重难点01集合与常用逻辑用语（9种解题模型与方法） -2022-2023学年高一数学考试满分全攻略（人教A版2019必修第一册）（解析版）

重难点01集合与常用逻辑用语（9种解题模型与方法）

题型山元素、了集、集合的个数

题型•：数轴法解集合问题

题型六：推出法解充分必要条件

型I元京集合之间的关系求参数范用

集合与常用逻辑用语题型七：集合法解充分必要条件

题型三venn图法解集合问题

题型八：充分、必要条件的应用

g型四：集合交、并、补全的运算

题型九：用词命题及其否定

Q能力拓展

题型一：数轴法解集合问题

1.集合的包含关系判断及应用

【解题方法点拨】

1.按照子集包含元素个数从少到多排列.

2.注意观察两个集合的公共元素，以及各自的特殊元素.

3.可以利用集合的特征性质来判断两个集合之间的关系.

4.有时借助数轴，平面直角坐标系，韦恩图等数形结合等方法.

【命题方向】通常命题的方式是小题，直接求解或判断两个或两个以上的集合的关系，可以与函数的定义

域，三角函数的解集，子集的个数，简易逻辑等知识相结合命题.

2.集合关系中的参数取值问题

【解题方法点拨】

求参数的取值或取值范围的关健，是转化条件得到相应参数的方程或不等式.本题根据元素与集合之间的

从属关系得到参数的方程，然后通过解方程求解.求解中需注意两个方面：一是考虑集合元素的无序性，

由此按分类讨论解答，二是涉及其它知识点例如函数与方程的思想，函数的零点，恒成立问题等等.

【命题方向】

集合中的参数取值范围问题，一般难度比较大，几乎与高中数学的所以知识相联系，特别是与函数问题结

合的题目，涉及恒成立，函数的导数等知识命题，值得重视.

3.交集及其运算

【解题方法点拨】解答交集问题，需要注意交集中：“且”与“所有”的理解.不能把“或”与“且”混用;

求交集的方法是：①有限集找相同；②无限集用数轴、韦恩图.

【命题方向】掌握交集的表示法，会求两个集合的交集.

命题通常以选择题、填空题为主，也可以与函数的定义域，值域，函数的单调性、复合函数的单调性等联

合命题.

4.交、并、补集的混合运算

【解题方法点拨】直接利用交集、并集、全集、补集的定义或运算性质，借助数轴或韦恩图直接解答.

【命题方向】理解交集、并集、补集的混合运算，每年高考一般都是单独命题，一道选择题或填空题，属

于基础题.

5.充分条件与必要条件

【解题方法点拨】

充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不

可.证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生

答题时往往混淆二者的关系.判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可.

判断充要条件的方法是：

①若p"q为真命题且qnp为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；

②若p=q为假命题且qnp为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；

③若p=q为真命题且q0P为真命题，则命题p是命题q的充要条件；

④若pnq为假命题且qnp为假命题，则命题p是命题q的既不充分也不必要条件.

⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q

的关系.

【命题方向】

充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内容，

多以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广.

选择题（共2小题）

1.（2021秋•武汉期末）己知集合A={x|-3WxV2},8={x|x'l},则AAB=（）

A.{x|x2-3}B.{小》I}C.{x|-3^x<1}D.{x|lWx<2}

【分析】直接根据交集的定义即可求出.

【解答］解：A={X-3WxV2},B={x|x21},则ACB={x|lWx<2}.

故选：D.

【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用.

2.（2021秋•新余期末）已知（x+a）2-16>0"的必要不充分条件是“xW-2或x23"，则实数a的最大

值为（)

A.-2B.-1C.0D.1

【分析】由(x+a)2-16>0得x<-4-a或x>4.a,根据题意得-2或x23}真包含{x|x<-4-

。或x>4-。},以此可求得。的最大值.

【解答】解：由(x+〃)2-16>0得x<-4-。或x>4-a,根据题意得-2或123}真包含{RxV

-4-。或无>4-〃},

..f-4-a<-2；解得一2WaWl,.•.实数〃的最大值是1.

14-a》3

故选：D.

【点评】本题考查一元二次不等式解法及充分、必要条件应用，考查数学运算能力，属于基础题.

二.解答题(共3小题)

3.(2022秋•东莞市校级月考)设全集为R,集合A={x|xV5},B={x|x23},求：

(1)ACB；

(2)AUB；

(3)(CRA)A(CRB)；

(4)CR(AAB).

【分析】根据集合的交并补运算性质即可求出.

【解答】解：(1)AnB={x|x<5}n{4r23}={X3Wx<5}；

(2)AU8={4x<5}U{x|x23}=R；

(3)：A={4xV5},B={x|x23},

；.CRA={X仅25},CRB={X|XV3},

(CRA)A(CRB)=0；

(4)'：AHB={x\3^x<5},

：.QR(AAB)={加<3或X25}.

【点评】本题考查了集合的交并补运算，属于基础题.

4.(2021秋•成都期末)集合4={4?+2%-3<0},B={xC={x|2aWxWa+3,aeR).

⑴求(CRA)n&

(2)请从①BCC=C,②8CC=0,③C些B这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数a的取值范围.

【分析】(1)解不等式化简集合A=(-3,1),B=(-1,5),再求CRA,最后求(CRA)OB；

(2)选①时，可得C&B,从而按C是否为空集分类讨论即可：

选②时，按C是否为空集分类讨论即可；

选③时，由题意知C茎B,从而按C是否为空集分类讨论即可.

【解答】解：(1)：/+2x-3<0,(x-1)(x+3)<0,

解得，-3<x<l,故人=(-3,1)；

x+1x+1

解得，-l<x<5,故B=(-1,5)；

故CRA=(-8,-3]u[1,+8),

故(CRA)AB=[1,5)；

(2)选①：；Bnc=c,;.CUB,

当C=0,即2“>“+3,”>3时，满足题意：

当CW0,即2aWa+3,aW3时,

2a>-1

a+3<5

解得，-工<。<2；

2

综上所述，实数。的取值范围为(-工，2)U(3,+8).

2

选②：当C=0,BP2a>a+3,a>3时，满足题意；

当CW0,即2a这a+3,“W3时，

a+3W-1或2心5,

解得，。忘-4或。、5；

2

故aW-4或至

2

综上所述，实数”的取值范围为(-8,-4]U也，+8).

2

选③：由题意知，C呈B,

当。=0,即2〃>〃+3,。>3时，满足题意；

当CW0,即2aW〃+3,时，

2a>-1

a+3<5

解得，

2

综上所述，实数〃的取值范围为(-工，2)U(3,+8).

2

【点评】本题考查了集合的化简与集合间关系的应用，同时考查了不等式的解法，属于中档题.

5.(2022秋•朝阳区校级期中)已知函数/(x)=>(x+3)(4-x)的定义域为集合A，集合B={x||x-

a}.

(I)求集合A：

(0)若全集U=R,。=2,求ACCuB；

(III)若3日，求a的取值范围.

【分析】(I)根据使得函数f(x)=：(x+3)(4-X)的表达式有意义可求得集合A；

(II)根据集合运算定义运算即可；

(III)根据集合间关系可解决此题.

【解答】解：(I)要使得函数/(x)=:(x+3)(4-x)的表达式有意义,

则(x+3)(4-x)20,解得X1-3,4],...函数定义域4=[-3,4]；

(II)当a=2时,B={x\\x-l|<a}=(-1,3),CCuB=[-3,4]D[(--1]U[3,+°°)]=[-

3,-1]U[3,4]；

(III)8={x|l-a<x<\+a]

当8=0时，l-a2l+a即aWO时满足题意，

\>0

当3W0时，由8UA得，解得0<aW3,

,l+a<4

综上，。的取值范围是(-8,3j.

【点评】本题考查函数定义域求法、集合运算、集合间关系、不等式组解法，考查数学运算能力.属于

中档题.

题型二：由元素集合之间的关系求参数范围

1.元素与集合关系的判断

【解题方法点拨】

集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意.分类讨论的思想方法常用于解决集合问题.

2.集合的表示法

【解题方法点拨】

在掌握基本知识的基础上，(例如方程的解，不等式的解法等等)，初步利用数形结合思想解答问题，

例如数轴的应用，私〃"图的应用，通过转化思想解答.注意解题过程中注意元素的属性的不同，例如：{x|2x

-1>0}表示实数x的范围；{(x,y)|y-2x=0}表示方程的解或点的坐标.

【命题方向】

本考点是考试命题常考内容，多在选择题，填空题值出现，可以与集合的基本关系，不等式，简易逻

辑，立体几何，线性规划，概率等知识相结合.

3.集合的相等

【解题方法点拨】

集合A与集合B相等，是指A的每一个元素都在8中，而且8中的每一个元素都在A中.解题时往

往只解答一个问题，忽视另一个问题；解题后注意集合满足元素的互异性.

【命题方向】

通常是判断两个集合是不是同一个集合；利用相等集合求出变量的值；与集合的运算相联系，也可能

与函数的定义域、值域联系命题，多以小题选择题与填空题的形式出现，有时出现在大题的一小问.

4.集合的包含关系判断及应用

【解题方法点拨】

1.按照子集包含元素个数从少到多排列.

2.注意观察两个集合的公共元素，以及各自的特殊元素.

3.可以利用集合的特征性质来判断两个集合之间的关系.

4.有时借助数轴，平面直角坐标系，韦恩图等数形结合等方法.

【命题方向】通常命题的方式是小题，直接求解或判断两个或两个以上的集合的关系，可以与函数的定义

域，三角函数的解集，子集的个数，简易逻辑等知识相结合命题.

5.子集与真子集

【解题方法点拨】

注意真子集和子集的区别，不可混为一谈，AUB,并且BUA时，有A=B,但是AuB,并且8uA,是

不能同时成立的；子集个数的求法，空集与自身是不可忽视的.

【命题方向】

本考点要求理解，高考会考中多以选择题、填空题为主，曾经考查子集个数问题，常常与集合的运算,

概率，函数的基本性质结合命题.

6.集合中元素个数的最值

【解题方法点拨】

求集合中元素个数的最大（小）值问题的方法通常有：类分法、构造法、反证法、一般问题特殊化、

特殊问题一般化等.需要注意的是，有时一道题需要综合运用几种方法才能解决.

7.交集及其运算

【解题方法点拨】解答交集问题，需要注意交集中：“且”与“所有”的理解.不能把“或”与“且”混用；

求交集的方法是：①有限集找相同；②无限集用数轴、韦恩图.

【命题方向】掌握交集的表示法，会求两个集合的交集.

命题通常以选择题、填空题为主，也可以与函数的定义域，值域，函数的单调性、复合函数的单调性等联

合命题.

8.交、并、补集的混合运算

【解题方法点拨】直接利用交集、并集、全集、补集的定义或运算性质，借助数轴或韦恩图直接解答.

【命题方向】理解交集、并集、补集的混合运算，每年高考一般都是单独命题，一道选择题或填空题，属

于基础题.

选择题（共7小题）

1.（2022秋•广州月考）已知集合4={小=2巾-1,m6Z},8={小=2〃，neZ},且xi,X2GA,X3EB,则

下列判断不正确的是（）

A.Xi,X2&AB.X2*X3&BC.x\+xi&BD.XI+X2+X36A

【分析】由题意可得4为奇数集，B为偶数集,又xi,A2G/1,X3EB,从而可得x\+xi&B,

X1+JQ+X3CB,从而得解.

【解答】解：''A={x\x=2m-\,mGZ）,B={x[x=2n,nGZ）,

•••A为奇数集，B为偶数集，

又XI,X2&A,X3EB,

/.XI,X2GA,X2*X3&B,X\+X1EB,X1+JV2+X368,

B,C正确，。错误.

故选：D.

【点评】本题考查元素与集合的关系，属基础题.

2.（2022秋•新罗区校级月考）下列元素与集合的关系判断正确的是（）

A.OeNB.neQC.D.-1任Z

【分析】根据集合N,Q,R,Z的定义即可求解.

【解答】解：根据集合MQ,R,Z的定义易得A正确，其余选项错误.

故选:A.

【点评】本题考查集合N,。，R,Z的定义，属基础题.

3.（2022秋•武清区校级月考）下列各式中关系符号运用正确的是（）

A.1^{0,1,2}B.06{0,1,2）C.0c{2,0,1}D.{l）G{0,1,2）

【分析】根据元素与集合的关系，集合与集合的关系，空集的概念即可求解.

【解答】解：对A,1,2},；.A错误；

对8,：02O,1,2},错误;

对C,：0a{2,0,1）,；.C正确；

对。，：{1泛{0,1,2},.•.£）错误.

故选：C.

【点评】本题考查元素与集合的关系，集合与集合的关系，空集的概念，属基础题.

2

4.（2022秋•雁塔区校级月考）若集合A={（〃?，〃）上空曲1=1（）2021,%z,〃€N*},则集合A的元

2

素个数为（）

A.4042B.4044C.20212D.20222

【分析】将条件变形为，7（/2%+1）=22022x52021,然后讨论〃为偶数和奇数两种情况，进而通过列举法

求得答案.

【解答】解：由题意,n（〃+2〃?+1）=22022X52021,

若〃为偶数，〃+2"?+1为奇数，

…r202120221

若"=22022,n+2m+1=5202,m=-....-O....-GZ,

2

以此类推，n=22022X5,n=22022X52021,共2022个”，每个〃对应一个m€Z；

同理，若"为奇数，〃+2/n+l为偶数，此时〃=5°,51,52021,共2022个“，每个"对应一个“eZ.

于是，共有4044个〃，每一个〃对应一个相满足题意.

故选：B.

【点评】本题主要考查元素与集合的关系，属于基础题.

5.（2022秋•广州月考）若则实数。的取值范围是（）

ax-l

A.a>\B.C.或a〈0D.。>1或

【分析】因为l£3」一W0},所以分当x=l时，无意义和_l>o两种情况，分别求解再求

ax-1ax-1ax-l

并集即可.

【解答】解：因为1至国^^《0},所以分如下两种情况：

ax-l

①当X=1时，---W0无意义，即4-1=0,解得Q=l.

ax-l

②当X=1时，即」->0,解得a>l.

ax-la-1

综上所述，

故选：B.

【点评】本题主要考查元素和集合之间的关系，属于基础题.

6.（2022秋•栖霞区校级期中）已知集合且加Z},N={x\x=IL-l,〃€Z},2={小=昱+」,

62326

pEZ},则集合M,N,尸的关系为（）

A.M=N=PB.MQN=PC.MGNGPD."GN,NAP=0

【分析】先化简M,M再由子集的概念与相等集的概念即可求解.

【解答】解：♦..〃={X卜=包工»,«7€Z}={X|X=曳S±L,依Z},

66

^={x|x=3nz2_,neZ}={x|x=2k±L,&ez},

66

P={x|x=R+工，pez}={x|x=3p+l,pez},

266

故选:B.

【点评】本题考查子集的概念与相等集的概念，属基础题.

7.（2022秋咱云区校级月考）设集合4=3/+公+1，0}满足RUA,则实数。的取值范围是（）

A.0<a<4B.0«4C.0WaW4D.0<aW4

【分析】将集合4={况以2+以+］，0}满足转化为Vx6R,a^+ax+l20恒成立，分a=0和aWO两种

情况讨论，即可求解.

【解答】解：由题意可知，A=R,即VxCR,a^+ax+l》。恒成立，

①当a=0时，120,恒成立；

cfa>0

②当a/0时，，解得0<aW4；

,△=a-4a<0

综上所述，0WaW4.

故选：C.

【点评】本题考查的知识点是集合的包含关系判断及应用，集合关系中的参数问题，难度中档.

多选题（共1小题）

（多选）8.（2022秋咱云区校级月考）已知4={/+/为yEZ},且归4,b&A,则下列结论中正确是（）

A.abEAB.a+bWA

C.c^b&AD.a202ih2022eA

【分析】先举反例判断出BC错误，再由本题是多选题，利用排除法能求出A。正确.

【解答]解：当°=产+12=2,6=。2+22=4时，

a+b=6iA,故选项8错误；

当4=12+12=2,。=。2+22=4时，a2b=]6《A,故选项C错误；

由排除法得A。正确.

故选：AD.

【点评】利用集合中元素的性质结合多选题解题规则，利用排除法能准确求解，是基础题.

三.填空题(共5小题)

9.(2022秋•徐汇区校级月考)已知集合M={(x,y)\3x+4y-12<0,x,yGN,孙>0},则集合”的非空

真子集有6个.

【分析】直接分类讨论即可求解集合M,从而得集合M的非空真子集个数.

【解答】解：'：M={(x,y)\3x+4y-12<0,尤，>€N,xy>0},

当x=l时，4y<9,y=l,2,

当x=2时，4y<6,y—1,

当x=3时，4y<3,y无解，

：.M={(1,1),(1,2),(2,1)},

的非空真子集有{(1,1)},{(1,2)},{(2,1)},

{(1,1),(1,2)},{(1,1),(2,1)},{(1,2),(2,1)供6个，

故答案为：6.

【点评】本题考查集分类讨论思想，集合的子集个数问题，属基础题.

10.(2022秋•徐汇区校级月考)已知集合A={My=J7i5•遥三},集合B={x|p+l-1},若8UA,

则实数p的取值范围是(-8,3].

【分析】先化简A集合，再对B分8=0与8W0两类讨论即可求解.

【解答】解：•••?!=[-2,5],又B="b+lWxW2p-I},且BUA,

二①8=0时，p+l>2p-1,.,./?<2；

rp>2

②BW0时，.p+l>-2>，2WpW3,

2D-1<5

综合可得实数P的取值范围是(-8,3].

故答案为：(-8,3].

【点评】本题考查集合的关系，分类讨论思想，属基础题.

11.(2022秋•浦东新区校级月考)已知函数/(x)=/+以，记集合A={W(x)=0,xGR),8={x*(x)]

=0,x€R},若4=BW0,则n的取值范围是[0,4).

【分析】由/(x)=/+以=0得x=0或尤=-〃；分类讨论求”的取值范围即可.

【解答】解：(x)=/+”x=0,

/.x=0或》=-n；

①当〃=0时，A={0},8={0},

故成立；

②当〃W0时，A={0,-n],

•.•川(尤)]=0,

(x)+nf(x)=0,

/./(x)=0或/(x)--n,

.".x2+nx=0或，+〃x=-n,

.,.x=0或x—-〃或/+«%=-n,

"：A=B,

方程x2+nx=-n无解，

即方程/+以+〃=0无解，

即△—rr-4〃<0,

故0VZ4,

综上所述，〃的取值范围是[0,4).

故答案为：[0,4).

【点评】本题考查了集合的应用及分类讨论的思想方法的应用，属于中档题.

12.(2022秋•白云区校级月考)已知4=口€对，-如+/-3=0},且满足A={x|x>0},则“的取值范围是

{"I">V^或a<-2}.

【分析】由已知对A是否为空集进行分类讨论，然后结合集合的包含及二次方程根的存在条件可求.

【解答】解：,.,A={xeR|x2-ax+a2-3=0},且满足AU{中>0},

当A=0,即AMIZ-S/VO,解得a>2或a<-2,

当时，由题意得/-以+/-3=0有两个正根，

12-3a2>0_

故，a>0,解得禽<a<2,

a2-3>0

综上，〃的取值范围为{而〉遥或a<-2}.

故答案为：或

【点评】本题主要考查根据集合的求参数，体现了分类讨论思想的应用，属于中档题.

13.（2022•浦东新区校级开学）用|川表示非空集合A中元素的个数，定义A*B=["'出।

|B|-|A|.|B|>|A|

若A={0,1},8={力（?+ox）（/+av+3）=0},A*B=\,则实数a的所有可能取值构成集合S,则S=

[0,-273,2«}_（请用列举法表示）.

【分析】根据题意，可得囿=2,则可通过讨论网与|用的大小，进而得到结果，具体过程详见解析.

【解答】解：根据题意，A={0,1},则有囿=2,

又因为B={x|（f+ov）（/+or+3）=0},

即得|B|表示方程（/+以）（/+办+3）=0实数根的个数，

解这个方程得①/+以=0,或②/+ov+3=0

解方程①得xi=0,xi--a,

解方程②得，若J-12>0,即a〉蓊或a<-蓊时，方程有两个不等实根分别为卷-.2-电,

x32

-aWa2-12

x4=2；

若。2-12=0,即a=-2\行或a=W^时，方程有且只有一个实根；

若廿-12<0,即-蓊<a<蓊时，方程没有实数根.

综上可得，⑺当a>2AB或a<-2V®时，|阴=4；

（〃）当a=-2«或a=2V^时，1阴=3；

（/〃）当a=0时，网=1

所以（1）当囿2|8|时，A*8=|A|-网=1,即得|8|=1,

此时可得。=0；

（2）当|A|V网时，即得圜=3,此时可得a=-2、行或a=W^；

故答案为：{0,-2A/3,2A/3）.

【点评】本题主要考查一元二次方程根的求解，以及分类讨论在解题中的使用，属于中档题.

四.解答题（共7小题）

14.（2022秋•桐城市校级月考）给定非空数集A,若对于任意a,beA,有a+旄A,a-b&A,则称集合A

为闭集合.

(1)判断集合Ai={-4,-2,0,2,4),A2={X|X=3人,依Z}是否为闭集合，并加以证明;

(2)证明：已知4,8是闭集合，且AUB是闭集合，贝"AUS或BUA.

【分析】(1)根据闭集合的定义判断即可求解；

(2)根据闭集合的定义证明即可.

【解答】解：(1)因为4eAi,2GAi,4+2—6fiAi,所以4不是闭集合；

任取x,y&B,设x=3，w,y—3n,m,〃6Z,则x+y=3〃?+3〃=3(m+n)且，“+”6Z,

所以x+)，6B,同理，x-yEB,故B为闭集合；

证明：(2)任取x€A,可得x,yGAUB,因为AUB是优集，

则x+yCAUB,x-yeAUB,

若x+yCB,则彳=(x+y)-yGB,此时AU8；

若x+y€A,贝!])，=(x+y)-xEA,此时BUA.

【点评】本题主要考查元素与集合的关系，属于基础题.

15.(2022秋•仁寿县校级月考)已知集合2={x|-1WXW4},B={x|xV-2或x>5}.

(1)求CRA，(CRA)DB；

(2)若集合C={x[2m<xVm+l},且ElxeC,x€A为假命题.求机的取值范围.

【分析】(1)直接进行集合运算即可得解；

(2)由题意可得AAC=0,再分类讨论即可求解.

【解答】解：(1)：A={xL1WXW4},B={x|x<-2或x>5},

CR/1=(-°O,-1)U(4,+8),

(CRA)CB=(…，-2)U(5,+0°)；

(2)V3xec,xeA为假命题,

/.V.r6C>.r?A为真命题，

.,.anc=0,

又A={x|-1WxW4},C={x|2〃?<x<〃?+l},

①当C=0时，满足题意，

②当CW0时，又ACC=0,

.(2m<111+1或[2m<m+l

12m^4

解得mW-2,

综合可得：机的取值范围为(-8,-2]U[1,+8).

【点评】本题考查集合的基本运算，分类讨论思想，属基础题.

16.(2022秋•闵行区校级月考)设A为非空集合，定义AXA={(x,y)|x,yEA](其中(x,y)表示有序

对)，称AX4的任意非空子集R为A上的一个关系.例如A={0,1,2}时，AX4与{(0,0),(2,1)}

都是A上的关系.

设R为非空集合A上的关系.给出如下定义：

①(自反性)若对任意在4有(x,x)6R,则称R在A上是自反的；

②(对称性)若对任意(x,y)£R,有(y,x)eR,则称R在4上是对称的；

③(传递性)若对任意(x,>'),(y,z)eR,有(x,z)GR,则称R在A上是传递的.

如果A上关系R同时满足上述3条性质，则称R为A上的等价关系.

任给集合Si,S2,…,Sm,定义S1US2U“・US”为{小WSl,X&S2,…，或尤集,}.

(1)若4={0,1,2},问：4上关系有多少个？4上等价关系有多少个？(不必说明理由)

(2)若集合A有〃个元素4的非空子集4,A2,…，A>„(1W,”W〃)两两交集为空集，且A=

AiUA2U-UA„,求证：R=(4X4)U(A2XA2)U-U(AmXAm)为等价关系.

(3)若集合A有〃个元素5》1),问：对A上的任意等价关系上是否存在A的非空子集4,A2,…，

其中任意两个交集为空集，KA=AiUA2U-UAm,使得R=(A1XA1)U(A2XA2)U-

uCAmXAm)?请判断并说明理由.

【分析】(1)先用列举法写出集合AXA,其非空子集个数即为其关系个数.等价关系也可用例举法列出来.

(2)要证R=(A1XA1)U(A2XA2)U-U(A,”X4„)为集合4上的等价关系，只需证集合R在集合4

上上满不满足自反性、对称性、传递性.

(3)只需判断针对集合A上包含不同元素个数的子集4对应的集合(4义4)UR即可.

【解答】解：(1)由题意得，AXA={(0,0),(0,I),(1,0),(1,1),(0,2),(2,0),(2,2),(1,

2),(2,1)},共有9个元素，

则有2叱1=512-1=511个非空子集，即A上的关系有511个.

所有等价关系Ri={(0，0),(1,1),(2,2)},

R2={(0,0),(1,1),(2,2),(0,1),(1,0)},

R3={(0,0),(1,1),(2,2),(0,2),(2,0)},

R4={(0,0),(1,1),(2,2),(2,1),(1,2)},

R5={(0,0),(1,1),(22),(0,1),(1,0),(0,2),(2,0),(2,1),(1,2)},共有5个.

(2)证明：令4={ai,ai,a3,•••,an]

因为A的非空子集Ai,A2,…，A,n(lWmW〃)两两交集为空集，且A=AiUA2U…LM,”，

设a’eA，(1WsW/nW"),则除了集合4外，其余集合不包含“$,

则{(磁，z)}£(4X4),又因为(4X4)£(AiXAi)U(A2XA2)U...U(AmXAm),

则(as,as)GR.即R在A上是自反的.

设as,at&A(IWfW/nW"),则除了集合4外，其余集合不包含a5,at,

则{(as,at),Cat,z)}U(AtXAt),又因为(4XA,)，(A,X4Z)c(4x4)U(A2XA2)U...U(Am

XAm)；

则(as,at)GR,(at,z)eR,即R在A上是对称的.

设as,at,ak&A(1W火WmW"),则除了集合At外，其余集合不包含a”at,ak,

则{(a”at),(as,ak),(at,a?)}U(4X4Q,

又因为(4XAQc)c(4XA1)U(A2XA2)U...U(AmXAQ；

则{(z,at)GR,(如，aOGR,(s,z)CR,即R在A上是传递的；

综上所述，R=(A1XA1)U(A2XA2)U...U(AmXAm)为A上的等价关系.

(3)令4={41,“2,43,…，an](〃2l),

因为R为4上的等价关系，则R为集合AXA={a,y)lx,y€A}的非空子集，

因为A的非空子集Ai,A2,…，Am两两交集为空集，且A=4UA2U…UA,”，

设asGAs(1WSW/MW〃)，则除了集合4s外，其余集合不包含z,

则VasCA,必有(z,Z)6R,则(4X4)CR,

设at,atEA(1这《WfW/nC〃),则除了集合4外，其余集合不包含以,at,

则(a*,ak)6R,(at,at)GR.(at,at)GR,(ArXAr)UR,

设ax,ay,seAt(1WxWyWzWmW”)，则除了集合4外，其余集合不包含a1，ay,az,

则{(ax,a*),(“y,的)，(“z,a?)}[R,贝!](a*,a、,)eR,(“>,az)6R,生)CR,故(AxXAQ-

...不管集合4(lW,W/nW〃)中有几个元素，都能保证(4X4)CR,

则7?=(4X4)U(A2XA2)U...U(AmXAm)；

综上所述，对A上的任意等价关系R,存在A的非空子集Ai,A2,…，A,n,(1W%W"),

其中任意两个交集为空集，且A=AIUA2U…U/U,

使得R=(A1XA1)U(A2X42)U...U(AmXAm\

【点评】本题主要考查元素与集合的关系，属于中档题.

17.(2022秋•于洪区校级月考)已知集合4=国0?+法+1=0,aGR,b&R},求：

(1)当6=2时，A中至多只有一个元素，求”的取值范围；

（2）当a、b满足什么条件时,集合A为空集.

【分析】（1）化简方程为“/+级+1=0,分类讨论求解；

（2）按方程是否为二次方程分类讨论求解.

【解答】解：（1）由题意得，方程可化为a/+2r+l=0,

①当〃=0时，方程可化为2x+l=0,

A=｛-成立；

2

②当“W0时，

YA中至多只有一个元素，

/.△=22-4a<0,

解得421,

综上所述，”的取值范围为｛如/=0或｝；

（2）①当“=0时，方程可化为法+1=0,

为空集，

：.b=0；

②当aWO时，

VA为空集，

A=序-4a<0,

综上所述，当a=b=O或层-4a<0（aWO）时，集合A为空集.

【点评】本题考查了方程的解的个数及集合中元素个数的应用，应用了分类讨论的思想，属于中档题.

18.（2022秋•伊川县校级月考）已知集合4的元素全为实数，且满足：若则上应6人

l~a

（1）若a=-3,求出A中其他所有元素；

（2）0是不是集合4中的元素？请你设计一个实数托4再求出A中的元素.

【分析】（1）根据定义直接计算即可得到A中其他所有元素；

（2）先假设依定义判断即可；取。=3,根据定义直接计算即可得到A中其他所有元素.

【解答】解：（1）由题意可知：-36A,则1+（七）=-<用,------J=2eA,―==2€A,上也

1-（-3）23「1-2

、2,3

-3GA,

所以A中其他所有元素为-工，1,2.

23

(2)

假设OEA,则工&=1£A,而当1EA时，上应不存在，假设不成立，

1-0l-a

所以0不是A的元素，

取a=3,则lil=_2eA,1+(-2,=_工0,--------IgA—^-=3€4

1-31-(-2)321」

、32

所以当364A中的元素是：3,-2,-1,1.

32

【点评】本题主要考查元素和集合之间的关系，属于基础题.

19.(2022秋•甘州区校级月考)已知集合A={x|/+2x-8<0},B={X|'^—<3卜C={xlx2-3ax+2a2<

0}.

(1)求AC8；

(2)若CM(ACS),求实数。的取值范围.

【分析】(1)化简集合A、B,再求AQB即可;

(2)化简x2-3ax+2a2—(x-2a)(x-a)<0,分类讨论确定集合C,从而利用CQ(AAB)求实数a的

取值范围.

【解答】解：(1)4={x|f+2x-8<0}={x|-4<x<2},

••1

■2^43,

-1

-3<0'

2-x

gp1-3(2-x)<Q,

2-x

即3x-5wo,

2-x

(3x-5)(x-2)

即

x-2卢0

解得X。或x>2,

AAPlB={XI-4<x<|"}；

(2)x2-3ax+2a2=(x-2a)(x-a)<0,

①当。>0时,C={x\a<x<2a],

a〉-4

则2a<-1-

o

解得0<a<T"

6

②当4=0时，C=0,成立；

③当“V0时，C={x[la<x<a},

2a>-4

则15，解得-24<0.

a《不

综上所述，〃的取值范围是[-2,

6

【点评】本题考查了集合的化简与运算，同时考查了分类讨论的思想，属于中档题.

20.（2022春•东城区期末）设A是非空实数集，且0CA.若对于任意的x,都有孙6A,则称集合A

具有性质为；若对于任意的x,yCA,都有三€A，则称集合A具有性质P2.

y

（1）写出一个恰含有两个元素且具有性质P的集合A；

（2）若非空实数集A具有性质出，求证：集合A具有性质P；

（3）设全集U={x|xW0,x6R},是否存在具有性质P的非空实数集A,使得集合CuA具有性质放？若存

在，写出这样的一个集合A；若不存在，说明理由.

【分析】（1）根据题意直接写出即可.

（2）根据性质P2可知1CA,分别说明集合A中元素为1个、2个、大于2个时，集合中元素满足性质Pi

即可.

（3）由题意可知1eCuA,且CuA不是单元素集{1},令aeA,beCuA,ceCuA,且cKl,则可分别说明当“eCuA

与当ac&A时矛盾.

【解答】解：（1）由题意可得恰含有两个元素且具有性质P的集合A={-1,1},

（2）若集合A具有性质P2,不妨设

由非空数集A具有性质P2,有曳=1£A-

a

①若A={l}，易知此时集合A具有性质P.

②若实数集A只含有两个元素，不妨设A={1,«i},

由且解得切=-1，此时集合A具有性质P.

al1

③若实数集A含有两个以上的元素，不妨设不为1的元素“I,Q2CA,

则有」一€A，由于集合4具有性质收，

al

所以有._!_=€A，这说明集合A具有性质P;

乙a11z

（3）不存在具有性质Pi的非空实数集4,使得集合CuA具有性质P2,

由于非空实数集4具有性质P1,令集合B=CuA,

依题意不妨设a&A,

因为集合B具有性质尸2,所以旦=I€B，

b

若3={1},则上左曲否则leA,这与B={1}矛盾，

a

故集合B不是单元素集{1},

令且cWl,

①若ac€8,可得亘二£B，即”€8，这与B=Cu4矛盾；

C

②若“ceA,由于所以LEB，因此c.L=ac€这与acE4矛盾，

aa

综上可得：不存在具有性质P\的非空实数集A,使得集合Cu4具有性质P2.

【点评】本题考查了集合的基本性质，属于中档题.

题型三：venn图法解集合问题

Venn图表达集合的关系及运算

【解题方法点拨】在解题时，弄清元素与集合的隶属关系以及集合之间的包含关系，结合题目应很好地使

用区〃〃图表达集合的关系及运算，利用直观图示帮助我们理解抽象概念.该〃〃图解题，就必须能正确理解

题目中的集合之间的运算及关系并用图形准确表示出来.

【命题方向】一般情况涉及Venn图的交集、并集、补集的简单运算，也可以与信息迁移，应用性开放问题.也

可以联系实际命题.

选择题（共4小题）

1.（2021秋•西湖区校级期末）已知全集"=??,集合4={如，=/+3,xeR},B={x\-2<x<4],则图中阴

影部分表示的集合为（）

A.[-2,3]B.(-2,3)C.(-2,3]D.[-2,3)

【分析】由图可知阴影部分表示的集合为BncuA,再进行交集和补集的运算即可求解.

【解答】解：由图可知阴影部分表示的集合为BACuA,

因为集合4={九=4+3,x€R}={y|y23}=[3,+~）,又全集U=R,

所以Cu4=（-8,3）,因为B={x|-2VxV4}=（-2,4）,

所以BCCu4=（-2,3）.

故选：B.

【点评】本题主要考查论〃〃图表达集合的关系及运算，属于基础题.

2.（2022秋•渝中区校级月考）为丰富学生的课外活动，学校开展了丰富的选修课，参与“数学建模选修课”

的有169人，参与“语文素养选修课”的有158人，参与“国际视野选修课”的有146人，三项选修课

都参与的有30人，三项选修课都没有参与的有20人，全校共有400人.问只参与两项活动的同学有多

少人？（）

A.30B.31C.32D.33

【分析】根据集合之间的关系求解即可.

【解答】解：由题意得，只参与两项活动的同学有169+158+146+20-400-30X2=33人.

故选：D.

【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础.

3.（2022秋•洛阳月考）已知全集U=R,集合A={0,1,2},B={x|/+x=0},则下列关于集合A,B关系

的韦恩图正确的是（）

【分析】求得集合B,根据集合之间的关系求解即可.

【解答】解：•集合8={x|，+x=0},.•.8={0,-1},

•.,集合A={0,1,2},.\AnB={0},AU8={-1,0,1,2}.

故选：A.

【点评】本题主要考查了%，口图表达集合的关系及运算，以及集合包含关系，属于基础题.

4.（2022秋•南明区校级月考）设集合U=R,A={x[l<x<3},B={x|x<2},则图中阴影部分表示的集合

()

A.B.{x|xW3}C.{Xl〈xW2}D.{x|2Wx<3}

【分析】图中阴影部分表示的集合为AC(CuB),结合已知中的集合A,B,可得答案.

【解答】解：♦••B={x|xV2},.•.CuB={4r22},

VA={x|l<x<3},：.AQ(CuB)={x|2Wx<3},

故选：D.

【点评】本题主要考查集合的基本运算，利用论〃〃图先确定集合关系是解决本题的关键，比较基础.

二.填空题(共2小题)

5.(2021秋•宿迁期末)立德中学有35人参加“学党史知识竞赛”若答对第一题的有20人，答对第二题的

有16人，两题都答对的