2021届浙江省某中学高考数学四模试卷(含答案解析)

2021届浙江省温州中学高考数学四模试卷

一、单选题（本大题共10小题，共40.0分）

1.全集修=戚，集合盍=侬酶-4源吸集合鹿=枷般=靖鲁警，则留"彝=（）

A.EM?士案“：缄B.1阔富轴蛰C.｛阔寓:冷霞D.｛阔上：斜•::震

2.命题p：“a=2”是q：“直线ax+3y-1=0与直线6x+4y-3=0垂直”成立的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3.若复数z满足z=0,则z对应的点位于复平面的（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

4.某几何体是由一个三棱柱和一个三棱锥构成的，其三视图如图所示，则

该几何体的体积为（）

侧视图

俯视图

y-x<1

5.设变量x,y满足约束条件x+y-3W0,则z=x+3y的最大值为（）

.y-1>0

A.7B.6C.5D.3

6.已知随机变量X的分布列是

X4A910

P0.30.1B0.2

EX=7.5,则A等于（）

A.5B.6C.7D.8

X

7.已知函数/（x）=（2：i6^<r则吹））=（）

A.2B.1C.|D.-2

8.函数y=2sinx在区间邑?)的值域是()

o3

A。[-今》B.(一遍,2]C.[1,y]D.[-73.2)

9.已知函数/Q)=1x3++(a+b)x+c(a力,cGR)的两个极值点分别为不，％2,且与6(0,1),

x2G(1,+<»),z=2a-b,则z的取值范围是()

A.(-00,3]B.(-00,-3)C.[-3,+oo)D.(-3,4-co)

10.下列命题正确的个数为()

①命题”若XW1,则/_3才+2±0"的逆否命题是“若/_?才+2=0,则才=1"

②若命题P-.VxeR.x'+x+lw0,则凡/+x+l=0

③若9vg为真命题，则p,q均为真命题

(4)“》>?”是“――？才+2>0”的充分不必要条件

⑤在△4月仃中，若/>R,则sinA>sin月.

A.1个B.2个C.3个D.4个

二、单空题(本大题共7小题，共36.0分)

11.已知点&、4分别是双曲线《一《=1(。>0/>0)的左、右焦点，过Fi垂直于x轴的直线与双

曲线交于A、B两点,若AABF?为锐角三角形，则双曲线的离心率e的取值范围是.

12.设｛一｝是正项等比数列,令5n=Iga、+lga2+•­•+lgan,n&N*,若存在互异的正整数m,n,

使得Sm=Sn,则Sjn+n=.

13.已知等差数列隹4J的首项为雕,公差为靖，其前制项和为，乳，若直线察=呻；与圆

侬-瀚反丸/=4的两个交点关于直线需出睇珏逋=侬对称，则鼠=_

14.£碱请开义手的展开式中各项系数的和为243,则该展开式中常数项为二

限

15.用1,2,3,4这四个数字组成无重复数字的四位数，其中恰有一个偶数字夹在两个奇数字之间

的四位数的个数为.

16.15.已知等腰思崛出=囤融=匈，则蠡.福=

17.已知尸，。为抛物线/=2y上两点，点P,。的横坐标分别为4,-2,过P,。分别作抛物线

的切线，两切线交于点A,则点A的纵坐标为.

三、解答题(本大题共5小题，共63.0分)

18.已知ae(0,》且sin(a-g)=V

(1)求cosa的值；

(2)求sin(2a—§的值.

19.如图，在四棱锥S—4BCD中,AC与8。交于点E/BAD=60。,乙4DC=120。，木

BD=3BE・图》

(I)在线段AS上找一点尸，使得EF〃平面SCD并证明你的结论；/夕’

(II)若乙4DS=90°,AB=AD=DS,SB=也AD,求二面角B-SC-。的余弦值.

20.设数列｛a“｝的前〃项和为%=2M,｛狐｝为等比数列，且％=瓦，b1(a2-a1)=h2.

(1)求数列｛斯｝和｛为｝的通项公式；

(2)设金=1的1%，求数列｛呢｝的前〃项和〃.

4!

21.已知抛物线C的焦点/与椭圆3/+4y2=3的右焦点重合.

(1)求抛物线C的方程；

(2)过焦点尸作互相垂直的两条直线分别交抛物线C于A,M和N,B,求四边形ABMN的面积S的

最小值及S最小值时对应的两条直线方程.

22.已知函数/X*)=\「如€R,且aRO,e为自然对数的底数).

(/)若曲线/(©在点(e,7(e))处的切线斜率为0,且/(x)有极小值，求实数a的取值范围.

(〃)⑴当a=b=»时,证明：%/(%)+2<0；

(〃)当a=l,b=-l时，若不等式：x/(x)>e+m(x-1)在区间(L+8)内恒成立，求实数的最

大值.

【答案与解析】

1.答案:D

解析：试题分析：由题意可得滴=随闾，鬻=图1■喊，所以藤=1或砥

考点：集合的基本运算.

2.答案：D

解析：解：a=2时，直线2x+3y—1=0和直线6x+4y—3=0不垂直，

不是充分条件，

若直线ax+3y—1=0与直线6x+4y-3=0垂直，则a=-2,

不是必要条件，

故选：D.

根据充分必要条件的定义以及直线的垂直关系判断即可.

本题考查了充分必要条件，考查直线的垂直问题，是一道基础题.

3.答案：B

解析：试题分析：S对应的点为0，位于第二象限，故8正确.

考点：复数的运算、复数的几何意义.

4.答案：A

解析：

根据三视图知该几何体是由长方体截去一个四棱锥所得的组合体，画出几何体的直观图，结合图中

数据求出几何体的体积.

本题考查了三视图与空间想象能力的应用问题，是基础题.

解：由三视图知，该几何体是由长方体截去一个四棱锥所得的组合体，

画出几何体的直观图，如图所示：

结合图中数据，计算几何体的体积为:

14

K=lxlx2-ixlxlx2=-.

33

故选：A.

5.答案：B

解析：解：作出约束条件表示的可行域如图所示:

由目标函数z=x+3y得y=+1,

由图象可知当直线丫=一1刀+|经过点4时，

截距最大，

解方程组工。3得吗1)

z的最大值为|+3x|=6.

故选：B.

作出可行域，将目标函数化为y=+根据函数图象判断直线取得最大截距时的位置，得出最

优解.

本题考查了简单线性规划，画出约束条件的可行域，求出最优解是解题的关键.

6.答案：C

解析：解：由题意可得：0.3+0.1+8+02=1,解得B=0.4.

EX=7.5=4x0.3+Ax0.1+9x0.4+10x0.2.

解得4=7.

故选：C.

利用概率的和为1，求出8,通过期望求解A.

本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，考查计算能力.

7.答案：B

解析：解：•.•函数

•，•/■(；)=2-16了=0,

/(/(；))=/(0)=2-16°=1.

故选：B.

推导出f(}=2—16*=0,从而/(/©))=/(0)，由此能求出结果.

本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用.

8.答案：B

解析：解：•••三

o3

・•・当X时，函数y=2sinx取得最大值，此时最大值为2,

当x=?时，函数y=2sinx取得最小值，此时最小值为2x(-立)=一行，

32

71,47r

<X<

63

—V3<y<2,

即函数的值域为(一8,2],

故选：B.

根据正弦函数的图象和单调性的性质进行求解即可.

本题主要考查三角函数的值域的求解，根据正弦函数的图象和性质是解决本题的关键.

9.答案：B

解析：解：,函数/(x)=[x3+]x2+(a+b)x+c,

:./'(X)=x2+ax+a+b

由题意可得/''(%)=0的两根X2,

且G(0,1),X2e(l,+oo),

满足条件的可行域如下图所示

小b

5-b=2a-Z

-5~^4-^3~-2/-1\i15

/，、*

/-1La

由图可知：当直线b=2a-z过做-1,1)时，z取得最大值-3,z无最小值，但由于不包括边界,

・•・zV—3,

故Z的取值范围是(一8,-3),

故选：B

(

对函数求导，由已知结合二次函数的图象可得匕；2?=：+/二1\,「，代入可得关于mb的二元

一次不等式组，利用线性规划的知识，画出平面区域，在可行域内找到目标函数的取值范围.

本题以函数的极值为切入点，借助于二次函数的图象及二次方程的实根分布把问题转化为平面区域

内求目标函数的最值问题，是一道综合性较好的试题，体会“转化思想”在解题中的应用.

10.答案：D

解析：

本试题主要是考查了命题的真假和四种命题的关系及复合命题的运用，以及充分条件的判定问题.

解：因为求解一个命题的逆否命题就是将原命题中的结论的否定作为条件，条件的否定作为结论得

到的新命题，

即①命题“若密由，则/*一舐事兽卓瞰”的逆否命题“若/一！fe虚篝=1如则室=工”.正确；

②中对于全称命题的否定，就是将任意改为存在，命题的结论改为否定，

即得到命题科:琴器is速;t后普』M%则一段:标运感,紧产#,器斗：!=瞰正确；

③中pvg为真命题，则p,q至少一个为真命题即可，故③错误；

④中条件是结论根据一元二次不等式解得为“解!-慧5鬟冲败华愿黜富酶Y利用集

合的思想可知小集合是大集合的充分不必要条件，故成立；

⑤中显然正确；

因此可知真命题的个数为4个.

故选D

11.答案：(1,或+1)

解析：解：在双曲线圣一《=l(a>0,b>0)中，

☆x=-c得，y=±?,「.A,8两点的纵坐标分别为±?.

77b2

由△ABF2是锐角三角形知，乙4F2F1V1，tan乙4尸2&=郎Vtan^=1，

：■------V1,c2-2uc—Q2vo,©2—2e—1V0,・••1—V2<eV1+V2.

2ac

又e>1,・・・1ve<1+VL

故答案为：(1,1+V2).

b2

先求出A,B两点的纵坐标，由△ABF2是锐角三角形知，tan乙4尸2尸1=五<「-2e—1<0,解

不等式求出e的范围.

7T

本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，判断&<3,tanZ=i<i，是

42C

解题的关键.

12.答案:0

解析：解：:｛an｝是正项等比数列，设公比为4，

•••igan+i-ig%=igq

二数列｛仞即｝为等差数列，

设公差为d

则Sm=mlgar+叫Sn=nlg^+节””

=Sn，

m(m—l)dn(n—l)dm4-n—1

•••Sm-sn=mlgax+------------------nlgar-----------------=(m-n)(lgax+--------------d)=0

n

m+n-1

lgarH---------------d=0

(m+n)(m+n—l)dm4-n—1

s=(m+n)S%+(m+n)(/gai+-------------d)=0

m+n2

故答案为0.

本题主要考查了等比数列和等差数列的性质.解题的关键是判断出数列｛⑨即｝为等差数列.

13.答案：歌

解析：试题分析：由于直线龄，=蝌所与圆解.期?=：1的两个交点关于直线事由?普昂=I叔对称,

则说明交点所在的直线的斜率为1,且中点在对称轴寓此胪普成=顿匕那么可知解=微君=黑联立方程

组可知盘；一重反在富3=1二暑斓-4笳出缶=瞰二交点的中点坐标为(2,2)满足求优.普婿=顿，得到d=

-4,因此可知数列的前”项和为治_/。

考点：数列，直线与圆

点评：解决的关键是利用直线与圆的对称性以及等差数列的公式来求解，属于基础题.

14.答案：10

解析：试题分析：根据题意，由于蠢/小了好的展开式中各项系数的和为243,令x=1,243=蜜,

二0=/第一*£马；『=磕貉第Y吗，r=4,

即a+1=3,a=2,故可知£笈5日片

得到的为常数项10,故答案为10.

考点：二项式定理

点评：主要是考查了二项式定理的运用，属于基础题。

15.答案：8

解析：掰•©•掰=8个.

16.答案：8

解析：解：取BC的中点。，则：

有:

诟+砌前=砺证=2x4=8

17.答案：一4

解析：由已知可设尸(4)1),。(一2,>2)，

■:点、P,。在抛物线》2=2>上，

•••P(4,8),Q(-2,2).

又:抛物线可化为y=|x2,y'=x,

••・过点P的切线斜率为y'lx=4=4.

••・过点P的切线为y-8=4(x-4),即>,=4x-8.

又•••过点Q的切线斜率为y'|*_2=-2，

・・・过点Q的切线为丁一2=-2。+2),

即y——2x—2.

联立％I-2,解得x=L>--4,

•••点A的纵坐标为-4.

18.答案：(本题满分14分)

解：令1=戊一或由a£(0,g),则tE(-g,"

又•・•sin(a-j)=5即s讥t=卷，

则cost=71-sin2t=J1-舄.=…(2分)

(l)cosa=cos(t+今...(4分)

=costcosg-sintsing.・・(6分)

12-15_V3

=—X----------X—

132132

(2)sin(2a一》=sin[2(t+j)-^]=sin(2t+j)...(10分)

=cos2t=cos2t—sin2t...(12分)

=(9Y)2

=黑.“14分)

解析：(1)令《=戊-枭由已知可求范围tw(一?》，从而利用同角三角函数基本关系式可求cos/的

值，由支=1+会利用两角和的正弦函数公式即可化简求值.

(2)利用角的关系，2a—9=2(t+$-*=2t+a根据诱导公式，二倍角的余弦函数公式即可化简

求值.

本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角和的正弦函数公式，诱导公式，二倍角的余弦函数

公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题.

19.答案：解：(I)取线段AS的靠近A的三等分点尸，贝IJEF〃平面SCZ).

证明：•••ABAD=60°,^ADC=120°,

・"/CD,.嚏喷制

.些=工又竺=3

AC3‘乂4s3’

EF//SC,又E尸0平面SCO,SCu平面SC。，

EF〃平面SCD.

(H)-：AD=AB,/LBAD=60°,

・••△4BD是等边三角形，

设AC=1,则BD=AD=1,

又SD=AD=1,SB=y[2AD=V2.

•••SDLBD,又4。J.SO,ADQBD=D,AD,BDc^F®ABCD,

SD_L平面ABCD,

以D为原点建立空间直角坐标系D-xyz,如图所示,

则D(0,0,0),B(.g,0),C(V3,-l,0),S(0,0,1),

.•.SC=(V3,-l,-l).fiC=(y,-|,0).DC=(A/3,-1,0).

设平面SBC的法向量为记=Oi，yi，zJ,

V3%!—yi—Zi=o

则向sc=o

,即V33

'Am-fit=0(y^i--yi=no

令为=1,可得沅=(百,1,2),

设平面SCD的法向量为五=(x2,y2,z2),

n-S£=0；g|j(V3x2-y2-22=

-n-DC-0lV3x2-=

令*2=1，可得元=(1,e,0)，

一>—mn2\[3V6

・・

•cos<m,n>=—|7n|T|nT|=~2&Fx—24'

可知：二面角B—SC—D是锐二面角,

••・二面角B-SC-D的余弦值为当

解析：本题考查了线面平行的判定，线面垂直的判定，利用空间向量求二面角，属于中档题.

(I)得出E/〃SC,即可得证;

(口)证明SD_L平面A8C£>,以。为原点建立空间坐标系。-xyz,进行求解即可.

20.答案：(1)即=471-2,%=biqnT=2.4吁1

(2)7；=[(6n-5)4«+5]

解析：试题分析：解析：(1)当几22时，

22

an=Sn-Sn-i=2n—2(n—l)=4n—2,

当ri=1时，%=S[=2满足上式，

故｛an｝的通项式为即=4n-2.-2分

设｛bn｝的公比为g,由已知条件代为2—%)=匕2知，瓦=2,b2=8,所以q=4,

nn

：.bn=瓦qT=2.4T5分

n-1

(2)•••cn=(2n-l)4,

F=Q+C2+…+%=[1+3x41+5x42+…+(2n-1)4nT].

47；=[1x4+3x42+5x42+…+(2n-3)4n-1+(2n-l)4n].

两式相减得：

37；=-1-2(出+42+43+…+451)+(2n-l)4n

=[(6n-5)4n+5].

Tn=[(6n—5)4n+5].12分

考点：等差数列和等比数列

点评：主要是考查了等差数列和等比数列的通项公式以及数列的求和综合运用，属于中档题。

y2

21.答案：解：⑴椭圆3/+4y2=3,即为/+.=1,

4

可得右焦点F为弓,0),

设抛物线的方程为y2=2px,即有々=p

可得p=1,

抛物线的方程为y2=2%；

(2)设过点尸的直线方程为y=fc(x-i),

4(*1，y。，M(^x2,y2),

由=/c(x—5),得/芯2_(/+2次+£=0,

ly2=2x4

由韦达定理，得%1+%2=1+高，％1%2=[，

•••\AM\=Vl+P-J(l+^)2-l=2+高，

同理，\BN\=2+2k2,

•••四边形ABCD的面积S=*2+劫(2+2k2)=2(2+1+劫

22(2+2亚不)=8，

当且仅当即左=±1时，取等号，

四边形ABMN面积的最小为8,此时直线的方程为y=±(x-1).

解析：(1)求得椭圆方程的标准形式，求得右焦点坐标，设抛物线的方程为y2=2px,求得p=l,

即可得到所求方程；

(2)设过点F的直线方程为y=k(x—；),由［'=卜仁一？，得上2/一(炉+2)%+f=0,由此利用

2(y2=2x4

韦达定理，弦长公式，结合已知条件能求出四边形面积的最小值及直线方程.

本题考查抛物线方程的求法，考查四边形面积的最小值的求法，解题时要认真审题，注意弦长公式

的合理运用.

22.答案：(1)解「"。)=若空，"(x)=a(ix)；/g).

vf(e)=O,-.b=0,则1(x)=°(曾x).

当a>0时，尸(x)在(0,e)内大于0,在(e,+8)内小于0,

.•"(X)在(0,e)内为增函数，在(e,+8)内为减函数，即有极大值而无极小值；

当a<0时，/(x)在(0,e)内为减函数，在(e,+8)内为增函数，即f(x)有极小值而无极大值.

•••a<0,即实数a的取值范围为(一8,0)；

(H)(i)证明：当a=b=1时，设g(x)=x/(x)+2="x-e*+2.

g'(x)=；一/在区间(0,+8)上为减函数，又8(l)=l-e<0,5，(|)=2-V^>0.

二存在实数%oe(k1)，使得g'Oo)=j--ex0=O.

此时g(x)在区间(0,a)内为增函数，在(沏,+8)内为减函数.

又g'Oo)=g_e*。=0,

x0

=eXx

~0'o=-lnx0.

x

由单调性知，g(x)n1ax=g(%o)=》尤0-e«+2=-x0-^-+2=-(%o+7-)+2.

XQXQ

又&6G，1),・••一(%0+$