新教材数学人教B版必修第一册2.2.4均值不等式及其应用第1课时学案

2.2.4均值不等式及其应用第1课时学习目标1.学会推导并掌握均值不等式.2.能够简单应用定理求最值.自主预习1.给定两个正数a,b,数称为a,b的算术平均值,数称为a,b的几何平均值.

2.如果a,b都是正数,那么a+b2≥ab,当且仅当时3.几何意义:所有周长一定的矩形中,的面积最大.

课堂探究问题探究一(1)假设一个矩形的长和宽分别为a和b,求与这个矩形周长相等的正方形的边长,以及与这个矩形面积相等的正方形的边长,并比较这两个边长的大小;(2)如下表所示,再任意取几组正数,算出它们的算术平均值和几何平均值,猜测一般情况下两个数的算术平均值与几何平均值的相对大小,并根据(1)说出结论的几何意义.a12b14a13ab122问题探究二均值定理的几何解释:作线段AD=a,延长AD至点B,使DB=b(a,b>0)以AB为直径作半圆O,过D点作CD⊥AB于D,交半圆于点C,连接AC,BC,OC.当点D在线段AB(端点除外)上运动时,试探讨OC与CD的大小关系.典型例题:例1已知x>0,求y=x+1x的最小值,并说明当x为何值时y取得最小值变式训练1已知x>0,y>0,xy=24,求4x+6y的最小值,并说明此时x,y的值.要点归纳在利用均值不等式求最值时要注意三点:一是各项均为正;二是寻求定值,求和式最小值时应使积为定值,求积式最大值时应使和为定值;三是考虑等号成立的条件是否具备.例2已知ab>0,求证:ba+ab≥2,变式训练2已知ab>0,求证:b3a+3ab≥例3已知x∈(-1,3),求y=(1+x)(3-x)的最大值,以及y取得最大值时x的值.核心素养专练1.若0<a<b,则下列不等式一定成立的是()A.a>a+b2>ab>b B.b>abC.b>a+b2>ab>a D.b>a>2.已知a>0,b>0,则1a+1b+2ab的最小值是(A.2 B.22 C.4 D.53.设b>a>0,且a+b=1,则此四个数12,2ab,a2+b2,b中最大的是(A.b B.a2+b2C.2ab D.14.x∈[0,3],y=(1+x)(3-x)的最大值是,最小值是.

参考答案自主预习1.a+b2.a=b3.正方形课堂探究典型例题例1解:因为x>0,所以根据均值不等式有x+1x≥2x·1x=2,其中等号成立的条件是当且仅当x=1x,即x2=1,解得x=1或x=-1(舍去),因此x=1时变式训练1解:∵x>0,y>0,∴4x+6y≥224×又xy=24,∴4x+6y≥224×24=当且仅当4x=6y时,等号成立.即当x=6,y=4时,最小值为48.例2证明:因为ab>0,所以ba>0,ab>0ba+ab≥2ba即ba+ab≥当且仅当ba=ab时,即a2=b2等号成立.因为ab>0,变式训练2证明:因为ab>0,所以b3a>0,3abb3a+3ab≥2即b3a+3a当且仅当b3a=3ab时,即9a2=b2等号成立.因为ab>0例3解:当x∈(-1,3)时,1+x>0,3-x>0.(1+x)(3-x)≤1+x+3-x2=2.从而(1+x)(3-x)≤4,即y≤4.当且仅当1+x=3-x,即x=1时核心素养专练1.C2.C3.A4.40学习目标1.能够掌握均值不等式的内容以及证明过程.2.结合具体实例,能用均值不等式解决简单的最大值或最小值问题.自主预习知识点一算术平均值与几何平均值对任意两个a,b,数叫做a,b的算术平均值,数叫做a,b的几何平均值,两个正实数的算术平均值它的几何平均值.

知识点二均值定理1.均值定理如果,那么a+b2

ab.当且仅当a=b时,等号成立,以上结论通常称为定理均值定理可叙述为:两个正实数的算术平均值大于或等于它的几何平均值.2.均值不等式求最值的条件(1)x,y必须是.

(2)求积xy的最大值时,应看和x+y是否为;求和x+y的最小值时,应看积xy是否为.

(3)等号成立的条件是否满足.3.用均值不等式求最值(1)设x,y为正实数,若x+y=s(和s为定值),则当且仅当时,积xy有最值.

(2)设x,y为正实数,若xy=p(积p为定值),则当且仅当时,和x+y有最值.

课堂探究探究均值不等式国际数学家大会是由国际数学联盟(IMU)主办,首届大会于1897年在瑞士苏黎世举行,1900年巴黎大会之后每四年举行一次,它已经成为最高水平的全球性数学科学学术会议.第24届国际数学家大会会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的,颜色的明暗使它看上去像一个风车,代表中国人民热情好客.问题1四边形ABCD特殊吗?问题2四边形的面积与四个直角三角形之间有关系吗?问题3每个直角三角形的两直角边分别用a,b表示,你能用ab来表示四边形与直角三角形的面积吗?问题4中间的小正方形可以消失吗?问题5此时a2+b2与2ab的关系怎么样?问题6a2+b2≥2ab的关系永远成立吗?你能用代数法证明吗?问题7特别地,当a,b代替a,b时,上述表达式变为什么?均值定理如果a,b∈R+,那么,当且仅当a=b时,等号成立.

均值定理可以表述为:.

均值不等式的使用条件:尝试分别用代数法和几何法证明均值定理.代数法:几何法:例1已知x,y∈R+,求证:yx+xy≥2,变式训练1已知a,b∈R+,求证:a+1a例2(1)已知矩形的面积为100,则这个矩形的长、宽各为多少时,矩形的周长最短?最短周长是多少?(2)已知矩形的周长为36,则这个矩形的长、宽各为多少时,它的面积最大?最大面积是多少?变式训练2已知x∈(-1,3),求y=(1+x)(3-x)的最大值,以及y取最大值时x的值.核心素养专练1.已知a,b,c为不全相等的正数,求证:a+b+c>ab+bc+ac.2.求函数y=2-4x-x(x>0)的最大值及相应的课后作业课本第76页练习A.参考答案自主预习知识点一正实数,a+b2,知识点二1.a,b∈R+,≥,均值2.(1)正实数(2)定值,定值3.(1)x=y最大值(2)x=y最小值课堂探究a+b2≥ab例1证明:∵x,y∈R+,∴xy>0,yx>∴yx+xy≥2yx·xy=2,即当且仅当x=y时等号成立.变式训练1证明:∵a,b∈R+,∴1a,1b∈R∴a+1a≥2a·1a=2,b+1b≥∴a+1a当且仅当a=1a,b=1b,即a=b=1例2解:(1)设矩形的长为x,则宽为100x,则矩形的周长l=2x+100x≥2×2x·100x=40,当且仅当x=100x,即x=10时等号成立,因此,当矩形的长和宽都是(2)设矩形的长为x,则宽为36-2x2=18-x,则矩形的面积S=x(18-x)≤x+18-x22=81,当且仅当x=18-x,即x=9时等号成立,因此,变式训练2解:因为x∈(-1,3),所以1+x>0,3-x>0.所以y=(1+x)(3-x)≤(1+x)当且仅当1+x=3-x,即x=1时等号成立.因此y的最大值是4,此时x