2024-2025学年高中数学 第一章 三角函数 1.4.3 正切函数的性质与图象（8）教学教案 新人教A版必修4

2024-2025学年高中数学第一章三角函数1.4.3正切函数的性质与图象（8）教学教案新人教A版必修4课题：科目：班级：课时：计划1课时教师：单位：一、教学内容分析本节课的主要教学内容为高中数学第一章三角函数1.4.3节，重点探讨正切函数的性质与图象。教学内容主要包括正切函数的定义、性质（如奇偶性、周期性、单调性等）以及其图象特征。与学生已有知识的联系在于，学生在之前的学习中掌握了锐角三角函数的基本概念，特别是正弦、余弦函数的性质与图象，为本节课的正切函数学习奠定了基础。此外，学生在初中阶段已经了解过函数的基本概念，具备了一定的图象识别和分析能力，有利于本节课的教学展开。通过本节课的学习，学生将能更好地理解三角函数的内在联系，并掌握正切函数在实际问题中的应用。二、核心素养目标分析本节课的核心素养目标主要围绕数学抽象、逻辑推理、数学建模和数学运算等方面进行。通过正切函数性质与图象的学习，旨在提升学生的以下能力：

1.数学抽象：使学生能够从具体的三角函数问题中抽象出一般性的规律，理解正切函数的定义及其与正弦、余弦函数的关系，形成对三角函数的深刻理解。

2.逻辑推理：培养学生运用已知的数学性质和定理，推导出正切函数的性质，如奇偶性、周期性等，并能运用逻辑推理解释正切函数图象的特点。

3.数学建模：通过分析正切函数的实际应用，让学生学会构建数学模型，将实际问题转化为数学问题，从而提高解决实际问题的能力。

4.数学运算：使学生能够熟练运用三角函数的基本性质，解决涉及正切函数的计算问题，提高数学运算的准确性和效率。

5.数据分析：通过观察和分析正切函数图象，培养学生对数学数据敏感度，提升数据分析能力。

6.空间想象：结合正切函数的图象，引导学生运用空间想象能力，理解正切函数在不同象限的图象变化，加深对函数图象的理解。三、学情分析本节课面向的是高中一年级学生，他们在知识、能力、素质方面具备以下特点：

1.知识层面：

-学生在初中阶段已经学习了正弦、余弦函数的基本概念，具备一定的三角函数知识基础。

-学生在高中阶段已初步掌握了函数的基本性质，如奇偶性、单调性等，但可能对周期性、对称性等性质的理解不够深入。

-学生在数学分析方面，对图象的识别和分析能力有限，尤其是对复合函数图象的把握。

2.能力层面：

-学生具备一定的逻辑推理能力，但部分学生在运用性质推导正切函数性质时可能存在困难。

-学生的数学运算能力参差不齐，部分学生可能对三角函数的计算不够熟练。

-学生的空间想象能力有待提高，对正切函数在不同象限的图象变化理解可能不够深入。

3.素质层面：

-学生具备一定的自主学习能力，但部分学生对新知识的接受程度较低，需要教师引导。

-学生的团队合作能力较强，但在解决问题时可能过于依赖同伴，缺乏独立思考。

-学生在数学学习过程中，部分学生对困难问题有畏惧心理，缺乏解决问题的信心。

4.行为习惯：

-学生在课堂上能够积极参与讨论，但部分学生发言不够主动。

-学生的笔记习惯较好，但部分学生在课后复习方面存在不足。

-学生在课堂纪律方面表现良好，但部分学生对作业的完成态度不够端正。

对课程学习的影响：

1.知识层面：学生已有的三角函数知识基础有利于正切函数性质的学习，但知识点的深入理解和运用仍需加强。

2.能力层面：学生的逻辑推理、数学运算和空间想象能力对正切函数的学习有一定影响，需要教师在教学中注重能力的培养。

3.素质层面：学生的自主学习、团队合作和问题解决能力对课程学习有积极影响，教师应关注学生心理素质的提升，提高学习信心。

4.行为习惯：学生的课堂表现和课后复习习惯对学习效果具有重要影响，教师需关注学生行为习惯的培养，提高学习效率。四、教学方法与策略针对本节课的教学目标和学生特点，采用以下教学方法与策略：

1.教学方法：

（1）讲授法：教师以清晰、简练的语言讲解正切函数的性质与图象，突出重点，解释难点，确保学生掌握基本概念。

（2）讨论法：组织学生进行小组讨论，让学生在探讨正切函数性质和应用的过程中，加深对知识的理解。

（3）案例研究：通过分析具体的数学问题，引导学生运用正切函数解决实际问题，提高学生的数学建模能力。

（4）项目导向学习：设置综合性项目，让学生在完成项目的过程中，自主探究正切函数的性质与图象，培养自主学习能力。

2.教学活动：

（1）角色扮演：让学生扮演数学家，发现并推导正切函数的性质，提高学生的逻辑推理能力。

（2）实验：设计数学实验，让学生通过观察正切函数图象，发现并验证性质，增强学生的实践操作能力。

（3）游戏：设计数学游戏，如“正切函数接力赛”，让学生在游戏中巩固正切函数的性质与图象，提高学习兴趣。

（4）小组竞赛：组织小组间的数学竞赛，激发学生的学习积极性，培养学生的团队合作精神。

3.教学媒体和资源：

（1）PPT：制作精美的PPT，展示正切函数的性质与图象，帮助学生直观地理解知识点。

（2）视频：播放与正切函数相关的教学视频，让学生了解正切函数在实际生活中的应用，提高学生的数学素养。

（3）在线工具：利用在线数学工具，如几何画板、Desmos等，让学生动态观察正切函数图象，深入理解性质。

（4）教材与辅导书：提供教材和辅导书，引导学生课后复习，巩固所学知识。五、教学实施过程1.课前自主探索

教师活动：

-发布预习任务：通过学校在线学习平台，发布预习资料，包括正切函数的基本概念和性质预习PPT，明确要求学生预习正切函数的定义及其与正弦、余弦函数的关系。

-设计预习问题：围绕“正切函数的性质与应用”，设计问题，如“正切函数的奇偶性如何证明？”“正切函数的周期性对其图象有何影响？”

-监控预习进度：通过学习平台的数据分析功能，跟踪学生的预习情况，确保学生掌握预习内容。

学生活动：

-自主阅读预习资料：学生按照预习要求，阅读资料，初步理解正切函数的基本概念。

-思考预习问题：学生尝试回答预习问题，记录下自己的思考过程和疑问。

-提交预习成果：学生将预习笔记或思维导图通过平台提交，或在微信群分享疑问。

教学方法/手段/资源：

-自主学习法：鼓励学生独立探索，培养自主学习习惯。

-信息技术手段：利用在线平台和微信群进行资源分享和互动。

作用与目的：

-帮助学生提前接触正切函数的概念，为课堂学习打下基础。

-培养学生的自主学习能力和解决问题的初步尝试。

2.课中强化技能

教师活动：

-导入新课：通过一个实际生活中的例子（如建筑物的斜率问题），引出正切函数的重要性。

-讲解知识点：详细讲解正切函数的性质，如奇偶性、周期性，并通过图象展示帮助理解。

-组织课堂活动：设计小组讨论，让学生探讨正切函数在不同象限的图象特点；进行角色扮演，让学生模拟数学家推导正切函数的性质。

-解答疑问：在课堂活动中，及时解答学生的疑问，引导学生深入理解知识点。

学生活动：

-听讲并思考：认真听讲，对讲解中的关键点进行思考。

-参与课堂活动：在小组讨论中积极发言，通过角色扮演等活动深入理解正切函数的性质。

-提问与讨论：对不理解的部分提出问题，与同学和老师进行讨论。

教学方法/手段/资源：

-讲授法：通过讲解，帮助学生系统掌握正切函数的知识点。

-实践活动法：通过角色扮演和小组讨论，让学生在实践中学习。

-合作学习法：促进学生之间的合作与交流。

作用与目的：

-加深学生对正切函数性质的理解，特别是周期性和奇偶性。

-通过实践活动，培养学生的动手能力和团队合作能力。

3.课后拓展应用

教师活动：

-布置作业：根据本节课的内容，布置相关习题，要求学生巩固正切函数的性质和图象。

-提供拓展资源：推荐一些拓展阅读材料，如数学历史中关于三角函数的发展，以及正切函数在现代工程中的应用案例。

-反馈作业情况：及时批改作业，给出个性化反馈，帮助学生发现并纠正错误。

学生活动：

-完成作业：认真完成作业，运用所学知识解决问题。

-拓展学习：阅读拓展资源，拓宽知识视野。

-反思总结：对学习过程进行反思，总结学习方法，提出改进建议。

教学方法/手段/资源：

-自主学习法：鼓励学生自主完成作业和深入拓展学习。

-反思总结法：引导学生进行自我评价和总结。

作用与目的：

-巩固学生对正切函数性质的理解，提高解题能力。

-通过拓展阅读，增加学生对数学学科的兴趣和认识。

-通过反思总结，促进学生学习方法的改进和自主学习能力的提升。六、知识点梳理1.正切函数的定义

正切函数定义为正弦函数与余弦函数的比值，即tanθ=sinθ/cosθ。这个定义帮助学生理解正切函数与正弦、余弦函数之间的内在联系。

2.正切函数的奇偶性

正切函数是一个奇函数，即tan(-θ)=-tanθ。这一性质说明了正切函数图象关于原点对称，有助于学生理解正切函数图象的对称性。

3.正切函数的周期性

正切函数的周期是π，即tanθ=tan(θ+π)。这个性质解释了正切函数图象在水平方向上的重复性，有助于学生把握正切函数的整体特征。

4.正切函数的单调性

正切函数在每个周期内是单调增加的，即当θ从0增加到π/2时，tanθ的值从0增加到正无穷大。这一性质帮助学生理解正切函数图象在第一象限的形状。

5.正切函数的图象

正切函数的图象是一条波浪线，它在每个周期内穿过第一、第三象限，并在第二、第四象限不存在。这个性质有助于学生直观地认识正切函数的图象特征。

6.正切函数的值域

正切函数的值域是整个实数集，即tanθ可以取任何实数值。这一性质说明了正切函数在不同象限的表现，有助于学生理解正切函数的广泛应用。

7.正切函数的应用

正切函数在实际生活中有广泛的应用，如斜率问题、角度测量等。通过分析具体的应用案例，学生可以更好地理解正切函数的性质和图象。

8.正切函数与其他三角函数的关系

正切函数与正弦、余弦函数之间有密切的关系，如tanθ=sinθ/cosθ。这个关系帮助学生理解三角函数之间的内在联系，并能在实际问题中灵活运用。七、课堂小结，当堂检测一、课堂小结

1.正切函数的定义

本节课首先介绍了正切函数的定义，即tanθ=sinθ/cosθ。这个定义揭示了正切函数与正弦、余弦函数之间的密切关系，为后续学习正切函数的性质奠定了基础。

2.正切函数的奇偶性

通过分析正切函数的奇偶性，我们得出正切函数是一个奇函数，即tan(-θ)=-tanθ。这一性质说明了正切函数图象关于原点对称，有助于学生理解正切函数图象的对称性。

3.正切函数的周期性

本节课还介绍了正切函数的周期性，即tanθ=tan(θ+π)。这个性质解释了正切函数图象在水平方向上的重复性，有助于学生把握正切函数的整体特征。

4.正切函数的单调性

我们还探讨了正切函数的单调性，即在每个周期内，正切函数是单调增加的。这一性质帮助学生理解正切函数图象在第一象限的形状。

5.正切函数的图象

通过观察正切函数的图象，我们发现它是一条波浪线，在每个周期内穿过第一、第三象限，并在第二、第四象限不存在。这个性质有助于学生直观地认识正切函数的图象特征。

6.正切函数的值域

正切函数的值域是整个实数集，即tanθ可以取任何实数值。这一性质说明了正切函数在不同象限的表现，有助于学生理解正切函数的广泛应用。

7.正切函数的应用

最后，我们通过分析具体的应用案例，让学生更好地理解正切函数的性质和图象。这些应用案例包括斜率问题、角度测量等，展示了正切函数在实际生活中的重要性。

8.正切函数与其他三角函数的关系

本节课还强调了正切函数与其他三角函数之间的关系，如tanθ=sinθ/cosθ。这个关系帮助学生理解三角函数之间的内在联系，并能在实际问题中灵活运用。

二、当堂检测

1.判断题

（1）正切函数是一个偶函数。（）

（2）正切函数的周期是2π。（）

（3）正切函数的值域是整个实数集。（）

2.填空题

（1）正切函数的定义是tanθ=______/______。

（2）正切函数的奇偶性是______。

（3）正切函数的周期是______。

（4）正切函数的值域是______。

3.选择题

（1）下列哪个函数是奇函数？

A.正弦函数

B.余弦函数

C.正切函数

D.余切函数

（2）正切函数的周期是？

A.π

B.2π

C.1

D.无穷大

（3）下列哪个选项描述了正切函数的值域？

A.（-∞，+∞）

B.[0，1]

C.[-1，1]

D.（-1，1）

4.解答题

（1）已知tanθ=2，求sinθ和cosθ的值。

（2）已知sinθ=3/5，求tanθ的值。

（3）画出正切函数的图象，并指出其周期、单调区间和对称性。八、教学反思与改进在教学结束后，我进行了一次反思活动，以评估本节课的教学效果并识别需要改进的地方。

首先，我注意到学生们在预习阶段的表现参差不齐。一些学生能够认真阅读预习资料并积极思考问题，但另一些学生似乎没有充分利用预习资源。我意识到我需要更好地监控和指导学生的预习过程，以确保他们能够有效地利用这些资源。

其次，在课堂上，我发现一些学生对正切函数的周期性和单调性理解不够深入。这可能是因为我在讲解时没有提供足够的实例和图象支持。我计划在未来的教学中增加更多的实际例子和图象，以帮助学生更好地理解这些性质。

此外，我还注意到一些学生在完成课后作业时遇到了困难。这表明他们可能没有完全掌握课堂上的知识点。为了解决这个问题，我计划在未来的教学中增加更多的练习机会，并鼓励学生在课堂上积极参与讨论和提问。

最后，我意识到我需要更好地利用教学媒体和资源。虽然我使用了PPT和视频，但我感觉这些资源并没有充分发挥其潜力。我计划在未来的教学中更加有效地利用这些资源，例如通过设计更具互动性的PPT和视频，以吸引学生的注意力并提高他们的参与度。典型例题讲解例题1:已知正切函数tanθ=3/4，求sinθ和cosθ的值。

解答：根据正切函数的定义，tanθ=sinθ/cosθ，所以sinθ=3/4*cosθ。由于sin^2θ+cos^2θ=1，代入sinθ=3/4*cosθ，得到(3/4*cosθ)^2+cos^2θ=1，解得cosθ=±4/5，sinθ=±3/5。

例题2:已知sinθ=5/13，求tanθ的值。

解答：根据正切函数的定义，tanθ=sinθ/cosθ。已知sinθ=5/13，由于sin^2θ+cos^2θ=1，可得cosθ=±12/13，所以tanθ=sinθ/cosθ=5/12。

例题3:已知tanθ=-1/2，求cosθ的值。

解答：根据正切函数的定义，tanθ=sinθ/cosθ，所以sinθ=-1/2*cosθ。由于sin^2θ+cos^2θ=1，代入sinθ=-1/2*cosθ，得到(-1/2*cosθ)^2+cos^2θ=1，解得cosθ=±2√5/5。

例题4:已知tanθ=√3，求sinθ和cosθ的值。

解答：根据正切函