概率论与数理统计（慕课版第2版）课件 第1章 第5讲 全概率公式与贝叶斯公式

概率论与数理统计（慕课版）第5讲全概率公式与贝叶斯公式第1章随机事件与概率2全概率公式和贝叶斯公式主要用于计算比较复杂事件的概率,它们实质上是加法公式,乘法公式以及条件概率的综合运用.第5讲

全概率公式与贝叶斯公式3全概率公式加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)A、B互斥.乘法公式P(AB)=P(A)P(B|A)P(A)>0.第5讲

全概率公式与贝叶斯公式4设甲、乙、丙三个厂生产同一种产品，其产量分别占总数的25%,35%,40%，次品率分别为5%,4%,2%，从这批产品中任取一件，求它是次品的概率.📚例1解分别表示产品由甲、乙、丙厂生产第5讲

全概率公式与贝叶斯公式完备事件组5全概率公式两两互斥第5讲

全概率公式与贝叶斯公式B表示产品为次品01全概率公式02贝叶斯公式本讲内容称满足上述条件的A1,A2,…,An为完备事件组.7全概率公式设S为随机试验的样本空间，A1,A2,…,An是两两互斥的事件，且有P(Ai)>0，i=1,2,…,n,则对任一事件B，有01

全概率公式加法公式乘法公式B8证明两两互不相容，得也两两互不相容；

01

全概率公式某一事件B的发生有各种可能的原因(i=1,2,…,n)，如果B是由原因Ai所引起，则B发生的概率是：每一原因都可能导致B发生，故B发生的概率是各原因引起B发生概率的总和，即全概率公式.P(BAi)=9📝全概率公式的关键数学模型完备事件组P(Ai)P(B|Ai).01

全概率公式

已知某地区加油站的客户中，40%使用92号汽油，35%使用95号汽油，25%使用98号汽油.加油时，使用92号汽油的客户中有30%要加满油箱，使用95号汽油的客户中，有60%要加满油箱，而使用98号汽油的客户中，有50%要加满油箱.现随机选择一位客户，求该客户加满油箱的概率.📚例210解01

全概率公式1101

全概率公式由题意可知，由全概率公式，该客户加满油箱的概率为📚例312解设事件X、

Y分别表示机床加工零件A与B，Z表示机床停机，由题设知由全概率公式，得01

全概率公式一个机床有的时间加工零件A，其余时间加工零件B.加工零件A时，停机的概率是0.3，加工零件B时，停机的概率是0.4，求这个机床停机的概率.从而这个机床停机的概率为01全概率公式02贝叶斯公式本讲内容甲、乙、丙三个厂生产同一种产品，其产量分别占总数的25%,35%,40%，次品率分别为5%,4%,2%，随机地从中任取一件，发现是次品，问它来自哪个厂的可能性大？📚例414解实际中还有另一类问题：已知结果求原因乙厂生产的可能性最大贝叶斯公式01

全概率公式

该公式于1763年由贝叶斯(Bayes)给出.它是在观察到事件B已发生的条件下，寻找导致B发生的每个原因的概率.设A1,A2,…,An是完备事件组，则对任一事件B，有15贝叶斯公式02

贝叶斯公式贝叶斯公式在实际中有很多应用，它可以帮助人们确定某结果发生的最可能原因.——后验概率在B已经发生的前提下，再对导致B发生的原因的可能性大小重新加以修正.P(Ai)——先验概率1602

贝叶斯公式它是由以往的经验得到的，是事件

B的原因.

（医学模型——稀有病症的诊断率问题）甲胎蛋白（AFP）免疫检测法被普遍用于肝病的早期诊断和普查.已知肝病患者经AFP检测呈阳性的概率为95%，而非肝病患者经AFP检测呈阳性（误诊）的概率为2%.设人群中肝病的发病率为0.04%，现有一人经AFP检测呈阳性，求此人确实患肝病的概率.📚例517解记A={肝病患者}，{经AFP检测呈阳性},B=02

贝叶斯公式由贝叶斯公式

经AFP检测显阳性的人，真患有肝病的人不到2%.可见，对于稀有病症，一次检测的结果不必过于担心.1802

贝叶斯公式

（例2续）现随机选择一位客户，如果该客户加满了油箱，他使用92号汽油的概率.📚例619解由题意可知，所求概率为02

贝叶斯公式在例2中已经计算出故由贝叶斯公式，换某机器由A、B、C三类元件构成,其所占比例分别为0.1,0.4,0.5,且其发生故障的概率分别为0.7,0.1,0.2.现机器发生了故障,问应从哪类元件开始检查？📚例720解设D表示“机器发生故障”，A表示“元件是A类”，B表示“元件是B类”，C表示“元件是C类”，由全概率公式02

贝叶斯公式21由贝叶斯公式故应从C元件开始检查.同理02

贝叶斯公式设有甲乙两袋，甲袋中装有N个白球，M个黑球；乙袋中装有n个白球，m个黑球，今从甲袋中任取一个球放入乙袋中，再从乙袋中任取一个球，问取到白球的概率是多少?2202

贝叶斯公式📚例8解全概率公式

从数1，2，3，4中任取一个数,记为X,再从1,⋯,X中任取一个数,记为Y,则P{Y=2}=____2302

贝叶斯公式📚例9解由全概率公式:

2402

贝叶斯公式故

2502

贝叶斯公式📚例10解

2602

贝叶斯公式贝叶斯公式

盒中有12个乒乓球，其中9个是新的，第一次比赛时从盒中任取3个,用后仍放回盒中，第二次比赛时再从盒中任取3个，求第二次取出的都是新球的概率. 若已知第二次取出的都是新球，求第一次取出的都是新球的概率.2702

贝叶斯公式📚例11解设B表示第二次比赛取到3只新球表示第1次比赛取到i只新球

根据对某地快递行业的调研，该地区95%的快递公司为优质快递公司，当商家选择这些优质快递公司时,其货物的按时送达率为98%,而当商家选择其他快递公司时,其货物的按时送达率为55%.假设有一批货物，已知其按时送达，求商家选择的是优质快递公司的概率.📚例122802贝叶斯公式解A1=“选择的是优质快递公司”，A2=“选择的是其他快递公司”，B=“货物按时送达”，由题意，2902贝叶斯公式