高中数学第一章推理与证明1.1.1归纳推理课时素养评价（含解析）北师大版选修22

课时素养评价一归纳推理(20分钟·50分)一、选择题(每小题5分，共20分)1.用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为 () C.6n+2 D.8n+2【解析】选C.设第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为an，则a1=8，a2=14，a3=20，猜想an=6n+2.2.已知整数对的序列为(1，1)，(1，2)，(2，1)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，(1，5)，(2，4)，…，则第57个数对是()A.(2，10) B.(10，2) C.(3，5) D.(5，3)【解析】选A.由题意，发现所给整数对有如下规律：(1，1)的和为2，共1个；(1，2)，(2，1)的和为3，共2个；(1，3)，(2，2)，(3，1)的和为4，共3个；(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)的和为5，共4个；(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)的和为6，共5个.由此可知，当数对中两个数字之和为n时，有n-1个数对.易知第57个数对中两数之和为12，且是两数之和为12的数对中的第2个数对，故为(2，10).3.观察下列各式：32-1=8，72-1=48，112-1=120，152-1=224，…据此规律，所得的结果都是8的倍数.由此推测可得 ()A.其中包含等式：1032-1=10608B.其中包含等式：852-1=7224C.其中包含等式：532-1=2808D.其中包含等式：332-1=1088【解析】选A.数列3，7，11，15，…的通项为an=3+(n-1)×4=4n-1，当n=26时，a26=103，但是85，53，33都不是数列{an}中的项.4.(2019·全国卷Ⅱ)在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测.甲：我的成绩比乙高.乙：丙的成绩比我和甲的都高.丙：我的成绩比乙高.成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为 ()A.甲、乙、丙 B.乙、甲、丙C.丙、乙、甲 D.甲、丙、乙【解析】选A.若甲正确，则乙，丙都不正确，即由此判断乙>丙，即甲>乙>丙成立.二、填空题(每小题5分，共10分)5.根据图中线段的排列规则，试猜想第8个图形中线段的条数为_________.

【解析】分别求出前4个图形中线段的数目，发现规律，得出猜想，图形①到④中线段的条数分别为1，5，13，29，因为1=22-3，5=23-3，13=24-3，29=25-3，因此可猜想第8个图形中线段的条数应为28+1-3=509.答案：5096.观察分析下表中的数据：多面体面数(F)顶点数(V)棱数(E)三棱柱569五棱锥6610正方体6812猜想一般凸多面体中F，V，E所满足的等式是__________________.

【解析】由表格可知：三棱柱：5+6=9+2；五棱锥，6+6=10+2，正方体，6+8=12+2，猜想一般凸多面体中，面数、顶点数、棱数F，V，E所满足的等式是：F+V-E=2.答案：F+V-E=2三、解答题(每小题10分，共20分)7.某同学在一次研究性学习中发现：若集合A，B满足：A∪B={1，2}，则A，B共有9组；若集合A，B，C满足：A∪B∪C={1，2}，则A，B，C共有49组；若集合A，B，C，D满足：A∪B∪C∪D={1，2}，则A，B，C，D共有225组.根据上述结果，将该同学的发现推广为A，B，C，D，E五个集合，可以得出的正确结论是：若集合A，B，C，D，E满足：A∪B∪C∪D∪E={1，2}，则A，B，C，D，E共有多少组？【解析】由A∪B={1，2}时，A，B共有9组，即32=9；A∪B∪C={1，2}时，A，B，C共有49组，即72=49；A∪B∪C∪D={1，2}时，A，B，C，D共有225组，即152=225；根据上述结果，推广为：A∪B∪C∪D∪E={1，2}时，A，B，C，D，E共有312=961即961组.所以A，B，C，D，E共有961组.8.如图，在圆内画一条线段，将圆分成两部分；画两条线段，彼此最多分割成4条线段，同时将圆分割成4部分；画三条线段，彼此最多分割成9条线段，将圆最多分割成7部分；画四条线段，彼此最多分割成16条线段，将圆最多分割成11部分.那么：(1)在圆内画5条线段，它们彼此最多分割成多少条线段？将圆最多分割成多少部分？(2)猜想：圆内两两相交的n(n≥2)条线段，彼此最多分割成多少条线段？将圆最多分割成多少部分？【解析】设圆内两两相交的n条线段彼此最多分割成的线段为f(n)条，将圆最多分割为g(n)部分.(1)f(1)=1=12，g(1)=2=QUOTE；f(2)=4=22，g(2)=4=QUOTE；f(3)=9=32，g(3)=7=QUOTE；f(4)=16=42，g(4)=11=QUOTE；所以n=5时，f(5)=25，g(5)=QUOTE=16.(2)根据题意猜想：圆内两两相交的n(n≥2)条线段，彼此最多分割为f(n)=n2条线段，将圆最多分割为g(n)=QUOTE部分.(15分钟·30分)1.(5分)根据给出的数塔，猜测123456×9+7等于()1×9+2=11；12×9+3=111；123×9+4=1111；1234×9+5=11111；12345×9+6=111111；111110 111111111112 111113【解析】选B.由前5个等式知，右边各位数字均为1，位数比前一个等式依次多1位，所以123456×9+7=1111111.2.(5分)已知an=logn+1(n+2)(n∈N+)，观察下列算式：a1·a2=log23·log34=QUOTE·QUOTE=2；a1·a2·a3·a4·a5·a6=log23·log34·…·log78=QUOTE·QUOTE·…·QUOTE=3，…；若a1·a2·a3·…·am=2018(m∈N+)，则m的值为 ()2018201820182018-4【解析】选C.由已知得a1·a2·a3·…·am=QUOTE=2018，lg(m+2)=lg22018，解得m=22018-2.3.(5分)将正整数按如图规律排列：第i行第j列的数字记为aij，若aij=2018，则i+j=_________.

【解析】由排列的规律可得，第n行结束的时候共排了1+2+3+…+n=QUOTEn(n+1)个数，所以前63行共有QUOTE×63×64=2016个数，故若aij=2018，则i=64，j=2，故i+j=66.答案：664.(5分)则上起第n行，左起第n+1列的数是_________.

【解析】第1行第2个数为2=1×2，第2行第3个数为6=2×3，第3行第4个数为12=3×4，第4行第5个数为20=4×5.故归纳出第n行第n+1个数为n(n+1)=n2+n.答案：n2+n5.(10分)某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图(1)，(2)，(3)，(4)为最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮.现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形.(1)求出f(5)的值.(2)利用合情推理的“归纳推理思想”，归纳出f(n+1)与f(n)之间的关系式，并根据你得到的关系式求出f(n)的表达式.(3)求QUOTE+QUOTE+QUOTE+…+QUOTE的值.【解析】(1)f(5)=41.(2)因为f(2)-f(1)=4=4×1，f(3)-f(2)=8=4×2，f(4)-f(3)=12=4×3，f(5)-f(4)=16=4×4，…由上式规律，得出f(n+1)-f(n)=4n.因为f(n+1)-f(n)=4n⇒f(n+1)=f(n)+4n⇒f(n)=f(n-1)+4(n-1)=f(n-2)+4(n-1)+4(n-2)=f(n-3)+4(n-1)+4(n-2)+4(n-3)=…=f(1)+4(n-1)+4(n-2)+4(n-3)+…+4=2n2-2n+1.(3)当n≥2时，QUOTE=QUOTE=QUOTE.所以QUOTE+QUOTE+QUOTE+…+QUOTE=1+QUOTE×1-QUOTE+QUOTE-QUOTE+QUOTE-QUOTE+…+QUOTE-QUOTE=1+QUOTE=QUOTE-QUOTE.【补偿训练】设f(x)=QUOTE，x1=1，xn=f(xn-1)(n≥2)，则x2，x3，x4分别为_________，猜想xn=_________.

【解析】x2=f(x1)=QUOTE=QUOTE，x3=f(x2)=QUOTE=QUOTE，x4=f(x3)=QUOTE=QUOTE，所以xn=QUOTE.答案：QUOTE，QUOTE，QUOTEQUOTE1.将正整数1，2，3，4，…按如图所示的方式排成三角形数组，则第20行从右往左数第1个数是 ()【解析】选D.由三角形数组可推断出，第n行共有2n-1项，且最后一项为n2，所以第20行，最后一项为400.2.设f(n)=n2+n+41(n∈N*)，计算f(1)，f(2)，f(3)，…，f(10)的值，同时作出归纳推理，并用n=40验证猜测是否正确.【解析】f(1)=12+1+41=43，f(2)=22+2+41=47，f(3)=32+3+41=53，f(4)=42+4