浙江省金华十校2024-2025学年高三数学上学期期末联考试题含解析

Page21浙江省金华十校2024-2025学年高三数学上学期期末联考试题一､选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依据集合交集，并集运算，即可得到结果.【详解】因为，，所以，所以，故A错误，B正确；因为，，所以，所以，所以，故C，D错误.故选：B.2.已知复数z有（是复数单位）成立，则复数z满意（）A. B.C.对应的点在复平面的其次象限 D.【答案】D【解析】【分析】依据复数的除法运算，求得，再依据复数的几何意义即可推断C是否正确，依据复数模的计算公式即可推断D是否正确；再依据共轭复数的概念即可求得，由此即可推断选项A，B是否正确.【详解】因为，所以，所以对应的点在复平面的第四象限，，故C错误，D正确；又，所以，所以，故A，B错误.故选：D.3.正多面体被认为是构成宇宙的基本元素，加上它的多种变体，始终是科学､艺术､哲学灵感的源泉之一.若连接正方体六个面的中心构成一个正八面体，则正方体与所得八面体的表面积之比为（）A. B.3 C. D.6【答案】C【解析】【分析】依据题意设出正方体的棱长，进而求出正方体的表面积，然后求出该正八面体的棱长并求出其表面积，最终求得答案.【详解】设正方体的棱长为2，则其表面积.如图，记该正八面体为，现考虑侧面，取的中点分别为，连接MG,MH,易得：，所以，则该八面体的表面积.于是，.故选：C.4.“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】依据充分必要条件的定义推断．【详解】由不等式性质由得，充分性满意，但，时，满意，但不满意，不必要．应为充分不必要条件．故选：A．5.已知x，y满意则（）A.的最大值是2 B.的最小值是C.y的最大值为0 D.的最小值为【答案】B【解析】【分析】先画出可行域，设，则，画出直线，向下平移过点时，取得最小值，求出点B坐标，代入可求出其最小值，由图可知y无最大值，无最小值【详解】不等式组表示的可行域如图所示，设，则，画出直线，向下平移过点时，取得最小值，由，得，即，所以最小值为，无最大值，所以A错误，B正确，由于可行域是开放区域，且向右上方延长，所以y无最大值，所以C错误，由于表示过原点和可行域中的点直线的斜率，由图可知直线的斜率无最小值，所以D错误，故选：B6.的绽开式中含的项的系数为（）A. B.10 C.40 D.【答案】A【解析】【分析】写出二项绽开式通项公式后可得的项数及系数．【详解】由题意，令得，所以系数为．故选：A．7.随机变量ξ的分布列如下表：ξ1a9Pbb其中，，则下列说法正确的是（）A.若，则当时，随b的增大而增大B.若，则当时，随b的增大而减小C.若，则当时，有最小值D.若，则当时，有最大值【答案】C【解析】【分析】依据公式算出期望和方差，进而结合二次函数的性质求得答案.【详解】若，则，故A,B均错误；若，则，，其对称轴为：，则时，有最小值，即C正确，D错误.故选：C.8.已知函数的部分图象如图所示，则函数的解析式可能为（）A B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用特例法进行解除即可.【详解】对于B：，由图象可知：，所以本选项不符合题意；对于C：，由图象可知：，所以本选项不符合题意；对于D：，由图象可知：，所以本选项不符合题意，因此只能选项A有可能是的解析式，故选：A9.已知集合，则满意且的集合N的个数为（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】C【解析】【分析】分、、三种状况，分别构造函数，利用导数推断函数单调性和零点个数可得答案.【详解】因为，所以成等差数列，因为，所以中的三个元素成等差数列，因为，所以，当时，令，由得，时，即在上无解，此时构不成集合N；当时，令，，因为，所以，在单调递增，且，，所以在有一个零点，即有一个解，此时构成集合N；当时，令，，因为，所以，在单调递减，且，，所以在有一个零点，即有一个解，此时构成集合N；综上，集合的个数为2个.故选：C.10.已知数列有，，且满意，则的数值所在区间为（）A.（40，60） B.（60，80） C.（80，100） D.（100，120）【答案】B【解析】【分析】先变形原递推关系式得到常数数列，再通过单调性及最值转化为不等式问题即可求解.【详解】由，变形得，可知数列是常数数列，因为，所以，即，且可知数列是递增数列，将两边同时平方，得，即，由于，，从而有，，，，，故，即，所以，即.故选：B二､填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分.11.双曲线的离心率为___________；若过焦点F作垂直于x轴的直线，交双曲线的渐近线A，B两点，则___________【答案】①.②.【解析】【分析】由双曲线的标准方程可得基本量，并可求A，B两点坐标，进而可求长.【详解】双曲线得，，，,离心率，渐近线方程：，由，得，由，得，所以.故答案为：；.12.已知某几何体的三视图如图所示，则在该几何体的侧面中共有___________个直角三角形，该几何体的体积为___________.【答案】①.②.##0.5【解析】【分析】由三视图可知，该几何体是底面为直角梯形的四棱锥，如图所示，从而可求得结果【详解】由三视图可知，该几何体是底面为直角梯形的四棱锥，如图所示，且底面，，∥，，因为底面，平面，所以，所以直角三角形，因，∥，所以，因为，所以平面，因为平面，所以，所以为直角三角形，综上，该几何体的侧面中共有3个直角三角形，该几何体的体积为，故答案为：3，13.已知函数，则图象的对称轴是___________，在上的单调递减区间为___________.【答案】①.，②.【解析】【分析】由降幂公式和两角和的正弦公式化简得，依据正弦函数的对称轴和单调性可得答案.【详解】函数，由得，图象的对称轴是；由得，当时的单调递减区间为，当时的单调递减区间为，当时的单调递减区间为，所以在上的单调递减区间.故答案为：；.14.小明父母为了改善居家条件，10月1日用分期付款的方式去商家购买总价为12000元的空调，首付2000元，以后每月1日付给商家500元和截止上月全部欠款的利息（月利率为1%），直到贷款讫清.若当年11月1日算第一次付款，则第10次应付___________元，购买空调共花了___________元.【答案】①.555②.13050【解析】【分析】每次还款额成等差数列，分别求，.【详解】依题题意，每次还款额成等差数列，则，，，一共要还期，本息一共要还，故答案为：555，13050.15.3个男生和3个女生排成一排，要求男生互不相邻，女生不全相邻，则不同的排列方法有___________种.【答案】144【解析】【分析】考虑三男三女均不相邻，与3男不相邻且3女中有2女相邻两种状况，进而依据排列组合方法求得答案.【详解】若3男3女均不相邻，则先排男生，出现4个空位，进而将女生排入前3个或后3个空位，有种状况；若3男不相邻，3女中有2女相邻，出现4个空位，进而将女生排入中间2个空位，有种状况.所以，一共有144种状况.故答案为：144.16.已知O为坐标原点，点A，B是直线与x轴，y轴的交点，点C是直线l上位于第四象限的一点，且，则线段OC的长为___________.【答案】【解析】【分析】先由直线方程求出两点的坐标，然后在中利用正弦定理结合已知条件可求得线段OC的长【详解】对于直线，当时，，当时，，所以，所以，所以，所以，在中，由正弦定理得，所以，因为，所以，所以，解得，故答案为：17.已知单位向量满意，，则对随意，的最小值为___________.【答案】##0.25【解析】【分析】不妨设单位向量，，，，用坐标表示出向量的模，然后由二次函数性质得最小值，再由二倍角公式求得，由各差化积公式变形，结合正弦函数性质和肯定值的性质得最小值．详解】由题意不妨设单位向量，，，，其中，，，．，．，，所以时，，又，，所以．故答案为：．【点睛】本题考查求平面对量的模的最值问题，解题关键是用坐标表示出已知四个单位向量，用模的坐标表示计算向量的模，问题转化为与三角函数有关的函数最值，再结合三角函数的恒等变换公式、正弦函数性质得出结论，本题属于困难题．三､解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.18.已知函数.（1）求函数的最小正周期及最大值；（2）在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若，，，求的面积.【答案】（1）最小正周期为，（2）【解析】【分析】（1）利用降幂公式和协助角公式化简得.，再由周期公式和三角函数的最值可得答案；（2）由得及，再由余弦定理得，可得答案.【小问1详解】其中，，，因为，所以，即.【小问2详解】由得：，因为，所以，得，，，由余弦定理得，即，，.19.如图，在长方体中，，，P是线段BD上一点.（1）若，求证：平面；（2）若二面角的大小为，，求直线和平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）用向量法证明，由线面垂直的性质定理得，从而可得线面垂直；（2）建立空间直角坐标系，由向量法求线面角．【小问1详解】.，平面，平面，所以，，平面，平面.【小问2详解】作，垂足为H，则在长方体中，平面，所以，再作，垂足为Q，连结QH，因为，所以平面,则，则即为二面角的平面角，，不妨设，因为，则，于是.，于是，.如图，以D为原点，分别以DA､DC､DD1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则，，.设平面的法向量为，则由得令可得一个法向量为.设与的夹角为，PD1和平面所成角为，则＝，即直线和平面所成角的正弦值为.20.已知是首项为，公差不为的等差数列：成等比数列.数列满意.（1）求数列，的通项公式；（2）求证：.【答案】（1），（2）证明见解析【解析】【分析】（1）设等差数列的通项公式为，由，可求得，即可求出；由等价于，再依据数列通项公式与前项和的关系，即可求出，进而求出数列的通项公式；（2）因为，可得，由此即可证明结果.【小问1详解】解：设等差数列的通项公式为由，所以，又，得，.等价于.当时，，；当时，由，所以，两式相减，可得，.【小问2详解】解：，，即命题得证.21.已知抛物线的焦点为F，准线为，点P是抛物线C上的动点.（1）若P在直线上的投影为，且为等边三角形，求点P的坐标.（2）过点P作直线分别交直线于A，B，若的内心恰为原点O，求面积的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由题意可知，的坐标为，平行于x轴，可设，，由于为等边三角形，可知，依据两点之间的坐标公式，列出方程，即可求出的坐标；（2）设，由于的内心恰为原点O，可知，设，的方程分别为，由于若的内心恰为原点O，所以原点到和的距离为，依据点到直线的距离公式，可得是关于k的方程的两根，由韦达定理可知，再依据的面积为，再利用换元法，依据二次函数的单调性，即可求出结果.【小问1详解】解：由题意可知，的坐标为，平行于x轴，的横坐标为，设，，为等边三角形，，即，解得：.的坐标为.【小问2详解】解：设，则的方程为.由于的内心恰为原点O，且过点P作直线分别交直线于A，B，所以从作单位圆的切线，即，其与直线交于A，B两点，则A，B两点须一个在轴上方，一个在轴下方，所以，原点到的距离为1，所以有，整理得.再设的方程为，同理可得.是关于k的方程的两根，.面积为，令，则，再令，则由，可知在上单调递增，所以的范围为，所以的范围为.22.已知函数.（1）推断的根的个数；（2）若函数有两个零点，证明：.【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）令，利用导数探讨其性质，并画出函数图象，应用数形结合探讨与的交点个数即可.（2）令，结合在上单调性求参数a的范围，探讨参数a，利用单调性确定范围，应用放缩法证明不等式.【小问1详解】由得：，设设，，则，，当时，