2024-2025学年新教材高考数学第四章三角函数与解三角形6考点1利用正余弦定理解三角形1练习含解析选修2

PAGE4PAGE5考点1利用正、余弦定理解三角形（2024·浙江卷）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，C．若a＝7，b＝2，A＝60°，则sinB＝________，c＝________.【解析】如图，由正弦定理asinA＝得sinB＝ba·sinA＝27×32由余弦定理a2＝b2＋c2－2bc·cosA，得7＝4＋c2－4c×cos60°，即c2－2c－3＝0，解得c＝3或c＝－1（舍去）．【答案】217（2024·天津卷（文））在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，C．已知bsinA＝acosB-π（1）求角B的大小；（2）设a＝2，c＝3，求b和sin（2A－B）的值．【解析】（1）在△ABC中，由正弦定理asinA＝bsinB，可得bsinB．又由bsinA＝acosB-π6，得asinB＝acos即sinB＝cosB-π6，可得tanB＝又因为B∈（0，π），所以B＝π3（2）在△ABC中，由余弦定理及a＝2，c＝3，B＝π3得b2＝a2＋c2－2accosB＝7，故b＝7.由bsinA＝acosB-π6，可得sinA＝因为a＜c，所以cosA＝27因此sin2A＝2sinAcosA＝43cos2A＝2cos2A－1＝17所以sin（2A－B）＝sin2AcosB－cos2AsinB＝437×12－17×【答案】见解析（2024·全国卷Ⅲ（文））△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为a2+bA．πB．πC．πD．π【解析】∵S＝12absinC＝a2＝12abcosC∴sinC＝cosC，即tanC＝1.∵C∈（0，π），∴C＝π4【答案】C（2024·全国Ⅱ卷（文））在△ABC中，cosC2＝55，BC＝1，AC＝5，则A．42 B．30C．29 D．25【解析】∵cosC2＝5∴cosC＝2cos2C2－1＝2×552在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cosC＝52＋12－2×5×1×-3∴AB＝32＝42.【答案】A（2024·全国Ⅱ卷（文））如图，在三棱锥P－ABC中，AB＝BC＝22，PA＝PB＝PC＝AC＝4，O为AC的中点．（1）证明：PO⊥平面ABC；（2）若点M在棱BC上，且MC＝2MB，求点C到平面POM的距离．【解析】（1）证明因为PA＝PC＝AC＝4，O为AC的中点，所以OP⊥AC，且OP＝23.如图，连接OB．因为AB＝BC＝22AC所以△ABC为等腰直角三角形，所以OB⊥AC，OB＝12AC由OP2＋OB2＝PB2知PO⊥OB．因为OP⊥OB，OP⊥AC，OB∩AC＝O，OB，AC⊂平面ABC，所以PO⊥平面ABC．（2）作CH⊥OM，垂足为H，作CH⊥OM，垂足为H，又由（1）可得OP⊥CH，因为OM∩OP＝P，OM，OP⊂平面POM，所以CH⊥平面POM.故CH的长为点C到平面POM的距离．由题意可知OC＝12AC＝2，CM＝23BC＝423所以在△OMC中，由余弦定理可得，OM＝25CH＝OC·MCsin∠ACBOM所以点C到平面POM的距离为45【答案】见解析（2024·全国Ⅰ卷（文））△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，C．已知bsinC＋csinB＝4asinBsinC，b2＋c2－a2＝8，则△ABC的面积为________．【解析】∵bsinC＋csinB＝4asinBsinC，∴由正弦定理得sinBsinC＋sinCsinB＝4sinAsinBsinC．又sinBsinC＞0，∴sinA＝12由余弦定理得cosA＝b2+c2-∴cosA＝32，bc＝4cosA∴S△ABC＝12bcsinA＝12×833×【答案】2（2024·北京卷（文））若△ABC的面积为34（a2＋c2－b2），且∠C为钝角，则∠B＝________；c【解析】由余弦定理得cosB＝a2∴a2＋c2－b2＝2accosB．又∵S＝34（a2＋c2－b2∴12acsinB＝34×2accos∴tanB＝3，又∠B∈（0，π），∴∠B＝π3又∵∠