高考数一轮复习 7.3 空间点、直线、平面之间的位置关系限时集训 理

限时集训(四十一)空间点、直线、平面之间的位置关系(限时：50分钟满分：106分)一、选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分)1．(·福州检测)给出下列四个命题：①没有公共点的两条直线平行；②互相垂直的两条直线是相交直线；③既不平行也不相交的直线是异面直线；④不同在任一平面内的两条直线是异面直线．其中正确命题的个数是()A．1 B．2C．3 D．42．若直线a∥b，b∩c＝A，则直线a与c的位置关系是()A．异面 B．相交C．平行 D．异面或相交3．平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，既与AB共面又与CC1共面的棱的条数为()A．3 B．4C．5 D．64．(·浙江高考)若直线l不平行于平面α，且l⊄α，则()A．α内的所有直线与l异面B．α内不存在与l平行的直线C．α内存在唯一的直线与l平行D．α内的直线与l都相交5．(·重庆模拟)若两条直线和一个平面相交成等角，则这两条直线的位置关系是 ()A．平行 B．异面C．相交 D．平行、异面或相交6．(·福州模拟)如图在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为()A.eq\f(1,5) B.eq\f(2,5)C.eq\f(3,5) D.eq\f(4,5)7．(·聊城模拟)对于任意的直线l与平面α，在平面α内必有直线m，使m与l()A．平行 B．相交C．垂直 D．互为异面直线8．(·重庆高考)设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1，eq\r(2)和a，且长为a的棱与长为eq\r(2)的棱异面，则a的取值范围是()A．(0，eq\r(2)) B．(0，eq\r(3))C．(1，eq\r(2)) D．(1，eq\r(3))二、填空题(本大题共6个小题，每小题4分，共24分)9．给出如下四个命题：①有三个角是直角的四边形一定是矩形；②不共面的四点可以确定四个平面；③空间四点不共面的充要条件是其中任意三点不共线；④若点A、B、C∈平面α，且点A、B、C∈平面β，则平面α与平面β重合．其中真命题的序号是________．(把所有真命题的序号都填上)10．对于空间三条直线，有下列四个条件：①三条直线两两相交且不共点；②三条直线两两平行；③三条直线共点；④有两条直线平行，第三条直线和这两条直线都相交．其中，使三条直线共面的充分条件有________．11．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：①AB⊥EF；②AB与CM所成的角为60°；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD.以上四个命题中，正确命题的序号是________．12．(·大纲全国卷)已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为BB1、CC1的中点，那么异面直线AE与D1F13．若P是两条异面直线l，m外的任意一点，则下列命题中假命题的序号是________．①过点P有且仅有一条直线与l，m都平行；②过点P有且仅有一条直线与l，m都垂直；③过点P有且仅有一条直线与l，m都相交；④过点P有且仅有一条直线与l，m都异面．14．直三棱柱ABC－A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于________．三、解答题(本大题共3个小题，每小题14分，共42分)15．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为CC1，AA1的中点，画出平面BED1F与平面ABCD16．如图所示，三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝60°，PA＝AB＝AC＝2，E是PC的中点．(1)求证AE与PB是异面直线；(2)求异面直线AE和PB所成角的余弦值．17．(·上海高考)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点．已知AB＝2，AD＝2eq\r(2)，PA＝2.求：(1)三角形PCD的面积；(2)异面直线BC与AE所成的角的大小．答案[限时集训(四十一)]1．B2.D3.C4.B5.D6.D7.C8.A9．解析：如图(1)，平面α内∠ABC为直角，P∉α，过P作PD⊥AB，垂足为D，PE⊥BC，垂足为E，则四边形PDBE有三个直角，故①假；在图(2)的平面α内，四边形ABCD中任意三点不共线，则③假；图(3)中，平面α∩平面β＝l，A、B、C都在l上，则④假，只有②真．答案：②10．解析：①中两相交直线确定一个平面，则第三条直线在这个平面内．②中可能有直线和平面平行，③中直线最多可确定3个平面．④同①.答案：①④11.解析：将展开图还原为正方体，如图所示，则AB⊥EF，故①正确；AB∥CM，故②错误；EF与MN显然异面，故③正确；MN与CD异面，故④错误．答案：①③12.解析：如图，连接DF，因为DF与AE平行，所以∠DFD1即为异面直线AE与D1F所成角的平面角，设正方体的棱长为2，则FD1＝FD＝eq\r(5)，由余弦定理得cos∠DFD1＝eq\f(\r(5)2＋\r(5)2－22,2×\r(5)2)＝eq\f(3,5).答案：eq\f(3,5)13．解析：①是假命题，因为过点P不存在一条直线与l，m都平行；②是真命题，因为过点P有且仅有一条直线与l，m都垂直，这条直线与两异面直线的公垂线平行或重合；③是假命题，因为过点P也可能没有一条直线与l，m都相交；④是假命题，因为过点P可以作出无数条直线与l，m都异面．答案：①③④14．解析：如图：延长CA到D，使得AD＝AC，连接A1D，BD，则四形边形ADA1C1为平行四边形，∴∠DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角，又三角形A1DB为等边三角形，∴∠DA1B＝60°.答案：60°15．解：如图所示．PB即为平面BED1F与平面ABCD16．解：(1)证明：假设AE与PB共面，设平面为α，∵A∈α，B∈α，E∈α，∴平面α即为平面ABE，∴P∈平面ABE，这与P∉平面ABE矛盾，所以AE与PB是异面直线．(2)取BC的中点F，连接EF、AF，则EF∥PB，所以∠AEF或其补角就是异面直线AE和PB所成角，∵∠BAC＝60°，PA＝AB＝AC＝2，PA⊥平面ABC，∴AF＝eq\r(3)，AE＝eq\r(2)，EF＝eq\r(2)；cos∠AEF＝eq\f(2＋2－3,2×\r(2)×\r(2))＝eq\f(1,4)，所以异面直线AE和PB所成角的余弦值为eq\f(1,4).17．解：(1)因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD，又AD⊥CD，所以CD⊥平面PAD，从而CD⊥PD.因为PD＝eq\r(22＋2\r(2)2)＝2eq\r(3)，CD＝2，所以三角形PCD的面积为eq\f(1,2)×2×2eq\r(3)＝2eq\r(3).