第13讲 等边三角形及含30°角的直角三角形的性质（原卷版）-初中数学暑假自学课讲义（8年级人教版）

第13讲等边三角形及含30°角的直角三角形的性质【人教版】·模块一等边三角形的性质和判定·模块二含30°角的直角三角形的性质·模块三课后作业模块一模块一等边三角形的性质和判定等边三角形（1）定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形.（2）等边三角形性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60°.（3）等边三角形的判定：①三条边都相等的三角形是等边三角形；②三个角都相等的三角形是等边三角形；③有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形.【考点1等边三角形的性质】【例1.1】如图是三个等边三角形随意摆放组成的图形，则∠1+∠2+∠3的度数为（

）A．90° B．120° C．180° D．无法确定【例1.2】已知直线a∥b，将等边三角形△ABC按如图所示的位置摆放，若∠1=35°，则∠2的度数为（

）A．95° B．85° C．75° D．70°【例1.3】如图，点C在线段AB上，△DAC和△DBE都是等边三角形，试说明：△DAB≌△DCE．

【变式1.1】如图，一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形，则图中∠a＋∠β的度数是（

）A．220° B．180° C．270° D．240°【变式1.2】如图，A，B，D三点在同一直线上，△ABC和△BDE均为等边三角形，连结AE，CD，若∠BAE=39°，那么∠AEB=______．【变式1.3】如图，在等边△ABC中，点E为AB上一点，点F为AC上一点，且AE=CF．求证：CE=BF．

【考点2等边三角形的判定】【例2.1】下列说法不正确的是（

）A．有一个角为60°的三角形是等边三角形； B．三边相等的三角形是等边三角形C．三个角相等的三角形是等边三角形 D．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形【例2.2】如图，已知∠AOB=30°，点P在∠AOB内部，点P1与点P关于OB对称，点P2与点P1关于OA对称，则P1，O，A．含30°角的直角三角形 B．等边三角形C．顶角是30°的等腰三角形 D．视点P的位置而定【例2.3】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AE是∠BAC的平分线，CD是AB【变式2.1】下列图形中，一定是等边三角形的是（

）A． B．C． D．【变式2.2】如图，在△ABC中，∠C=60°，D为AB边的中点，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，DE=DF．求证：△ABC是等边三角形．【变式2.3】已知，如图，∠B=∠C，AB∥DE，EC=ED，求证：△DEC为等边三角形．

【考点3等边三角形的性质与判定的综合应用】【例3.1】如图，△ABC中，BC=8，AD是中线，∠ADB=60°，将△ADB沿AD折叠至△ADB'，则点C到B'A．4 B．23 C．3 D．【例3.2】如图，在△ABC中，AB=AC，D为线段BC上一动点（不与点B、C重合），连接AD，作∠DAE=∠BAC，且AD=AE，连接CE．若CE∥AB，∠BAD=40°，则∠DEC的度数为【例3.3】如图所示，△ABC和△ADE都是等边三角形，且点B、A、E在同一直线上，连接BD交AC于M，连接CE交AD于N，连接MN．

(1)求证：BD=CE；(2)求证：△ABM≌△ACN；(3)求证：△AMN是等边三角形．【变式3.1】将两个直角三角形如图放置，其中∠BAC=∠ECD=90°，∠D=60°，AB=AC，DA=DC，CE与AB交于点F，则∠BFC=_____．【变式3.2】已知：如图，点D在等边三角形ABC的边AB上，延长BC至点E使CE=AD，连接DE交AC与点F．

(1)求证：FD=FE；(2)过点D作DG⊥AC于G，若等边三角形ABC的边长为6，求FG的长．【变式3.3】已知△ABC是等边三角形，点P在AB上，过点P作PD⊥AC，垂足为D，延长BC至点Q，使CQ=AP，连接PQ交AC于点E，如图所示．如果等边△ABC的边长为4，那么线段DE的长为（）A．1 B．2 C．1.8 D．2.5模块二模块二含30°角的直角三角形的性质直角三角形的性质定理在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.【考点1含30°角的直角三角形的性质】【例1.1】在△ABC中，∠A=30∘，∠C=90∘，AB=8，则A．8 B．4 C．16 D．2【例1.2】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，BD＝1，【例1.3】如图，△ABC是等边三角形，D，E分别是边AC，BC上的点，BD，AE交于点R，BF⊥AE于点F，若AD=CE．求证：BR=2FR．

【变式1.1】如图，∠AOB=60°，以点O为圆心，以适当长为半径作弧交OA于点C，交OB于点D；分别以C，D为圆心，以大于12CD的长为半径作弧，两弧在∠AOB内部相交于点P；画射线OP，在射线OP上截取线段OM=8，则点MA．6 B．5 C．4 D．3【变式1.2】如图，已知∠AOB=60°，点P在边OA上，OP=16，点M、N在边OB上，PM=PN，若MN=2，则OM=________．【变式1.3】如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至E，使CE=CD，DF⊥BE，垂足为点F．

(1)求证：CE=2CF；(2)若CF=2，求△ABC的周长．【考点2含30°角的直角三角形的性质的应用】【例2.1】如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图．其中AB、CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC=150°，BC的长是8m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是（

A．833m B．4m C．【例2.2】如图，CD是平面镜，光线从点A出发经CD上点O反射后照射到点B，若入射角为α，反射角为β（反射角等于入射角），AC⊥CD于点C，BD⊥CD于点D，且∠α=60°，OB=10，则BD=______．【例2.3】如图，早上8:00，一艘轮船以20海里/小时的速度由南向北航行，在A处测得小岛P在北偏西15°方向上，到上午10:00，轮船在B处测得小岛P在北偏西30°方向上，在小岛P周围18海里内有暗礁，若轮船继续向前航行，有无触礁的危险？【变式2.1】如图，数学活动课上，为测量学校A与河对岸农场B之间的距离，在学校附近选一点C，用测量仪器测得∠A=60°，∠C=90°，AC=2km，则学校与农场之间的距离AB为（

A．8km B．6km C．4km模块三模块三课后作业1．在△ABC中，AB=AC=6，∠B=60∘，则△ABC的周长为（A．24 B．18 C．12 D．62．若一个三角形的每一个外角都等于一个不相邻的内角的2倍，那么这个三角形是（）A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．钝角三角形3．如图，直线l1∥l2，△ABC是等边三角形，∠1=40°，则

A．50° B．60° C．70° D．80°4．在△ABC中，∠A=60°，若使△ABC为正三角形，请你再添一个条件：___________．5．如图，在△ABC中，AB=AC,∠A=120°,BC=18cm．AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E；AC的垂直平分线交AC于点G，交BC于点F．EF的长为_____6．如图，在△ABC中，AB=6，BC=8，∠B=60°，将△ABC沿射线BC方向平移2个单位后得到△DEF，连接DC，则DC的长为7．已知∠AOB=60°，OC是∠AOB的平分线，点D为OC上一点，过D作直线DE⊥OA，垂足为点E，且直线DE交OB于点F，如图所示．若DE=2，则DF=______________．

8．如图，∠ABC=60°,AB=4，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线BC运动，设点P的运动时间为t秒t>0，当△ABP为锐角三角形时，t的取值范围是_____．9．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=15°，CD是腰AB上的高，若AB=4，求CD的长度．10．如图，已知在△ABC中，BD平分∠ABC，CE=CD，DB=DE，∠E=30°．求证：△ABC是等边三角形．11．如图，△ABC是等边三角形，