概率论与数理统计（慕课版第2版） 教案全套 张天德 第1-7章 随机事件与概率- 假设检验

概率论与数理统计教学教案第1章随机事件与概率授课序号01教学基本指标教学课题第1章第1节随机事件课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点样本空间、随机事件、事件的关系与运算教学难点事件的关系与运算参考教材作业布置课后习题大纲要求了解样本空间的概念，理解随机事件的概念，掌握事件的关系与运算。教学基本内容一．随机试验与样本空间1随机试验:（1）可以在相同的条件下重复进行；（2）每次试验的可能结果不止一个，但能事先明确试验的所有可能结果；（3）进行一次试验之前不能确定哪一个结果将会出现.在概率论中，把具有以上三个特点的试验称为随机试验，简称试验，记为E.2样本空间:对于随机试验，虽然在试验前不能确定哪一个结果将会出现，但能事先明确试验的所有可能结果，我们将随机试验E的所有可能结果组成的集合称为E的样本空间,记为S.样本空间的元素,即试验E的每一个结果，称为样本点.二．随机事件1．随机事件：在一次试验中可能出现也可能不出现的结果，统称随机事件，简称事件，记作.2．随机事件的类型：（1）必然事件.每次试验中都发生的事件称为必然事件，必然事件可以用样本空间S表示；（2）不可能事件.在每次试验中都不发生的事件称为不可能事件，不可能事件可以用空集表示；（3）基本事件.每次试验中出现的基本结果（样本点）称为基本事件，基本事件可以用一个样本点表示；（4）复合事件.含有两个及两个以上样本点的事件称为复合事件.3．两点说明：（1）在一次试验中，当且仅当这一子集中的一个样本点出现时，称这一事件发生;（2）严格来讲必然事件与不可能事件反映了确定性现象，可以说它们不是随机事件，但为了研究问题的方便，我们把它们作为特殊的随机事件.三．随机事件的关系与运算1．事件的关系（1）若，则称事件A是事件的子事件，表示事件发生必然导致事件发生.（2）若,且，则称事件与事件相等.（3）事件称为事件与事件B的和事件，表示A，B中至少一个发生.（4）称的和事件，（5）事件称为事件与事件的积事件，表示A，B同时发生，一般简写为.（6）称为个事件的积事件，称为可列个事件的积事件（7）事件称为事件与事件的差事件，表示发生且不发生.（8）若称为事件与事件是互不相容或互斥的，表示事件与事件B不能同时发生.（8）若且，称事件与事件互为逆事件，或称事件与事件互为对立事件，即事件,中必有一个发生，且仅有一个发生，A的对立事件记作，即.2．事件间的运算律：设为事件，则有（1）交换律:,.（2）结合律:,.（3）分配律:(4)德.摩根律:.例1.设A，B，C分别表示第1，2，3个产品为次品，用A，B，C的运算可表示下列各事件：（1）至少有一个次品;（2）没有次品;（3）恰有一个次品;（4）至少有两个次品;（5）至多有两个次品（考虑其对立事件）.

授课序号02教学基本指标教学课题第1章第2节概率课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点概率的概念，概率的基本性质，古典型概率，概率的加法公式教学难点古典型概率，概率的加法公式参考教材作业布置课后习题大纲要求理解概率的概念，掌握概率的基本性质，会计算古典型概率，掌握概率的加法公式。教学基本内容一．频率与概率1．频率：在相同条件下，进行了n次试验，在这n次试验中，事件A发生的次数称为事件A发生的频数，比值称为事件发生的频率，记作.2.频率的性质：设A是随机试验E的任一事件，则频率具有性质：（1）（2）;（3）若是两两互不相容的事件，则事件发生的频率大小表示其发生的频繁程度.频率大,事件发生就越频繁,这表示事件在一次试验中发生的可能性就越大，反之亦然.3．频率的稳定性由于频率是依赖于试验结果的，而试验结果的出现具有一定的随机性，因而频率具有随机波动性,即使对于同样的n,所得的频率不一定相同;另一方面大量试验证实,当重复试验的次数n逐渐增大时,频率逐渐稳定于某个常数.4.概率的统计定义：随机事件A在大量重复试验（观测）中，即n→∞时，其频率稳定在某一常数上，这一常数称为随机事件A的概率，记作P(A).二．古典概率与几何概率1.古典概率（1）（概率的古典定义）设试验的样本空间S包含n个样本点，且每个样本点出现的可能性相同，若事件A包含k个样本点，则事件A的概率为.2.排列与组合有关公式（1）加法原理：设完成一件事有m种方式，其中第一种方式有种方法，第二种方式有种方法，……,第m种方式有种方法，无论通过哪种方法都可以完成这件事，则完成这件事的方法总数为.（2）乘法原理：设完成一件事有m个步骤,其中第一个步骤有种方法，第二个步骤有种方法，……，第m个步骤有种方法；完成该件事必须通过每一步骤才算完成，则完成这件事的方法总数为.（3）排列公式：从n个不同元素中任取k个元素的不同排列总数为.（4）组合公式：从n个不同元素中任取k个元素的不同组合总数为.3．几何概率：设样本空间是平面上某个区域,它的面积记为，点落入内任何部分区域A的可能性只与区域A的面积成比例,而与区域A的位置和形状无关，该点落在区域A的事件仍记为A，则事件A的概率为.三．概率的定义与性质1概率的公理化定义：设是随机试验，是它的样本空间，对于的每一事件赋予一个实数，记为，如果满足以下条件：;有，则称为事件的概率.2．概率的运算性质（1）（2）是两两互不相容事件,则有P(A1（3）对于任意两个事件，有，特别地，若，则有，因而有.（4）对于任意两个事件，（5）设为任意三个事件，则有.（6）对于任意事件A，.四．例题讲解例1.箱中放有个外形一样的手机充电器（不含充电线），其中a个充电器具有快充功能，其余b个没有快充功能，个人依次在箱中取一个充电器，(1)作放回抽样（每次抽取后记录结果，然后放回）;(2)作不放回抽样（抽取后不再放回）；求第人取到具有快充功能的充电器（记为事件A）的概率.例2.设有件产品，其中有M件次品，今从中任取n件，问其中恰有件次品的概率是多少？例3.货架上有外观相同的商品15件，其中12件来自甲产地，3件来自乙产地.现从货架上随机抽取两件，求这两件商品来自同一产地的概率.例4.某接待站在某一周曾接待过12次来访,已知所有这12次接待都是在周二和周四进行的,问是否可以推断接待时间是有规定的?例5.某福利彩票游戏规则：购买者从01-35共35个号码中选取7个号码作为一注进行投注，7个号码中6个为基本号码另外1个号码为特别号码，每注彩票2元，每期销售彩票总金额的50%用来作为奖金.奖项设置为一等奖：选7中6+1（不考虑基本号码的顺序）；二等奖：选7中6；三等奖：选7中5+1；四等奖：选7中5；五等奖：选7中4+1；六等奖：选7中4；七等奖：选7中3+1.试计算单注中奖概率.例1.10假设每个人的生日随机分布在365天中的某一天，在有n（n<365）个人的班级里，生日各不相同（记为事件A）的概率为多少？存在至少两人生日在同一天（记为事件B）的概率为多少？例6.某人午觉醒来，发觉表停了,他打开收音机，想听电台报时,设电台每正点时报时一次,求他等待时间短于10分钟的概率.例7.（会面问题)某销人员和客户相约7点到8点之间在某地会面,先到者等候另一人半个小时,过时就离开.如果每个人可在指定的一小时内任意时刻到达,试计算二人能够会面的概率.例8.对某高校学生移动支付使用情况进行调查，使用支付宝的用户占45%，使用微信支付的用户占35%，同时使用两种移动支付的占10%.求至少使用一种移动支付的概率和只使用一种移动支付的概率.例9．A，B是两个事件，已知，，求.

授课序号03教学基本指标教学课题第1章第3节条件概率课的类型复习、新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点条件概率、乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式教学难点条件概率，乘法公式、全概率公式，贝叶斯公式参考教材作业布置课后习题大纲要求理解条件概率的概念，掌握乘法公式、全概率公式，以及贝叶斯公式。教学基本内容一．条件概率与乘法公式1．条件概率（1）设A，B是两个事件，称为事件发生的条件下事件发生的条件概率.（2）称为事件发生的条件下事件发生的条件概率.2．条件概率的性质：（1）非负性:对于每一事件，有；（2）规范性:对于必然事件，有；（3）可列可加性:设是两两互不相容事件，则有；（4）；；.两点说明：计算条件概率的方法:（1）在缩减的样本空间A中求事件B的概率，就得到；（2）在样本空间S中，先求事件和，再按定义计算.3．乘法公式：，.推广：（）个事件，且则有.二．全概率公式与贝叶斯公式1.样本空间的划分：设为试验的样本空间，为的一组事件，若则称为样本空间的一个划分，或完备事件组.2．全概率公式定理：设试验的样本空间为，为的事件，为样本空间的一个划分，且，，则.全概率公式的主要用处在于它可以将一个复杂事件的概率计算问题，分解为若干个简单事件的概率计算问题，最后应用概率的可加性求出最终结果.3．贝叶斯公式定理：设试验E的样本空间为S，A为E的事件，为样本空间的一个划分，且,，则三．例题讲解例1．某工厂有职工400名，其中男女职工各占一半，男女职工中技术优秀的分别为20人和40人，从中任选一名职工，计算（1）该职工技术优秀的概率；（2）已知选出的是男职工，他技术优秀的概率.例2．在全部产品中有4%是废品，有72%为一等品.现从其中任取一件，发现是合格品，求它是一等品的概率.例3．某杂志包含三个栏目“艺术”（记为事件A）、“图书”（记为事件B）、“电影”（记为事件C），调查读者的阅读习惯有如下结果:，试求：.例4．为了防止意外，在矿内同时装有两种报警系统(Ⅰ)和(Ⅱ)，每种系统单独使用时，系统(Ⅰ)和系统(Ⅱ)的有效概率分别为0.92和0.93，在系统(Ⅰ)失灵的情况下，系统(Ⅱ)仍有效的概率为0.85，求两个报警系统至少有一个有效的概率.例5．（传染病模型）设袋中装有只红球，只白球，每次自袋中任取一只球,观察其颜色然后放回，并再放入a只与所取出的那只球同色的球.若在袋中连续取球四次,试求第一、二次取到红球且第三、四次取到白球的概率.例6．有一批同一型号的产品，已知其中由一厂生产的占20%，二厂生产的占70%，三厂生产的占10%，又知这三个厂的产品次品率分别为2%,1%,3%,问从这批产品中任取一件是次品的概率是多少?例7．设某人有三个不同的电子邮件账户，有70%的邮件进入账户1,另有20%的邮件进入账户2，其余10%的邮件进入账户3.根据以往经验，三个账户垃圾邮件的比例分别为1%，2%,5%,问某天随机收到的一封邮件为垃圾邮件的概率.例8．对以往数据分析结果表明,当机器调整良好时,产品的合格率为98%,而当机器发生某种故障时,其合格率为55%.每天早上机器开动时,机器调整良好的概率为95%.已知某日早上第一件产品是合格品时,试求机器调整良好的概率.例9.某机器由A、B、C三类元件构成，其所占比例分别为0.1，0.4，0.5，且其发生故障的概率分别为0.7，0.1，0.2.现机器发生了故障，问应从哪类元件开始检查？

授课序号04教学基本指标教学课题第1章第4节事件的独立性课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点事件的独立性的概念、用事件独立性进行概率计算、独立重复试验的概念教学难点用事件独立性进行概率计算参考教材作业布置课后习题大纲要求理解事件的独立性的概念，掌握用事件独立性进行概率计算；理解独立重复试验的概念，掌握计算有关事件概率的方法。教学基本内容一.事件的独立性1．两个事件的独立性：设是两事件，如果满足等式，则称事件相互独立，简称独立.注：事件与事件相互独立，是指事件发生的概率与事件发生的概率互不影响；反之，若事件发生的概率与事件发生的概率互不影响，则事件与事件相互独立.2.事件独立性的性质性质1.设，是两事件，且，相互独立，则.性质2.若事件与事件相互独立，则也相互独立.3.有限个事件的独立性：设是个事件，如果对于其中任意，任意的，具有等式则称是相互独立事件.4.三个事件相互独立：设，，是三个事件，如果满足，，，，则称事件,,相互独立.注：（1）个事件相互独立，则其中任意两个事件相互独立，即两两独立，反之不成立.（2）若事件相互独立，则其中任意个事件也相互独立.（3）若个事件相互独立，则将任意多个事件换成它们各自的对立事件，所得的个事件也相互独立.5．若事件相互独立，则有6．独立性在系统可靠性中的应用对于一个元件，它能正常工作的概率称为元件的可靠性.对于一个系统，它能正常工作的概率称为系统的可靠性.二．独立重复试验1.重伯努利（Bernoulli）试验：（1）在相同的条件下进行次重复试验，且各次试验结果发生的可能性不受其他各次试验结果的影响，也即这次试验相互独立；（2）每次试验都仅考虑两个可能结果：事件和事件，且在每次试验中都有，．2.定理：设在一次试验中事件A发生的概率为，则在重伯努利试验中，事件恰好发生了次的概率为，，.三．例题讲解例1.设互不相容，若，问是否相互独立？例2.设随机事件A与B相互独立，A与C相互独立,,若,求.例3.甲、乙、丙三人独立破译一份密码，设甲的成功率为0.4，乙的成功率为0.3，丙的成功率为0.2，求密码被破译的概率.例1.26加工某一零件共需经过7道工序,每道工序的次品率都是5%，假定各道工序是互不影响的,求加工出来的零件的次品率.例4.来看四个独立工作的元件组成的系统的可靠性，设每个元件的可靠性均为p，分别按图1.4的两种方式组成系统（分别记为S1和S2），求两种组合方式的可靠性.图1.4系统S1（左图）和系统S2（右图）例5.某店内有4名售货员，根据经验每名售货员平均在1小时内用秤15分钟．问该店配置几台秤较为合理．概率论与数理统计教学教案第2章随机变量及其分布授课序号01教学基本指标教学课题第2章第1节随机变量与分布函数课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点随机变量及其概率分布的概念、分布函数的概念及性质与计算。教学难点分布函数的求法参考教材作业布置课后习题大纲要求理解随机变量及其概率分布的概念。理解分布函数的概念及性质。会计算与随机变量有关的事件的概率。教学基本内容一．随机变量1.随机变量：设E是随机试验，样本空间为S，如果对随机试验的每一个结果，都有一个实数与之对应，那么把这个定义在S上的单值实值函数称为随机变量．随机变量一般用大写字母,…表示．2.随机变量的两种常见类型:离散型随机变量和连续型随机变量.二．分布函数1.分布函数：设X是一个随机变量，是任意实数，称函数为随机变量X的分布函数，显然，是一个定义在实数域R上，取值于[0,1]的函数．2．几何意义：在数轴上，将X看成随机点的坐标，则分布函数表示随机点X落在阴影部分（即）内的概率，如下图．3．对任意的实数，都有：,.4．分布函数的性质：（1）单调性：分布函数是单调不减的，即若，则；（2）有界性：，且，（3）右连续性：．说明：分布函数一定具有这三个基本性质；反过来，任意一个满足这三个基本性质的函数，一定可以作为某个随机变量的分布函数．因此，这三个基本性质成为判别一个函数是否能成为分布函数的充要条件.三．例题讲解例1.通过某公交站牌的汽车每10分钟一辆，随机变量X为乘客的候车时间，其分布函数为：求：（1）；（2）；（3）.例2．设随机变量X的分布函数为求常数a，b，c的值？例3．在半径为R，球心为O的球内任取一点P，令X为OP的长度，求X的分布函数．

授课序号02教学基本指标教学课题第2章第2节离散型随机变量课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点离散型随机变量及其概率分布的概念，０－１分布、二项分布、超几何分布、泊松分布及其应用。教学难点０－１分布、二项分布、超几何分布、泊松分布及其应用。参考教材作业布置课后习题大纲要求理解离散型随机变量及其概率分布的概念，掌握０－１分布、二项分布、超几何分布、泊松（Poisson）分布及其应用。教学基本内容一．离散型随机变量及其概率分布1．离散型随机变量：若随机变量X所有可能的取值为有限个或者可列个，则称这样的随机变量为离散型随机变量．2．随机变量的概率分布：设X为离散型随机变量，X所有可能的取值为，称为随机变量X的概率分布，也称为分布律或分布列．概率分布也可以用表格的形式表示：…………或者记为：3．离散型随机变量概率分布的性质：（1）非负性：（2）正则性：4．离散型随机变量的分布函数：若离散型随机变量X的分布律为，则X的分布函数为即分布函数是分布律在一定范围内的累积．二．常用的离散型随机变量1.（0-1）分布（1）（0-1）分布：若随机变量X只有两个可能的取值0和1，其分布律为，则称X服从以p为参数的（0-1）分布或两点分布.（2）（0-1）分布的分布律也可以记为X01P1-pp或.2．二项分布（1）二项分布：若随机变量X表示n重伯努利试验中事件A出现的次数,则有.则称随机变量X服从二项分布，记为，其中n和p是二项分布的参数，上式就是二项分布的分布律.（2）二项分布的特例：在二项分布中,若令n=1,则，其分布律为，即X服从（0-1）分布.因此（0-1）分布是二项分布的特例，简记.3.泊松分布（1）泊松分布：若随机变量X的分布律为，其中为大于0的参数，则称随机变量X服从参数为的泊松分布，记为．（2）泊松定理：在n重伯努利试验中，事件A在一次试验中出现的概率为（与试验总数n有关），如果当时，，则有.（3）说明：泊松定理表明，泊松分布为二项分布的极限分布，即在试验次数n很大，而不太大时，二项分布可以用参数为的泊松分布来近似．4.几何分布（1）若随机变量X的分布律为，其中为参数，则称X服从几何分布，记为．（2）说明：几何分布描述的是试验首次成功的次数X所服从的分布，也可以解释为：在n重伯努利试验中，试验到第k次才取得第一次成功，前k-1次皆失败．5.超几何分布（1）超几何分布：若随机变量X的分布律为其中，且均为正整数，则称随机变量X服从超几何分布，记为．（2）有限总体N中的不放回抽样服从超几何分布，例如有N件产品，其中M件不合格，从产品中不放回的抽取n件，则抽取的产品中不合格品的件数X服从超几何分布．（3）超几何分布与二项分布之间的区别：超几何分布是不放回抽取，二项分布是放回抽取，因此，二项分布中每个事件之间是相互独立的，而超几何分布不独立.两个分布之间也有联系，当总体的容量N非常大时，超几何分布近似于二项分布.三．例题讲解例1.已知盒中有10件产品，其中8件正品，2件次品.需要从中取出2件正品，每次取1件，直到取出两件正品为止，做不放回抽样.设X为取件的次数，则：（1）求X的分布律；（2）求X的分布函数；（3）求概率.例2.金工车间有10台同类型的机床，每台机床配备的电动机功率为10千瓦，已知每台机床工作时，平均每小时实际开动12分钟，且开动与否是相互独立的.现在当地电力供应紧张，供电部门只提供50千瓦的电力给这10台机床，问这10台机床能够正常工作的概率有多大？例3.有2500个相同年龄阶段、相同社会层次的人参加某保险公司的意外伤害保险，根据以往统计资料，在1年里每个人出现意外伤害的概率是0.0001，每个参加保险的人1年付给保险公司120元保费，而在出现意外时家属从保险公司领取2万元.请计算（1）保险公司亏本的概率；（2）保险公司一年获利不少于10万元的概率.例4.一家商店在每个月的月底要制定出下个月的商品进货计划，为了不使商品的流动资金积压，进货量不宜过多，但为了获得足够的利润，进货量又不易过少．由该商店过去的销售记录知道，某种商品每月的销售可以用参数为的泊松分布来描述，为了以95%以上的把握保证不脱销，问商店在月底至少应进某种商品多少件？例5.某公司订购了一种型号的加工机床，机床的故障率为1%，各台机床之间是否出现故障是相互独立的，求在100台此类机床中，故障的台数不超过三台的概率.例6.某流水线生产一批产品，其不合格率为p，有放回地对产品进行检验，直到检验出不合格品为止.设随机变量X为首次检验出不合格品所需要的检验次数，求X的概率分布.授课序号03教学基本指标教学课题第2章第3节连续型随机变量课的类型复习、新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点连续性随机变量及其概率密度的概念，概率密度与分布函数之间的关系，正态分布、均匀分布、指数分布及其应用。教学难点概率密度与分布函数之间的关系，正态分布、均匀分布、指数分布及其应用。参考教材作业布置课后习题大纲要求理解连续性随机变量及其概率密度的概念，掌握概率密度与分布函数之间的关系，掌握正态分布、均匀分布、指数分布及其应用。教学基本内容一．连续型随机变量及其概率密度1．连续型随机变量：设X是随机变量，如果存在函数，对任意的常数，有则称X为连续型随机变量，同时称为X的概率密度函数，或简称为概率密度．2．概率密度函数的性质：（1）非负性：≥0；（2）正则性：．3．概率密度的几何意义：随机变量落入区间内的概率等于曲线在区间上形成的曲边梯形的面积，而正则性表明，曲线与x轴之间的部分面积为1．4．连续型随机变量的分布函数：,则在的连续点处，.5．两点说明：（1）连续型随机变量在某一个点c处的概率为0,即（2）连续型随机变量落在某个区间内的概率,不受区间端点处取值的影响,即.二．常用的连续型随机变量1.均匀分布（1）均匀分布：设X为连续型随机变量，若概率密度为其中a，b(a<b)为任意实数，则称随机变量X服从区间(a,b)上的均匀分布，记为．（2）均匀分布的分布函数：（3）应用：若X在(a,b)上服从均匀分布，对(a,b)内的任一个子区间(c,d)，有.2.指数分布（1）指数分布：设X为连续型随机变量，若概率密度为其中参数，则称随机变量X服从参数为的指数分布，记为．（2）指数分布的分布函数：（3）定理：（指数分布的无记忆性）设随机变量，则对于任意的正数s和t有3.正态分布（1）正态分布：设X为连续型随机变量，若概率密度为其中为参数，则称随机变量X服从参数为的正态分布，也叫高斯分布，记为．（2）正态分布的分布函数：（3）几点说明：（i）概率密度的图形关于对称，是轴对称图形，在处取到最大值，并且对于同样长度的区间，若区间离越远，则X落在这个区间内的概率越小.（ii）的图形以轴为渐近线，随着的取值往两侧无限延伸，图形与轴无限接近，但又不会相交．（iii）当参数固定时，的值越大，的图形就越平缓；的值越小，的图形就越尖狭，由此可见参数的变化能改变图形的形状，称为形状参数．（iv）当参数固定时，随着值的变化，图形的形状不改变，位置发生左右平移，由此可见参数的变化能改变图形的位置，称为位置参数．（4）标准正态分布（i）概率密度（ii）分布函数（iii）根据概率密度的对称性，有（5）定理：（标准化定理）若，则（6）标准化定理的应用：设为任意实数，则6.“”法则：设，则即正态分布的随机变量以99.7%的概率落在以为中心、为半径的区间内，落在区间以外的概率非常小，可以忽略不计，这就是“”法则.三．例题讲解例1．车流中的“时间间隔”是指一辆车通过一个固定地点与下一辆车开始通过该点之间的时间长度.设X表示在大流量期间，高速公路上相邻两辆车的时间间隔，X的概率密度描述了高速公路上的交通流量规律，其表达式为：概率密度的图形如下图，求时间间隔不大于5秒的概率.例2．设随机变量X表示桥梁的动力荷载的大小（单位:N），其概率密度为求：（1）分布函数；（2）概率及.例3．某食品厂生产一种产品，规定其重量的误差不能超过3克，即随机误差X服从（-3,3）上的均匀分布.现任取出一件产品进行称重，求误差在-1~2之间的概率.例4．设随机变量X在（1,4）上服从均匀分布，对X进行三次独立的观察，求至少有两次观察值大于2的概率.例5.设随机变量X表示某餐馆从开门营业起到第一个顾客到达的等待时间（单位：min），则X服从指数分布，其概率密度为求等待至多5分钟的概率以及等待3至4分钟的概率.例6．汽车驾驶员在减速时，对信号灯做出反应所需的时间对于帮助避免追尾碰撞至关重要．有研究表明，驾驶员在行车过程中对信号灯发出制动信号的反应时间服从正态分布，其中1.25秒，0.46秒．求驾驶员的制动反应时间在1秒至1.75秒之间的概率？如果2秒是一个非常长的反应时间，那么实际的制动反应时间超过这个值的概率是多少？例7．设某公司制造绳索的抗断强度服从正态分布，其中300千克，24千克.求常数a，使抗断强度以不小于95%的概率大于a.

授课序号04教学基本指标教学课题第2章第4节随机变量函数的分布课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点简单随机变量函数的概率分布教学难点简单随机变量函数的概率分布的求法参考教材作业布置课后习题大纲要求会求简单随机变量函数的概率分布。教学基本内容一.离散型随机变量函数的分布若是离散型随机变量，是实数的函数，则当取有限个或可列个值时，也取有限个或可列个值.根据离散型随机变量求解分布律的方法，首先确定的取值，再分别求出相应取值的概率，这样就得到了的分布律.二．连续型随机变量函数的分布1.分布函数法设连续型随机变量的分布函数为，即，是实数的函数，求随机变量的分布.（1）求出随机变量的分布函数.（2）当是连续型随机变量时，关于求导，就得到了的概率密度；当不是连续型随机变量时，要根据函数的特点作个案处理.2.公式法定理：设X是连续型随机变量，其概率密度为，又函数严格单调，其反函数有连续导数，则是连续型随机变量，且其概率密度为其中，.三．例题讲解例1.设随机变量X表示某品牌手表的日走时误差（单位：s），其分布律为：X-1012P0.1求的分布律.例2.某仪器设备内的温度T是随机变量，且，已知，试求M的分布.例3.设随机变量X服从均匀分布,记求Y的分布律.例4.设随机变量X表示某服务行业一位顾客的服务时间，X服从指数分布，其概率密度为求的概率密度．例5.设随机变量，求的概率密度.概率论与数理统计教学教案第3章多维随机变量及其分布授课序号01教学基本指标教学课题第3章第1节二维随机变量及其分布课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点二维随机变量的联合分布函数、性质及两种基本形式、二维均匀分布、二维正态分布的概率密度教学难点利用二维概率分布求有关事件的概率参考教材作业布置课后习题大纲要求1．理解二维随机变量的概念，理解二维随机变量的联合分布的概念、性质及两种基本形式：离散型联合概率分布；连续型联合概率密度。会利用二维概率分布求有关事件的概率。2．掌握二维均匀分布，了解二维正态分布的概率密度，理解其中参数的概率意义。教学基本内容一．二维随机变量1．二维随机变量：设E是随机试验,和是定义在同一个样本空间上的随机变量，则称为二维随机变量或二维随机向量.2.说明：二维随机变量的性质不仅与X和Y有关，还依赖于两个随机变量之间的相互关系，因此要将随机变量作为一个整体进行研究.二．二维随机变量的联合分布函数1．二维随机变量的联合分布函数：设为二维随机变量，对于任意的，则称为二维随机变量的联合分布函数，简称为分布函数.2．二维联合分布函数的几何意义：若将看作是平面直角坐标系上的随机点，那么表示随机点落入阴影部分的概率（如图3.1），即落入点左下方区域内的概率.图3.13．随机点落入矩形区域的概率：4．联合分布函数的性质：（1）单调性：对或都是单调不减的；（2）有界性：对任意的和，有，并且：，，；（3）右连续：对或都是右连续的，即：，；（4）对任意的和，其中，有.三．二维离散型随机变量及其分布1．二维离散型随机变量：若二维随机变量只取有限个或可列个数对，则称为二维离散型随机变量，称为的联合分布律或者联合概率分布，简称为分布律或者概率分布.2．联合分布律的性质：（1）非负性：；（2）正则性：.3．二维联合分布律的表示形式：四．二维连续型随机变量及其分布1．二维连续型随机变量：设为二维随机变量，若存在函数，对于任意区域A，满足,则称为二维连续型随机变量，称为的联合概率密度函数，简称为概率密度.2．联合概率密度函数具有以下性质：（1）非负性：；（2）正则性：.3．说明：对于二维连续型随机变量，联合分布函数与联合概率密度函数也可以相互求出：（1）若在点处连续，为相应的联合分布函数，则有；（2）若已知联合概率密度函数，则.4.二维连续型随机变量的两种常用分布.（1）二维均匀分布：设G是平面上的一个有界区域，其面积为，若随机变量的概率密度为则称随机变量服从区域G上的二维均匀分布.说明：二维均匀分布相当于向平面区域G内随机的投点，若D为G的子区域，则点落入区域D内的概率与区域D的位置无关，只与D的面积有关，其概率值等于子区域D的面积与大区域G的面积之比，即（2）二维正态分布：如果二维随机变量的联合概率密度为，其中五个参数均为常数，且，，，则称服从二维正态分布，记为.五．例题讲解例1．一家大型保险公司为一些客户提供服务，这些客户既购买了车险，又购买了财险.每种类型的保单都有一定的免赔额，车险的免赔额为100元或250元，财险的免赔额为0元、100元或200元.假设一个人同时购买了这两种保险，X表示车险的免赔额，Y表示财险的免赔额.根据该公司的历史数据可以得到随机变量的联合分布律，求（1）客户财险的免赔额不低于100元的概率；（2）客户的免赔总额不超过300元的概率.1002500.200.100.200.050.150.30例2．有7件外观相同的产品，经检测其中有3件一等品、2件二等品、2件三等品，任意选出4件产品，用X表示取到一等品的件数，用Y表示取到二等品的件数，求X，Y的联合分布律.例3．一家银行的服务包括人工服务和自助服务.在一天中，X表示接受人工服务所花费的时间，Y表示自助服务所花费的时间.随机变量所有可能取值的集合为（单位：h），的联合概率密度为求人工服务和自助服务的时间均不超过一刻钟的概率，即例4．设二维随机变量服从区域G上的均匀分布，其中G是由与所围成的三角形区域，求随机变量落入区域D内的概率.例5．设服从二维正态分布，概率密度函数为，求

授课序号02教学基本指标教学课题第3章第2节边缘分布与随机变量的独立性课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点二维离散型随机变量的边缘分布；连续型边缘密度、随机变量的独立性、离散性和连续性随机变量独立的条件教学难点二维离散型随机变量的边缘分布及连续型边缘密度的求法，离散性和连续性随机变量独立性的判定。参考教材作业布置课后习题大纲要求1．理解二维离散型随机变量的边缘分布；连续型边缘密度。会利用二维概率分布求有关事件的概率。2．理解随机变量的独立性概念，掌握离散性和连续性随机变量独立的条件。教学基本内容一．边缘分布函数1．随机变量的边缘分布函数：设二维随机变量的联合分布函数已知，则两个分量和的分布函数可以由联合分布函数求得，即，其中，称为随机变量的边缘分布函数.2．随机变量的边缘分布函数：，其中，称为随机变量的边缘分布函数.二．边缘分布律1．随机变量的边缘分布律：设二维离散型随机变量的联合分布律为，随机变量的边缘分布律为，简记为；随机变量的边缘分布律为，简记为.2．利用联合分布律就能得到单个随机变量的边缘分布律，且可以一起列入下表：1三．边缘概率密度1．随机变量X的边缘概率密度：设二维连续型随机变量的联合概率密度为，则关于X的边缘分布函数为，对求导可得，称为随机变量X的边缘概率密度.2．随机变量Y的边缘概率密度.3．二维正态分布的两个边缘分布是一维正态分布和，即联合分布可以完全确定其边缘分布，反之，边缘分布不能确定联合分布.四．随机变量的独立性1．随机变量X与Y相互独立：设二维随机变量的联合分布函数为，且X与Y的边缘分布函数为、，若对任意的一组取值，有成立，则称随机变量X与Y是相互独立的.由此定义可得，.2．定理：（1）设为二维离散型随机变量，对任意的，则离散型随机变量X与Y相互独立等价于：.（2）设为二维连续型随机变量，对任意的，则连续型随机变量X与Y相互独立等价于：.3．说明：（1）要判别中的X与Y相互独立，必须对“任意一组取值”都满足上述结论；（2）要判别X与Y不独立，则只需要找到一组不满足上述结论的值即可.五．例题讲解例1．一家大型保险公司为一些客户提供服务，这些客户既购买了车险，又购买了财险.每种类型的保单都有一定的免赔额，车险的免赔额为100元或250元，财险的免赔额为0元、100元或200元.假设一个人同时购买了这两种保险，X表示车险的免赔额，Y表示财险的免赔额.根据该公司的历史数据可以得到随机变量的联合分布律，求二维随机变量的边缘分布律.1002500.200.100.200.050.150.30例2．一家银行的服务包括人工服务和自助服务.在一天中，X表示接受人工服务所花费的时间，Y表示自助服务所花费的时间.随机变量所有可能取值的集合为（单位：h），的联合概率密度为求随机变量X和Y的边缘概率密度，以及.例3．设二维随机变量服从二维正态分布，证明:X的边缘分布为,Y的边缘分布为.例4．在左转车道上，每个信号周期内的私家车数量记为X，公交车数量记为Y，X与Y都是随机变量，且的联合分布见下表：0120123450.0250.0150.0100.0500.0300.0200.1250.0750.0500.1500.0900.0600.1000.0600.0400.0500.0300.020问随机变量X和Y是否相互独立？例5.(续例2)设二维随机变量的联合概率密度为边缘概率密度在例2已求出,判断随机变量X与Y的独立性.例6．设二维随机变量服从二维正态分布，则与相互独立的充要条件为例7．设二维随机变量服从二维正态分布，求概率.授课序号03教学基本指标教学课题第3章第3节条件分布课的类型复习、新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点离散型随机变量的条件分布；连续型随机变量的条件密度教学难点条件分布及条件密度的求法参考教材作业布置课后习题大纲要求理解离散型随机变量的条件分布；连续型随机变量的条件密度。教学基本内容一．二维离散型随机变量的条件分布律1．随机变量X的条件分布律：设二维离散型随机变量，其联合分布律为，关于Y的边缘分布律为，则称为在的条件下随机变量X的条件分布律.2．随机变量Y的条件分布律：关于X的边缘分布律为，则称为在的条件下随机变量Y的条件分布律.说明：当随机变量X与Y相互独立时，条件分布律就等于其相应的边缘分布律，即，.二．二维连续型随机变量的条件概率密度1.随机变量X的条件概率密度与条件分布函数：设二维连续型随机变量的联合概率密度为，随机变量的边缘概率密度分别为和，则称与为给定条件下，X的条件概率密度和条件分布函数.2.随机变量Y的条件概率密度与条件分布函数：称与为给定条件下，Y的条件概率密度和条件分布函数.三．例题讲解例1．一个加油站既有自助服务，也有人工服务.在一次加油中，令X表示特定时间内自助加油使用的油枪数量,Y表示人工加油使用的油枪数量.随机变量的联合分布律见下表：0120120.100.040.020.080.200.060.060.140.30当X=1时，求Y的条件分布律.例2．设二维连续型随机变量的概率密度为例3．设二维随机变量服从区域G上的均匀分布，其中G是由与所围成的三角形区域(如图3.6).求条件概率密度图3.6

授课序号04教学基本指标教学课题第3章第4节二维随机变量函数的分布课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点两个独立随机变量函数的分布教学难点两个独立随机变量函数的分布的求法参考教材作业布置课后习题大纲要求会求两个独立随机变量的简单函数的分布。教学基本内容一.二维离散型随机变量函数的分布从以上两个例题可以看出，求二维离散型随机变量函数的分布律，其方法与求一维离散型随机变量函数的分布律是一样的:首先确定所有可能的取值，其次分别求出所有取值的概率，再进行整理便得到了随机变量函数的分布律.例3.17描述了二项分布的可加性（关于第一个参数的可加性）,下面把常用离散型随机变量的可加性总结如下：（1）（0-1）分布：若随机变量相互独立，且，则（2）二项分布：若随机变量，且X与Y相互独立，则（3）泊松分布：若随机变量，且X与Y相互独立，则注意，在以上的三个结论中，都要求随机变量之间相互独立.二．二维连续型随机变量函数的分布设是二维连续型随机变量，是二元函数，则是一维随机变量.已知的联合概率密度，求的分布，一般情况下，Z的分布函数为：，当Z为连续型随机变量时，对分布函数求导可以得到Z的概率密度：1.和的分布（1）定理：设二维连续型随机变量的联合概率密度为，则的概率密度为或.（2）卷积公式：若X与Y相互独立，其边缘概率密度分别为和，则的概率密度为或，并称这两个公式为卷积公式，记为.（3）若随机变量X与Y相互独立，且，，则；对于不全为零的实数，则.（4）若，并且相互独立，是不全为零的实数，则随机变量2．积的分布、商的分布（1）定理：设二维连续型随机变量的联合概率密度为，则的概率密度分别为和.（1）若X与Y相互独立，其边缘概率密度分别为和，则的概率密度分别为和，称这两个公式为积的分布公式与商的分布公式.3.最大值、最小值的分布（1）定理：设随机变量X与Y相互独立，其分布函数分别为和，则和的分布函数为和.（2）推广形式：设n个随机变量相互独立，其分布函数为，则和的分布函数分别为和.（3）当n个随机变量独立同分布时，其分布函数均为，则M和N的分布函数为和.说明：对于连续型随机变量，求出最大值、最小值的分布函数后，再对分布函数求导，就可以求出其概率密度函数.三．n维随机变量1.n维随机变量：设是定义在同一个样本空间E上的n个随机变量，则称为n维随机变量或n维随机向量.2．联合分布函数：设为n维随机变量，对于任意的，则称为n维随机变量的联合分布函数.3．离散型随机变量的联合分布律：若n维随机变量只取有限个或可列个值，则称为n维离散型随机变量，称为n维离散型随机变量的联合分布律.4.连续型随机变量的联合概率密度：若存在非负可积函数，对于n维空间中的任意区域G，总有下式成立，则称为n维连续型随机变量，称为n维连续型随机变量的联合概率密度.5．n个随机变量相互独立：若n维随机变量的联合分布函数为，令为的边缘分布函数.如果对任意的实数都有，则称相互独立.（1）设为离散型随机变量，对于所有可能的取值，则相互独立等价于：.（2）设为连续型随机变量，对于任意的实数，则相互独立等价于：.四．例题讲解例1．设二维随机变量的分布律为-213-111/253/2512/252/254/253/25求：（1）Z=X+Y的分布律；（2）的分布律.例2．设随机变量X与Y相互独立，且,求Z=X+Y的分布律．例3．设二维随机变量的概率密度为求的概率密度.例4．设随机变量X与Y独立同分布，都服从标准正态分布，求的分布.例5．设随机变量X与Y独立同分布，其概率密度为求的概率密度.例6．系统L中有三个同种型号的半导体元件，设其寿命为，寿命的概率密度为其中.求在并联与串联两种情况下系统寿命的概率密度.概率论与数理统计教学教案第4章数字特征与极限定理授课序号01教学基本指标教学课题第4章第1节数学期望课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点数学期望、根据随机变量的概率分布求其函数的数学期望教学难点运用数字特征的基本性质计算具体分布的数字特征、根据二维随机变量的联合概率分布求其函数的数学期望。参考教材作业布置课后习题大纲要求1．理解随机变量数字特征（数学期望、方差、标准差、协方差、相关系数）的概念，并会运用数字特征的基本性质计算具体分布的数字特征，掌握常用分布的数字特征。2．会根据随机变量的概率分布求其函数的数学期望；会根据二维随机变量的联合概率分布求其函数的数学期望。教学基本内容一．随机变量的数学期望1.离散型随机变量的数学期望：设离散型随机变量的分布律为若级数绝对收敛，则称其和为随机变量的数学期望，简称期望或均值,记为或，即.2．连续型随机变量的数学期望：设连续型随机变量的概率密度为，若积分绝对收敛，则称该积分值为随机变量的数学期望，简称期望或均值，记为或，即二．随机变量函数的数学期望1．定理：设有随机变量的函数，且存在.（1）设为离散型随机变量，，则（2）设为连续型随机变量，概率密度为，则2．定理：设有随机变量（,）的函数，且存在.（1）若为离散型随机变量，其联合分布律为则（2）若为连续型随机变量，其联合概率密度为，则三．数学期望的性质1．设为常数，则2．设为常数，为随机变量，则3．设为任意两个随机变量，则4．5．设为相互独立的随机变量，则6．若为相互独立的随机变量，则有四．例题讲解例1．求下列离散型随机变量的数学期望：(1)(0-1)分布；(2)泊松分布.例2．求下列连续型随机变量的数学期望：(1)指数分布；(2)正态分布.例3．一工厂生产的某种设备的寿命X（以年计）服从以为参数的指数分布，工厂规定，出售的设备若在售出一年之内损坏可予以调换，若工厂售出一台设备赢利100元，调换一台设备厂方需花费300元．求厂方出售一台设备净赢利的数学期望.例4．设随机变量X的分布律为X-1012P0.1例5．设风速V是一个随机变量，它服从上的均匀分布，而飞机某部位受到的压力F是风速V的函数：（常数k>0），求F的数学期望.例6．设二维随机变量的分布律为XY1210.250.3220.080.35求.例7．设二维随机变量的密度函数为求例8．某工厂每天从电力公司得到的电能X（单位：千瓦）服从[10，30]上的均匀分布，该工厂每天对电能的需要量Y（单位：千瓦）服从[10,20]上的均匀分布，其中X与Y相互独立.设工厂从电力公司得到的每千瓦电能可取得300元利润，如工厂用电量超过电力公司所提供的数量，就要使用自备发电机提供的附加电能来补充，使用附加电能时每千瓦只能取得100元利润．问一天中该工厂获得利润的数学期望是多少？例9．例10．设一电路中电流与电阻是两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为试求电压的数学期望。

授课序号02教学基本指标教学课题第4章第2节方差课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点方差及其性质教学难点运用数字特征的基本性质计算具体分布的数字特征.参考教材作业布置课后习题大纲要求1．理解随机变量数字特征（数学期望、方差、标准差、协方差、相关系数）的概念，并会运用数字特征的基本性质计算具体分布的数字特征，掌握常用分布的数字特征。2．会根据随机变量的概率分布求其函数的数学期望；会根据二维随机变量的联合概率分布求其函数的数学期望。教学基本内容一．随机变量的方差1．方差：设X为随机变量，若存在，则称之为X的方差，记为或，即.称为X的标准差或均方差，记为.2．若X为离散型随机变量，其分布律为则3．若X为连续型随机变量，其概率密度为，则.4．方差的计算公式：.二．方差的性质1．设C为常数，则D(C)=0.2．设X为随机变量，C为常数，则有.3．设随机变量X与Y相互独立，则有D(X+Y)=D(X)+D(Y).4．若相互独立，则有5．一些重要分布的期望与方差分布分布律或概率密度数学期望方差分布二项分布几何分布泊松分布均匀分布正态分布指数分布，例4.12求下列离散型随机变量的方差：(1)(0-1)分布；(2)泊松分布.例4.13求下列连续型随机变量的方差：(1)均匀分布；(2)指数分布.例4.14甲、乙两台机床同时加工某种零件，它们每生产1000件产品所出现的次品数分别用表示，其分布律如下，问哪一台机床加工质量较好？0160.040.80.060.040.1例4.15设随机变量X和Y相互独立，且服从参数为的指数分布，服从参数为9的泊松分布，求.授课序号03教学基本指标教学课题第3章第3节协方差与相关系数课的类型复习、新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点协方差与相关系数教学难点协方差与相关系数参考教材作业布置课后习题大纲要求理解协方差、相关系数的概念教学基本内容一．协方差与相关系数的概念1．协方差：设二维随机变量，若存在，则称它为随机变量X与Y的协方差，记为，或，即2．相关系数：当时，称为随机变量与的相关系数。3.不相关：当时，称随机变量与不相关或线性无关。4．协方差的计算公式：二．协方差与相关系数的性质1...6.的充分必要条件是与以概率1具有确定的线性关系，即，其中为常数.几点说明：（1）越大，这时与的线性关系就越密切，当=1时，与就有确定的线性关系；反之，越小，说明与的线性关系就越弱，若=0，则表明与之间无线性关系，故称与是不相关的.可见，的大小确实是与间线性关系强弱的一种度量.（2）若与相互独立，则与不相关.反之，若与不相关，则与却不一定是相互独立的.（3）设服从二维正态分布，即，可以证明：（4）对二维正态随机变量（X，Y）来说，与相互独立的充要条件为，现在又知，故对二维正态随机变量（X，Y）来说，与不相关等价于与相互独立.三．矩1．设X和Y是随机变量，若存在，则称它为X的k阶原点矩.2．若存在，则称它为X的k阶中心矩.3．若存在，则称它为X和Y的k+l阶混合矩.4．若存在，则称它为X和Y的k+l阶混合中心矩.四．例题讲解例1．设保险公司对投保人的汽车保险和财产保险分别设定了免赔额（单位：元），现任选一位同时投保汽车保险和财产保险的客户，X表示其汽车保单的免赔额，Y表示其财产保单的免赔额，随机变量的联合分布律为YX01002001002500.050.150.3求cov(X,Y)，.例2．设随机变量在上服从均匀分布.求，例3．若，且，问与是否不相关？是否相互独立？例4．已知求例5．，，授课序号04教学基本指标教学课题第4章第4节切比雪夫不等式大数定律与中心极限定理课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点切比雪夫不等式、切比雪夫大数定律、伯努力大数定律和辛钦大数定律、列维－林德伯格定理和狄莫弗－拉普拉斯定理教学难点切比雪夫大数定律、伯努力大数定律和辛钦大数定律参考教材作业布置课后习题大纲要求1.了解切比雪夫不等式。2.了解切比雪夫大数定律、伯努力大数定律和辛钦大数定律（独立同分布随机变量的大数定律）。3.了解列维－林德伯格定理（独立同分布的中心极限定理）和狄莫弗－拉普拉斯定理（二项分布以正态分布为极限分布）。教学基本内容一.切比雪夫不等式1．定理：（切比雪夫不等式）设随机变量的数学期望和方差都存在，则对于任意，有或二．大数定律1．定理：（伯努利大数定律）设是次独立重复试验中事件出现的次数，而是事件在每次试验中发生的概率，则当时依概率收敛于.即对任意，都有，或.2．定理：（辛钦大数定律）设随机变量独立同分布，并且有数学期望，则在时依概率收敛于，即对，都有，或.三.中心极限定理1．定理：(列维—林德伯格定理)设随机变量独立同分布，具有数学期望和方差：则对任意的都有2．定理：（棣莫弗—拉普拉斯定理）设随机变量服从二项分布，则对于任意，有.四．例题讲解例1．设电站供电网有10000盏电灯，夜晚时每盏灯开灯的概率均为0.7，假定所有电灯的开或关是相互独立的，试用切比雪夫不等式估计夜晚同时开着的灯数在6800到7200盏之间的概率.例2．例3．设某品牌汽车的尾气中氮氧化物排放量的数学期望为0.9g/km，标准差为1.9g/km，某出租车公司有这种车100辆，以表示这些车辆的氮氧化物排放量的算术平均值，问当L为何值时，大于L的概率不超过0.01？例4．某个计算机系统有120个终端，每个终端有10%的时间要与主机交换数据，如果同一时刻有超过20台的终端要与主机交换数据，系统将发生数据传送堵塞.假定各终端工作是相互独立的，问系统发生堵塞现象的概率是多少？概率论与数理统计教学教案第5章统计量及其分布授课序号01教学基本指标教学课题第5章第1节总体、样本及统计量课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点总体、简单随机样本、统计量、样本均值、样本矩及样本方差的概念教学难点统计量、样本均值、样本矩及样本方差参考教材作业布置课后习题大纲要求理解总体、简单随机样本、统计量、样本均值、样本矩及样本方差的概念。教学基本内容一．总体与样本1．总体与个体：把研究对象的全体称为总体，构成总体的每个成员称为个体.2．有限总体与无限总体：若总体中的个体数是有限的，此总体称为有限总体；否则称为无限总体.3．样本容量：在相同的条件下从总体中随机地抽取n个个体，记为，我们将称为来自总体X的一个样本，n称为样本容量.4.简单随机样本：若样本QUOTE与所考察的总体具有相同的分布，且QUOTE相互独立，则称为来自总体X的容量为n的简单随机样本，简称样本.5．若QUOTE为来自总体X的一个样本，则的分布函数为.6．若总体X为离散型随机变量，其分布律为PX=xi=p(xi)，QUOTEx.7．若总体X为连续型随机变量，其概率密度为，则样本的概率密度为.二．统计量1．统计量：设为取自某总体的样本，若样本函数中不含有任何未知参数，则称T为统计量.统计量的分布称为抽样分布.2．几个常见统计量：设是总体X的样本，常用的统计量有（1）样本均值：；（2）样本方差：；（3）样本标准差：；（4）样本k阶（原点）矩：；（5）样本k阶中心矩：.3．性质：设总体X具有二阶矩，即,为来自总体X的样本，和分别是样本均值与样本方差，则（1）（2）（3）.三．例题讲解例1．从某班级的英语期末考试成绩中，随机抽取10名同学的成绩，分别为：100，85，70，65，90，95，63，50，77，86.求样本均值，样本方差及二阶原点矩.例2．设总体为来自该总体的简单随机样本,为样本均值，求.

授课序号02教学基本指标教学课题第5章第2节抽样分布课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点分布、分布和分布的概念及性质、分位数的概念并会查表、正态总体的某些常用抽样分布。教学难点分布、分布和分布的性质，正态总体某些常用抽样分布参考教材作业布置课后习题大纲要求1．了解分布、分布和分布的概念及性质，了解分位数的概念并会查表计算。2．了解正态总体的某些常用抽样分布。教学基本内容一．抽样分布1.χ2（1）设是来自标准正态总体N(0,1)的样本，则称统计量服从自由度为n的χ2分布，记为.（2）χ2(n)分布的概率密度为（3）设则有，.（4）若且X与Y独立，则.2.t分布（1）设X~N(0,1),Y~χ2(n)，且X与Y相互独立，则称随机变量服从自由度为n的T分布，记为T~t(n).t（2）t分布的概率密度为.3.F分布（1）设U~χ2(n1),V~χ2(n2（2）分布的概率密度为.（3）若F~F(n1,4.上侧α分位数（点）（1）设有随机变量X,对给定的α0<α<1,若存在实数xα满足P{X>xα}=α（2）标准正态分布、自由度为n的卡方分布、自由度为n的t分布、自由度为的F分布的上侧α分位数分别记为uα、、、，图像如下图所示.即有（1）X~N(0,1)，则（2），则；（3），则；（4），则.四大抽样分布的上侧α分位数（5）性质（i）由标准正态分布和t分布的对称性有：u1−α=−u（ii）由F分布的定义可以得到：.（iii）由于n比较大时t分布近似N（0,1），一般的，当时，有.二．正态总体的抽样分布1．来自单一正态总体N(μ,σ定理：设是来自正态总体N(μ,σ2)的一个样本，（1），即；（2）；（3）.2．来自两个正态总体N(μ1,定理：设与分别是来自两个相互独立的正态总体N(μ1,σ12)和N(（1）；（2）；（3）当σ12=σ2例5.4，分别为来自X和Y的样本，例5.5设QUOTEX1,X2,⋯,X15例5.6某公司生产瓶装洗洁精，规定每瓶装500毫升，但是在实际罐装的过程中，总会出现一定的误差，误差要求控制在一定范围内.假定灌装量的方差σ²=1，如果每箱装25瓶这样的洗洁精，试问25瓶洗洁精的平均灌装量和标准值500毫升相差不超过0.3毫升的概率是多少？例5.7设总体X服从正态分布N(72，100)，为使样本均值大于70的概率不小于90%，则样本容量应取多少?例5.8在设计导弹发射装置时,重要事情之一是研究弹着点偏离目标中心的距离的方差.对于一类导弹发射装置,弹着点偏离目标中心的距离服从正态分布N(μ,σ2)，这里100平方米，现在进行了21次发射试验，用表示这21次试验中弹着点偏离目标中心的距离的样本方差，试估计不超过170.85平方米的概率.概率论与数理统计教学教案第6章参数估计授课序号01教学基本指标教学课题第6章第1节点估计课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点点估计、估计量与估计值的概念、估计量的无偏性、有效性和一致性的概念、、估计量的相合性、矩估计法（一阶、二阶距）和最大似然估计法。教学难点矩估计法（一阶、二阶距）和最大似然估计法。参考教材作业布置课后习题大纲要求1．理解参数的点估计、估计量与估计值的概念；了解估计量的无偏性、有效性（最小方差性）和一致性（相合性）的概念，并会验证估计量的无偏性；会利用大数定律证明估计量的相合性。2．掌握矩估计法（一阶、二阶距）和最大似然估计法。教学基本内容一．矩估计法1.矩估计法的基本思想是替换原理，即用样本矩去替换相应的总体矩，这里的矩可以是原点矩也可以是中心距。我们知道，矩是由随机变量的分布唯一确定的，而样本来源于总体，由大数定律，样本矩在一定程度上反映总体矩的特征。2．矩估计法：用样本矩来估计总体矩的估计方法称为矩估计法.3．矩估计法的步骤：设总体X的分布中包含m个未知参数1，2，…，m，为来自总体X的样本，如果总体的k阶原点矩存在，并设，相应的k阶样本原点矩为，以替代，即可得到关于1，2，…，m的方程组 方程组的解，称为参数k的矩估计量.4．若代入一组样本观测值，则称为参数k的矩估计值.二．最大似然估计法 1．最大似然估计的步骤： 若总体X的分布中含有k个未知待估参数1，2，…，k，则似然函数为解似然方程组，或者对数似然方程组，即可得到参数的最大似然估计。2．定理：若为参数的最大似然估计，为参数的函数，则是的最大似然估计.三．点估计的评价标准1.无偏性：设是未知参数的估计量，若，则称为的无偏估计。2.有效性：设均为参数的无偏估计量，若则称有效。3.相合性（一致性）：设为未知参数的估计量，若对任意的，都有，即依概率收敛于参数，则称为的相合（一致）估计。4.定理：设为的估计量，若,则为的相合（一致）估计.四．例题讲解例1．设X为某零配件供应商每周的发货批次，其分布律为其中是未知参数，假设收集了该供应商8周的发货批次如下：3，1，3，0，3，1，2，3，求的矩估计值.例2．设某种钛金属制品的技术指标为X其概率密度为其中未知参数，为来自总体X的简单随机样本，求的矩估计量.例3．已知某种金属板的厚度X在(a,b)上服从均匀分布，其中a,b未知，设抽查了n片金属板，厚度分别为，试用矩估计法估计a,b.例4．设袋中放有很多的白球和黑球，已知两种球的比例为1:9，但不知道哪种颜色的球多，现从中有放回地抽取三次，每次一球，发现前两次为黑球，第三次为白球，试判断哪种颜色的球多。例5．求出例2中未知参数的最大似然估计量.例6．，其中是未知参数，设是样本观测值，求的最大似然估计.例7．设某工厂生产的手机屏幕分为不同的等级，其中一级品率为p，如果从生产线上抽取了20件产品，发现其中有3件为一级品，求：（1）p的最大似然估计；（2）接着再抽5件产品都不是一级品的概率的最大似然估计.例8．设样本来自正态总体XN(，2)，其中，2未知，求和2的最大似然估计。例9．设总体X的k阶矩存在，证明:不论X服从什么分布，样本的k阶矩是的无偏估计。例10．已知，都是总体方差的估计量，问哪个估计量更好？例11．设总体的概率密度为，其中是未知参数,为来自总体X的简单样本，选择适当常数c，使得是的无偏估计.例12．设某种产品的寿命X服从指数分布，其概率密度为，其中为未知参数，是来自总体的样本，设有的估计量，，问哪一个最优？例13．设是总体X的样本均值，则当作为总体期望E(X)的估计量时，是E(X)的相合估计量。例14．试证明是的相合估计量.授课序号02教学基本指标教学课题第6章第2节区间估计课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点置信区间、区间估计、单个正态总体的均值和方差的置信区间、两个正态总体的均值差和方差比的置信区间。教学难点置信区间、区间估计、单个正态总体的均值和方差的置信区间、两个正态总体的均值差和方差比的置信区间。参考教材作业布置课后习题大纲要求1．掌握建立未知参数的（双侧和单侧）置信区间的一般方法；2．了解区间估计的概念，会求单个正态总体的均值和方差的置信区间，会求两个正态总体的均值差和方差比的置信区间。教学基本内容一．区间估计的概念1．置信区间：设为总体的未知参数，若对于给定的（0<<1），存在统计量和，使得,则称随机区间为参数的置信度（或置信水平）为1-的置信区间，分别称为置信下限和置信上限。 2．枢轴量:称满足下述三条性质的量Q为枢轴量.（1）是待估参数和估计量的函数；（2）不含其他未知参数；（3）其分布已知且与未知参数无关。3．求置信区间的一般步骤:（1）根据待估参数构造枢轴量Q,一般可由未知参数的良好估计量改造得到；（2）对于给定的置信度1-，利用枢轴量Q的分位点确定常数a，b，使；（3）将不等式恒等变形为，即可得到参数的置信度为1-的置信区间.二．正态总体参数的区间估计1.单个正态总体的情形：设总体，是取自总体的样本(1)已知，均值的置信区间：的置信度为的置信区间为.(2)未知，均值的置信区间：的置信度为的置信区间为.(3)已知，方差的置信区间：的置信度为的置信区间为.(4)未知，方差的置信区间：的置信度为的置信区间为.2.两个正态总体的情形：设总体，总体，与独立，样本来自总体，样本来自.(1)，已知，均值差的置信区间：的置信度为1-的置信区间为.(2)，未知，但，均值差的置信区间：的置信度为1-的置信区间为.(3)，未知，方差比的置信区间：的置信度为1-的置信区间为.以上关于正态总体参数的区间估计的讨论可以列表1和表2如下：表1单个正态总体参数的区间估计表待估参数条件枢轴量置信区间s2已知s2未知2m已知m未知表6.2两个正态总体参数的区间估计表待估参数条件枢轴量置信区间已知未知，但其中已知未知三．单侧置信区间1．单侧置信区间：设为总体的未知参数，对于给定的（0<<1），若存在统计量，使得,则称随机区间为参数的置信度为1-的单侧置信区间，称为单侧置信下限；若存在统计量，使得,则称随机区间为参数的置信度为1-的单侧置信区间，称为单侧置信上限。2．单侧置信区间的求法：单侧置信区间的求法与双侧置信区间相同，例如，设X1，…，Xn来自正态总体XN(，2)，其中2已知，未知,利用枢轴量，如下图，构造即恒等变形则可得的置信度为1-的单侧置信下限为.四．例题讲解例1．设X1，…，Xn为来自正态总体XN(，2)，其中2已知，未知,试求出的置信度为1-的置信区间。例2．某工厂生产一种特殊的发动机套筒，假设套筒直径X（mm）服从正态分布，现从某天的产品中随机抽取40件,测得直径的样本均值为5.426（mm），求m的置信度为0.95的置信区间.例3．为估计某种汉堡的脂肪含量，随机抽取了10个这种汉堡，测得脂肪含量（%）如下：25.2，21.3，22.8，17.0，29.8，21.0，25.5，16.0，20.9，19.5.假设该种汉堡的脂肪含量（%）服从正态分布，求平均脂肪含量m的置信度为0.95的置信区间.例4．已知某种钢丝的折断力服从正态分布，从一批钢丝中任意抽取了10根，测得折断力数据（单位：kg）如下：578，572，570，568，572，570，570，596，584，572，求和的置信度为0.9的置信区间。例5．某厂利用两条自动化流