高等应用数学 课件 第10章 无穷级数

第10章无穷级数§10.1常数项级数的概念与性质§10.2常数项级数的审敛法§10.3幂级数§10.4函数展开成幂级数§10.1常数项级数的概念与性质

一、常数项级数的概念

二、无穷级数的基本性质内容提要第一节多元函数MultipleFunction一、常数项级数的概念图10-1第一节多元函数MultipleFunction图10-1图10-1

如果内接正多边形的边数无限增多，即

n无限增大，那么和的极限就是所要求的圆面积A.这时和式中的项数无限增多，于是出现了无穷多个数量依次相加的数学式子.

从这个例子我们可以看出，无穷多个数相加可能得到一个确定的有限常数，也就是说，在一定条件下无穷多个数相加是有意义的.

为了研究无穷多项依次相加的问题，我们引入无穷级数的概念.第一节多元函数MultipleFunction设

，，（10-2）例10.1.1判定是否发散.

解该级数的部分和为显然因此所给的级数是发散的.例10.1.2判定级数的敛散性.

解因为所以从而例10.1.3级数解称为等比级数(几何级数)，其中

叫做级数的公比.试讨论该级数的敛散性.因为所以因此等比级数发散.等比级数前项的和为两端同乘以得将上式两端对应相减并加以整理得例10.1.4判定级数的敛散性.

解因为所以从而即部分和数列

发散，因此级数发散.例10.1.5证明调和级数的敛散性.

证明即因此调和级数发散.取调和级数的前

项部分和

二、无穷级数的基本性质

这说明：级数的每一项同乘以一个不为零的常数后，它的敛散性不改变.注：两个发散的级数逐项相加或相减得到的级数敛散性不确定.仍收敛，且其和不变.

这说明：收敛的级数满足加法结合律.

注:①但发散的级数却未必满足加法结合律.例如，级数因为部分和

，，所以部分和数列

发散，因而级数发散.但级数自第一项开始相邻两项均加括号后形成的级数却收敛.②如果加括号后所成的级数收敛，不能断定去括号后原来的级数也收敛.例如，级数收敛于零，但级数却是发散的.

性质10-4增加、去掉或改变级数的有限项，不改变级数的敛散性.这说明：例10.1.6判定级数的敛散性.

解级数的一般项因为所以，由性质10-5级数收敛的必要条件知，该级数发散.1.常数项级数的概念（1）理解无穷级数的概念（2）理解级数的和及级数收敛、发散的概念（3）会用级数收敛、发散的概念判断级数的敛散性2.无穷级数的性质（1）理解无穷级数的基本性质（2）会用性质判断级数的敛散性3.两个重要级数小结（1）会判断几何级数的敛散性（2）牢记调和级数的发散性第10章无穷级数§10.1常数项级数的概念与性质§10.2常数项级数的审敛法§10.3幂级数§10.4函数展开成幂级数§10.2常数项级数的审敛法

一、正项级数及其审敛法

二、交错级数及其审敛法

三、绝对收敛与条件收敛内容提要第一节多元函数MultipleFunction

一、正项级数及其审敛法如果级数例10.2.1判定正项级数

的敛散性解由于该级数为正项级数，且部分和解例10.2.2讨论级数的敛散性，其中常数因而

级数的部分和应用比较审敛法判别级数敛散性时，关键是找一个敛散性已知的、恰当的级数作为比较对象，而常用的比较对象是等比级数和

级数解因为例10.2.3判定级数

的敛散性.因而由比较审敛法知，该级数收敛.解因为例10.2.4判定级数

的敛散性.解因为例10.2.5判定级数

的敛散性.解因为例10.2.6判定级数

的敛散性.例10.2.7判定级数

的敛散性.解级数的一般项，因为由比值审敛法知，该级数收敛.例10.2.8判定级数

的敛散性.解级数的一般项，因为由比值审敛法知，该级数发散.

二、交错级数及其审敛法例10.2.9判定级数

的敛散性.解级数的一般项，因为所以且所以由莱布尼茨判别法知该交错级数收敛.例10.2.10判定级数

的敛散性.解级数的一般项，因为且所以由莱布尼茨判别法知该交错级数收敛.

三、绝对收敛与条件收敛一般的级数解是交错级数，且显然有而调和级数发散例10.2.12判定级数

的敛散性.解1.正项级数及其审敛法（1）理解正项级数收敛的充分必要条件（2）理解比较审敛法和比值审敛法（3）会用上述审敛法判断级数的敛散性2.交错级数及其审敛法（1）认清交错级数（2）会用交错级数审敛法3.绝对收敛与条件收敛小结（1）理解绝对收敛与条件收敛的概念（2）会判断级数是绝对收敛还是条件收敛第10章无穷级数§10.1常数项级数的概念与性质§10.2常数项级数的审敛法§10.3幂级数§10.4函数展开成幂级数§10.3幂级数

一、函数项级数的概念

二、幂级数及其收敛性

三、幂级数的性质内容提要第一节多元函数MultipleFunction

一、函数项级数的概念那么由这个函数列构成的表达式（10-4）（10-5）这个级数(10-5)可能收敛也可能发散.这个函数的定义域就是函数项级数(10-4)的收敛域则在收敛域上有

二、幂级数及其收敛性当函数项级数的每一项都是幂函数时，即得函数项级数(10-6)幂级数一般的形式为(10-7)图10-3，例10.3.1求幂级数

的收敛域.解幂级数的一般项的系数，由于例10.3.2求幂级数

的收敛域.解幂级数的一般项的系数，由于例10.3.3求幂级数

的收敛半径和收敛域.解幂级数的一般项的系数，由于例10.3.4求幂级数

的收敛域.解

幂级数缺少偶次幂的项，因而不能直接应用定理2.下面根据比值审敛法求收敛半径.例10.3.5求幂级数

的收敛域.解即幂级数的收敛半径

三、幂级数的性质例10.3.6求幂级数

的和函数.解即幂级数的收敛半径先求幂级数的收敛域.因为例10.3.7求幂级数

的和函数.解1.函数项级数的概念（1）理解函数项级数的概念（2）理解和函数的概念（3）理解函数项级数的收敛点、收敛域的概念2.幂级数及其收敛性（1）认识幂级数（2）会求幂级数的收敛半径和收敛域3.幂级数的性质小结（1）理解幂级数的性质（2）会求较简单级数的和函数第10章无穷级数§10.1常数项级数的概念与性质§10.2常数项级数的审敛法§10.3幂级数§10.4函数展开成幂级数§10.4函数展开成幂级数

一、泰勒级数与麦克劳林级数

二、泰勒级数

三、将函数展开成幂级数内容提要

四、幂级数的应用第一节多元函数MultipleFunction

一、泰勒级数与麦克劳林级数(10-8)其中(10-9)(10-10)

二、泰勒级数泰勒级数是泰勒公式从有限项到无限项的推广(10-8)(10-12)

三、将函数展开成幂级数例10.4.1将函数

展开为幂级数.解直接展开法方法步骤

间接展开法

通常从已知函数的幂级数展开式出发，通过变量代换、四则运算，或逐项求导、逐项积分等办法求出幂级数展开式.五个常见函数的幂级数展开式：解因为例10.4.2将函数

展开为幂级数.解例10.4.3将

展开成的幂级数.解例10.4.4将

展开成的幂级数.由令有解例10.4.5将

展开成