概率论与数理统计（慕课版第2版）课件 第1章 第6讲 事件的独立性

概率论与数理统计（慕课版）第6讲事件的独立性第1章随机事件与概率01两事件的独立性02

有限个事件的独立性03系统的可靠性问题本讲内容在100件产品中有72件为一等品，从中取两件产有放回抽样前面我们介绍了条件概率，一般来说，P(B|A)≠P(B)，3📚例1但也有例外.品，记A表示“第一件为一等品”，B表示“第二件为一等品”.两事件的独立性01

事件的独立性的定义设A,B为两事件，若则称事件A与事件B相互独立.

等价于因此，我们有如下的定义.4这就是说，已知事件A发生，并不影响事件B发生的概率，这时称事件A、B相互独立.根据乘法公式📝定义01

事件的独立性的定义5独立01

事件的独立性的定义证明若，试证：事件A与B相互独立.📚例26📝性质（1）若P(A)>0,  P(B)>0,  则也相互独立.（2）若A与B相互独立，则与B, A

与证明事件A与B

相互独立，有P(AB)=P(A)P(B).仅证事件与B相互独立，其他可类似证明.由于所以因而，事件与B

相互独立.01

事件的独立性的定义请问：如图的两个事件是独立的吗？

即A,B不独立.若A,B互斥，反之，若A,B独立，📢特别注意相互独立≠互不相容“A,B相互独立”和“A,B互不相容”不能同时成立.7若P(A)>0,P(B)>0，可以证明：即A,B相容.01

事件的独立性的定义在实际应用中，往往根据实际意义去判断是否独立.

由于“甲命中”并不影响“乙命中”的概率，故认为A、B独立.甲、乙两人向同一目标射击，记A={甲命中}，

B={乙命中}，A与B是否独立？一事件发生与否并不影响另一事件发生的概率.8📚例301

事件的独立性的定义一批产品共n件，从中抽取2件，设Ai={第i件是合格品}(i=1,2).📚例49解若抽取是有放回的,则A1与A2独立.因为第二次抽取的结果不受第一次抽取的影响.若抽取是无放回的，则A1与A2不独立.因为第二次抽取的结果受到第一次抽取的影响.01

事件的独立性的定义设随机事件A与B相互独立，A与C相互独立，且📚例510解01

事件的独立性的定义.

某公司生产洗衣机和烘干机，已知该公司生产的洗衣机有30%在保修期内需要保修服务，而该公司生产的烘干机只有10%需要保修服务。如果有人同时购买了该品牌的洗衣机和烘干机，问：在保修期内这两台机器都需要保修服务的可能性有多大？这两台机器都不需要服务的可能性有多大？11📚例6解设A表示事件“洗衣机在保修期内需要服务”，B表示事件“烘干机在保修期内需要服务”，则01

事件的独立性的定义

某公司生产洗衣机和烘干机，已知该公司生产的洗衣机有30%在保修期内需要保修服务，而该公司生产的烘干机只有10%需要保修服务。如果有人同时购买了该品牌的洗衣机和烘干机，问：在保修期内这两台机器都需要保修服务的可能性有多大？这两台机器都不需要服务的可能性有多大？12📚例6通常这两台机器相互独立工作，即A和B是相互独立的，则所求概率分别为01

事件的独立性的定义📚例7

对于任意两事件A和B有()13解01

事件的独立性的定义A.若，则A,B一定独立；B.若，则A,B有可能独立；C.若，则A,B一定独立；D.若，则A,B一定不独立.若满足的两事件不一定满足因而A,B不一定独立，只能说有可能独立，因而A不成立，B成立.📚例7

对于任意两事件A和B有()14解01

事件的独立性的定义A.若，则A,B一定独立；B.若，则A,B有可能独立；C.若，则A,B一定独立；D.若，则A,B一定不独立.若，即A,B互不相容时，也可能不独立，C,D都不对，故选B.A,B一定成立.A,B可能独立，但当

或时，有01两事件的独立性02

有限个事件的独立性03系统的可靠性问题本讲内容改将两事件独立的定义推广到三个事件：P(ABC)=四个等式同时成立，则称事件A,B,C相互独立.16有限个事件的独立性📝定义对于三个事件A,B,C，若P(AB)=P(A)P(B)P(AC)=P(A)P(C)P(BC)=P(B)P(C)P(A)P(B)P(C)01

事件的独立性的定义

n个事件A1,A2,…,An

相互独立是指下面的关推广到n个事件的独立性定义.17📝定义系式同时成立：01

事件的独立性的定义两两独立相互独立对n(n>2)个事件?18📝性质如果n个随机事件(A1,A2,⋯,An) 相互独立．则也相互独立．其中是的一个排列．📢注多个事件两两独立与相互独立的区别与联系.01

事件的独立性的定义📚例8

随机投掷编号为1与2的两个骰子，记事件A

表示1号骰子向上一面出现奇数，B

表示2号骰子向上一面出现奇数，C

表示两骰子出现的点数之和为奇数.

19则但📢本例说明不能由A,B,C

两两独立A,B,C

相互独立01

事件的独立性的定义

假设某新型高分子材料由甲、乙、丙三个团队各自独立研发，若甲的成功率为0.4，乙的成功率为0.3，丙的成功率为0.2，求该新型高分子材料研发成功的概率.📚例920设A1表示“甲研发成功”，A2表示“乙研发成功”，A3表示“丙研发成功”，则所求概率为利用独立性01

事件的独立性的定义解法1简便方法也相互独立21解法2总结：设事件相互独立，则01

事件的独立性的定义加工某一零件共需经过7道工序,每道工序的次品率都是5%，假定各道工序是互不影响的,求加工出来的零件的次品率.📚例1022解以 Ai (i=1,2,⋯,7) 表示事件“第

i 道工序出现次品”，01

事件的独立性的定义D=A1∪A2∪⋯∪A7.D表示事件“加工出来的零件为次品”，则有23由此可见，虽然每道工序次品率都很低，但次品数随工序数的增加而增加，因此对于多道工序的产品，需要有严格的控制程序.01

事件的独立性的定义24📚例11

设某种型号的高射炮命中率为0.6，若干门炮同时发射（每炮射一发）.问：欲以99%以上的概率击中敌机，至少配备几门高射炮？设至少需要n门炮，01

事件的独立性的定义解记Ai表示“第i门炮击中敌机”B表示“敌机被击中”，则(i=1,2,…,n)，25📚例11

设某种型号的高射炮命中率为0.6，若干门炮同时发射（每炮射一发）.问：欲以99%以上的概率击中敌机，至少配备几门高射炮？由题意，至少需要配备6门高射炮才能以99%以上的概率击中敌机.所以，，01

事件的独立性的定义01两事件的独立性02

有限个事件的独立性03系统的可靠性问题本讲内容改27一个元件（或系统）能正常工作的概率称为元件（或系统）的可靠性.系统由元件组成，常见的元件连接方式：串联并联1221独立性应用01

事件的独立性的定义系统的可靠性问题28📚例12

设两系统都是由

4个元件组成，每个元件正常工作的概率为

p

，每个元件是否正常工作相互独立.两系统的连接方式如下图所示，比较两系统的可靠性.A1A2B2B1S1:解01