2025版高考数学一轮总复习6.3等比数列习题

.3等比数列基础篇固本夯基考点一等比数列及其前n项和1.(2024课标Ⅲ,5,5分)已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为15,且a5=3a3+4a1,则a3=()A.16B.8C.4D.2答案C2.(2024安徽安庆一模,6)数列{an}是各项均为正数的等比数列,3a2是a3与2a4的等差中项,则{an}的公比等于()A.2B.32C.3D.答案B3.(2024黑龙江齐齐哈尔一模,6)已知等比数列{an}中,anan+1=4n,则公比为()A.2B.2C.±2D.±2答案B4.(2024课标Ⅱ,6,5分)数列{an}中,a1=2,am+n=aman.若ak+1+ak+2+…+ak+10=215-25,则k=()A.2B.3C.4D.5答案C5.(2024届河北衡水一中调研一,7)在公差不为0的等差数列{an}中,a1,a2,ak1,ak2,ak3成公比为4的等比数列,A.84B.86C.88D.96答案B6.(2024哈尔滨六中期中,3)已知{an}为等比数列,若a2a3=2a1,且a4与2a7的等差中项为54,则a1=(A.35B.33C.16D.29答案C7.(2024届四川绵阳第一次诊断,9)已知首项为1的数列{an}的前n项和为Sn,4anan+1=16n,则下列说法不正确的是()A.数列{an}是等比数列B.数列{Sn}为单调递增数列C.a5=256D.4an=3Sn+4n-1答案D8.(2024届太原期中,9)已知{an}为等比数列,且首项为31,公比为12,则数列的前n项积取得最大值时,n=(A.15B.16C.5D.6答案C9.(2024陕西渭南一模,10)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,若S2mSm=3332,am+3a3=mA.2B.-2C.12D.-答案C10.(2024课标Ⅰ,14,5分)记Sn为等比数列{an}的前n项和.若a1=13,a42=a6,则S5答案12111.(2024陕西宝鸡一模,15)记Sn为等比数列{an}的前n项和.若S3=6,S4=a1-3,则S6=.

答案2112.(2024河南、湖南名校联考,15)已知等比数列{an}满意a1-a3=-827,a2-a4=-89,则使a1a2…an取得最小值的n为答案3或413.(2024课标Ⅲ,17,12分)等比数列{an}中,a1=1,a5=4a3.(1)求{an}的通项公式;(2)记Sn为{an}的前n项和.若Sm=63,求m.解析(1)设{an}的公比为q,由题设得an=qn-1.由已知得q4=4q2,解得q=0(舍去)或q=-2或q=2.故an=(-2)n-1或an=2n-1.(2)若an=(-2)n-1,则Sn=1-(-2)n3.由Sm=63得(-2)m=-188.此方程没有正整数解.若an=2n-1,则Sn=2n-1.由Sm=63得2m14.(2024新高考Ⅰ,Ⅱ,18,12分)已知公比大于1的等比数列{an}满意a2+a4=20,a3=8.(1)求{an}的通项公式;(2)(新高考Ⅰ)记bm为{an}在区间(0,m](m∈N*)中的项的个数,求数列{bm}的前100项和S100.(新高考Ⅱ)求a1a2-a2a3+…+(-1)n-1anan+1.解析(1)设{an}的公比为q.由题设得a1q+a1q3=20,a1q2=8.解得q1=12(舍去),q2=2.由题设得a1=2.所以{an}的通项公式为an=2n(2)(新高考Ⅰ)由题设及(1)知b1=0,且当2n≤m<2n+1时,bm=n.所以S100=b1+(b2+b3)+(b4+b5+b6+b7)+…+(b32+b33+…+b63)+(b64+b65+…+b100)=0+1×2+2×22+3×23+4×24+5×25+6×(100-63)=480.(新高考Ⅱ)a1a2-a2a3+…+(-1)n-1anan+1=23-25+27-29+…+(-1)n-1·22n+1=23[1-(-22考点二等比数列的性质1.(2024江西红色七校联考,6)在各项均为正数的等比数列{an}中,a1a11+2a6a8+a3a13=25,则a1a13的最大值是()A.25B.254C.5D.答案B2.(2024云南名校检测,3)设等比数列{an}的前n项和为Sn,若S2=4,S4=16,则S6=()A.52B.75C.60D.70答案A3.(2024南昌模拟,4)在公比不为1的等比数列{an}中,若a1a5=aman,则mn不行能为()A.5B.6C.8D.9答案B4.(2024河南名校联考,6)已知等比数列{an}的前n项和Sn=2λ+(λ-3)·2n(λ为常数),则λ=()A.-2B.-1C.1D.2答案C5.(2024全国甲,7,5分)等比数列{an}的公比为q,前n项和为Sn.设甲:q>0,乙:{Sn}是递增数列,则()A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件答案B6.(2024届吉林东北师范高校附属中学摸底,8)若正项等比数列{an}中的a5,a2017是方程x2-4x+2=0的两根,则log2a1+log2a2+log2a3+…+log2a2024=()A.20223B.1010C.20212答案C7.(2024届河南重点中学模拟一,8)已知公比不等于1的等比数列{an}的前n项乘积为Tn,若a2a82=a62,A.T5=T7B.T3=T6C.T4=T7D.T3=T9答案C8.(2024安徽黄山重点中学月考,10)已知函数f(x)=21+x2(x∈R),若等比数列{an}满意a1a2024=1,则f(a1)+f(a2)+f(a3)+…+f(a2024)=A.2024B.20192C.2D.答案A9.(2024宁夏名校月考,7)已知数列{xn}满意lgxn+1=1+lgxn(n∈N*),且x1+x2+x3+…+x100=1,则lg(x101+x102+…+x200)=.

答案100综合篇知能转换考法等比数列的判定与证明1.(2024皖江名校联盟考试,4)若数列{an}的各项均为正数,满意an2an+1=an-1(n∈N*,n≥2),且a2024=215,a2024=25A.25B.65C.23答案C2.(2024安徽安庆重点中学月考,16)已知数列{an}是等比数列,有下列四个命题:①数列{|an|}是等比数列;②数列1an③数列{lgan2}④数列{an·an+1}是等比数列.其中正确命题的序号为.

答案①②④3.(2024届河北衡水一中调研一,18)设数列{an}的前n项和为Sn,已知2Sn=an+1-2n+1+1(n∈N*),且a2=5.(1)证明an2n+1为等比数列,并求数列{a(2)设bn=log3(an+2n),若对于随意的n∈N*,不等式bn(1+n)-λn(bn+2)-6<0恒成立,求实数λ的取值范围.解析(1)由题可得2Sn-1=an-2n+1(n≥2),则2an=2Sn-2Sn-1=an+1-2n+1+1-(an-2n+1)=an+1-an-2n,则an+1=3an+2n,从而有an+12n+1+1=32an2n+1,n≥2,又当n=1时,2a1=2S1=a2-22+1=5-4+1=2,所以a1=1,且满意a222+1=32a121+1,则an+12n+1+1=32a(2)由(1)知,bn=log3(an+2n)=n,则∀n∈N*,n(1+n)-λn(n+2)-6<0恒成立,即λ>n(1+n)-6n(n+2)=n2+n-6n2+2n=1-n+6n2+2n=1-n+6(n+6)24.(2024云南曲靖其次中学二模,17)已知数列{an}的前n项和为Sn.(1)请从①2Sn=3an-3-4n,②a1=-3,an+1=-an-4这两个条件中任选一个,证明数列{an+2}是等比数列;(2)数列{bn}为等差数列,b3=5,b5=9,记cn=(an+2)bn,求数列{cn}的前n项和Tn.解析(1)选条件①.当n=1时,2a1=2S1=3a1-3-4,解得a1=7.当n≥2时,由2Sn=3an-3-4n,可得2Sn-1=3an-1-3-4(n-1),两式相减,可得2an=3an-3an-1-4,即an=3an-1+4,∴an+2=3(an-1+2),∴数列{an+2}是以9为首项,3为公比的等比数列.选条件②.当n=1时,a1+2=-3+2=-1,当n≥2时,an+1+2=-an-4+2=-(an+2),∴数列{an+2}是以-1为首项,-1为公比的等比数列.(2)设等差数列{bn}的公差为d,则d=b5-b35-3=2,b1=b3选条件①.由(1)可得an+2=9·3n-1=3n+1,则cn=(an+2)bn=(2n-1)·3n+1,∴Tn=c1+c2+c3+…+cn,即Tn=1×32+3×33+5×34+…+(2n-1)·3n+1,3Tn=1×33+3×34+…+(2n-3)·3n+1+(2n-1)·3n+2,两式相减,可得-2Tn=1×32+2×33+2×34+…+2·3n+1-(2n-1)·3n+2=9+2×33-3n+21-3-(2n-1)·3