术平方根的性质

二、举例

三、练习

四、作业

教学反思：

2.2平方根（二）

教学目标：

（一）教学知识点

1.了解平方根的概念、开平方的概念.

2.明确算术平方根与平方根的区别与联系.

3.进一步明确平方与开方是互为逆运算.

（二）能力训练要求

1.加强概念形成过程的教学，让学生不仅掌握概念，而且知晓它

的理论数据.

2.提倡学生进行自学，并能与同学互相交流与合作，变学会知识

为会学知识.

3.培养学生的求同和求异思维，能从相似的事物中观察到PX们

的共同点和不同点.

（三）情感与价值观要求

通过学生在学习中互相帮助、相互合作，并能对不同概念进行区

分，培养大家的团队精神，以及认真仔细的学习态度，为学生将来走

上社会而做准备，使他们能在工作中保持严谨的态度，正确处理好人

际关系，成为各方面的佼佼者.

教学重点：

1.了解平方根、开平方的概念.

2.了解开方与乘方是互逆的运算，会利用这个互逆运算关系求某

些非负数的算术平方根和平方根.

3.了解平方根与算术平方根的区别与联系.

教学难点：

1.平方根与算术平方根的区别与联系.

2.负数没有平方根，即负数不能进行开平方运算的原因.

教学方法：

讨论比较法.

即主要靠大家讨论得出结论，同时对相似的概念进行比较.这样

不仅能正确区分这些概念，还能使学生学得更扎实.

教学过程：

I.创设问题情境，引入新课

上节课我们学习了算术平方根的概念，性质.知道若一个正数％

的平方等于。，即X2=Q.则无叫。的算术平方根，记作户右，而且几

也是非负数，比如正数22=4,则2叫4的算术平方根，4叫2的平方,

但是(一2)2=4,则一2叫4的什么根呢？下面我们就来讨论这个问题.

II.讲授新课

1.平方根、开平方的概念

［师］请大家先思考两个问题.

(1)9的算术平方根是3,也就是说，3的平方是9,还有其他的

数，它的平方也是9吗？

(2)平方等于1的数有几个？平方等于0.64的数呢？

［生］一3的平方也是9.

为勺平方是金,一］的平方也是空,即平方等于金的数有两个.

52552525

［生］平方等于9的数有两个，平方等于色的数有两个，由此

25

可知平方等于0.64的数也有两个.

［师］根据上一节课的内容，我们知道了是9的算术平方根，|

是上的算术平方根，那么一3,—2叫9、汽的什么根呢？请大家认

25525

真看书后回答.

［生］—3,—2分别叫9、金的平方根.

525

［师］那是不是说3叫9的算术平方根，一3也叫9的算术平方

根，即9的算术平方根有一个是3,另一个是一3呢？

［生］不对.根据平方根的定义，一般地，如果一个数％的平方

等于Q,即那么这个％就叫。的平方根(squareroot),也叫二次

方根，3和一3的平方都等于9,由定义可知3和一3都是9的平方根,

即9的平方根有两个3和一3,9的算术平方根只有一个是3.

［师］由平方根和算术平方根的定义，大家能否找出它们有什么

相同和不同之处呢？请分小组讨论后选代表回答.

［生］平方根的定义中是有一个数x的平方等于则x叫。的

平方根，％没有肯定是正数还是负数或零；而算术平方根的定义中是

有一个正数x的平方等于则x叫Q的算术平方根，这里的％只能

是正数.由此看来都有这是它们的相同之处，而x的要求不同,

这是它们的不同之处.

［师］这位同学分析判断能力特棒，下面我再详细作一总结.

平方根与算术平方根的联系与区别

联系：(1)具有包含关系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平

方根的一种.

(2)存在条件相同：平方根和算术平方根都是只有非负数才有.(3)0的

平方根，算术平方根都是0.

区别：

(1)定义不同：“如果一个数的平方等于a,这个数就叫做a的平方根”;

“非负数。的非负平方根叫。的算术平方根”.

(2)个数不同：一个正数有两个平方根，而一个正数的算术平方根只

有一个.

(3)表示法不同：正数。的平方根表示为土正数。的算术平方根

表示为6.

(4)取值范围不同：正数的平方根一正一负，互为相反数；正数的算

术平方根只有一个.

［师］什么叫开平方呢？

［生］求一个数a的平方根的运算，叫开平方(eWactio/i4必"。%

roof),其中Q叫被开方数.

［师］我们共学了儿种运算呢，这儿种运算之间有怎样的联系

呢？请大家讨论后回答.

［生］我们共学了加、减、乘、除、乘方、开方六种运算.加与

减互为逆运算，乘与除互为逆运算，乘方与开方互为逆运算.

2.平方根的性质

［师］请大家思考以下问题.

(1)一个正数有儿个平方根.

(2)0有几个平方根？

(3)负数呢？

［生］第一个问题在前面已作过讨论，一个正数9有两个平方根

3和一3；

因为只有零的平方为零，所以0有一个平方根是零.

因为任何数的平方都不是负数，所以负数没有平方根，例如一3

没有平方根.

［师］太精彩了.一个正数有两个平方根，且它们互为相反数；0

有一个平方根是0,负数没有平方根.

3.讲解例题

［例］求下列各数的平方根.

⑴64；(2)鲁；(3)0.0004；(4)(—25p(5)11

4木目—•木目

⑴(痫)2等于多少？(端了等于多少?

(2)(阮了等于多少？

⑶对于正数。，(右)2等于多少？

HL课堂练习

(一)随堂练习

1.求下列各数的平方根

1.44,0,8,—,441,196,10-4

49

2.填空

(1)25的平方根是；

(2)7(-5)2=;

⑶(彩卢_________.

(二)补充练习1.判断下列各数是否有平方根？并说明理由.

2

(1)(一3尸；(2)0；(3)-0.01；(4)—5?；(5)_q2；^a-2a+2

2.求下列各数的平方根.

(1)121;(2)0.01；(3)2]；(4)(—13)2；(5)-(-4)3

y

W.课时小结

本节课学了如下内容.

1.平方根的概念.

2.平方根的性质.

3.平方根与算术平方根的区别与联系.

4.求某些非负数的算术平方根和平方根.

V.课后作业

习题24

VI.活动与探究

1.对于任意数a,J滔一定等于Q吗？

2.瓜中的被开方数a在什么情况下有意义，(石了等于什么？

解：因为任意数的平方都是非负数，也就是非负数才有平方根,

所以被开方数。必须是正数或零，即非负数时有意义.

所以(石)2=a(aNO)

板书设计：

§2.2.2平方根(二)

一、平方根的定义；

平方根的性质；

平方根与算术；

平方根的区别与联系.

二、例题讲解

三、练习

四、小结

五、作业

教学反思：这节主要是算术平方根与平方根的区别与联系，其中表示

方法，求式子的值都是很容易混淆的。大部分的学生还是能勉强的掌

握。但还是要在以后的教学过程中再多让学生分清他们。

2.3立方根

教学目标：

（一）教学知识点

1.了解立方根的概念，会用根号表示一个数的立方根.

2.能用立方运算求某些数的立方根，了解开立方与立方互为逆运

算.

3.了解立方根的性质.

4.区分立方根与平方根的不同.

（二）能力训练要求

1.在学了平方根的基础上，要求学生能用类比的方法学习立方根

的有关知识，领会类比思想.

2.发展学生的求同求异思维，使他们能在复杂环境中明辨是非.

（三）情感与价值观要求

当今社会是科学飞速发展、信息千变万化的时代，每一个人都不

可能把一生中要接触的知识全部学会，因此让他们会学知识比学会知

识更重要，这就要从小培养良好的学习习惯，能自己解决的问题就自

己解决，其中类比的学习方法就是一种重要的学习方法，本节课重点

训练学生的类比思想的养成.

教学重点：

立方根的概念.

教学难点：

1.正确理解立方根的概念.

2.会求一个数的立方根.

3.区分立方根与平方根的不同之处.

教学方法：

类比学习法.

教学过程：

I.新课导入

上节课我们学习了平方根的定义，若则％叫。的平方根，

即X=±yfa.

若正方体的棱长为Q,体积为8,根据正方体体积的公式得。3=8,

那Q叫8的什么呢？本节课请大家根据上节课的内容自己来类推出结

论，若则x叫a的什么呢？

II.新课讲解

1.请大家先回忆平方根的定义.下面大家能不能再根据平方根的

写法来类推立方根的记法呢?

.若％的平方等于a,则无叫a的平方根，记作x=±Va,读作x

等于正、负二次根号Q,简称为无等于正，负根号a.若％的立方等于

a,则％叫Q的立方根，记作尸士右，读作x等于正、负三次根号Q,

简称％等于正、负根号

［师］请大家对这位同学的回答展开讨论，小组总结后选代表发

言.

［生甲］我认为这位同学回答得不对.如果f=Q,则X=±&,?=«

时一，产土石也成立的话，那如何区分平方根与立方根呢？

［生乙］因为乘方与开方是互为逆运算，求立方根可通过逆运算

立方来求，如Y=8,因为2^=8,所以％=2,只有一个根而不是±2,

所以立方根的个数不正确.

［师］大家的分析非常有道理，请认真看书第13、14页可知，

若一个数％的立方等于a,即d=a,那么这个数x就叫做。的立方根

(cuberoot；也叫三次方根)如2是8的立方根，记为x=\［a,读作尤等

于三次根号a.

开立方的定义

［师］大家先回忆开平方的定义，再类推开立方的定义.

［生］求一个数Q的平方根的运算，叫做开平方，则求一个数a

的立方根的运算，叫做开立方，其中Q叫做被开方数.

(2)立方根的性质

［师］2的立方等于多少？是否有其他的数，它的立方也是8?

［生］2的立方等于8,(—2)3=—8,所以没有其他的数的立方等

于8.

［师］-3的立方等于多少？是否有其他的数，它的立方也是一

27?

［生］—3的立方等于一27,33=27,所以没有其他的数的立方等

于一27.

［师］0的立方等于多少？。有儿个立方根？

［生］0的立方等于0,0有1个立方根是0.

［师］从刚才的讨论中，大家总结一下正数有几个立方根？0有

儿个立方根？负数有儿个立方根？

［生］正数有一个立方根，0有一"1、立方根是0,负数有一个立

方根.

［师］对.正数有一个正的立方根、负数有一个负的立方根，0的

立方根有一个，是0.

(3)平方根与立方根的区别与联系.

［师］我们已经学习了平方根与立方根的定义，并会求某些数的

平方根和立方根，下面请大家说说它们的联系与区别.

［生］从定义来看，若一个数x的平方等于即则％叫

Q的平方根；若一个数无的立方等于Q,即％3=Q,则％叫Q的立方根,

都是一个数％的乘方等于Q,但一个是平方，另一个是立方.

［生］一个正数的平方根有两个，一个负数没有平方根，零的平

方根有一个是零；一个正数的立方根有一个，并且是正数，一个负数

有一个负的立方根，零的立方根有一个是零.

［生］它们的表示方法和读法不同，一个正数Q的平方根表示为

±y/a,立方根表示为我.

下面我再系统地总结一下：

平方根与立方根的联系与区别.

联系：

(1)0的平方根、立方根都有一个是0.

(2)平方根、立方根都是开方的结果.

区别：

(1)定义不同：“如果一个数的平方等于a,这个数就叫做a的平方根”;

“如果一个数的立方等于这个数就叫做Q的立方根

(2)个数不同：一个正数有两个平方根，一个正数有一个立方根；一

个负数没有平方根，一个负数有一个立方根.

(3)表示法不同

正数。的平方根表示为士及，。的立方根表示为VL

(4)被开方数的取值范围不同

±&中的被开方数Q是非负数；中的被开方数可以是任何数.

2.例题讲解

［例1］求下列各数的立方根：

(1)-27；(2)备(3)0.216；(4)-5.

［师］请大家思考下列问题.

始表示。的立方根，贝I(后另等于什么？叱等于什么？

大家可以先举例后找规律.：函)3=置

又•••/是a的立方，所以a?的立方根就是a,所以行=。.下面就

这两个式子进行练习.

［例2］求下列各式的值：

(1)口；(2)<064；(3)-^；(4)(V9)3

m.课堂练习

（一）随堂练习

1.求下列各式的值:

^0A25;^64-,^-(^6)3.

2.一个正方体，它的体积是棱长为3厘米的正方体体积的8倍,

这个正方体的棱长是多少?

解：设正方体的棱长是x厘米，得

（二）补充练习1.求下列各数的立方根:

0,1,-—,6,-—,0.001

811000

2.求下列各式的值：

V0.027;

3.下列说法对不对？

—4没有立方根；1的立方根是±1；上的立方根是J；—5的立方根

366

是一套；64的算术平方根是

IV•议一议

1.某化工厂使用一种球形储气罐储藏气体.现在要造一个新的球

形储气罐，如果它的体积是原来的8倍，那么它的半径是原储气罐半

径的多少倍？

2.一个正方体的体积变为原来的〃倍，它的棱长变为原来的多少

倍？

解：设原正方体的棱长为后来的正方体的棱长为b,得

nai=h3

b—必/〃=ifna.

即后来的棱长变为原来