高考数学二轮专题复习备考训练9空间几何体与空间位置关系-小题备考（含解析）

备考训练9空间几何体与空间位置关系——小题备考一、单项选择题1．已知直线l与两个不同的平面α，β，则下列结论正确的是()A．若l∥α，l⊥β，则α⊥βB．若α⊥β，l⊥α，则l⊥βC．若l∥α，l∥β，则α∥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β2．如图，Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝3，AC＝4，以AC所在直线为轴旋转一周，所得几何体的表面积等于()A．24πB．12πC.eq\f(33π,2)D.eq\f(27π,2)3．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为()A．πB.eq\f(3π,4)C.eq\f(π,2)D.eq\f(π,4)4．如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，构成四面体A－BCD，则在四面体A－BCD中，下列说法正确的是()A．平面ABD⊥平面ABCB．平面ACD⊥平面BCDC．平面ABC⊥平面BCDD．平面ACD⊥平面ABD5．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AC1与平面BB1A．8B．6eq\r(2)C．8eq\r(2)D．8eq\r(3)6．对于四面体A－BCD，有以下命题：①若AB＝AC＝AD，则AB，AC，AD与底面所成的角相等；②若AB⊥CD，AC⊥BD，则点A在底面BCD内的射影是△BCD的内心；③四面体A－BCD的四个面中最多有四个直角三角形；④若四面体A－BCD的6条棱长都为1，则它的内切球的表面积为eq\f(π,6).其中正确的命题是()A．①③B．③④C．①②③D．①③④7．[2020·山东潍坊学情调研]已知边长为2的等边三角形ABC，D为BC的中点，以AD为折痕进行折叠，使折后的∠BDC＝eq\f(π,2)，则过A，B，C，D四点的球的表面积为()A．3πB．4πC．5πD．6π8．[2020·山东泰安质量检测]已知正三棱锥S－ABC的侧棱长为4eq\r(3)，底面边长为6，则该正三棱锥外接球的表面积是()A．16πB．20πC．32πD．64π二、多项选择题9．已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下面的命题正确的是()A．若α∩β＝m，n⊂α，n⊥m，则α⊥βB．若m⊥α，m⊥β，则α∥βC．若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥βD．若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β10．如图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为矩形，E，F分别为PA，PD的中点，在此几何体中，给出下面四个选项，其中正确的是()A．直线BE与直线CF异面B．直线BE与直线AF异面C．直线EF∥平面PBCD．平面BCE⊥平面PAD11．[2020·山东高考第一次模拟演练]正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E，F，G分别为BC，CC1，BB1A．直线D1D与直线AF垂直B．直线A1G与平面AEFC．平面AEF截正方体所得的截面面积为eq\f(9,8)D．点C与点G到平面AEF的距离相等12．[2020·山东枣庄质量检测]在正方体ABCD－A1B1C1D1中，N为底面ABCD的中心，P为线段A1D1上的动点(不包括两个端点)，M为线段APA．CM与PN是异面直线B．CM>PNC．平面PAN⊥平面BDD1B1D．过P，A，C三点的正方体的截面一定是等腰梯形三、填空题13．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，除面ABCD外，该正方体其余各面的中心分别为点E，F，G，H，M(如图)，则四棱锥M－EFGH14．[2020·山东师大附中月考]设α，β，γ是三个不同平面，a，b是两条不同直线，有下列三个条件：(1)a∥γ，b∥β；(2)a∥γ，b⊂β；(3)b∥β，a⊂γ.如果命题“α∩β＝a，b⊂γ，且________，则a∥b”为真命题，则可以在横线处填入的条件是________(把所有正确的序号填上)．15．已知一个高为1的三棱锥，各侧棱长都相等，底面是边长为2的等边三角形，则三棱锥的表面积为________，若三棱锥内有一个体积为V的球，则V的最大值为________．16．[2020·山东滨州质量检测]在四面体S－ABC中，SA＝SB＝2，且SA⊥SB，BC＝eq\r(5)，AC＝eq\r(3)，则该四面体体积的最大值为____________，该四面体外接球的表面积为____________．备考训练9空间几何体与空间位置关系——小题备考1．解析：设m⊂α，且m∥l，由l⊥β，则m⊥β.由面面垂直的判定定理可得：α⊥β，即选项A正确．故选A.答案：A2．解析：由题意可得旋转体为圆锥，底面半径为3，高为4，故它的母线长BC＝eq\r(32＋42)＝5，侧面积为πrl＝π×3×5＝15π，则它的底面积为π·32＝9π，故它的表面积为15π＋9π＝24π，故选A.答案：A3．解析：设圆柱的底面半径为r，球的半径为R，过圆柱的轴线作一截面，如图．由勾股定理得r＝eq\r(R2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2)＝eq\f(\r(3),2).∴该圆柱的体积V＝Sh＝π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))2×1＝eq\f(3π,4).故选B.答案：B4．解析：由题意可知，AD⊥AB，AD＝AB，所以∠ABD＝45°，故∠DBC＝45°，又∠BCD＝45°，所以BD⊥DC.因为平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD＝BD，所以CD⊥平面ABD，所以平面ACD⊥平面ABD.答案：D5．解析：连接BC1，因为AB⊥平面BB1C1C，所以∠AC1B＝30°，AB⊥BC1，所以△ABC1为直角三角形．又AB＝2，所以BC1＝2eq\r(3).又B1C1＝2，所以BB1＝eq\r(2\r(3)2－22)＝2eq\r(2)，故该长方体的体积V＝2×2×2eq\r(2)＝8eq\r(2).故选C.答案：C6．解析：①正确，若AB＝AC＝AD，则AB，AC，AD在底面的射影相等，即与底面所成角相等；②不正确，如图(1)，点A在平面BCD的射影为点O，连接BO，CO，可得BO⊥CD，CO⊥BD，所以点O是△BCD的垂心；③正确，如图(2)，若AB⊥平面BCD，∠BCD＝90°，则四面体ABCD的四个面均为直角三角形；④正确，正四面体的内切球的半径为r，棱长为1，高为eq\f(\r(6),3)，根据等体积公式eq\f(1,3)×S×eq\f(\r(6),3)＝eq\f(1,3)×4×S×r，解得r＝eq\f(\r(6),12)，那么内切球的表面积S＝4πr2＝eq\f(π,6).故正确的命题是①③④.答案：D7．解析：边长为2的等边三角形ABC，D为BC的中点，以AD为折痕进行折叠，使折后的∠BDC＝eq\f(π,2)，构成以D为顶点的三棱锥，且三条侧棱互相垂直，可构造以其为长宽高的长方体，其对角线即为球的直径，三条棱长分别为1,1，eq\r(3)，所以2R＝eq\r(1＋1＋3)＝eq\r(5)，球的表面积S＝4πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),2)))2＝5π，故选C.答案：C8．解析：如图所示，因为正三棱锥S－ABC的侧棱长为4eq\r(3)，底面边长为6，则AE＝eq\f(2,3)·eq\f(\r(3),2)·6＝2eq\r(3)，所以三棱锥的高SE＝eq\r(SA2－AE2)＝eq\r(4\r(3)2－2\r(3)2)＝6，又由球心O到四个顶点的距离相等，在直角三角形AOE中，AO＝R，OE＝SE－SO＝6－R，又由OA2＝AE2＋OE2，即R2＝(2eq\r(3))2＋(6－R)2，解得R＝4，所以球的表面积为S＝4πR2＝64π，故选D.答案：D9．解析：对A，若α∩β＝m，n⊂α，n⊥m，如图，则α与β不一定垂直，故A为假命题；对于B，若m⊥α，m⊥β，根据垂直于同一条直线的两个平面平行，则α∥β，故B为真命题；对于C，若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β，故C为真命题；对于D，若m∥α，n∥β，m∥n，如右图，则α与β可能相交，故D为假命题．答案：BC10．解析：将平面展开图还原成直观图如图所示．∵E，F分别为PA，PD的中点，∴EF∥AD.又四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC，∴EF∥BC，∴B，C，F，E四点共面，∴直线BE与直线CF共面，不是异面直线，故A错误；∵E∈平面PAD，AF⊂平面PAD，点E不在直线AF上，B∉平面PAD，∴直线BE与直线AF为异面直线，故B正确；∵EF∥BC，BC⊂平面PBC，EF⊄平面PBC，∴EF∥平面PBC，故C正确；假设平面BCE⊥平面PAD，即平面BCFE⊥平面PAD，又平面BCFE∩平面PAD＝EF，作PM⊥EF，垂足为M，可得PM⊥平面BCE，但由题中条件无法证得PM⊥平面BCE，故假设不成立，故D错误．故选B、C.答案：BC11．解析：取DD1中点M，则AM为AF在平面AA1D1D上的射影，∵AM与DD1不垂直，∴AF与DD1不垂直，故A错；取B1C1中点N，连接A1N，GN，可得平面A1GN∥平面AEF把截面AEF补形为四边形AEFD1，由等腰梯形计算其面积S＝eq\f(9,8)，故C正确；假设C与G到平面AEF的距离相等，即平面AEF将CG平分，则平面AEF必过CG的中点，连接CG交EF于H，而H不是CG中点，则假设不成立，故D错．答案：BC12．解析：C，N，A共线，即CN，PM交于点A，共面，因此CM，PN共面，A错误；记∠PAC＝θ，则PN2＝AP2＋AN2－2AP·ANcosθ＝AP2＋eq\f(1,4)AC2－AP·ACcosθ，CM2＝AC2＋AM2－2AC·AMcosθ＝AC2＋eq\f(1,4)AP2－AP·ACcosθ，又AP<AC，CM2－PN2＝eq\f(3,4)(AC2－AP2)>0，CM2>PN2，即CM>PN，B正确；由于正方体中，AN⊥BD，BB1⊥平面ABCD，则BB1⊥AN，BB1∩BD＝B，可得AN⊥平面BB1D1D，AN⊂平面PAN，从而可得平面PAN⊥平面BDD1B1，C正确；取C1D1中点K，连接KP，KC，A1C1，易知PK∥A1C1，又正方体中，A1C1∥AC，∴PK∥AC，PK，AC共面，PKCA就是过P，A，C三点的正方体的截面，它是等腰梯形，D正确，故选BCD.答案：BCD13．解析：依题意知，四棱锥M－EFGH为正四棱锥，正方形EFGH的边长为eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2)＝eq\f(\r(2),2)，四棱锥M－EFGH的高为eq\f(1,2)，所以四棱锥M－EFGH的体积为eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2×eq\f(1,2)＝eq\f(1,12).答案：eq\f(1,12)14．解析：(1)a∥γ，b∥β，不可以，举出反例如下：使β∥γ，b⊂γ，a⊂β，则此时能有a∥γ，b∥β，但不一定有a∥b；(2)a∥γ，b⊂β，可以，由a∥γ得a与γ没有公共点，由b⊂β，α∩β＝a，b⊂γ知，a，b在面β内，且没有公共点，故平行；(3)b∥β，a⊂γ可以，由b∥β，α∩β＝a知，a，b无公共点，再由a⊂γ，b⊂γ，可得两直线平行．综上可知满足的条件有(2)和(3)．答案：(2)或(3)15．解析：该三棱锥侧面的斜高为eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)×\r(3)))2＋12)＝eq\f(2\r(3),3)，则S侧＝3×eq\f(1,2)×2×eq\f(2\r(3),3)＝2eq\r(3)，S底＝eq\f(1,2)×eq\r(3)×2＝eq\r(3)，所以三棱锥的表面积S表＝2eq\r(3)＋eq\r(3)＝3eq\r(3).由题意知，当球与三棱锥的四个面都相切时，其体积最大．设三棱锥的内切球的半径为r，则三棱锥的体积V锥＝eq\f(1,3)S表·r＝eq\f(1,3)S底·1，所以3eq\r(3)r＝eq\r(3)，所以r＝eq\f(1,3)，所以三棱锥的内切球的体积最大为Vmax＝eq\f(4,3)πr3＝eq\f(4π,81).答案：3eq\r(3)eq\f(4π,81)16．解析：因为SA＝SB＝2，且SA⊥SB，BC＝eq\r(5)，AC＝eq\r(3)，所以AB＝eq\r(2)SA＝2eq\r(2)，因此BC2＋A