第12讲 等腰三角形的性质和判定（解析版）-初中数学暑假自学课讲义（8年级人教版）

第12讲等腰三角形的性质和判定【人教版】·模块一等腰三角形的性质·模块二等腰三角形的判定·模块三课后作业模块一模块一等腰三角形的性质等腰三角形（1）定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形.（2）等腰三角形性质①等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”；②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合（简称“三线合一”）.特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于45°.【考点1等腰三角形性质“等边对等角”的应用】【例1.1】在△ABC中，AB=AC，若∠A=40°，则∠C=（

）A．40° B．70° C．100° D．70°或100°【答案】B【分析】根据等腰三角形两底角相等列式计算即可得解．【详解】解：∵AB=AC，∴∠B=∠C，又∵∠A=40°，∴∠C=1故选：B．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，主要利用了等腰三角形两底角相等的性质，熟记性质是解题的关键．【例1.2】已知O为三边垂直平分线交点，∠BAC=70°，则∠BOC=_________．【答案】140°/140度【分析】根据线段垂直平分线性质，OA=OB=OC．根据等腰三角形性质和三角形内角和定理，先求出∠OBC+∠OCB，再求∠BOC．【详解】解：连接OA，∵O是△ABC的三边垂直平分线的交点，∴OA=OB=OC，∴∠OAB=∠OBA，∠OAC=∠OCA，∠OBC=∠OCB．∵∠BAC=70°，∴∠OBA+∠OCA=70°，∠OBC+∠OCB=40°．∴∠BOC=180°-40°=140°．故答案为：140°．【点睛】此题考查了线段垂直平分线性质、等腰三角形性质、三角形内角和定理等知识点，渗透了整体求值的思想方法．【例1.3】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点E、F分别是边AB、AC上，且AF=EF．若∠CFE=72°，则∠B=【答案】54°【分析】根据等腰三角形的性质以及外角知识求出∠A的度数，根据直角三角形中两锐角互补可求答案．【详解】解：∵AF=EF∴∠A=∠AEF∵∠CFE是△AFE的一个外角∴∠CFE=∠A+∠AEF=72°∴∠A=36°在Rt△ABC中，∠C=90°∴∠B=54°故答案为：54°．【点睛】本题主要考查了度数的求解，涉及到等腰三角形性质、外角知识以及直角三角形两锐角互补，熟知相关知识是解决本题的关键．【变式1.1】如图，在△ABC中，∠BAC=90∘，AB=AC，点D在BC上，且BD=BA，则∠CAD的度数为（A．30° B．25° C．22.5° D．21°【答案】C【分析】利用△ABC是等腰直角三角形先求出∠B，再利用△BDA是等腰三角形求出∠BAD，最后利用直角求出∠CAD即可．【详解】解：∵∠BAC=90°∴∠B=∠C=45°∵BD=BA∴∠BDA=∠BAD∴∠BAD=∴∠CAD=90°-67.5°=22.5°故选C．【点睛】本题主要考查三角形的性质以及等腰三角形的性质，熟练掌握三角形内角和以及等腰三角形的性质是解决本题的关键．【变式1.2】如图，AB∥CD，AB=CB，∠B=80°，则∠ACD等于（

）A．50° B．55° C．60° D．85°【答案】A【分析】已知AB=CB，∠B=80°，得出∠A=∠BCA=180°-80°2=50°，结合AB∥CD【详解】∵AB=CB，∠B=80°，∴∠A=∠BCA=180°-80°∵AB∥CD，∴∠A=∠ACD，∴∠ACD=50°．故选：A【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．【变式1.3】如图，在△ABC中，点D在边BC上，AB=AD=CD．若∠BAD=40°，则∠C的大小为_____度．【答案】35【分析】在△ABD中利用等边对等角的性质以及三角形内角和定理求出∠ADB的度数，然后利用∠ADB是△ADC的一个外角即可求出答案．【详解】∵AB=AD，∠BAD=40°，∴∠B=∠ADB=1∵∠ADB是△ADC的一个外角，∴∠ADB=∠DAC+∠C，∵AD=CD∴∠C=∠DAC，∴∠C=1故答案为：35．【点睛】本题考查了等腰三角形的两底角相等的性质，以及三角形内角和、外角的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．【考点2等腰三角形性质“三线合一”的应用】【例2.1】如图，在△ABC中，AB=AC，点D是边BC的中点．若∠C=70°，则∠BAD的度数为（

）A．20° B．30° C．35° D．40°【答案】A【分析】首先根据等腰三角形三线合一性质得到AD⊥BC，∠BAD=∠CAD，然后由直角三角形两锐角互余得到∠CAD=90°-∠C=20°，进而可求出∠BAD的度数．【详解】解：∵在△ABC中，AB=AC，点D是边BC的中点∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD∴∠CAD=90°-∠C=20°∴∠BAD=∠CAD=20°．故选：A．【点睛】此题考查了等腰三角形三线合一的性质，直角三角形两锐角互余，解题的关键是熟练掌握以上知识点．【例2.2】如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，在AD上取一点E，连结CE，使得AE=CE，若∠ECD=20°，则∠B=_____．【答案】55°/55度【分析】设∠ACE=x，则∠ACB=x+20°，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理列方程即可得到结论．【详解】解：设∠ACE=x，则∠ACB=x+20°，∵AE=CE，∴∠DAC=∠ACE=x，∵AB=AC，AD是BC边上的中线，∴∠B=∠ACB=x+20°，∵∠BAC+∠B+∠ACB=180∴2x+x+20°+x+20°=180°，解得：x=35°，∴∠B=x+20°=55°，故答案为：55°．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．【例2.3】如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别是E，F，求证：DF=DE．（不证△BFD≌△CED）

【答案】见解析【分析】连接AD，先根据等腰三角形三线合一的性质得出∠BAD=∠CAD，再根据角平分线的性质得出DF=DE．【详解】证明：如图，连接AD．∵AB=AC，D是BC的中点，∴∠BAD=∠CAD，又∵DE⊥AC，DF⊥AB，∴DF=DE．

，【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，角平分线的性质，熟练掌握等腰三角形三线合一，以及角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．【变式2.1】如图AD，BE分别是△ABC的中线和角平分线，若AB=AC，∠CAD=20°【答案】35°/35度【分析】根据等腰三角形三线合一的性质得出∠BAC=40°，再由三角形内角和定理得出∠【详解】解：∵AD是△ABC的中线，AB=AC，∴AD平分∠BAC∵∠CAD=20°∴∠BAC=40°∴∠ABC=∵BE是△ABC的角平分线，∴∠ABE=故答案为：35°．【点睛】题目主要考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理，理解题意，熟练掌握运用等腰三角形的性质是解题关键．【变式2.2】如图，△ABC中，AB=AC,AD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，BF=8，则DE的长为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】根据等腰三角形的性质可得CD=BD，从而得到S△ABC=2S【详解】解：∵AB=AC,AD⊥BC，∴CD=BD，∴S△ABC∵DE⊥AB，BF⊥AC，∴S△ABC∴12∵BF=8，∴DE=4．故选：C【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．【变式2.3】如图，△ABC中，∠BAC=60°，∠C=40°，AM是△ABC的高，将△AMB沿AM折叠得到△AMN，点N落在线段MC上．(1)求∠MAN的度数．(2)过点N作∠ANC的平分线NO交AC于点O，若AC=8，求AO的长．【答案】(1)10°(2)4【分析】（1）先由三角形内角和定理求出∠B=80°，再由直角三角形的性质求出∠MAB=10°，再根据折叠的性质得出∠MAN=∠MAB=10°；（2）先计算出∠CAN=∠BAC-∠MAN-∠MAB=60°-10°-10°=40°，再由∠CAN=∠C，得到AN=CN．然后根据等腰三角形三线合一性质得出AO=CO，即可求解．【详解】（1）解：∵∠BAC=60°，∠C=40°，∴∠B=180°-60°-40°=80°，∵AM是△ABC的高，∴∠AMB=90°，∴∠MAB=90°-∠B=90°-80°=10°，∵将△AMB沿AM折叠得到△AMN，∴△AMN≌△AMB，∴∠MAN=∠MAB=10°．答：∠MAN的度数为10°．（2）解：由（1）知∠MAN=∠MAB=10°，∴∠CAN=∠BAC-∠MAN-∠MAB=60°-10°-10°=40°．∵∠C=40°，∴∠CAN=∠C，∴AN=CN．∵AC平分∠ANC，∴AO=CO．∵AC=8，∴AO=4．答：AO的长为4．【点睛】本题考查三角形内角和定理，直角三角形性质，折叠性质，等腰三角形的性质，解题词关键是熟练掌握三角形内角和定理，折叠性质，等腰三角形的性质．模块二模块二等腰三角形的判定等腰三角形的判定如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对等边”）.【考点1等腰三角形的判定】【例1.1】△ABC的三边分别是a，b，c，不能判定是等腰三角形的是（

）A．∠A:∠B:∠C=2:2:3 B．a:b:c=2:2:3C．∠B=50°，∠C=80° D．2∠A=∠B+∠C【答案】D【分析】根据等腰三角形的判定，三角形内角和定理，进行计算逐一判断即可解答．【详解】解：A、因为∠A:∠B:∠C=2:2:3，∠A+∠B+∠C=180°，所以∠A=∠B=180°×22+2+3=360B、因为a:b:c=2:2:3，所以设a=b=2x，则有两边相等的△ABC是等腰三角形；C、因为∠A+∠B+∠C=180°，所以∠A=180°-∠B-∠C=180°-50°-80°=50°，则∠A=∠B，所以△ABC是等腰三角形；D、因为2∠A=∠B+∠C，∠A+∠B+∠C=180°，则∠A+2∠A=180°，那么∠A=60°，∠B+∠C=120°，不能判定是等腰三角形．故选：D.【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的判定，以及三角形内角和定理是解题的关键．【例1.2】如图，在△ABC中，OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB，过O作DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E，若DE=5，BD=3，则线段CE的长为（

）

A．2 B．1 C．3 D．4【答案】A【分析】根据角平分线的定义和平行线的性质可得∠DBO=∠BOD,∠ECO=∠COE，进而可得BD=OD,CE=OE，即得DE=BD+CE，再结合已知数据求解即可.【详解】解：∵OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB，∴∠DBO=∠CBO,∠ECO=∠BCO，∵DE∥∴∠DOB=∠CBO,∠EOC=∠BCO，∴∠DBO=∠BOD,∠ECO=∠COE，∴BD=OD,CE=OE，∴DE=DO+EO=BD+CE，∵DE=5，BD=3，∴CE=DE-BD=5-3=2；故选：A.【点睛】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义和等腰三角形的判定等知识，属于常见题型，熟练掌握相关图形的性质是解题的关键.【例1.3】已知：在△ABC中，D为AC的中点，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E、F，且DE=DF．求证：△ABC是等腰三角形．【答案】见解析【分析】先推出Rt△ADE≌Rt△CDF【详解】证明：∵DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E、F，∴∠AED=∠CFD=90°，∵D为AC的中点，∴AD=CD，在Rt△ADE和RtAD=CDDE=DF∴Rt△ADE∴∠A=∠C，∴AB=CB，∴△ABC是等腰三角形．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，中点的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．【变式1.1】如图，△ABC≌△DEF，点E在AC上，B，F，C，D四点在同一条直线上．若∠A=40°,∠CED=35°，则下列结论正确的是（

A．EF=EC,AB=FC B．EF≠EC,AE=FCC．EF=EC,AE≠FC D．EF≠EC,AE≠FC【答案】C【分析】根据全等三角形的性质得到∠ACB=∠DFE，∠D=∠A=40°，AC=DF，则EF=EC，由于∠D≠∠CED，则CE≠CD，则【详解】解：∵△ABC≌∴∠ACB=∠DFE，∠D=∠A=40°，∴EF=EC，∵∠D=40°≠∠CED=35°，∴CE≠CD，∴AE≠CF，∴四个选项中只有C选项符合题意，故选C．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，等腰三角形的判定，熟知全等三角形的性质是解题的关键．【变式1.2】如图，在长方形ABCD中，AD=5，将长方形沿BD折叠，点A落在点E处，DE与BC交于点F，且BF=3，则EF的长为______．【答案】2【分析】根据长方形的性质可得∠ADB=∠CBD，从而得到CF=BC-BF=2，再由折叠的性质得：AD=DE=5，∠ADB=∠BDF，从而得到∠CBD=∠BDF，进而得到BF=DF=3，即可求解．【详解】解：在长方形ABCD中，AD=BC=5，AD∥∴∠ADB=∠CBD，∵BF=3，∴CF=BC-BF=2，由折叠的性质得：AD=DE=5，∠ADB=∠BDF，∴∠CBD=∠BDF，∴BF=DF=3，∴EF=DE-DF=2．故答案为：2【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定，平行线的性质，图形的折叠，熟练掌握等腰三角形的判定，平行线的性质，图形的折叠的性质是解题的关键．【变式1.3】我们知道，如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形．证明这种文字性命题一般思路为：画草图，写出已知求证并证明．按以上思路完成下面的作图与填空．求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形．已知：如图，∠CAE是△ABC的外角，AD平分∠CAE，AD∥BC．求证：AB=AC．证明：用直尺和圆规作∠CAE的平分线AD．（只保留作图痕迹）∵AD∥BC，∴①，②，∵AD平分∠CAE，∴③，∴④，∴AB=AC（等角对等边）．【答案】画图见解析，∠DAE=∠B，∠DAC=∠C，∠DAE=∠DAC，【分析】根据角平分线的尺规作图方法作图，然后根据平行线的性质得到∠DAE=∠B，∠DAC=∠C，再由角平分线的定义证明∠B=∠C，即可证明【详解】证明：用直尺和圆规作∠CAE的平分线AD．（只保留作图痕迹）∵AD∥BC，∴∠DAE=∠B，∵AD平分∠CAE，∴∠DAE=∠DAC，∴∠B=∠C，∴AB=AC（等角对等边）．故答案为：∠DAE=∠B，∠DAC=∠C，∠DAE=∠DAC，【点睛】本题主要考查了角平分线的尺规作图，角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定，灵活运用所学知识是解题的关键．【考点2等腰三角形的性质与判定的综合应用】【例2.1】如图，在△ABC中，AB=AC，D是AB的中点，F是BC延长线上一点，连接DF，交AC于点E，连接BE，若∠A=∠ABE=46°，则∠F的度数是(

)A．20° B．23° C．44° D．30°【答案】B【分析】根据已知∠A=∠ABE=46°，可得EA=EB，根据D是AB的中点，利用等腰三角形的三线合一得出ED⊥AB，根据等腰三角形的形状以及三角形内角和定理，由AB=AC，∠A=46°，求得∠DBF=67°，进而即可求解．【详解】解：∵∠A=∠ABE=46°，∴EA=EB，∵D是AB的中点，∴ED⊥AB，∴∠FDB=90°，∵AB=AC，∠A=46°，∴∠DBF=1∴∠F=90°-67°=23°，故选：B．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理的应用，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．【例2.2】如图所示，在△ABC中，∠ABC=2∠ACB，BD平分∠ABC，AD//BC，则图中等腰三角形的个数有________【答案】4【分析】根据已知条件可以推知∠OBC=∠OCB，∠OAD=∠DOA，∠ABD=∠ADB，∠DAC=∠DCA，然后由等角对等边可以找出图中的等腰三角形．【详解】∵在△ABC中，∠ABC=2∠ACB，BD平分∠ABC∴∠ABD=∠CBD=∠ACB，即∠CBD=∠ACB∴OB=OC（等角对等边），∴△BOC是等腰三角形；又∵AD∴∠DAC=∠ACB，∠ADB=∠CBD（两直线平行，内错角相等），∴∠OAD=∠DOA，∠ABD=∠ADB∴OA=OD，AB=AD∴△AOD，△ABD是等腰三角形；∵OA=OD，OB=OC∴AC=BD又∵∠ACB=∠CBD，BC=BC∴△ACB≌△DBC∴AB=CD=AD∴△ADC是等腰三角形故答案是：4【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质．平行线的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质等，角的等量代换的运用是正确解答本题的关键．【例2.3】请将下面的证明过程补充完整．已知：如图，在△ABC中，∠BAD=∠CAD，CE∥AD，CE交BA的延长线于点E，且AB=AE．求证：∠ABC=∠ACB．证明：∵CE∥AD，∴∠BAD=________（两直线平行，同位角相等），∠CAD=∠ACE（_____________）．∵∠BAD=∠CAD，∴∠ACE=_____________（等量代换），∴AE=AC（____________）．∵AB=AE，∴AB=AC（等量代换），∴∠ABC=∠ACB（___________）．【答案】答案见详解【分析】根据平行线的性质得出∠BAD=∠E，∠CAD=∠ACE，根据等量代换得出AB=AC，即可得出答案．【详解】证明：∵CE∥AD，∴∠BAD=_∠E__（两直线平行，同位角相等），∠CAD=∠ACE（两直线平行，内错角相等）．∵∠BAD=∠CAD，∴∠ACE=____∠E___（等量代换），∴AE=AC（等角对等边）．∵AB=AE，∴AB=AC（等量代换），∴∠ABC=∠ACB（等边对等角）．【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，等腰三角形的定义，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．【变式2.1】如图，AD⊥BC于点D，D为BC的中点，连接AB，∠ABC的平分线交AD于点O，连接OC，若∠AOC=125°，则∠ABC为（）A．80° B．70° C．50° D．60°【答案】B【分析】由邻补角得到∠COD=55°，由等腰三角形判定和性质及直角三角形两锐角互余得到∠OBD=∠C=35°，AD是∠ABC的平分线，即可求得∠ABC=2OBD=70°，【详解】∵∠AOC=125°，∴∠COD=180°-∠AOC=55°，∵AD⊥BC，D为BC的中点，∴△BOC是等腰三角形，∠ODC=90°，∴∠OBD=∠C=90°-∠COD=35°，∵AD是∠ABC的平分线，∴∠ABC=2OBD=70°，故选：B【点睛】本题考查了角平分线的性质、等腰三角形判定和性质、邻补角的计算及直角三角形两锐角互余，熟练掌握等腰三角形判定和性质是解决问题的关键【变式2.2】如右图，AD是△ABC的高，DE是△ADB的中线，BF是△EBD的角平分线，若∠BAD=45°，则【答案】112.5°【分析】由已知得出△ABD是等腰直角三角形，根据DE是△ADB的中线，得出DE⊥AB，根据角平分线的定义得出∠EBF=22.5°，根据三角形的外角的性质即可求解．【详解】解：∵AD是△ABC的高，∠BAD=∴AD⊥BC，则△ABD是等腰直角三角形，∴∠ABD=45°∵DE是△ADB的中线，∴DE⊥AB，∴∠DEB=90°∵BF是△EBD的角平分线，∴∠EBF=22.5°，∴∠BFD=∠EBF+∠DEB=22.5°+90°=112.5°，故答案为：112.5°．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定，三角形外角的性质，角平分线的定义，掌握等腰三角形的性质与判定是解题的关键．【变式2.3】如图，在△ABC中，P是BC边上的一点，过点P作BC的垂线，交AB于点Q，交CA的延长线于点R．若AQ=AR，求证：△ABC是等腰三角形．【答案】见解析【分析】先由AQ=AR，运用等腰三角形的性质可得∠R=∠AQR，再根据对顶角相等可得∠BQP=∠AQR；进而得出∠R=∠BQP，在Rt△QPB【详解】证明：∵AQ=AR，∴∠R=∠AQR．又∵∠BQP=∠AQR，∴∠R=∠BQP，在Rt△QPB和Rt△RPC中，∠B+∠BQP=90°，∴∠B=∠C，∴AB=AC，∴△ABC是等腰三角形．【点睛】本题主要考查的是等腰三角形的判定与性质，掌握其性质定理是解决此题的关键．模块三模块三课后作业1．等腰三角形的周长为16，其一边长为4，那么它的底边长为（

）A．6 B．4 C．8 D．4或8【答案】B【分析】分4是底边和腰长两种情况，利用三角形的三边关系讨论求解．【详解】解：①4是底边时，腰长为12此时，三角形的三边分别为4、6、6，能组成三角形；②4是腰长时，底边为16-4×2=8，此时，三角形的三边分别为8、4、4，不能组成三角形，综上所述，底边为4．故选：B【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，难点在于分情况讨论并利用三角形的三边关系判断是否能够组成三角形．2．下列条件中，不能判定△ABC是等腰三角形的是（

）A．a=3，b=3，c=4 B．a：b：c=2：3：4C．∠B=50°，∠C=80° D．∠A：∠B：∠C=1：1：2【答案】B【分析】由等腰三角形的定义与等角对等边的判定定理，即可求得答案．【详解】解：A、因为a=3，b=3，c=4，所以a=b，所以△ABC是等腰三角形，故本选项不符合题意；B．因为a：b：c=2：3：4所以a≠b≠c，所以△ABC不是等腰三角形，故本选项符合题意；C．因为∠B=50°，∠C=80°，所以∠A=180°-∠B-∠C=50°，所以∠A=∠B，所以AC=BC，所以△ABC是等腰三角形，故本选项不符合题意；D．因为∠A：∠B：∠C=1：1：2，因为∠A=∠B，所以AC=BC，所以△ABC是等腰三角形，故本选项不符合题意．故选B．【点睛】此题考查了等腰三角形的判定，此题比较简单，注意掌握等腰三角形的定义与等角对等边的判定定理是解题的关键．3．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F，过F作DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E．若BD=4，DE=7，则线段A．3 B．4 C．3.5 D．2【答案】A【分析】根据DE∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F，得证DF=BD=4，【详解】解：因为DE∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点所以∠DBF=∠CBF，∠DFB=∠CBF所以∠DBF=∠DFB，∠ECF=∠EFC所以DF=BD=4，因为DF+EF=DE=7，所以EC=EF=DE-DF=7-4=3，故选：A．【点睛】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质和等腰三角形的判定是解题的关键．4．如图，点P是∠AOB的角平分线OC上一点，点Q是OA上一点，且PQ∥OB，若PQ=2，则线段OQ的长是（A．1.8 B．2.5 C．3 D．2【答案】D【分析】利用角平分线的定义以及平行线的性质推出∠QPO=∠QOP，据此即可求解．【详解】解：∵点P是∠AOB的角平分线OC上一点，∴∠QOP=∠POB，∵PQ∥∴∠QPO=∠POB，∴∠QPO=∠QOP，∴OQ=PQ=2，故选：D．【点睛】本题考查了平行线的性质，等角对等边，掌握“两直线平行内错角相等”是解题的关键．5．如图，在3×3的正方形网格中，点A，B在格点上，若点C也在格点上，且△ABC是等腰三角形，则符合条件的点C的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根据等腰三角形的性质即可得到结论．【详解】解：如图所示：符合条件的点C的个数有3个，故选：C．【点睛】此题考查等腰三角形的判定，关键是根据等腰三角形的判定解答．6．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=80°，AD是中线，BE是角平分线，AD与BE交于点O，则∠AOB的度数为（）A．130° B．125° C．120° D．115°【答案】D【分析】根据等腰三角形的性质可得∠ADB=90°，∠ABC=50°，根据角平分线的定义可得∠CBO=25°，再根据三角形的外角性质即可求解．【详解】解：在△ABC中，AB=AC，∠BAC=80°，AD是中线，∴AD⊥BC，∠ACB=∠ABC=1∴∠ADB=90°，∵BE是角平分线，∴∠CBO=1∴∠AOB=∠CBO+∠ADB=115°，故选：D．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，理解并熟练“三线合一”的基本性质是解题关键．7．如图，在△ABC中，D是BC上一点，AB=AC=BD．若∠B=50∘，则∠CAD的度数为（A．10∘ B．15∘ C．20∘【答案】B【分析】结合等腰三角形底角相等、三角形内角和、三角形外角定理，进行计算即可．【详解】解∵AB=AC=BD，∴∠B=∠C，∠BAD=∠BDA，∵∠B=50∴∠BAD=∠BDA=180°-50°2=65°∴∠CAD=∠BDA-∠C=65°-50°=15°，故选B．【点睛】本题考查等腰三角形中角度的计算，需要结合实际情况进行角度的加减运算，看清楚等腰对等角的位置关系是解题的关键．8．如图，在△ABC中，AB=6cm，AC=4cm，BD平分∠ABC，且AD∥BC，∠ACB的外角平分线交AD于点E，则【答案】2【分析】根据角平分线的性质可得∠ABD=∠BDC，根据平行线的性质可得∠ADB=∠BDC，∠AEC=∠ECF,推得∠ABD=∠ADB，根据等角对等边可得AB=AD=6cm，根据角平分线的性质可得∠ACE=∠ECF，推得∠ACE=∠AEC，根据等角对等边可得AE=AC=4【详解】∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠BDC，∵AD∥∴∠ADB=∠BDC，∠AEC=∠ECF,∴∠ABD=∠ADB，∴AB=AD=6cm∵DE是∠ACF的角平分线，，∴∠ACE=∠ECF，∴∠ACE=∠AEC，∴AE=AC=4cm∴DE=AD-AE=2cm故答案为：2cm【点睛】本题考查了角平分线的性质，平行线的性质，等角对等边，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．9．聪明的小斐同学这样检查他的课桌桌面是否水平：如图，在等腰直角三角尺斜边中点O处拴一条绳，绳的另一端挂一个重物，把这块三角尺的斜边贴在桌面底部，结果绳子经过三角尺的直角顶点，由此得出桌面是水平的（即挂重物的绳与桌面垂直），小斐用到的数学原理是____________．【答案】等腰三角形的底边上的中线、底边上的高，顶角的平分线互相重合【分析】根据等腰三角形的底边上的中线、底边上的高，顶角的平分线互相重合，即可．【详解】解：∵△ABC是等腰三角形，∴AC=BC，∵点O为AB的中点，∴OC⊥AB，即挂重物的绳与桌面垂直，（等腰三角形的底边上的中线、底边上的高，顶角的平分线互相重合）故答案为：等腰三角形的底边上的中线、底边上的高，顶角的平分线互相重合．【点睛】本题主要考查了学生对等腰三角形的性质的理解和掌握，此题与实际生活联系密切，体现了从数学走向生活的指导思想，从而达到学以致用的目的．10．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD是△ABC的一条角平分线，若∠BDC＝72°，则∠A的度数为_____．【答案】36°/36度【分析】先证明∠ABD=∠CBD,设∠ABD=x°,再证明∠ABC=∠ACB=2x°,利用三角形的内角和定理列方程x+2x+72=180,再解方程求解x,再利用三角形的外角的性质可得答案.【详解】解：∵BD是△ABC的一条角平分线，∴∠ABD=∠CBD,设∠ABD=x°,∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB=2x°,∵∠BDC＝72°，∠DBC+∠BCD+∠BDC=180°,∴x+2x+72=180,解得：x=36,∴∠A=∠BDC-∠ABD=72°-36°=36°,故答案为：36°【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理，三角形的外角的性质，等腰三角形的性质，求解∠ABD=36°是解本题的关键.11．如图，△ABC中，∠B=60°，∠C=90°，在射线BA上找一点D，使△ACD为等腰三角形，则∠ADC的度数为_____．【答案】75°或120°或15°【分析】分为三种情况，先画出图形，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出即可．【详解】解：如图，有三种情形：①当AC=AD时，∵△ABC中，∠B=60°，∠ACB=90°，∴∠CAB=30°，∵AC=AD，∴∠ADC=∠DCA=12（180°-∠CAB）=75°②当CD′=AD′时，∵∠CAB=30°，∴∠D′CA=∠CAB=30°，∴∠AD′C=180°-30°-30°=120°．③当AC=AD″时，则∠AD″C=∠ACD″，∵∠CAB=30°，∠AD″C+∠ACD″=∠CAB，∴∠AD″C=15°，故答案为：75°或120°或15°．【点睛】本题考查等腰三角形的判定，三角形的内角和定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，连接CD，则∠ACD的度数是__________．【答案】20°【分析】根据三角形的内角和定理和等腰三角形的性质即可求解．【详解】解：∵