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文档简介

坐标单位矢量之间的关系

坐标单位矢量之间的关系

直角坐标与圆柱坐标系圆柱坐标与球坐标系直角坐标与球坐标系oqrz单位圆

柱坐标系与求坐标系之间坐标单位矢量的关系qq

ofxy单位圆

直角坐标系与柱坐标系之间坐标单位矢量的关系

f标量场的等值面 标量场的等值线(面)等值面:

标量场取得同一数值的点在空间形成的曲面。等值面方程：常数C取一系列不同的值，就得到一系列不同的等值面，形成等值面族；标量场的等值面充满场所在的整个空间；标量场的等值面互不相交。

等值面的特点：意义:

形象直观地描述了物理量在空间的分布状态。场的直观表示法 矢量场的矢量线

意义：形象直观地描述了矢量场的空间分布状态。矢量线方程（利用矢量dr和矢量A平行得）：概念：矢量线是这样的曲线，其上每一点的切线方向代表了该点矢量场的方向。矢量线oM

矢量线的疏密决定了场量的大小标量场的方向导数和梯度意义：方向性导数表示场沿某方向的空间变化率。概念：

——

的方向余弦。

一个标量函数

(x，y，z)，若函数

在点P

可微，则

在点P

沿任意方向

的方向导数为

式中,,分别是任一方向与x,y,z轴的夹角MPu(M)u(P)

——

u(M)沿方向增加；

——

u(M)沿方向减小；

——

u(M)沿方向无变化。

M0M方向导数的概念

特点：方向性导数既与点M0有关，也与方向有关。问题：在什么方向上变化率最大、其最大的变化率为多少？因有：即当，最大下页上页返回设可知标量u沿l的方向导数就是矢量g在l上的投影，g在固定点处是一个固定矢量，l和g方向一致时则定义g为标量场的梯度方向导数：

梯度的表达式：圆柱面坐标系

球面坐标系直角面坐标系

标量场的梯度（或）意义：描述标量场在某点的最大变化率及其变化最大的方向概念：，其中

取得最大值的方向——哈密顿算子式中标量场的梯度是矢量场，它在空间某点的方向表示该点场变化最大（增大）的方向，其数值表示变化最大方向上场的空间变化率。标量场在某个方向上的方向导数，是梯度在该方向上的投影。梯度的性质：梯度运算的基本公式：标量场的梯度垂直于通过该点的等值面（或切平面）例：电位场的梯度电位场的梯度电位场的梯度与过该点的等位线垂直；数值等于该点的最大方向导数；指向电位增加的方向。下页上页返回

例

设一标量函数

(x,y,z)=x2＋y2－z描述了空间标量场。试求：

(1)该函数

在点P(1,1,1)处的梯度，以及表示该梯度方向的单位矢量；

(2)求该函数

沿单位矢量el=

excos60

＋eycos45

＋ezcos60

方向的方向导数，并以点P(1,1,1)处的方向导数值与该点的梯度值作以比较，得出相应结论。

解

(1)由梯度计算公式，可求得P

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