辽宁省沈阳市新民市2024-2025学年高一数学上学期期末考试

Page14时间：120分钟满分：150分第Ⅰ卷（选择题共60分）球体的表面积公式：，体积公式V=其中为球的半径一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项符合要求）1.函数的定义域为A. B. C. D.【答案】C【解析】【详解】由题意得，解得，即．

2.设R，则“＞1”是“＞1”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【详解】试题分析：由可得成立，反之不成立，所以“”是“”的充分不必要条件考点：充分条件与必要条件3.已知，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】取特别值，解除ABC；对于D，利用不等式的性质进行证明.【详解】由，不妨取.对于A：，故不成立；对于B：，故不成立；对于C：，故不成立；对于D：因为，所以，所以，即.故选：D4.若命题，则A. B.C. D.【答案】B【解析】【详解】分析：依据特称命题的否定是全称命题推断即可.详解：该命题是特称命题，则命题的否定是，故选B.点睛：该题考查的是有关特称命题的否定问题，在求解的时候，只要明确特称命题的否定形式即可得结果.5.已知、是不同的直线，、是不同的平面，下列命题中真命题为（）A.若∥，则∥ B.若∥，∥，则∥C.若∥，，则∥ D.若∥，∥，则∥【答案】C【解析】【分析】依据空间直线、平面的位置关系，对四个选项一一推断即可.【详解】对于A：若∥，则∥或、异面.故A错误；等于B：若∥，∥，则∥或、相交.故B错误；对于C：因为∥，，所以∥（面面平行的性质定理）.故C正确；对于D：若∥，∥，则∥或.故D错误.故选：C6.函数与在同一平面直角坐标系中的图像可能是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】依据函数平移以及对数函数的图像干脆推断即可.【详解】函数为对数函数,过且单调递增.又为往左平移1个单位所得.故选：C【点睛】本题主要考查了指对数函数的图像与变换,属于基础题.7.幂函数在上是减函数．则实数的值为A.2或 B. C.2 D.或1【答案】B【解析】【分析】由题意利用幂函数的定义和性质可得，由此解得的值．【详解】解：由于幂函数在时是减函数，故有，解得，故选：．【点睛】本题主要考查幂函数的定义和性质应用，属于基础题．8.下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依据奇偶性的定义可推断BCD，取特值可推断A.【详解】记，则，明显，故为非奇非偶函数；由奇偶性定义易知为奇函数，和为偶函数.故选：A9.函数的单调递增区间为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】首先求出函数的定义域，再依据对数型复合函数的单调性即可求解.【详解】令，由，解得，或，当时，函数单调递减，则单调递增，所以函数的单调递增区间为.故选：A.10.下列结论正确的是（）A.当且时, B.当时,C.当时,的最小值是2 D.当时,无最大值【答案】B【解析】【分析】利用基本不等式的性质、函数的单调性即可得出．【详解】解：A．当1＞x＞0时，lgx＜0，lgx2不成立；B．当时,，正确；C．当x≥2时，x2，不成立；D．当0＜x≤2时，函数y＝x单调递增，当x＝2时，有最大值2，不正确．故选B．考点：基本不等式.11.如图，在正方体中，线段上随意一点（包括端点），则肯定有（）A.与异面 B.与相交C.与平面平行 D.与平面相交【答案】C【解析】【分析】连接、、、，证明出四边形为平行四边形，并结合面面平行的性质可推断各选项能否肯定成立.【详解】连接、，因为且，所以，四边形为平行四边形，当为、的交点时，与相交，当不为、的交点时，与异面，AB选项都不肯定成立；连接、，因为且，故四边形为平行四边形，，平面，平面，平面，同理可证平面，因，、平面，平面平面，平面，平面，C选项肯定满意，D选项肯定不满意.故选：C.12.若函数为定义在上的奇函数，且在为增函数，又，则不等式的解集为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】分析出函数在上的单调性，可得出，分、两种状况解原不等式，即可得出原不等式的解集.【详解】因为函数为定义在上的奇函数，且在为增函数，则该函数在上也为增函数，且，由可得.当时，则，解得；当时，则，解得.综上所述，不等式的解集为.故选：A.其次卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积是球的表面积的______________.【答案】【解析】【分析】依据截面圆的性质求出对应的半径进行求解即可．【详解】解：如图所示的过球心的截面图，设球的半径为，截面圆的半径为，则，所以；故答案为：．14.已知函数的图像与函数的图像关于直线对称，则________．【答案】2【解析】【分析】先求出，即可代入求解.【详解】因为已知函数的图像与函数的图像关于直线对称，所以与互为反函数，所以.所以.故答案为：215.一个正三棱锥的底面边长为6，侧棱长为4，那么这个正三棱锥的高是______________.【答案】【解析】【分析】依据所给条件画出图形，再依据正三棱锥的性质计算可得.【详解】解：如图正三棱锥中，为的中点，则，设为三角形的重心，则底面，又，所以，即这个正三棱锥的高是；故答案为：16.空间四个点P、A、B、C在同一球面上，PA、PB、PC两两垂直，且PA=PB=PC=a，那么这个球的体积是_______________.【答案】【解析】【分析】先分析出过空间四个点P、A、B、C的球面即为棱长为a的正方体的外接球,即可求解.【详解】空间四个点P、A、B、C在同一球面上，PA、PB、PC两两垂直，且PA=PB=PC=a，则PA、PB、PC可看作是正方体的一个顶点发出的三条棱,所以过空间四个点P、A、B、C的球面即为棱长为a的正方体的外接球,球的直径即是正方体的对角线,长为所以这个球面的面积.故答案为:三．解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤）17.已知集合，.（1）求；（2）已知，若，求实数的取值集合.【答案】（1）或（2）或【解析】【分析】（1）依据交集、补集的定义计算可得；（2）分和两种状况探讨，分别求出参数的取值范围，即可得解.【小问1详解】解：因为，，所以，所以或；【小问2详解】解：因为，且，①当时，即，解得时，符合题意；②当时，则，解得，综上，所求的集合是或.18.如图，已知梯形中，，，，，，在平面内，过作，以为轴将梯形旋转一周，求所得旋转体的表面积及体积.【答案】表面积为，体积为【解析】【分析】作出几何体的直观图，分析可知该几何体是在一个圆柱中挖去一个圆锥而成的组合体，利用圆柱、圆锥的体积和表面积公式可求得该几何体的表面积和体积.【详解】解：在直角梯形中，过点作，垂足为点，如下图所示：因为，，，故四边形为矩形，故，则，又因为，，，作出几何体的直观图如下图所示：由图可知，该几何体是在一个圆柱中挖去一个圆锥而成的组合体，且圆柱的底面半径为，高为，圆锥的底面半径为，高为，所以，该几何体的体积为，表面积为.19.已知函数，的对称轴为且．（1）求、的值；（2）当时，求的取值范围；（3）若不等式成立，求实数的取值范围.【答案】（1），（2）（3）或【解析】【分析】（1）利用二次函数的对称性可求得的值，由可求得的值；（2）利用二次函数的基本性质可求得的取值范围；（3）由可得出关于的不等式，解之即可.【小问1详解】解：二次函数对称轴方程为，可得，且.因此，，.【小问2详解】解：由（1）可知，当时，.【小问3详解】解：由，可得，可得或，解得或.20.如图，已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M､N分别是AB､PC中点（1）求证：MN平面PAD；（2）在PB上确定一个点Q，使平面MNQ平面PAD.【答案】（1）证明见解析；（2）当在的中点时，平面平面.【解析】【分析】（1）取中点，连接，利用面面平行的判定定理证明平面平面，即可证明平面；（2）假设第一问的即为所求，再利用面面平行进行证明.【详解】（1）证明：取中点，连接，分别是的中点，.，又面，面，∴面.同理可证：面.又面，面，,平面平面，平面，平面（2）解：假设第一问的即为所求在的中点，分别是的中点，为的中点且则平面平面且所以平面平面.所以第一问点即为所求，当在的中点时，平面平面.【点睛】（1）立体几何中位置关系的证明一般用判定定理；（2）存在性问题的证明：先假设存在，在进行证明.假如存在，可以证明；假如推出冲突，则不存在.21.某公司生产某种电子产品的固定成本为2万元，每生产一台该产品需增加投入100元，已知总收入R（单位：元）关于月产量x（单位：台）满意函数：（1）将利润（单位：元）表示成月产量x的函数（2）当月产量x为何值时，公司所获利润最大，最大利润是多少？（利润+总成本=总收入）【答案】（1）（2）当月产量为300台时，公司所获利润最大，最大利润是25000【解析】【分析】（1）依据题意建立函数关系式，写出分段函数形式；（2）分别求各段的最大值，即可求出公司利润最大值及取最大值时的产量.【小问1详解】由题意可得：当时，；当时，；所以.【小问2详解】当时，，即最大值为25000；当时，为减函数，所以当时，，故.即当月产量为300台时，公司所获利润最大，最大利润是25000.【点睛】数学建模是中学数学六大核心素养之一，在中学数学中，应用题是常见考查形式：（1）求解应用性问题时，首先要弄清题意，分清条件和结论，抓住关键词和量，理顺数量关系，然后将文字语言转化成数学语言，建立相应的数学模型；（2）求解应用性问题时，不仅要考虑函数本身的定义域，还要结合实际问题理解自变量的取值范围.22.已知函数f(x)＝ex－e－x(x∈R且e为自然对数的底数)．（1）推断函数f(x)的奇偶性与单调性；（2）是否存在实数t，使不等式f(x－t)＋f(x2－t2)≥0对一切的x都成立？若存在，求出t；若不存在，请说明理由．【答案】（1）f(x)是增函数，奇函数；（2）存在，t＝－.【解析】【分析】（1）依据奇偶性定义推断奇偶性，利用复合函数的单调性确定函数的单调性；（2）依据奇偶性与单调性把不等式化这，即存在，使得2≤恒成立，由此可得值．【详解】（1）∵f(x)＝ex－x，且y＝ex是增函数，y＝－x是增函数，所以f(x)是增函数．由于f(x)的定义域为R，且f(－x)＝e－x－ex＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．（2）由（1）知f