高考数一轮复习 8.5 椭　圆限时集训 理

限时集训(五十)椭圆(限时：50分钟满分：106分)一、选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分)1．(·上海高考)对于常数m、n，“mn>0”是“方程mx2＋ny2＝1的曲线是椭圆”的 ()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件2．椭圆eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,7)＝1的左、右焦点分别为F1、F2，一直线过F1交椭圆于A，B两点，则△ABF2的周长为()A．32 B．16C．8 D．43．已知椭圆：eq\f(x2,10－m)＋eq\f(y2,m－2)＝1的焦距为4，则m等于()A．4 B．8C．4或8 D．以上均不对4．(·台州模拟)已知椭圆方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，它的一个顶点为M(0,1)，离心率e＝eq\f(\r(6),3)，则椭圆的方程为()A.eq\f(x3,3)＋eq\f(y2,2)＝1 B.eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,3)＝1C.eq\f(x2,6)＋y2＝1 D.eq\f(x2,3)＋y2＝15．矩形ABCD中，|AB|＝4，|BC|＝3，则以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的短轴的长为()A．2eq\r(3) B．2eq\r(6)C．4eq\r(2) D．4eq\r(3)6．已知P为椭圆eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1上的一点，M、N分别为圆(x＋3)2＋y2＝1和圆(x－3)2＋y2＝4上的点，则|PM|＋|PN|的最小值为()A．5 B．7C．13 D．157．以椭圆上任意一点与焦点所连接的线段为直径的圆与以长轴为直径的圆的位置关系是()A．内切 B．相交C．相离 D．无法确定 8．(·新课标全国卷)设F1、F2是椭圆E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点，P为直线x＝eq\f(3a,2)上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为()A.eq\f(1,2) B.eq\f(2,3)C.eq\f(3,4) D.eq\f(4,5)二、填空题(本大题共6个小题，每小题4分，共24分)9．(·温州模拟)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为eq\f(\r(2),2).过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么C的方程为________．10．若椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)与曲线x2＋y2＝a2－b2恒有公共点，则椭圆的离心率e的取值范围是________．11．一个正方形内接于椭圆，并有两边垂直于椭圆长轴且分别经过它的焦点，则椭圆的离心率为________．12．(·江西高考)椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F1，F2.若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为________．13．设F1，F2分别为椭圆eq\f(x2,3)＋y2＝1的左，右焦点，点A，B在椭圆上，若F1A→＝5F2B→，则点A的坐标是eq\a\vs4\al().14．已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq\f(\r(3),2).过右焦点F且斜率为k(k>0)的直线与椭圆C相交于A、B两点．若＝3，则k＝________.三、解答题(本大题共3个小题，每小题14分，共42分)15．已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为eq\f(4\r(5),3)和eq\f(2\r(5),3)，过P点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程．16．已知椭圆G：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq\f(\r(6),3)，右焦点为(2eq\r(2)，0)．斜率为1的直线l与椭圆G交于A，B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P(－3,2)．(1)求椭圆G的方程；(2)求△PAB的面积．17．(·重庆高考)如图，设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左、右焦点分别为F1，F2，线段OF1，OF2的中点分别为B1，B2，且△AB1B2是面积为4的直角三角形．(1)求该椭圆的离心率和标准方程；(2)过B1作直线l交椭圆于P，Q两点，使PB2⊥QB2，求直线l的方程．答案[限时集训(五十)]1．B2.B3.C4.D5.D6.B7.A8．C9．解析：根据椭圆的焦点在x轴上，可设椭圆方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，∵e＝eq\f(\r(2),2)，∴eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),2)，根据△ABF2的周长为16得4a＝16，因此a＝4，b＝2eq\r(2)，所以椭圆方程为eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,8)＝1.答案：eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,8)＝110．解析：由题意知，以半焦距c为半径的圆与椭圆有公共点，故b≤c，所以b2≤c2，即a2≤2c2所以eq\f(\r(2),2)≤eq\f(c,a).又eq\f(c,a)<1，所以eq\f(\r(2),2)≤e<1.答案：eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1))11．解析：设椭圆的焦距为2c则2a＝(eq\r(5)＋1)c，∴e＝eq\f(2,\r(5)＋1)＝eq\f(\r(5)－1,2).答案：eq\f(\r(5)－1,2)12．解析：依题意得|F1F2|2＝|AF1|·|BF1|，即4c2＝(a－c)·(a＋c)＝a2－c2，整理得5c2＝a2，得e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(5),5).答案：eq\f(\r(5),5)13．解析：根据题意设A点坐标为(m，n)，B点坐标为(c，d)．F1、F2分别为椭圆的左，右焦点，其坐标分别为(－eq\r(2)，0)，(eq\r(2)，0)，可得＝(m＋eq\r(2)，n)，＝(c－eq\r(2)，d)．∵＝5，∴c＝eq\f(m＋6\r(2),5)，d＝eq\f(n,5).∵点A，B都在椭圆上，∴eq\f(m2,3)＋n2＝1，eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m＋6\r(2),5)))2,3)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n,5)))2＝1．解得m＝0，n＝±1，故点A的坐标为(0，±1)．答案：(0，±1)14．解析：根据已知eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),2)，可得a2＝eq\f(4,3)c2，则b2＝eq\f(1,3)c2，故椭圆方程为eq\f(3x2,4c2)＋eq\f(3y2,c2)＝1，即3x2＋12y2－4c2＝0.设直线的方程为x＝my＋c，代入椭圆方程得(3m2＋12)y2＋6mcy－c2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则根据＝3，得(c－x1，－y1)＝3(x2－c，y2)，由此得－y1＝3y2，根据韦达定理y1＋y2＝－eq\f(2cm,m2＋4)，y1y2＝－eq\f(c2,3m2＋4)，把－y1＝3y2代入得，y2＝eq\f(cm,m2＋4)，－3yeq\o\al(2,2)＝－eq\f(c2,3m2＋4)，故9m2＝m2＋4，故m2＝eq\f(1,2)，从而k2＝2，k＝±eq\r(2).又k>0，故k＝eq\r(2).答案：eq\r(2)15．解：设两焦点为F1、F2，且|PF1|＝eq\f(4\r(5),3)，|PF2|＝eq\f(2\r(5),3).由椭圆定义知2a＝|PF1|＋|PF2|＝2eq\r(5)，即a＝eq\r(5).由|PF1|>|PF2|知，|PF2|垂直焦点所在的对称轴，所以在Rt△PF2F1中，sin∠PF1F2＝eq\f(|PF2|,|PF1|)＝eq\f(1,2).可求出∠PF1F2＝eq\f(π,6)，2c＝|PF1|·coseq\f(π,6)＝eq\f(2\r(5),\r(3))，从而b2＝a2－c2＝eq\f(10,3).所以所求椭圆方程为eq\f(x2,5)＋eq\f(3y2,10)＝1或eq\f(3x2,10)＋eq\f(y2,5)＝1.16．解：(1)由已知得c＝2eq\r(2)，eq\f(c,a)＝eq\f(\r(6),3).解得a＝2eq\r(3)，又b2＝a2－c2＝4.所以椭圆G的方程为eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,4)＝1.(2)设直线l的方程为y＝x＋m.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x＋m，,\f(x2,12)＋\f(y2,4)＝1))得4x2＋6mx＋3m2设A、B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)(x1<x2)，AB中点为E(x0，y0)，则x0＝eq\f(x1＋x2,2)＝－eq\f(3m,4)，y0＝x0＋m＝eq\f(m,4).因为AB是等腰△PAB的底边，所以PE⊥AB.所以PE的斜率k＝eq\f(2－\f(m,4),－3＋\f(3m,4))＝－1.解得m＝2.此时方程①为4x2＋12x＝0.解得x1＝－3，x2＝0.所以y1＝－1，y2＝2.所以|AB|＝3eq\r(2).此时，点P(－3,2)到直线AB：x－y＋2＝0的距离d＝eq\f(|－3－2＋2|,\r(2))＝eq\f(3\r(2),2)，所以△PAB的面积S＝eq\f(1,2)|AB|·d＝eq\f(9,2).17．解：(1)如图，设所求椭圆的标准方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，右焦点为F2(c,0)．因△AB1B2是直角三角形，又|AB1|＝|AB2|，故∠B1AB2为直角，因此|OA|＝|OB2|，得b＝eq\f(c,2).结合c2＝a2－b2得4b2＝a2－b2，故a2＝5b2，c2＝4b2，所以离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2,5)eq\r(5).在Rt△AB1B2中，OA⊥B1B2，故S△AB1B2＝eq\f(1,2)·|B1B2|·|OA|＝|OB2|·|OA|＝eq\f(c,2)·b＝b2.由题设条件S△AB1B2＝4，得b2＝4，从而a2＝5b2＝20.因此所求椭圆的标准方程为eq\f(x2,20)＋eq\f(y2,4)＝1.(2)由(1)知B1(－2,0)，B2(2,0)．由题意知直线l的倾斜角不为0，故可设直线l的方程为x＝my－2.代入椭圆方程得(m2＋5)y2－4my－16＝0.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则y1，y2是上面方程的两根，因此y1＋y2＝eq\f(4