苏科版高一数学必修一第3章 3.2 3.3.2第1课时　一元二次不等式及其解法2024新高一暑假自学课堂含答案

苏科版高一数学必修一第3章3.23.3.2第1课时一元二次不等式及其解法2024新高一暑假自学课堂3.3.2从函数观点看一元二次不等式第1课时一元二次不等式及其解法1．掌握一元二次不等式的解法．(重点)2．能根据“三个二次”之间的关系解决简单问题．(难点)通过一元二次不等式的学习，培养数学运算素养．2022年，冬季奥运会在中国举行，跳台滑雪是其中最具有观赏性的项目之一，一位跳台滑雪运动员在90m级跳台滑雪时，想使自己的飞行距离超过68m．他若以自身体重从起滑台起滑，经助滑道于台端飞起时的初速度最快为110km/h．那么他能实现自己的目标吗？知识点1一元二次不等式的概念只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式不等式，叫作一元二次不等式．1．不等式x2－y2>0是一元二次不等式吗？[提示]此不等式含有两个变量，根据一元二次不等式的定义，可知不是一元二次不等式．知识点2三个“二次”的关系设二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0．判别式Δ＝b2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0方程ax2＋bx＋c＝0的根有两个相异的实数根x1，x2(x1＜x2)有两个相等的实数根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)没有实数根二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象ax2＋bx＋c＞0的解集(－∞，x1)∪(x2，＋∞)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞))Rax2＋bx＋c＜0的解集(x1，x2)∅∅2．若一元二次不等式ax2＋x＋1>0的解集为R，则实数a应满足什么条件？[提示]结合二次函数图象可知，若一元二次不等式ax2＋x＋1>0的解集为R，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,1－4a<0，))解得a>eq\f(1,4)，所以a∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，＋∞))使不等式ax2＋x＋1>0的解集为R．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)mx2－5x<0是一元二次不等式． ()(2)若a>0，则一元二次不等式ax2＋1>0无解． ()(3)x＝1是一元二次不等式x2－2x＋1≥0的解． ()(4)x2－eq\r(x)>0为一元二次不等式． ()[提示](1)×当m＝0时，是一元一次不等式；当m≠0时，它是一元二次不等式．(2)×因为a>0，所以不等式ax2＋1>0恒成立，即原不等式的解集为R．(3)√因为x＝1能使不等式x2－2x＋1≥0成立．故该说法正确．(4)×因为一元二次不等式是整式不等式，而不等式中含有eq\r(x)，故该说法错误．[答案](1)×(2)×(3)√(4)×类型1一元二次不等式的解法【例1】解下列不等式．(1)x2－5x>6；(2)4x2－4x＋1≤0；(3)－x2＋7x>6；(4)－2x2＋3x－2<0．[解](1)由x2－5x>6得x2－5x－6>0，方程x2－5x－6＝0的解为x1＝－1，x2＝6．根据y＝x2－5x－6的图象．可得原不等式的解集为{x|x>6或x<－1}．(2)方程4x2－4x＋1＝0有两个相同的解x1＝x2＝eq\f(1,2)．根据y＝4x2－4x＋1的图象可得原不等式的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,2)))))．(3)不等式两边同乘以－1，得x2－7x＋6<0．方程x2－7x＋6＝0的解为x1＝6，x2＝1．根据y＝x2－7x＋6的图象，可得原不等式的解集为{x|1<x<6}．(4)不等式两边同乘以－1，得2x2－3x＋2>0，因为Δ<0，所以方程2x2－3x＋2＝0无实数解．根据y＝2x2－3x＋2的图象，可得原不等式的解集为R．解不含参数的一元二次不等式的一般步,1化标准.通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正.2判别式.对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式.3求实根.求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根.4画草图.根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图.5写解集.根据图象写出不等式的解集.eq\o([跟进训练])1．解下列不等式．(1)x2－4x＋4>0；(2)－x2＋2x－3<0；(3)2x2＋7x＋3>0．[解](1)方程x2－4x＋4＝0有两个相同的解x1＝x2＝2，根据y＝x2－4x＋4的图象，可得原不等式的解集为{x|x≠2}．(2)不等式两边同乘以－1，得x2－2x＋3>0，方程x2－2x＋3＝0中Δ<0，所以方程x2－2x＋3＝0无解．根据y＝x2－2x＋3的图象，可得原不等式的解集为R．(3)方程2x2＋7x＋3＝0的解x1＝－3，x2＝－eq\f(1,2)，根据y＝2x2＋7x＋3的图象，可得原不等式的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x>－\f(1,2)或x<－3))))．类型2含参数的一元二次不等式的解法【例2】解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0．[思路点拨]①对于二次项的系数a是否分a＝0，a<0，a>0三类进行讨论？②当a≠0时，是否还要比较两根的大小？[解]当a＝0时，原不等式可化为x>1．当a≠0时，原不等式可化为(ax－1)(x－1)<0．当a<0时，不等式可化为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,a)))(x－1)>0，∵eq\f(1,a)<1，∴x<eq\f(1,a)或x>1．当a>0时，原不等式可化为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,a)))(x－1)<0．若eq\f(1,a)<1，即a>1，则eq\f(1,a)<x<1；若eq\f(1,a)＝1，即a＝1，则x∈∅；若eq\f(1,a)>1，即0<a<1，则1<x<eq\f(1,a)．综上所述，当a<0时，原不等式的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x<\f(1,a)))或x>1))；当a＝0时，原不等式的解集为{x|x>1}；当0<a<1时，原不等式的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(1<x<\f(1,a)))))；当a＝1时，原不等式的解集为∅；当a>1时，原不等式的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)<x<1))))．解含参数的一元二次不等式的一般步骤提醒：对参数分类讨论的每一种情况是相互独立的一元二次不等式的解集，不能合并．eq\o([跟进训练])2．解关于x的不等式ax2－(2a＋1)x＋2<0(a>0)．[解]不等式ax2－(2a＋1)x＋2<0可化为(ax－1)·(x－2)<0．由于a>0，故不等式可化为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,a)))(x－2)<0．(1)若0<a<eq\f(1,2)，则eq\f(1,a)>2，此时不等式的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(2<x<\f(1,a)))))．(2)若a＝eq\f(1,2)，则不等式为(x－2)2<0，此时不等式的解集为∅．(3)若a>eq\f(1,2)，则eq\f(1,a)<2，此时不等式的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)<x<2))))．综上可知，当0<a<eq\f(1,2)时，不等式的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(2<x<\f(1,a)))))；当a＝eq\f(1,2)时，不等式的解集为∅；当a>eq\f(1,2)时，不等式的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)<x<2))))．类型3三个“二次”的关系【例3】已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2<x<3}，求关于x的不等式cx2＋bx＋a<0的解集．[解]法一：由不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2<x<3}可知，a<0，且2和3是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，由根与系数的关系可知eq\f(b,a)＝－5，eq\f(c,a)＝6．由a<0知c<0，eq\f(b,c)＝eq\f(－5,6)，故不等式cx2＋bx＋a<0，即x2＋eq\f(b,c)x＋eq\f(a,c)>0，即x2－eq\f(5,6)x＋eq\f(1,6)>0，解得x<eq\f(1,3)或x>eq\f(1,2)，所以不等式cx2＋bx＋a<0的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x<\f(1,3)))或x>\f(1,2)))．法二：由不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2<x<3}可知，a<0，且2和3是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，所以ax2＋bx＋c＝a(x－2)(x－3)＝ax2－5ax＋6a⇒b＝－5a，c＝6a，故不等式cx2＋bx＋a<0，即6ax2－5ax＋a<0⇒6aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,3)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))<0，故原不等式的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x<\f(1,3)))或x>\f(1,2)))．[母题探究]1．(变结论)本例中的条件不变，求关于x的不等式cx2－bx＋a>0的解集．[解]由根与系数的关系知eq\f(b,a)＝－5，eq\f(c,a)＝6且a<0．∴c<0，eq\f(b,c)＝－eq\f(5,6)，故不等式cx2－bx＋a>0，即x2－eq\f(b,c)x＋eq\f(a,c)<0，即x2＋eq\f(5,6)x＋eq\f(1,6)<0．解得eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)<x<－\f(1,3)))))．2．(变条件)若将本例中的条件“关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2<x<3}”变为“关于x的不等式ax2＋bx＋c≥0的解集是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)≤x≤2))))”．求不等式cx2＋bx＋a<0的解集．[解]法一：由ax2＋bx＋c≥0的解集为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)≤x≤2))))知a＜0．又eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))×2＝eq\f(c,a)＜0，则c＞0．又－eq\f(1,3)，2为方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，∴－eq\f(b,a)＝eq\f(5,3)，∴eq\f(b,a)＝－eq\f(5,3)．又eq\f(c,a)＝－eq\f(2,3)，∴b＝－eq\f(5,3)a，c＝－eq\f(2,3)a，∴不等式变为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)a))x2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,3)a))x＋a＜0，即2ax2＋5ax－3a＞0．又∵a＜0，∴2x2＋5x－3＜0，所求不等式的解集为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(－3＜x＜\f(1,2)))))．法二：由已知得a＜0且eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))＋2＝－eq\f(b,a)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))×2＝eq\f(c,a)知c＞0，设方程cx2＋bx＋a＝0的两根分别为x1，x2，则x1＋x2＝－eq\f(b,c)，x1·x2＝eq\f(a,c)，其中eq\f(a,c)＝eq\f(1,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))×2)＝－eq\f(3,2)，－eq\f(b,c)＝eq\f(－\f(b,a),\f(c,a))＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))＋2,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))×2)＝－eq\f(5,2)，∴x1＝－3，x2＝eq\f(1,2)．∴不等式cx2＋bx＋a＜0的解集为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(－3＜x＜\f(1,2)))))．已知以a，b，c为参数的不等式如ax2＋bx＋c＞0的解集，求解其他不等式的解集时，一般遵循：1根据解集来判断二次项系数的符号；2根据根与系数的关系把b，c用a表示出来并代入所要解的不等式；3约去a，将不等式化为具体的一元二次不等式求解.eq\o([跟进训练])3．若不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－3<x<4}．求不等式bx2＋2ax－c－3b<0的解集．[解]因为不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－3<x<4}，所以a<0，且－3,4是方程ax2＋bx＋c＝0的两根．由根与系数的关系得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－3＋4＝－\f(b,a)，,－3×4＝\f(c,a)))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝－a，,c＝－12a.))所以不等式bx2＋2ax－c－3b<0可化为－ax2＋2ax＋15a<0，由－a>0得x2－2x－15<0．令x2－2x－15＝0得x1＝－3，x2＝5．由函数y＝x2－2x－15的图象知原不等式的解为{x|－3<x<5}．1．不等式x2≤1的解集为()A．{x|x≥1或x≤－1} B．∅C．{x|－1≤x≤1} D．RC[方程x2－1＝0的解为x1＝－1，x2＝1．根据y＝x2－1的图象知不等式的解集为{x|－1≤x≤1}．]2．不等式3＋5x－2x2≤0的解集为()A．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x>3或x<－\f(1,2)))))B．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)≤x≤3))))C．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥3或x≤－\f(1,2)))))D．RC[3＋5x－2x2≤0⇒2x2－5x－3≥0⇒(x－3)(2x＋1)≥0⇒x≥3或x≤－eq\f(1,2)．]3．若0<t<1，则不等式(x－t)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,t)))<0的解集为()A．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,t)<x<t)))) B．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x>\f(1,t)或x<t))))C．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x<\f(1,t)或x>t)))) D．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(t<x<\f(1,t)))))D[0<t<1时，t<eq\f(1,t)，∴原不等式的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(t<x<\f(1,t)))))．]4．不等式(x－1)2<x＋5的解集为________．{x|－1<x<4}[不等式(x－1)2<x＋5可化为x2－3x－4<0即(x－4)(x＋1)<0，解得－1<x<4，所以不等式的解集为{x|－1<x<4}．]5．已知关于x的不等式ax2＋bx＋c<0的解集是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x<－2或x>－\f(1,2)))))，则ax2－bx＋c>0的解集为________．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)<x<2))))[由题意知－2，－eq\f(1,2)是方程ax2＋bx＋c＝0的两个根且a<0，故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－\f(b,a)，,－2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝\f(c,a)，))解得a＝c，b＝eq\f(5,2)a．所以不等式ax2－bx＋c>0，即为2x2－5x＋2<0，解得eq\f(1,2)<x<2，即不等式ax2－bx＋c>0的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)<x<2))))．]回顾本节知识，自我完成以下问题．1．你是怎样解一元二次不等式的？[提示](1)图象法．步骤：①化标准形式②解方程③结合图象求解．(2)代数法．借助因式分解或配方法求解．当m<n时，(x－m)(x－n)>0可得{x|x>n或x<m}．若(x－m)(x－n)<0可得{x|m<x<n}．口诀：大于取两边，小于取中间．2．解含参不等式要注意哪些问题？具体步骤是什么？[提示]正确分类不重不漏．步骤：(1)讨论二次项系数a>0，a<0，a＝0；(2)讨论对应方程的根；(3)讨论根的大小．课时分层作业(十三)一元二次不等式及其解法一、选择题1．不等式9x2＋6x＋1≤0的解集是()A．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠－\f(1,3))))) B．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)≤x≤\f(1,3)))))C．∅ D．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(1,3)))))D[(3x＋1)2≤0，∴3x＋1＝0，∴x＝－eq\f(1,3)．]2．若集合A＝{x|(2x＋1)(x－3)<0}，B＝{x|x∈N*，x≤5}，则A∩B等于()A．{1,2,3} B．{1,2}C．{4,5} D．{1,2,3,4,5}B[∵(2x＋1)(x－3)<0，∴－eq\f(1,2)<x<3，又x∈N*且x≤5，则x＝1,2．故A∩B＝{1,2}．]3．设a<－1，则关于x的不等式a(x－a)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,a)))<0的解集为()A．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＜\f(1,a)或x＞a)))) B．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＜x＜a))))C．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(a＜x＜\f(1,a))))) D．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x<a或x>\f(1,a)))))D[因为a<－1，所以a(x－a)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,a)))<0⇔(x－a)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,a)))>0．又a<－1，所以eq\f(1,a)>a，所以x>eq\f(1,a)或x<a．]4．不等式－x2＋bx＋c>0的解集是{x|－2<x<1}，则b＋c－1的值为()A．2B．－1C．0D．1C[由不等式－x2＋bx＋c>0的解集是{x|－2<x<1}，得－2和1是方程－x2＋bx＋c＝0的解，由根与系数的关系知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(b,－1)＝－2＋1,\f(c,－1)＝－2×1))，解得b＝－1，c＝2；所以b＋c－1＝－1＋2－1＝0．]5．(多选题)在R上定义运算“⊙”，a⊙b＝ab＋2a＋b，满足x⊙(x－2)<0的实数x的取值可能是()A．－1B．0C．1D．2AB[根据定义得，x⊙(x－2)＝x(x－2)＋2x＋(x－2)＝x2＋x－2＝(x＋2)(x－1)．又x⊙(x－2)<0，则(x＋2)(x－1)<0，故－2<x<1．]二、填空题6．不等式－x2－3x＋4>0的解集为________．{x|－4＜x＜1}[由－x2－3x＋4>0得x2＋3x－4<0，解得－4<x<1．]7．关于x的不等式ax2－(2＋a)x＋2＜0，当a＝0时的解集是________，当a＜0时的解集是________．(1，＋∞)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(2,a)))∪(1，＋∞)[由条件知(ax－2)·(x－1)＜0，当a＝0时，不等式为－2(x－1)＜0，解得x＞1；当a＜0时，由ax2－(2＋a)x＋2＜0，得x2－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(2,a)))x＋eq\f(2,a)＞0，即(x－1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(2,a)))＞0，解得x＞1或x＜eq\f(2,a)，所以不等式的解集为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(2,a)))∪(1，＋∞)．]8．如果关于x的不等式mx2＋8mx＋21<0的解集不是空集，则m的取值范围是________．(－∞，0)∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(21,16)，＋∞))[m＝0时，不等式化为21<0，此时不等式的解集为空集，所以m≠0；m≠0时，要使不等式mx2＋8mx＋21<0的解集不是空集，则①当m>0时，有Δ＝64m2－84m>0，解得m>eq\f(21,16)；②当m<0时，mx2＋8mx＋21<0恒成立；综上知，m的取值范围是(－∞，0)∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(21,16)，＋∞))．]三、解答题9．求下列不等式的解集：(1)x2－5x＋6>0；(2)－eq\f(1,2)x2＋3x－5>0．[解](1)方程x2－5x＋6＝0有两个不等实数根x1＝2，x2＝3，又因为函数y＝x2－5x＋6的图象是开口向上的抛物线，且抛物线与x轴有两个交点，分别为(2,0)和(3,0)，其图象如图(1)．根据图象可得不等式的解集为{x|x>3或x<2}．(2)原不等式可化为x2－6x＋10<0，对于方程x2－6x＋10＝0，因为Δ＝(－6)2－40<0，所以方程无解，又因为函数y＝x2－6x＋10的图象是开口向上的抛物线，且与x轴没有交点，其图象如图(2)．根据图象可得不等式的解集为∅．10．解关于x的不等式(x－2)(ax－2)>0(a∈R)．[解]当a＝0时，原不等式化为x－2<0，解集为{x|x<2}．当a<0时，原不等式化为(x－2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(2,a)))<0，这时两根的大小顺序为2>eq\f(2,a)，则原不等式的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(2,a)<x<2))))．当a>0时，原不等式化为(x－2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(2,a)))>0．①当0<a<1时，两根的大小顺序为2<eq\f(2,a)，则原不等式的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x>\f(2,a)或x<2))))．②当a＝1时，2＝eq\f(2,a)，则原不等式的解集为{x|x≠2且x∈R}．③当a>1时，两根的大小顺序为2>eq\f(2,a)，则原不等式的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x>2或x<\f(2,a)))))．综上所述，对于原不等式，当a＝0时，解集为{x|x<2}；当a<0时，解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(2,a)<x<2))))；当0<a<1时，解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x>\f(2,a)或x<2))))；当a＝1时，解集为{x|x∈R且x≠2}；当a>1时，解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x>2或x<\f(2,a)))))．11．(多选题)不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|－1＜x＜2}，则能使不等式a(x2＋1)＋b(x－1)＋c＜2ax成立的x的集合为()A．{x|0＜x＜3} B．{x|x＜0}C．{x|x＞3} D．{x|－2＜x＜1}BC[因为不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|－1＜x＜2}，所以－1和2是方程ax2＋bx＋c＝0的两根且a＜0，所以－eq\f(b,a)＝－1＋2＝1，eq\f(c,a)＝－2，所以b＝－a，c＝－2a，由a(x2＋1)＋b(x－1)＋c＜2ax，得a(x2＋1)－a(x－1)－2a＜2ax，得ax2－3ax＜0．因为a＜0，所以x2－3x＞0，所以x＜0或x＞3，所以不等式a(x2＋1)＋b(x－1)＋c＜2ax的解集为{x|x＜0或x＞3}．]12．(多选题)已知关于x的不等式a(x＋1)(x－3)＋1>0(a≠0)的解集是(x1，x2)(x1<x2)，则下列结论中正确的是()A．x1＋x2＝2 B．x1x2<－3C．x2－x1>4 D．－1<x1<x2<3ABC[由关于x的不等式a(x＋1)(x－3)＋1>0(a≠0)的解集是(x1，x2)(x1<x2)，∴a<0，x1，x2是一元二次方程ax2－2ax＋1－3a＝0的两个根．∴x1＋x2＝2，x1x2＝eq\f(1－3a,a)＝eq\f(1,a)－3<－3．x2－x1＝eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝eq\r(4－4×\f(1－3a,a))＝2eq\r(4－\f(1,a))>4．由x2－x1>4，可得：－1<x1<x2<3是错误的．]13．若